数学九年级上册同步分层练习2.2 第1课时 圆的旋转不变性

2.2 第1课时 圆的旋转不变性
知识点 1 圆的旋转不变性
1．一个圆绕圆心旋转任何角度后，都能与________重合．圆是中心对称图形，它的对称中心是________．
知识点 2 弧、弦、圆心角的关系
2．如图2－2－1，AB ，CD 是⊙O 的两条弦．
图2－2－1
(1)∵∠AOB ＝∠COD ， ∴________，________．
(2)∵AB ︵＝CD ︵
，∴________，________． (3)∵AB ＝CD ，∴________，________．
3．如图2－2－2，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠AOB ＝122°，则∠AOC 的度数为( ) A ．122° B ．120° C ．61° D ．58°
图2－2－2 图2－2－3
4．如图2－2－3，在⊙O 中，若C 是AB ︵
的中点，∠A ＝50°，则∠BOC 的度数为( ) A ．40° B ．45° C ．50° D ．60°
5．如图2－2－4，已知BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵
，∠AOB ＝60°，则∠COD 的度数是________．
图2－2－4
6．[教材练习第1题变式]如图2－2－5，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠BOC ＝40°，则∠AOE ＝________°.
图2－2－5
7．在⊙O 中，若弦AB 的长恰好等于半径，则弦AB 所对的圆心角的度数为________． 8．[教材习题2.2第4题变式]如图2－2－6，在⊙O 中，AB ，CD 是两条直径，弦CE ∥AB ，EC ︵
的度数是40°，求∠BOD 的度数．
图2－2－6
9. 已知：如图2－2－7，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，AB ＝CD .求证：∠AOC ＝∠DOB .
图2－2－7
10．[2018·沛县期中]如图2－2－8，点A ，B ，C 在⊙O 上，M ，N 分别是半径OA ，OB 的中点，且CM ＝CN .求证：AC ︵＝CB ︵.
图2－2－8
11．下列结论中，正确的是( )
A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧
B ．等弧所对的圆心角相等
C ．相等的圆心角所对的弧相等
D ．长度相等的两条弧是等弧
12．在同圆中，若AB ︵和CD ︵都是劣弧，且AB ︵＝2CD ︵
，则弦AB 和弦CD 的大小关系是( ) A ．AB ＝2CD B ．AB ＞2CD C ．AB ＜2CD
D ．无法比较它们的大小
13．如图2－2－9，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵
的中点，则四边形AOBC 是( )
图2－2－9
A ．梯形
B ．矩形
C ．菱形
D ．正方形
14．如图2－2－10，在△ABO 中，∠A ＝∠B ，⊙O 与OA 交于点C ，与OB 交于点D ，与AB 交于点E ，F .
(1)求证：CE ︵＝DF ︵
；
(2)写出图中所有相等的线段(不要求证明)．
图2－2－10
15．[2017·响水期末]如图2－2－11，AB 为⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，且AC ︵＝BD ︵.
求证：AE ＝BF .
图2－2－11
16．如图2－2－12，P A ︵＝PB ︵
，C ，D 分别是半径OA ，OB 的中点，连接PC ，PD 交弦AB 于E ，F 两点．
求证：(1)PC ＝PD ； (2)PE ＝PF .
图2－2－12
17．如图2－2－13所示，在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别为E ，F .
(1)如果∠AOB ＝∠COD ，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？
(2)如果OE ＝OF ，那么AB 与CD 的大小有什么关系？AB ︵与CD ︵
的大小有什么关系？∠AOB 与∠COD 呢？为什么？
图2－2－13
教师详解详析
1．自身 圆心
2．(1)AB ︵＝CD ︵
AB ＝CD (2)∠AOB ＝∠COD AB ＝CD (3)∠AOB ＝∠COD AB ︵＝CD ︵
3．A
4．A [解析] ∵∠A ＝50°，OA ＝OB ，∴∠B ＝∠A ＝50°， ∴∠AOB ＝180°－50°－50°＝80°.∵C 是AB ︵
的中点， ∴∠BOC ＝1
2
∠AOB ＝40°.故选A .
5．120° [解析] ∵AB ︵＝BC ︵
，∠AOB ＝60°，∴∠BOC ＝∠AOB ＝60°. ∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BOD ＝180°，
∴∠COD ＝180°－∠BOC ＝120°.
6．60 [解析] 由BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，可得∠BOC ＝∠COD ＝∠DOE ＝40°，所以∠AOE ＝180°－3×40°＝60°.
7．60°
8．解：如图，连接OE.∵EC ︵
的度数是40°，
∴∠EOC ＝40°.
∵OE ＝OC ，∴∠C ＝70°. ∵CE ∥AB ，
∴∠BOC ＝∠C ＝70°， ∴∠BOD ＝110°.
9．证明：∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵， ∴∠AOB ＝∠COD ，
∴∠AOB －∠BOC ＝∠COD －∠BOC ，
即∠AOC ＝∠DOB.
10．证明： ∵OA ＝OB ，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，∴OM ＝ON. 在△OCM 和△OCN 中，
⎩⎨⎧OM ＝ON ，OC ＝OC ， CM ＝CN ，
∴△OCM ≌△OCN ， ∴∠MOC ＝∠NOC. 故AC ︵＝CB ︵.
11．B [解析] A ．同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，有可能是一条优弧和一条劣弧，故本选项错误；B .正确；C .在两个同心圆中，同一个圆心角所对的弧不相等，故本选项错误；D .长度相等的两条弧，弯曲程度不同，就不能重合，就不是等弧，故本选项错误．故选B .
12．C [解析] 如图，取AB ︵
的中点E ，连接AE ，BE ，
∴AB ︵＝2AE ︵＝2BE ︵， ∴AE ＝BE. ∵AB ︵＝2CD ︵， ∴AE ︵＝BE ︵＝CD ︵， 则AE ＝BE ＝CD ， ∴AE ＋BE ＝2CD. ∵AE ＋BE ＞AB ，
∴2CD ＞AB. 故选C .
13．C [解析] 如图，连接OC.
∵C 是AB ︵
的中点， ∠AOB ＝120°， ∴∠AOC ＝∠BOC ＝60°. 又∵OA ＝OC ＝OB ，
∴△OAC 和△OBC 都是等边三角形． ∴AC ＝OA ＝BC ＝OB.
故四边形AOBC 是菱形．
14．解：(1)证明：连接OE ，OF ，则OE ＝OF ，∴∠OEF ＝∠OFE. ∵∠A ＝∠B ，
∴∠AOE ＝∠BOF ， ∴CE ︵＝DF ︵.
(2)OA ＝OB ，OC ＝OD ，AC ＝BD ，AE ＝BF ，AF ＝BE. 15．证明： 如图，连接OC ，OD.
∵AC ︵＝BD ︵，
∴∠COE ＝∠DOF.
∵CE ⊥AB ，DF ⊥AB ， ∴∠CEO ＝∠DFO ＝90°. 在△OCE 和△ODF 中，
⎩⎨⎧∠COE ＝∠DOF ，∠CEO ＝∠DFO ，OC ＝OD ，
∴△OCE ≌△ODF ，∴OE ＝OF. 又∵OA ＝OB ，∴AE ＝BF. 16．证明：(1)连接PO. ∵PA ︵＝PB ︵
，∴∠POC ＝∠POD. ∵C ，D 分别是半径OA ，OB 的中点， ∴OC ＝OD. 又∵PO ＝PO ，
∴△PCO ≌△PDO ， ∴PC ＝PD.
(2)∵△PCO ≌△PDO ， ∴∠PCO ＝∠PDO.
∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠B ， ∴∠AEC ＝∠BFD ， 即∠PEF ＝∠PFE ，
∴PE ＝PF.
17．[解析] 本题可利用圆的旋转不变性或者利用全等三角形的知识加以解决． 解：(1)OE ＝OF.理由如下：
∵OA ＝OC ，∠AOB ＝∠COD ，OB ＝OD ， ∴△AOB ≌△COD(SAS )． ∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，
∴OE ＝OF(全等三角形对应边上的高相等)． (2)AB ＝CD ，AB ︵＝CD ︵
，∠AOB ＝∠COD. 理由如下：∵OE ⊥AB ，OF ⊥CD ， ∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°. 在Rt △AOE 和Rt △COF 中， ∵OE ＝OF ，OA ＝OC ，
∴Rt △AOE ≌Rt △COF(HL )， ∴AE ＝CF.
同理BE ＝DF ， ∴AB ＝CD ，
∴AB ︵＝CD ︵
，∠AOB ＝∠COD.
[点评] 圆心到弦的垂线段的长叫做这条弦的弦心距．通过本题可以发现：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．。