高中数学 第五章第16课时《教学与测试》第74、75课教师专用教案 新人教A版
高中数学 人教A版必修五全册电子教案(含课程纲要))
11
简单线形规划
理解（操作、会、初步应 用）
6
12
基本不等式
理解（探索、会、初步应 用）
5
13 14
学段末复习
理解、掌握、应用 课时合计
6 54
（二）重点、难点分析 1、 解三角形 （1） 重点： (a) 正弦定理、余弦定理及三角形的度量； (b) 测量和计算实际问题。 （2） 难点： (a) 探索正弦定理、余弦定理； (b) 正弦定理、余弦定理的灵活应用和实际应用。 2、 数列 （1） 重点： (a) 等差、等比数列的概念、通项公式、求和公式； (b) 概念、公式、性质的应用。 （2） 难点： (a) 探求等差、等比数列前 n 项和公式； (b) 有关知识的灵活应用； (c) 数列建摸。 3、 不等式
授课时间：45~60 课时 授课对象：高二
2、 理解不等式的基本性质， 掌握求解一元二次不等式的基本方法， 并能解决一些实际问题。 3、能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的 二元线性规划问题。 4、认识、掌握基本不等式，并会进行简单应用。 5、通过简单应用，体会不等式、方程、函数之间的联系。 6．进一步培养代数推理论证与运算求解能力（不等关系下的推理 论证、运算求解能力） 二、 内容安排 （一）内容、要求、课时分配 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 学习内容 正弦定理和余弦定理 应用举例 小结复习 数列的概念与简单表示 等差数列 等比数列 探究性学习 小结复习 不等关系与不等式 学习要求 掌握（应用） 掌握（实际应用） 掌握 了解（体会、会求） 掌握 掌握 应用 掌握 了解（感受、模仿） 课时分配 5 5 2 2 5 5 2 2 3 6
第 7 页，共 10 页 郑州市第二中学
无解（B=60°，b=5cm，c= cm） （2） 数列：更换等差、等比数列通项公式与求和公式推导方法， 更换个别问题背景。 （3） 不等式：更换基本不等式发现与证明的过程，直接利用 发 现、导出。 3、调序：三角形面积公式放在余弦定理之前，一元二次不等式教 学改为探究总结解法 应用举例。 4、删除：删除习题与复习参考题中超过学生能力的题目。 5、整合：三角形、数列、不等式建模整合复习；部分探究与发现 与课堂教学整合；“阅读与思考”与研究性学习整合。 6、教学体系重新构建（略）。 三、 实施过程 （一） 教学资源分析： 1、 教师资源：专业水平、团体力量、 2、 学情分析：大部分来自城市，具有一定的数学基础，知识结构 有待于进一步完善等。 3、 设备资源；校园网、计算机、投影、课件、几何模型、学生用 计算器等。 （二） 教学流程设计 1、 解三角形：从回顾三角形的边角关系入手，探索正弦定理和余 弦定理；通过解三角形训练，掌握正弦定理和余弦定理；通过对实际 问题的测量和几何计算，培养应用所学知识解决问题的能力。
人教版高中数学教案：第5章：平面向量,教案,课时第 (19)
第十九教时教材：正弦定理和余弦定理的复习《教学与测试》76、77课目的：通过复习、小结要求学生对两个定理的掌握更加牢固，应用更自如。
过程：一、复习正弦定理、余弦定理及解斜三角形 二、例一 证明在△ABC 中A a sin =B b sin =Ccsin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径 证略 见P159注意：1．这是正弦定理的又一种证法(现在共用三种方法证明)2.正弦定理的三种表示方法(P159)例二 在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+-=]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边例三 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒ 当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===B C b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -===B C b c 解二：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+= 将已知条件代入，整理：0162=+-x x解之：226±=x 当226+=c 时2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ C=75︒当226-=c 时同理可求得：A=120︒ C=15︒ 例四 试用坐标法证明余弦定理 证略见P161例五 在△ABC 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A+B)=1 求 1︒角C 的度数 2︒AB 的长度 3︒△ABC 的面积 解：1︒cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-21∴C=120︒ 2︒由题设：⎩⎨⎧=-=+232b a b a∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC •osC120cos 222ab b a -+=ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=103︒S △ABC =2323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab例六 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒,∠BCD=135︒ 求BC 的长 解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222DCBA即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x 整理得：096102=--x x解之：161=x 62-=x （舍去） 由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC 例七 （备用）△ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积。
新课标人教A版高中数学必修5全册教案(word版)
1．1．1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 一.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二.讲授新课[探索研究]在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C=== 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==思考1：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图1．1-3，（1）当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a 从而sin sin abAB=sin cC=A c B（2）当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
人教统编部编版高中数学必修第一册A版第五章《三角函数》全章节教案教学设计(含章末综合复习)
【新教材】人教统编版高中数学必修第一册A版第五章教案教学设计5.1.1《任意角和弧度制---任意角》教案教材分析：学生在初中学习了o 0～o 360，但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.因此为了准确描述这些现象，本节课主要就旋转度数和旋转方向对角的概念进行推广.教学目标与核心素养：课程目标1.了解任意角的概念.2.理解象限角的概念及终边相同的角的含义．3.掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．数学学科素养1.数学抽象：理解任意角的概念，能区分各类角；2.逻辑推理：求区域角；3.数学运算：会判断象限角及终边相同的角.教学重难点：重点：理解象限角的概念及终边相同的角的含义；难点：掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
教学工具：多媒体。
教学过程：一、情景导入初中对角的定义是：射线OA 绕端点O 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到o 0～o 360范围内的角.但是现实生活中随处可见超出o 0～o 360范围的角.例如体操中有“前空翻转体o 540”，且主动轮和被动轮的旋转方向不一致.请学生思考，如何定义角才能解决这些问题呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本168-170页，思考并完成以下问题1．角的概念推广后，分类的标准是什么？2．如何判断角所在的象限？3．终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类按旋转方向，角可以分为三类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角2．象限角在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．四、典例分析、举一反三题型一任意角和象限角的概念例1(1)给出下列说法：①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．①420°，②855°，③－510°.【答案】（1）①（2）图略，①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．【解析】(1)①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．(2) 作出各角的终边，如图所示：由图可知：①420°是第一象限角．②855°是第二象限角．③－510°是第三象限角．解题技巧：（任意角和象限角的表示）1．判断角的概念问题的关键与技巧．(1)关键：正确的理解角的有关概念，如锐角、平角等；(2)技巧：注意“旋转方向决定角的正负，旋转幅度决定角的绝对值大小．2．象限角的判定方法．(1)图示法：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．(2)利用终边相同的角：第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式；第二步，判断β的终边所在的象限；第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．跟踪训练一1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是( )A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C【答案】D【解析】由已知得B C，所以B∪C⊆C，故D正确．2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°，360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－315°＝－360°＋45°且0°＜45°＜90°.所以这四个命题都是正确的．题型二终边相同的角的表示及应用例2(1)将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．(2)写出与α＝－910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°＜β＜360°的元素β写出来．【答案】（1）(－3)×360°＋195°，（2）终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，适合不等式－720°＜β＜360°的元素－550°、－190°、170°.【解析】(1)－885°＝－1 080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.(2)与α＝－910°终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°－910°，k∈Z}，∵－720°＜β＜360°，即－720°＜k·360°－910°＜360°，k∈Z，∴k取1，2，3.当k＝1时，β＝360°－910°＝－550°；当k＝2时，β＝2×360°－910°＝－190°；当k＝3时，β＝3×360°－910°＝170°.解题技巧：(终边相同的角的表示)1．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式(其中0°≤β＜360°，k∈Z)，其中β就是所求的角．(2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到所求为止．2．运用终边相同的角的注意点所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉．(2)α是任意角．(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．跟踪训练二1.下面与－850°12′终边相同的角是( )A ．230°12′B ．229°48′C ．129°48′D ．130°12′【答案】B【解析】与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k ·360°(k ∈Z)，当k ＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.2．写出角α的终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合为________．【答案】{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}．【解析】落在第二象限时，表示为k ·360°＋135°.落在第四象限时，表示为k ·360°＋180°＋135°，故可合并为{α|α＝k ·180°＋135°，k ∈Z}． 题型三 任意角终边位置的确定和表示例3 (1)若α是第一象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第一、三象限角C ．第二象限角D ．第二、四象限角(2)已知，如图所示．①分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【答案】(1)B (2) ①终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z}；终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z}．②故该区域可表示为{γ|－30°＋k ·360°≤γ≤135°＋k ·360°，k ∈Z}．【解析】(1) 因为α是第一象限角，所以k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ，当k 为偶数时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，α2为第三象限角．所以α2是第一、三象限角．(2) ①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{γ|－30°＋k·360°≤γ≤135°＋k·360°，k∈Z}．解题技巧：（任意角终边位置的确定和表示）1．表示区间角的三个步骤：第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°；第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提醒：表示区间角时要注意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或所在象限的判断方法：的范围；(1)用不等式表示出角nα或αn所在象限．(2)用旋转的观点确定角nα或αn跟踪训练三1．如图所示的图形，那么终边落在阴影部分的角的集合如何表示？【答案】角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．【解析】在0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为60°≤β<105°与240°≤β<285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β<k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本171页练习及175页习题5.1 1、2、7题.教学反思：本节课主要采用讲练结合与分组探究的教学方法，让学生从旋转方向和旋转度数熟悉角的概念，象限角，终边相同的角等，并且掌握其应用.5.1.2《任意角和弧度制---弧度制》教案教材分析：前一节已经学习了任意角的概念，而本节课主要依托圆心角这个情境学习一种用长度度量角的方法—弧度制，从而将角与实数建立一一对应关系，为学习本章的核心内容—三角函数扫平障碍，打下基础.教学目标与核心素养：课程目标1.了解弧度制,明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握用弧度制表示扇形的弧长公式和面积公式.数学学科素养1.数学抽象：理解弧度制的概念；2.逻辑推理：用弧度制表示角的集合；3.直观想象：区域角的表示；4.数学运算：运用已知条件处理扇形有关问题.教学重难点：重点：弧度制的概念与弧度制与角度制的转化；难点：弧度制概念的理解．课前准备：多媒体教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。
人教a版数学必修5全套教案
数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
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三维目标
一1.通、过知对识任与意技三能角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法； 2.会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题． 二12..让引、学导过生学程从生与已通方有过法的观几察、何推知导识、出比发,较共，同由探特究殊在到任一意般三归角纳形出中正，弦边定与理其；对角的关系； 3.进行定理基本应用的实践操作． 三1.培、养情学感生态在度方与程价思值想观指导下处理解三角形问题的运算能力； 的2.培联养系学来生体探现索事数物学之规间律的的普思遍维联能系力与，辩通证过统三一角．函数、正弦定理、向量的数量积等知识间
第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理
本章内容是处理三角形中的边角关系从，容与说初课中学习的三角形的边与角的基本关系有密 切的联系，与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书 在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形 中示有呢?大”在边引对入大余角弦，小定边理对内小容角时的，边提角出关探系究.性我问们题是“否如能果得已到知这三个角边形、的角两的条关边系及准其确所量夹化的的角表, 根的据角三度角来形研全究等这的个判问定题，方也法就，这是个研三究角如形何是从大已小知、的形两状边完和全它确们定的的夹三角角计形算.我出们三仍角然形从的量另化一 的边和知两识个有角了的新问的题认”识．，这同样时，使用新联知系识的建观立点在，已从有新知的识角的度坚看实过基去础的上问，题形，成使良学好生的对知于识过结去 构．
新课标(人教版 A)
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第五章三角函数三角函数的概念教案
考点学习目标核心素养三角函数的概念理解三角函数的概念，会求给定角的三角函数值数学抽象、数学运算三角函数值的符号判断掌握各象限角的三角函数值的符号规律逻辑推理诱导公式一及应用掌握三角函数诱导公式一的简单应用逻辑推理、数学运算问题导学预习教材P１77—P１8１，并思考以下问题：１．任意角的三角函数的定义是什么？２．如何判断三角函数值在各象限内的符号？３．诱导公式一是什么？１．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y）定义正弦纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y余弦横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x正切比值错误!叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝错误!（x≠0）三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数（１）在任意角的三角函数的定义中，应该明确：α是一个任意角，其范围是使函数有意义的实数集．（２）要明确sin α是一个整体，不是sin与α的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f（x）表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．２．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．３．公式一终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式（公式一）：sin（α＋k·２π）＝sin__α，cos（α＋k·２π）＝cos__α，tan（α＋k·２π）＝tan__α，其中k∈Z.■名师点拨（１）公式一的实质公式一的实质是终边相同的角，其同名三角函数值相等．因为这些角的终边是同一条射线，所以根据三角函数的定义可知，这些角的三角函数值相等．（２）公式一的作用利用公式一可以把任意角的三角函数值化为0°～３60°范围内与其终边相同的角的三角函数值（方法是先在0°～３60°的范围内找出与所给角终边相同的角，再把它写成公式一的形式，最后得出结果）．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）已知α是三角形的内角，则必有sin α>0，cos α≥0．（）（２）若sin α·cos α>0，则角α为第一象限角．（）（３）对于任意角α，三角函数sin α、cos α、tan α都有意义．（）（４）三角函数值的大小与点P（x，y）在终边上的位置无关．（）（５）同一个三角函数值能找到无数个角与之对应．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）√（５）√已知sin α＝错误!，cos α＝—错误!，则角α所在的象限是（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限答案：B已知角α的终边经过P（—b，４），且cos α＝—错误!，则b的值为（）Ａ．３Ｂ．—３Ｃ．±３Ｄ．５解析：选Ａ．由x＝—b，y＝４，得r＝错误!，所以cos α＝错误!＝—错误!，解得b＝３（b＝—３舍去）．sin 780°＝________．cos错误!＝________．答案：错误!错误!求任意角的三角函数值（１）已知角α的终边与单位圆的交点为P错误!（y<0），求tan α的值．（２）已知角α的终边落在射线y＝２x（x≥0）上，求sin α，cos α的值．【解】（１）因为点P错误!（y<0）在单位圆上，则错误!＋y２＝１，所以y＝—错误!，所以tan α＝—错误!.（２）设射线y＝２x（x≥0）与单位圆的交点为P（x，y），则错误!解得错误!即P错误!，所以sin α＝y＝错误!，cos α＝x＝错误!.１．（变条件）本例（２）中条件“角α的终边落在射线y＝２x（x≥0）上”变为“角α的终边为射线y＝—错误!x（x≥0）”，求角α的正弦、余弦和正切值．解：由错误!得x２＋错误!x２＝１，即２５x２＝１6，即x＝错误!或x＝—错误!.因为x≥0，所以x＝错误!，从而y＝—错误!.所以角α的终边与单位圆的交点坐标为（错误!，—错误!）．所以sin α＝y＝—错误!，cos α＝x＝错误!，tan α＝错误!＝—错误!.２．（变条件）本例（２）中条件“α的终边落在射线y＝２x（x≥0）上”变为“α的终边落在直线y ＝２x上”，其他条件不变，其结论又如何呢？解：（１）若α终边在第一象限内，解答过程同本例（２）．（２）若α终边在第三象限内，设点P（x，２x）（x＜0）是其终边上任意一点，因为r＝|OP|＝错误!＝—错误!x（x＜0），所以sin α＝错误!＝错误!＝—错误!，cos α＝错误!＝错误!＝—错误!.综上可知，sin α＝±错误!，cos α＝±错误!.错误!已知α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法（１）先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．（２）在α的终边上任选一点P（x，y），P到原点的距离为r（r＞0），则sin α＝错误!，cos α＝错误!.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．（３）当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为错误!，则tan α＝________．解析：设点A的横坐标为x，则由错误!＝１，解得x＝±错误!，因为角α为第二象限角，所以x＝—错误!，cos α＝—错误!，所以tan α＝错误!＝—错误!.答案：—错误!三角函数值符号的判定判断下列各式的符号：（１）tan １２0°sin ２69°；（２）cos ４tan错误!.【解】（１）因为１２0°角是第二象限角，所以tan １２0°<0．因为２69°角是第三象限角，所以sin ２69°<0．所以tan １２0°sin ２69°>0．（２）因为π<４<错误!，所以４弧度角是第三象限角，所以cos ４<0，因为—错误!＝—6π＋错误!，所以—错误!是第一象限角，所以tan错误!>0，所以cos ４tan错误!<0．错误!正弦、余弦函数值的正负规律１．若—错误!＜α＜0，则点（tan α，cos α）位于（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限解析：选Ｂ．由—错误!＜α＜0知α为第四象限角，则tan α＜0，cos α＞0，点在第二象限．２．（２0１9·安徽太和中学第一次教学质量检测）已知sin θcos θ<0，且|cos θ|＝cos θ，则角θ是（）Ａ．第一象限角B．第二象限角Ｃ．第三象限角D．第四象限角解析：选Ｄ．由|cos θ|＝cos θ，可知cos θ≥0，结合sin θcos θ<0，得sin θ<0，cos θ>0，所以角θ是第四象限角，故选D.公式一的简单应用求下列各式的值：（１）cos错误!＋tan错误!；（２）sin 8１0°＋tan １１２５°＋cos ４２0°.【解】（１）原式＝cos错误!＋tan错误!＝cos 错误!＋tan错误!＝错误!＋１＝错误!.（２）原式＝sin（２×３60°＋90°）＋tan（３×３60°＋４５°）＋cos（３60°＋60°）＝sin 90°＋tan ４５°＋cos 60°＝１＋１＋错误!＝错误!.错误!利用公式一求解任意角的三角函数的步骤１．sin ５8５°的值为（）Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．sin ５8５°＝sin（３60°＋２２５°）＝sin ２２５°.由于２２５°是第三象限角，且终边与单位圆的交点为错误!，所以sin ２２５°＝—错误!.２．tan错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．１解析：选Ｂ．tan错误!＝tan错误!＝tan错误!＝错误!.３．sin错误!＋cos 错误!·tan ４π＝________．解析：原式＝sin错误!＋cos错误!·tan（４π＋0）＝sin 错误!＋cos 错误!×0＝错误!.答案：错误!１．若角α是第三象限角，则点P（２，sin α）所在象限为（）Ａ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D.由α是第三象限角知，sin α<0，因此P（２，sin α）在第四象限，故选Ｄ．２．若cos α＝—错误!，且角α的终边经过点P（x，２），则P点的横坐标x是（）Ａ．２错误!B．±２错误!Ｃ．—２错误!D．—２错误!解析：选Ｄ．r＝错误!，由题意得错误!＝—错误!，所以x＝—２错误!.故选Ｄ．３．cos １４70°＝____________．解析：cos １４70°＝cos（４×３60°＋３0°）＝cos ３0°＝错误!.答案：错误!４．求下列三角函数值：（１）sin 错误!π＋cos 错误!π；（２）sin２错误!＋tan２错误!tan 错误!.解：（１）sin 错误!π＋cos 错误!π＝sin错误!＋cos错误!＝sin 错误!＋cos 错误!＝错误!＋错误!＝１．（２）原式＝sin２错误!＋tan２错误!·tan错误!＝sin２错误!＋tan２错误!·tan 错误!＝错误!错误!＋错误!错误!×１＝错误!＋错误!＝错误!.[A 基础达标]１．（２0１9·陕西山阳中学期末考试）点A（x，y）是60°角的终边与单位圆的交点，则错误!的值为（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选Ａ．因为tan 60°＝错误!，所以错误!＝错误!，故选Ａ．２．如果α的终边过点（２sin ３0°，—２cos ３0°），那么sin α＝（）Ａ．错误!Ｂ．—错误!Ｃ．错误!Ｄ．—错误!解析：选D.依题意可知点（２sin ３0°，—２cos ３0°），即（１，—错误!），则r＝错误!＝２，因此sin α＝错误!＝—错误!.３．已知角α的终边经过点P（m，—6），且cos α＝—错误!，则m＝（）Ａ．8 Ｂ．—8Ｃ．４Ｄ．—４解析：选Ｂ．由题意得r＝|OP|＝错误!＝错误!，故cos α＝错误!＝—错误!，解得m＝—8．４．给出下列函数值：１sin（—１000°）；２cos错误!；３tan ２，其中符号为负的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．因为—１000°＝—３×３60°＋80°，所以—１000°是第一象限角，则sin（—１000°）>0；因为—错误!是第四象限角，所以cos错误!>0；因为２rad≈２×５7°１8′＝１１４°３6′是第二象限角，所以tan ２<0．故符号为负的个数为１．５．若tan α<0，且sin α>cos α，则α的终边在（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限解析：选Ｂ．由tan α<0知，α是第二、四象限角，若α是第二象限角，则sin α>0，cos α<0，满足sin α>cos α；若α是第四象限角，则sin α<0，cos α>0，不满足sin α>cos α，故选Ｂ．6．计算sin（—１４１0°）＝________．解析：sin（—１４１0°）＝sin（—４×３60°＋３0°）＝sin ３0°＝错误!.答案：错误!7．若sin α·cos α＜0，则α在第________象限．解析：由sin α·cos α＜0，知sin α＞0且cos α＜0或sin α＜0且cos α＞0．若sin α＞0且cos α＜0，则α在第二象限，若sin α＜0且cos α＞0，则α在第四象限．答案：二或四8．已知角α的终边经过点P（３，—４t），且sin（２kπ＋α）＝—错误!，其中k∈Z，则t的值为____________．解析：因为sin（２kπ＋α）＝—错误!（k∈Z），所以sin α＝—错误!.又角α的终边过点P（３，—４t），故sin α＝错误!＝—错误!，解得t＝错误!错误!.答案：错误!9．计算：（１）sin ３90°＋cos（—660°）＋３tan ４0５°—cos ５４0°；（２）sin错误!＋tan π—２cos 0＋tan 错误!—sin 错误!.解：（１）原式＝sin（３60°＋３0°）＋cos（—２×３60°＋60°）＋３tan（３60°＋４５°）—cos （３60°＋１80°）＝sin ３0°＋cos 60°＋３tan ４５°—cos １80°＝错误!＋错误!＋３×１—（—１）＝５．（２）原式＝sin错误!＋tan π—２cos 0＋tan错误!—sin错误!＝sin 错误!＋tan π—２cos 0＋tan 错误!—sin 错误!＝１＋0—２＋１—错误!＝—错误!.１0．已知角α的终边上一点P（m，错误!），且cos α＝错误!，求sin α，tan α的值．解：由题意得x＝m，y＝错误!，所以r＝|OP|＝错误!，所以cos α＝错误!＝错误!＝错误!，解得m＝错误!（负值舍去），则r＝２错误!，所以sin α＝错误!＝错误!＝错误!，tan α＝错误!＝错误!＝错误!.[B 能力提升]１１．函数y＝错误!＋错误!＋错误!的值域是（）Ａ．{—１，0，１，３} Ｂ．{—１，0，３}Ｃ．{—１，３} Ｄ．{—１，１}解析：选Ｃ．当x是第一象限角时，y＝３；当x是第二象限角时，y＝—１；当x是第三象限角时，y＝—１；当x是第四象限角时，y＝—１．故函数y＝错误!＋错误!＋错误!的值域是{—１，３}．１２．（２0１9·重庆一中期末）已知α是第三象限角，且cos错误!>0，则错误!的终边所在的象限是（）Ａ．第一象限B．第二象限Ｃ．第三象限D．第四象限解析：选Ｄ．由α是第三象限角知：２kπ＋π<α<２kπ＋错误!（k∈Z）．所以kπ＋错误!<错误!<kπ＋错误!（k∈Z）．因此，当k是偶数时，错误!是第二象限角；当k是奇数时，错误!是第四象限角．又cos 错误!>0，因此错误!是第四象限角，故选Ｄ．１３．（２0１9·四川南充期末考试）已知角α的终边经过点P（３，４）．（１）求tan（—6π＋α）的值；（２）求错误!·sin（α—２π）·cos（２π＋α）的值．解：设x＝３，y＝４则r＝错误!＝５，所以sin α＝错误!＝错误!，cos α＝错误!＝错误!，tan α＝错误!＝错误!，（１）tan（—6π＋α）＝tan α＝错误!.（２）原式＝错误!·sin α·cos α＝sin２α＝错误!错误!＝错误!.１４．已知错误!＝—错误!，且lg（cos α）有意义．（１）试判断角α的终边所在的象限；（２）若角α的终边与单位圆相交于点M错误!，求m的值及sin α的值．解：（１）由错误!＝—错误!，可知sin α＜0，由lg（cos α）有意义可知cos α＞0，综上可知角α的终边在第四象限内．（２）因为点M错误!在单位圆上，所以错误!错误!＋m２＝１，解得m＝±错误!.又由（１）知α是第四象限角，所以m＜0，所以m＝—错误!.由正弦函数的定义可知sin α＝—错误!.[C 拓展探究]１５．已知角α的终边上的点P与点A（a，b）关于x轴对称（a≠0，b≠0），角β的终边上的点Q 与点A关于直线y＝x对称，求错误!＋错误!＋错误!的值．解：由题意可知P（a，—b），则sin α＝错误!，cos α＝错误!，tan α＝—错误!；由题意可知Q（b，a），则sin β＝错误!，cos β＝错误!，tan β＝错误!，所以错误!＋错误!＋错误!＝—１—错误!＋错误!＝0．。
高中数学人教版必修5全套教案
课题: §1．1．1正弦定理授课类型：新授课●教学目标 知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程 Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。
A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B Ⅱ.讲授新课[探索研究] (图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在Rt ∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin aA c=，sin bB c=，又s i n 1cC c==, A则sin sin sin abcc ABC=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin abcABC==C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin abAB=， C同理可得sin sin cbC B =， b a从而sin sin abAB=sin cC=A c B(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。