必修1第二章基本初等函数(I)
高中数学人教版 必修1 第二章 基本初等函数(I) 2.3 幂函数
高中数学人教版必修1 第二章基本初等函数(I) 2.3 幂函数选择题下列函数中是幂函数的是（）①y＝?x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x?1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋.A．①③⑤? B．①②⑤C．③⑤D．只有⑤【答案】C【解析】y＝?x2的系数是?1而不是1，故不是幂函数；y＝2x是指数函数；y＝(x?1)3的底数是x?1而不是x，故不是幂函数；y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．y＝＝x?2和y＝xπ具有幂函数y＝xα的形式，所以选C.选择题幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为（）A. B．64 C．2 ? D.【答案】A【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，依题意得，＝4α，即22α＝2?1，∴α＝?.∴幂函数的解析式为y＝，∴f(8)＝＝＝＝, 故选A.选择题函数f(x)＝(m2?m?1)是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m的取值集合是（）A．{m|m＝?1或m＝2} B．{m|?1解得m＝2.选择题下列幂函数中图象过点(0，0)，(1，1)，且是偶函数的是（）A.? y=?B.? y=C.? y=D.? y=【答案】B【解析】函数y=，y=不是偶函数，函数y=是偶函数，但其图象不过点(0，0).函数y=的图象过点(0，0)，(1，1)且是偶函数，故选B.选择题函数f(x)=(n∈Z，a>0且a≠1)的图象必过定点（）A.(1，1) ?B.(1，2)C.( ?1，0)D.( ?1，1)【解析】因为f(1)==1+1=2，所以f(x)=(n∈Z，a>0且a≠1)的图象必过定点(1，2)，故选B.选择题下列命题中正确的是（）A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过(0，0)、(1，1)两点C．幂函数y＝x0的定义域是RD．幂函数的图象不可能在第四象限【答案】D【解析】当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象不是直线，故A和C不? 正确；当α0，α∈R时，y＝xα>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故D正确．选择题设α∈{?2，?1，?，，，1，2，3}，则使f(x)＝xα为奇函数，且在(0，+∞)上递增的α的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】f(x)为奇函数，则α＝?1，，1，3，f(x)在(0，+∞)上递增，则α＝，1，3，故选C.选择题在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax?的图象可能是（）【答案】C【解析】当a0，结合图象排除A，C，D，又y＝xa在(0，+∞)上是减函数，∴B项也不正确．当a>0时，y＝ax?是增函数，?0时，y＝xa在(0，+∞)上是增函数，故A项不正确，故选C.选择题在函数，，，中，幂函数的个数为A．0? ? B．1C．2 D．3【解析】函数为幂函数；函数，前的系数不是1，所以它不是幂函数；函数是两个函数和的形式，所以它不是幂函数；函数与不是同一个函数，所以它也不是幂函数．所以只有1个是幂函数，故选B．选择题若函数是幂函数，且满足，则的值等于A．B．C．D．【答案】A【解析】令，因为，即，解得，所以，所以．选择题若幂函数的图象不过原点，则A．B．或C．D．【答案】B【解析】因为幂函数的图象不过原点，所以，解得或．故选B．选择题如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为A．B．C．D．【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．故本题选B．选择题设，，，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】B【解析】在上为减函数，，即.在上为增函数，，即.所以.选择题在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是【答案】D【解析】对于A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对于B,中，中，舍去；对于C，中，中，舍去；对于D，中，中，故选D.选择题已知幂函数的图象过点，则A．B．1C．D．2【答案】A【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以．故选A．选择题函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是A．?1? B．2C．3 D．?1或2【答案】B【解析】是幂函数或．又在上是增函数，所以，故选B．填空题比较下列各组数的大小：(1)与的大小关系是______；(2)，，的大小关系是______.【答案】(1) （2）【解析】1)∵在(0，+∞)上为减函数，且5.1>5.09，∴.(2)，.∵在(0，+∞)上为增函数，且，∴.又，∴.填空题已知幂函数f(x)＝，若f(a+1)＝(x>0)，易知f(x)在(0，+∞)上为减函数，又f(a+1)解得∴3，下列五个关系式：①0与y＝的图象(如图所示)，设，作直线y＝m.如果m＝0或1，则a＝b；如果01，则1填空题若一个幂函数的图象过点，则．【答案】【解析】设幂函数的解析式为已知幂函数的图象过点，所以，即所以，则．填空题若，则满足的的取值范围是．【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.填空题下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是．①；②y=x4；③y=x?2；④.【答案】③【解析】①中函数不具有奇偶性；②中函数y=x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y=x?2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数是奇函数．故填③.填空题已知幂函数，若f(a＋1)＜f(10?2a)，则a的取值范围是．【答案】(3,5)【解析】∵，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10?2a)，∴，解得，∴3＜a＜5.解答题已知函数f(x)＝?且f(4)＝.(1)求的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明．【答案】(1)1 ?(2)奇函数?(3)略【解析】(1)因为f(4)＝，所以，所以＝1.(2)由(1)知f(x)=，因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，，所以f(x)是奇函数．(3) f(x)在(0，+∞)上单调递增.证明如下：设，则.因为，所以，，所以，所以f(x)在(0，+∞)上为单调递增函数．解答题已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)?α＝2，∴f(x)＝x2.同理可求出，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x>1或xg(x)．(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．(3)当?1，其中?2，，1；（2），，；【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把1看作，幂函数在(0，＋∞)上是增函数．∵，∴，即．（2）因为，，，幂函数在(0，＋∞)上是增函数，且.∴.解答题已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数．（1）求的值；（2）求满足不等式的实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为函数在上是减函数，所以，所以.因为，所以或.又函数图象关于轴对称，所以是偶数，所以.（2）不等式等价于，解得．所以实数a的取值范围是.解答题已知幂函数(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设函数，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）f(x)=x4；（2）(3，＋∞).【解析】（1）∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴?m2＋2m＋3>0，即m2?2m?32对任意的x∈R恒成立，∴g(x)min>2，且x∈R，即c?1>2，解得c>3.故实数c的取值范围是(3，＋∞)．。
新人教A版必修1第二章基本初等函数
logc b loga b (a 0,且a 1; c 0,且c 1; b 0) logc a
三、重点内容
（三）基本性质：
y a x (a 0,且a 1)
0<a<1
y
a>1
y
1
图象
0
1
x
0
x
定义域 值域 性质
(0, )
当x>0时0<y<1； 当x<0时y>1； 当x=0时y=1； 在R上是减函数
R
(0, )
当x>0时y>1； 当x<0时0<y<1； 当x=0时y=1； 在R上是增函数
R
三、重点内容
（三）基本性质： y loga x(a 0,且a 1)
0 a 1
y
a 1
y
图象
定义 域 值域 性质
O
1
x
O
1
x
(0, )
R
(0, )
R
( 3 )) 0过定点 x 1时， y 0; (1)(过定点 3) x 1时， y 0; (1,0) ( 1 (1,0)
四、例题分析 若f ( x) x 2 x b, 且f (log 2 a ) b, log 2 [ f (a )] 2(a 1).
人教版数学高一-必修1教师用书 第二章 基本初等函数(I)
2.1指数函数2．1.1指数与指数幂的运算第一课时根式根式[提出问题](1)若x2＝9，则x是9的平方根，且x＝±3；(2)若x3＝64，则x是64的立方根，且x＝4；(3)若x4＝81，则x是81的4次方根，且x＝±3；(4)若x5＝－32，则x是－32的5次方根，且x＝－2.问题1：观察(1)(3)，你认为正数的偶次方根都是两个吗？提示：是．问题2：一个数的奇次方根有几个？提示：1个．问题3：由于22＝4，小明说，2是4的平方根；小李说，4的平方根是2，你认为谁说的正确？提示：小明．[导入新知]根式及相关概念(1)a的n次方根定义：如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示：n的奇偶性a的n次方根的表示符号a的取值范围n 为奇数 n aR n 为偶数±na[0，＋∞)(3)根式：式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． [化解疑难]根式记号的注意点(1)根式的概念中要求n >1，且n ∈N *.(2)当n 为大于1的奇数时，a 的n 次方根表示为na (a ∈R )；当n 为大于1的偶数时，na (a ≥0)表示a 在实数范围内的一个n 次方根，另一个是－na ，从而⎝⎛⎭⎫±n a n ＝a .根式的性质[提出问题]问题1：⎝⎛⎭⎫323，⎝⎛⎭⎫3－23，⎝⎛⎭⎫424分别等于多少？提示：2，－2,2.问题2：3－23，323，4－24，424分别等于多少？提示：－2,2,2,2.问题3：等式a 2＝a 及(a )2＝a 恒成立吗？提示：当a ≥0时，两式恒成立；当a <0时，a 2＝－a ，(a )2无意义． [导入新知]根式的性质(1)(na )n ＝a (n 为奇数时，a ∈R ；n 为偶数时，a ≥0，且n >1)． (2)na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 为奇数，且n >1，|a |n 为偶数，且n >1.(3)n0＝0.(4)负数没有偶次方根． [化解疑难](n a )n 与na n 的区别(1)当n 为奇数，且a ∈R 时，有n a n ＝(na )n ＝a ； (2)当n 为偶数，且a ≥0时，有n a n ＝(na )n ＝a .根式的概念[例1] (1)下列说法：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义；④当n 为大于1的偶数时，na 只有当a ≥0时才有意义．其中说法正确的序号为________．(2)若31a －3有意义，则实数a 的取值范围是________． [解析] (1)①16的4次方根应是±2；②416＝2，所以正确的应为③④. (2)要使31a －3有意义，则a －3≠0，即a ≠3. ∴a 的取值范围是{a |a ≠3}． [答案] (1)③④ (2){a |a ≠3} [类题通法]判断关于n 次方根的结论应关注两点(1)n 的奇偶性决定了n 次方根的个数；(2)n 为奇数时，a 的正负决定着n 次方根的符号． [活学活用]已知m 10＝2，则m 等于( ) A.102B ．－102C.210D ．±102解析：选D ∵m 10＝2，∴m 是2的10次方根． 又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数． ∴m ＝±102.利用根式的性质化简求值[例2] 化简： (1)nx －πn(x <π，n ∈N *)；(2)4a 2－4a ＋1⎝⎛⎭⎫a ≤12. [解] (1)∵x <π，∴x －π<0， 当n 为偶数时，n x －πn＝|x －π|＝π－x ； 当n 为奇数时，nx －πn＝x －π.综上，nx －πn＝⎩⎪⎨⎪⎧π－x ， n 为偶数，n ∈N *，x －π， n 为奇数，n ∈N *. (2)∵a ≤12，∴1－2a ≥0.∴4a 2－4a ＋1＝2a －12＝|2a －1|＝1－2a .[类题通法]根式化简应注意的问题(1)⎝⎛⎭⎫n a n 已暗含了n a 有意义，据n 的奇偶性不同可知a 的取值范围． (2)n a n 中的a 可以是全体实数，na n 的值取决于n 的奇偶性． [活学活用] 求下列各式的值： (1)8x －28；(2)3－22＋(31－2)3.解：(1)8x －28＝|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥2，2－x ，x <2.(2)因为3－22＝12－22＋(2)2＝(2－1)2， 所以3－22＋(31－2)3＝2－12＋1－2＝2－1＋1－2＝0.条件根式的化简[例3] (1)若xy ≠0，则使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件可能是( ) A ．x >0，y >0 B ．x >0，y <0 C ．x ≥0，y ≥0D ．x <0，y <0(2)设－3<x <3，求x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9的值．(1)[解析] ∵4x 2y 2＝2|xy |＝－2xy ， ∴xy ≤0.又∵xy ≠0，∴xy <0，故选B. [答案] B (2)[解] 原式＝x －12－x ＋32＝|x －1|－|x ＋3|.∵－3<x <3，∴当－3<x <1时，原式＝－(x －1)－(x ＋3)＝－2x －2. 当1≤x <3时，原式＝(x －1)－(x ＋3)＝－4.∴原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2－3<x <1，－4 1≤x ＜3.[类题通法]有条件根式的化简(1)有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．[活学活用]若n <m <0，则m 2＋2mn ＋n 2－m 2－2mn ＋n 2等于( ) A ．2m B ．2n C ．－2mD ．－2n 解析：选C 原式＝m ＋n2－m －n2＝|m ＋n |－|m －n |，∵n <m <0，∴m ＋n <0，m －n >0， ∴原式＝－(m ＋n )－(m －n )＝－2m .5.忽略n 的范围导致式子na n a ∈R 化简出错 [典例] 化简31＋23＋41－24＝________.[解析]31＋23＋41－24＝(1＋2)＋|1－2|＝1＋2＋2－1＝2 2.[答案] 2 2 [易错防范] 1．本题易忽视41－24>0，而误认为41－24＝1－2而导致解题错误．2．对于根式n a n 的化简一定要注意n 为正奇数还是正偶数，因为na n ＝a (a ∈R )成立的条件是n 为正奇数，如果n 为正偶数，那么na n ＝|a |.[活学活用]当a ，b ∈R 时，下列各式恒成立的是( ) A ．(4a －4b )4＝a －b B ．(4a ＋b )4＝a ＋b C.4a 4－4b 4＝a －b D.4a ＋b4＝a ＋b解析：选B 当且仅当a ＝b ≥0时，(4a －4b )4＝a －b ； 当且仅当a ≥0，b ≥0时，4a 4－4b 4＝a －b ； 当且仅当a ＋b ≥0时，4a ＋b4＝a ＋b .由于a ，b 符号未知，因此选项A ，C ，D 均不一定恒成立． 选项B 中，由4a ＋b 可知a ＋b ≥0，所以(4a ＋b )4＝a ＋b .故选B.[随堂即时演练]1．化简1－2x2⎝⎛⎭⎫x >12的结果是( ) A ．1－2x B ．0 C ．2x －1 D ．(1－2x )2解析：选C ∵1－2x 2＝|1－2x |，x >12， ∴1－2x <0， ∴1－2x2＝2x －1.2．下列式子中成立的是( )A ．a －a ＝－a 3B ．a －a ＝－a 3C ．a －a ＝－－a 3D ．a －a ＝a 3解析：选C 要使a －a 有意义，则a ≤0， 故a －a ＝－(－a )－a ＝－－a2－a ＝－－a 3，故选C.3．若x >3，则x 2－6x ＋9－|2－x |＝________. 解析：x 2－6x ＋9－|2－x |＝x －32－|2－x |＝|x －3|－|2－x |＝x －3－(x －2)＝－1.答案：－1 4．化简(a －1)2＋1－a2＋31－a 3＝________.解析：由根式a －1有意义可得a －1≥0，即a ≥1， ∴原式＝(a －1)＋(a －1)＋(1－a )＝a －1. 答案：a －15．已知a <b <0，n >1，n ∈N *，化简na －bn＋na ＋bn.解：∵a <b <0，∴a －b <0，a ＋b <0.当n 是奇数时，原式＝(a －b )＋(a ＋b )＝2a ； 当n 是偶数时，原式＝|a －b |＋|a ＋b | ＝(b －a )＋(－a －b )＝－2a . ∴na －bn＋na ＋bn＝⎩⎪⎨⎪⎧2a ，n 为奇数，－2a ，n 为偶数. [课时达标检测]一、选择题1.4a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是( ) A ．a ≠2 B ．a ≥2C ．a ≠4D ．2≤a ＜4或a ＞4解析：选D 要使原式有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥0，a －4≠0，即a ≥2且a ≠4.2.3－63＋45－44＋35－43的值为( )A ．－6B ．25－2C ．2 5D ．6解析：选A3－63＝－6，45－44＝|5－4|＝4－5，35－43＝5－4，∴原式＝－6＋4－5＋5－4＝－6. 3．化简x ＋32－3x －33得( ) A ．6 B ．2xC ．6或－2xD ．6或2x 或－2x 解析：选C 注意开偶次方根要加绝对值，x ＋32－3x －33＝|x ＋3|－(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x ≥－3，－2x ，x <－3，故选C.4.7＋43＋7－43等于( ) A ．－4 B ．2 3 C ．－2 3D ．4解析：选D7＋43＋7－43＝2＋32＋2－32＝(2＋3)＋(2－3)＝4.5.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋0.1的图象如图所示，则4a －b4的值为( )A ．a ＋bB ．－(a ＋b )C ．a －bD ．b －a 解析：选D 由图象知a (－1)2＋b ×(－1)＋0.1<0， ∴a <b ，∴4a －b4＝|a －b |＝b －a .二、填空题6．设m <0，则(－m )2＝________. 解析：∵m <0，∴－m >0，∴(－m )2＝－m . 答案：－m7．若x 2－8x ＋16＝x －4，则实数x 的取值范围是________． 解析：∵x 2－8x ＋16＝x －42＝|x －4|又x 2－8x ＋16＝x －4， ∴|x －4|＝x －4，∴x ≥4. 答案：x ≥48．设f (x )＝x 2－4，若0＜a ≤1，则f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝________. 解析：f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2－4 ＝a 2＋1a2－2＝⎝⎛⎭⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪a －1a ， 由于0＜a ≤1，所以a ≤1a ，故f ⎝⎛⎭⎫a ＋1a ＝1a －a . 答案：1a－a9．写出使下列等式成立的x 的取值范围： (1)3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3； (2)x －5x 2－25＝(5－x )x ＋5.解：(1)要使3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3成立， 只需x －3≠0即可， 即x ≠3. (2)x －5x 2－25＝x －52x ＋5.要使x －52x ＋5＝(5－x )x ＋5成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，即－5≤x ≤5. 10．化简(a －1)2＋1－a2＋7a －17.解：由题意可知a －1有意义，∴a ≥1. ∴原式＝(a －1)＋|1－a |＋(a －1) ＝a －1＋a －1＋a －1＝3a －3.第二课时 指数幂及运算分数指数幂的意义[提出问题]问题1：判断下列运算是否正确． (1)5a 10＝5a 25＝a 2＝a 4105(a >0)；(2)3a 12＝3a 43＝a 4＝a123(a >0)．提示：正确．问题2：能否把4a 3，3b 2，4c 5 写成下列形式： 4a 3＝a 34(a >0)； 3b 2＝b 23 (b >0)； 4c 5＝c 54 (c >0)．提示：能． [导入新知]分数指数幂的意义(1)规定正数的正分数指数幂的意义是： am n＝na m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(2)规定正m n数的负分数指数幂的意义是： am n＝1an m)＝1n a m(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． [化解疑难]对分数指数幂的理解(1)指数幂a m n 不可以理解为mn 个a 相乘，它是根式的一种新写法．在定义的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式上不同而已，这种写法更便于指数运算，所以分数指数幂与根式可以相互转化；(2)通常规定分数指数幂的底数a >0，但要注意在像(－a )14＝4－a 中的a ，则需要a ≤0.有理指数幂的运算性质[导入新知]有理数指数幂的运算性质(1)a r a s ＝a r ＋s (a >0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a >0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r ·b r (a >0，b >0，r ∈Q )．[化解疑难]有理指数幂的运算性质的理解与巧记(1)有理数指数幂的运算性质是由整数指数幂的运算性质推广而来，可以用文字语言叙述为：①同底数幂相乘，底数不变，指数相加；②幂的幂，底数不变，指数相乘；③积的幂等于幂的积．(2)有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘．根式与分数指数幂的互化[例1] (1)下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ) A ．－x ＝(－x )12(x >0) B.6y 2＝y 13(y <0) C ．x34-＝41x3(x >0)D ．x13－＝－3x (x ≠0)(2)用分数指数幂的形式表示下列各式． ①a 2·a (a >0)； ②a a (a >0)；③⎝⎛⎭⎪⎫4b －2323- (b >0)；④y 2xx 3y 3y 6x 3(x >0，y >0)． (1)[解析] －x ＝－x 12(x >0)； 6y 2＝[(y )2] 16＝－y 13(y <0)； x34-＝(x －3)14＝4⎝⎛⎭⎫1x 3(x >0)； x13-＝⎝⎛⎭⎫1x 13＝31x(x ≠0)． [答案] C (2)[解] ①a 2·a ＝a 2·a 12＝a 2＋12＝a 52.②a a ＝a ·a 12＝a 32＝⎝⎛⎭⎫a 3212＝a 32.③原式＝⎣⎡⎦⎤()b 23-1423-＝b212343⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭＝b 19. ④法一：从外向里化为分数指数幂．y 2xx 3y 3y 6x 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2xx 3y 3y 6x 312＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤y 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3y 3y 6x 31212 ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y 2x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3y ⎝⎛⎭⎫y 6x 3 1212 ＝⎝⎛⎭⎫y 2x 12·⎝⎛⎭⎫x 3y 14·⎝⎛⎭⎫y 6x 3112 ＝y x 12·x 34y 14·y 12x 14＝x 34·y23x 34·y 14＝y 54. 法二：从里向外化为分数指数幂．y 2x x 3y 3y 6x 3＝y 2x x 3y ⎝⎛⎭⎫y 6x 3 13＝y 2xx 3y ·y 2x＝y 2xx 2·y 12＝⎝⎛⎭⎫y 2x ·xy 1212＝y 54. [类题通法]根式与分数指数幂的互化技巧(1)在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：a m n＝n a m 和am n-＝1am n＝1n a m，其中字母a 要使式子有意义．(2)将含有多重根号的根式化为分数指数幂的途径有两条：一是由里向外化为分数指数幂；二是由外向里化为分数指数幂．[活学活用]将下列根式化为分数指数幂的形式： (1) 1a 1a(a >0)； (2)13x ·5x 22(x >0)；(3) ab 3ab 5(a >0，b >0)．解：(1)原式＝1a ⎝⎛⎭⎫1a 12＝⎝⎛⎭⎫1a 32＝⎝⎛⎭⎫1a 34＝a 34-.(2)原式＝13x ·⎝⎛⎭⎫x 252＝13x ·x45＝13x95＝1⎝⎛⎭⎫x 9513＝1x35＝x35-.(3)原式＝[ab 3(ab 5) 12]12＝[a ·a12b 3(b 5) 12]12＝⎝⎛⎭⎫a 32b 11212＝a 34b 114.指数幂的运算[例2] 计算下列各式： (1)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2×⎝⎛⎭⎫21412-－0.010.5； (2)0.06413-－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3] 43-＋16－0.75；(3)⎝⎛⎭⎫1412-·4ab－130.1－2a 3b－312(a >0，b >0)．[解] (1)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋16－110＝1615. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝52－1＋116＋18＝2716.(3)原式＝412·432100·a 32·a 32－·b 32－·b 32＝425a 0b 0＝425.[类题通法]利用指数幂的运算性质化简求值的方法(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示． [活学活用]计算下列各式的值：(1)0.02713－－⎝⎛⎭⎫－17－2＋⎝⎛⎭⎫27912－()2－10；(2)⎝⎛⎭⎫812513－－⎝⎛⎭⎫－350＋160.75＋0.2512；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＋3＋23－2－1.030×⎝⎛⎭⎫－623.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫271 00013－－⎝⎛⎭⎫17－2＋⎝⎛⎭⎫25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝52－1＋1634＋0.5＝52－1＋8＋0.5＝10.(3)原式＝42＋3＋223－2－1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝⎛⎭⎫32123＝16＋5＋26＋346＝21＋114 6.4.含附加条件的幂的求值问题[典例](12分)已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求：(1)x12＋y12；(2)x12－y12；(3)x－y.[解题流程]求x12＋y12，x12－y12，x－y的值，应建立其与x＋y及xy的关系后求解1将x12＋y12，x12－y12平方后即可建立其与x＋y及xy的关系；,2可利用平方差公式将x－y分解成x12＋y12x12－y12求解x 12＋y122＝x ＋y ＋2xy↓x 12－y122＝x ＋y －2xy↓ (x －y ＝x 122－y122＝x 12＋y122＝x 12＋y12x 12－y12[规范解答](1)⎝⎛⎭⎫x 12＋y 122＝x ＋y ＋2xy ＝18，(2分) ∴x 12＋y 12＝3 2.(4分)(2)⎝⎛⎭⎫x 12－y 122＝x ＋y －2xy ＝6，(6分)又x <y ，∴x 12－y 12＝－ 6.(8分)(3)x －y ＝⎝⎛⎭⎫x 122－⎝⎛⎭⎫y 122＝⎝⎛⎭⎫x 12＋y 12⎝⎛⎭⎫x 12-y 12 (10分)＝32×(－6)＝－3×212×212×312＝－6 3.(12分)[名师批注]由x 与x 12，y 与y 12都具有平方关系，故可先求⎝⎛⎭⎫x 12＋y 122，然后求x 12＋y 12的值，解题时常因找不到此关系而使问题不能得以正确求解.易忽视条件x <y ，而得出错误答案. 此处巧妙利用了12的结论使问题得以解决.[活学活用]已知a ＋a －1＝5，求下列各式的值； (1)a 2＋a －2； (2)a 12－a12-.解：(1)法一：由a ＋a －1＝5两边平方得： a 2＋2aa －1＋a －2＝25， 即：a 2＋a －2＝23；法二：a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1 ＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23； (2)∵(a 12－a 12-)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3，∴|a 12－a12-|＝ 3.∴a 12－a 12-＝±3.[随堂即时演练]1．若2<a <3，化简2－a2＋43－a 4的结果是( )A ．5－2aB ．2a －5C ．1D ．－1解析：选C 由于2<a <3， 所以2－a <0,3－a >0， 所以原式＝a －2＋3－a ＝1. 2．(－2a 13b34-·(－a 12b13-)6÷(－3a 23b14-)等于( )A.23a 83b 52- B ．－23a 83C ．－23a 16b 56-D.23a 16b 52- 解析：选A 原式＝(－2)×(－1)6÷(－3)·(a 13b 34-)·(a 3·b －2)÷(a 23b14-)＝23a 12+333－b 312_44⎛⎫⎪⎝⎭－－=23a 83b52-注意符号不能弄错．3．若10x ＝3,10y ＝4，则102x －y ＝________. 解析：∵10x ＝3，∴102x ＝9，∴102x －y ＝102x 10y ＝94.答案：944．化简3a a 的结果是________． 解析：3a a ＝()a a 13＝⎝⎛⎭⎫a ·a 1213＝⎝⎛⎭⎫a 3213＝a 12.答案：a 125．计算(或化简)下列各式：(1)42＋1·23－22·6423－；(2)a －ba 12＋b12－a ＋b －2a 12·b 12a 12－b 12. 解：(1)原式＝(22)2＋1·23－22·(26) 23－＝222＋2·23－22·2－4＝222＋2＋3－22－4＝21＝2.(2)原式＝a 12＋b12a 12－b12a 12＋b12－a 12－b 122a 12－b12＝a 12－b 12－⎝⎛⎭⎫a 12－b 12＝0.[课时达标检测]一、选择题 1.a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a 1710解析：选D 原式＝a 3·a －12·a －45＝a 3－12－45＝a 1710.2．化简[3－52]34的结果为( ) A ．5 B. 5 C ．－ 5D ．－5解析：选B [3－52]34＝[(－5)23]34＝512＝ 5. 3.⎝⎛⎭⎫1120－(1－0.5－2)÷⎝⎛⎭⎫27823的值为( ) A ．－13B.13C.43D.73解析：选D 原式＝1－(1－22)÷⎝⎛⎭⎫322＝1－(－3)×49＝73.故选D. 4．若a >1，b >0，a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b等于( )A. 6 B ．2或－2 C ．－2D ．2解析：选D ∵a >1，b >0，∴a b >a －b ，(a b －a －b )2＝(a b ＋a －b )2－4＝(22)2－4＝4， ∴a b －a －b ＝2.5．设x ，y 是正数，且x y ＝y x ，y ＝9x ，则x 的值为( ) A.19 B.43 C ．1D.39解析：选B x 9x ＝(9x )x ，(x 9)x ＝(9x )x ， ∴x 9＝9x .∴x 8＝9.∴x ＝89＝43. 二、填空题6．化简a 3b 23ab 2⎝⎛⎭⎫a 14b 1243b a(a >0，b >0)的结果是________．解析：原式＝a 3·b 2·a 13·b2312a ·b 2·a －13·b13＝a 32＋16－1＋13·b 1＋13－2－13＝ab.答案：a b7．已知x ＝12(51n －5－1n )，n ∈N *，则(x ＋1＋x 2)n 的值为________．解析：因为1＋x 2＝14(52n ＋2＋5－2n )＝14(51n ＋5－1n )2，所以(x ＋1＋x 2)n ＝⎣⎡⎦⎤1251n－5－1n ＋1251n ＋5－1n n ＝⎝⎛⎭⎫51n n ＝5. 答案：58．设a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)，且a ＋b ＝6，则m 等于________． 解析：∵a 2＝b 4＝m (a >0，b >0)， ∴a ＝m 12，b ＝m 14，a ＝b 2.由a ＋b ＝6得b 2＋b －6＝0，解得b ＝2或b ＝－3(舍去)． ∴m 14＝2，m ＝24＝16.答案：16 三、解答题 9．化简求值：(1)⎝⎛⎭⎫2790.5＋0.1－2＋⎝⎛⎭⎫21027－23－3π0＋3748； (2)⎝⎛⎭⎫－338－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0； (3)(a －2b －3)·(－4a －1b )÷(12a －4b －2c )； (4)23a ÷46a ·b ×3b 3.解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫25912＋10.12＋⎝⎛⎭⎫6427－23－3＋3748 ＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (2)原式＝(－1)－23×⎝⎛⎭⎫338－23＋⎝⎛⎭⎫1500－12－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫278－23＋(500)12－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (3)原式＝－4a－2－1b －3＋1÷(12a －4b －2c )＝－13a －3－(－4)b －2－(－2)c －1＝－13ac －1＝－a 3c .(4)原式＝2a 13÷(4a 16b 16)×(3b 32)＝12a 13－16b －16·3b 32＝32a 16b 43. 10．已知a ＝3，求11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a 的值．解：11＋a 14＋11－a 14＋21＋a12＋41＋a＝2⎝⎛⎭⎫1＋a 14⎝⎛⎭⎫1－a 14＋21＋a 12＋41＋a＝21－a 12＋21＋a12＋41＋a ＝41－a121＋a12＋41＋a＝41－a ＋41＋a ＝81－a 2＝－1. 2．1.2 指数函数及其性质 第一课时 指数函数及其性质指数函数的定义[提出问题]观察下列从数集A 到数集B 的对应： ①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ； ②A ＝R ，B ＝(0，＋∞)，f ：x →y ＝⎝⎛⎭⎫12x. 问题1：这两个对应能构成函数吗？ 提示：能．问题2：这两个函数有什么特点？ 提示：底数是常数，指数是自变量． [导入新知]指数函数的定义函数y ＝a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . [化解疑难]指数函数的概念中规定a >0且a ≠1的原因(1)若a ＝0，则当x >0时，a x ＝0；当x ≤0时，a x 无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x 无意义．如(－2)x ，这时对于x ＝14，x ＝12，…，在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任何x ∈R ，a x ＝1，是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况的发生，所以规定a>0，且a≠1.在规定以后，对于任何x∈R，a x都有意义，且a x>0.指数函数的图象与性质[提出问题]问题1：试作出函数y＝2x(x∈R)和y＝(12)x(x∈R)的图象．提示：问题2：两函数图象有无交点？提示：有交点，其坐标为(0,1)．问题3：两函数的定义域是什么？值域是什么？单调性如何？提示：定义域都是R；值域都是(0，＋∞)；函数y＝2x是增函数，函数y＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数．[导入新知]指数函数的图象和性质a＞10＜a＜1图象性质定义域R值域(0，＋∞)过定点过点(0,1)即x＝0时，y＝1单调性是R上的增函数是R上的减函数[化解疑难]透析指数函数的图象与性质(1)当底数a大小不确定时，必须分a>1和0<a<1两种情况讨论函数的图象和性质．(2)当a>1时，x的值越小，函数的图象越接近x轴；当0<a<1时，x的值越大，函数的图象越接近x 轴．(3)指数函数的图象都经过点(0,1)，且图象都在第一、二象限．指数函数的概念[例1] (1)①y ＝2·3x ；②y ＝3x ＋1；③y ＝3x ；④y ＝x 3. 其中，指数函数的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3(2)函数y ＝(a －2)2a x 是指数函数，则( ) A ．a ＝1或a ＝3 B ．a ＝1 C ．a ＝3D ．a >0且a ≠1[解析] (1)①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数； ②中，y ＝3x＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，y ＝3x,3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数； ④中，y ＝x 3中底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数．所以只有③是指数函数．(2)由指数函数定义知⎩⎪⎨⎪⎧a －22＝1，a >0，且a ≠1，所以解得a ＝3.[答案] (1)B (2)C [类题通法]判断一个函数是否为指数函数的方法判断一个函数是否是指数函数，其关键是分析该函数是否具备指数函数三大特征： (1)底数a >0，且a ≠1. (2)a x 的系数为1.(3)y ＝a x 中“a 是常数”，x 为自变量，自变量在指数位置上． [活学活用]下列函数中是指数函数的是________(填序号)． ①y ＝2·(2)x ；②y ＝2x －1；③y ＝⎝⎛⎭⎫π2x ；④y ＝x x； ⑤y ＝3－1x ；⑥y ＝x 13.解析：①中指数式(2)x 的系数不为1，故不是指数函数；②中y ＝2x －1＝12·2x ，指数式2x 的系数不为1，故不是指数函数；④中底数为x ，不满足底数是唯一确定的值，故不是指数函数；⑤中指数不是x，故不是指数函数；⑥中指数为常数且底数不是唯一确定的值，故不是指数函数．故填③.答案：③指数函数的图象问题[例2](1)x x x x a，b，c，d与1的大小关系为()A．a<b<1<c<dB．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<dD．a<b<1<d<c(2)函数y＝a x－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．[解析](1)由图象可知③④的底数必大于1，①②的底数必小于1.过点(1,0)作直线x＝1，如图所示，在第一象限内直线x＝1与各曲线的交点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d<c，b<a<1，从而可知a，b，c，d与1的大小关系为b<a<1<d<c.(2)法一：因为指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝a x－3＋3中，令x ＝3，得y＝1＋3＝4，即函数的图象过定点(3,4)．法二：将原函数变形，得y－3＝a x－3，然后把y－3看作是(x－3)的指数函数，所以当x－3＝0时，y－3＝1，即x＝3，y＝4，所以原函数的图象过定点(3,4)．[答案](1)B(2)(3,4)[类题通法]底数a对函数图象的影响(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越靠近y轴．当a>b>1时，①若x>0，则a x>b x>1；②若x<0，则1>b x>a x>0.当1>a>b>0时，①若x>0，则1>a x>b x>0；②若x<0，则b x>a x>1.[活学活用]若函数y ＝a x ＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象不经过第二象限，则有( ) A ．a >1且b <1 B ．0<a <1且b ≤1 C ．0<a <1且b >0D ．a >1且b ≤0解析：选D 由指数函数图象的特征可知0<a <1时，函数y ＝a x ＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象必经过第二象限，故排除选项B 、C.又函数y ＝a x ＋(b －1)(a >0，且a ≠1)的图象不经过第二象限，则其图象与y 轴的交点不在x 轴上方，所以当x ＝0时，y ＝a 0＋(b －1)≤0，即b ≤0，故选项D 正确.与指数函数有关的定义域、值域问题[例3] (1)y ＝1－3x ；(2)y ＝21x －4；(3)y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |.[解] (1)要使函数式有意义，则1－3x ≥0，即3x ≤1＝30， 因为函数y ＝3x 在R 上是增函数，所以x ≤0， 故函数y ＝1－3x 的定义域为(－∞，0]． 因为x ≤0，所以0<3x ≤1，所以0≤1－3x ＜1，所以1－3x ∈[0,1)，即函数y ＝1－3x 的值域为[0,1)．(2)要使函数式有意义，则x －4≠0，解得x ≠4，所以函数y ＝21x －4的定义域为{x ∈R |x ≠4}．因为1x －4≠0，所以21x －4≠1，即函数y ＝21x －4的值域为{y |y >0且y ≠1}．(3)要使函数式有意义，则－|x |≥0，解得x ＝0，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的定义域为{x |x ＝0}．而y＝⎝⎛⎭⎫23－|x |＝⎝⎛⎭⎫230＝1，则函数y ＝⎝⎛⎭⎫23－|x |的值域为{y |y ＝1}．[类题通法]指数型函数的定义域、值域的求法(1)求与指数函数有关的函数的定义域时，首先观察函数是y ＝a x 型还是y ＝a f (x )型，前者的定义域是R ，后者的定义域与f (x )的定义域一致，而求y ＝f a x 型函数的定义域时，往往转化为解指数不等式(组)．(2)求与指数函数有关的函数的值域时，在运用前面介绍的求函数值域的方法的前提下，要注意指数函数的值域为(0，＋∞)，切记准确运用指数函数的单调性．[活学活用]求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的定义域和值域． 解：定义域为R .∵x 2－2x －3＝(x －1)2－4≥－4，∴⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3≤⎝⎛⎭⎫12－4＝16.又∵⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3>0，∴函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2x －3的值域为(0,16]．5.利用换元法求函数的值域[典例] (12分)已知函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数f (x )的值域． [解题流程]求函数f x 的值域，应确定函数的类型1若令t ＝a x ，则原函数可变为y ＝t 2＋2t －1，从而可利用二次函数的有关性质解决；2应明确换元后的定义域；3由于t ＝a x a >0，a ≠1，因此应分类确定t 的取值范围令t ＝a x ―→分a >1和0<a <1两种情况，讨论t 的范围―→利用二次函数的知识求值域[随堂即时演练]1．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为( )解析：选C 由于0<m <n <1，所以y ＝m x 与y ＝n x 都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.2．若函数y ＝(1－2a )x 是实数集R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ B ．(－∞，0) C.⎝⎛⎭⎫－∞，12 D.⎝⎛⎭⎫－12，12 解析：选B 由题意知，此函数为指数函数，且为实数集R 上的增函数，所以底数1－2a >1，解得a <0.3．指数函数y ＝f (x )的图象过点(2,4)，那么f (2)·f (4)＝________. 解析：设f (x )＝a x (a >0且a ≠1)， 又f (2)＝a 2＝4，∴f (2)·f (4)＝a 2·a 4＝4·42＝43＝64. 答案：644．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________． 解析：∵－1≤x ≤2，∴19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3.∴－89≤⎝⎛⎭⎫13x－1≤2.∴值域为⎣⎡⎦⎤－89，2.答案：⎣⎡⎦⎤－89，2 5．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2，12)，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域． 解：(1)因为函数图象过点(2，12)，所以a 2－1＝12，则a ＝12.(2)f (x )＝(12)x －1(x ≥0)，由x ≥0得，x －1≥－1， 于是0<(12)x －1≤(12)－1＝2.所以函数的值域为(0,2]．[课时达标检测]一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝(12)x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x ；④y ＝(12)2x －1.A ．0个B ．1个C ．3个D ．4个解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝(3－1)x 在R 上是( ) A ．增函数 B ．奇函数 C ．偶函数D ．减函数解析：选D 由于0<3－1<1，所以函数y ＝(3－1)x 在R 上是减函数，f (－1)＝(3－1)－1＝3＋12，f (1)＝3－1，则f (－1)≠f (1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数y ＝(3－1)x 不具有奇偶性． 3．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<|a |< 2 B ．|a |<1 C ．|a |>1D ．|a |> 2解析：选D 依题意得a 2－1>1，a 2>2，∴|a |> 2. 4．函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )解析：选D 当x >0时，y ＝a x (0<a <1)，故去掉A 、B ，当x <0时，y ＝－a x ，与y ＝a x (0<a <1，x <0)的图象关于x 轴对称，故选D.5．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限 解析：选A ∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．二、填空题6．给出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥3，f x ＋1， x ＜3，则f (2)＝________.解析：f (2)＝f (3)＝23＝8. 答案：87.图中的曲线C 1，C 2，C 3，C 4是指数函数y ＝a x 的图象，而a ∈{23，13，5，π}，则图象C 1，C 2，C 3，C 4对应的函数的底数依次是________，________，________，________.解析：由底数变化引起指数函数图象变化的规律，在y 轴右侧，底大图高，在y 轴左侧，底大图低．则知C 2的底数<C 1的底数<1<C 4的底数<C 3的底数，而13<23<5<π，故C 1，C 2，C 3，C 4对应函数的底数依次是23，13，π， 5. 答案：23 13π 58．若x 1，x 2是方程2x ＝⎝⎛⎭⎫12－1x ＋1的两个实数解，则x 1＋x 2＝________. 解析：∵2x ＝⎝⎛⎭⎫12－1x ＋1， ∴2x ＝21x －1，∴x ＝1x －1，∴x 2＋x －1＝0. ∴x 1＋x 2＝－1. 答案：－1 三、解答题9．画出函数y ＝2|x |的图象，观察其图象有什么特征？根据图象指出其值域和单调区间． 解：当x ≥0时， y ＝2|x |＝2x ； 当x <0时， y ＝2|x |＝2－x ＝(12)x .∴函数y ＝2|x |的图象如图所示，由图象可知，y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，且值域是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0]，单调递增区间是[0，＋∞)． 10．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上的最大值为14，求a 的值．解：函数y ＝a 2x ＋2a x －1＝(a x ＋1)2－2，x ∈[－1,1]．若a >1，则x ＝1时，函数取最大值a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3.若0<a <1，则x ＝－1时，函数取最大值a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13.综上所述，a ＝3或13.第二课时 指数函数及其性质的应用(习题课)1．指数函数的定义是什么？2．指数函数的定义域和值域分别是什么？3．指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)图象的位置与底数a 之间有什么关系？4．指数函数的单调性与底数之间有什么关系？利用指数函数的单调性比较大小[例1] (1)已知a ＝5－1，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为________．(2)比较下列各题中两个值的大小：①⎝⎛⎭⎫57－1.8，⎝⎛⎭⎫57－2.5；②⎝⎛⎭⎫23－0.5，⎝⎛⎭⎫34－0.5；③0.20.3,0.30.2. (1)[解析] 因为a ＝5－12∈(0,1)，所以函数f (x )＝a x 在R 上是减函数．由f (m )>f (n )得m <n . [答案] m <n(2)[解] ①因为0<57<1，所以函数y ＝⎝⎛⎭⎫57x 在其定义域R 上单调递减，又－1.8>－2.5，所以⎝⎛⎭⎫57－1.8<⎝⎛⎭⎫57－2.5.②在同一平面直角坐标系中画出指数函数y ＝⎝⎛⎭⎫23x与y ＝⎝⎛⎭⎫34x 的图象，如图所示．当x ＝－0.5时，由图象观察可得⎝⎛⎭⎫23－0.5>⎝⎛⎭⎫34－0.5.③因为0<0.2<0.3<1，所以指数函数y ＝0.2x 与y ＝0.3x 在定义域R 上均是减函数，且在区间(0，＋∞)上函数y ＝0.2x 的图象在函数y ＝0.3x 的图象的下方，所以0.20.2<0.30.2.又根据指数函数y ＝0.2x 的性质可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2. [类题通法]三类指数式的大小比较问题(1)底数相同、指数不同：利用指数函数的单调性解决．(2)底数不同、指数相同：利用指数函数的图象解决．在同一平面直角坐标系中画出各个函数的图象，依据底数a 对指数函数图象的影响，按照逆时针方向观察，底数在逐渐增大，然后观察指数所取值对应的函数值即可．(3)底数不同、指数也不同：采用介值法(中间量法)．取中间量1，其中一个大于1，另一个小于1；或者以其中一个指数式的底数为底数，以另一个指数式的指数为指数．比如，要比较a c 与b d 的大小，可取a d 为中间量，a c 与a d 利用函数的单调性比较大小，b d 与a d 利用函数的图象比较大小．[活学活用]比较下列各题中两个值的大小：(1)3－1.8,3－2.5；(2)7－0.5,8－0.5；(3)6－0.8,70.7.解：(1)因为3>1，所以函数y ＝3x 在定义域R 上单调递增，又－1.8>－2.5，所以3－1.8>3－2.5. (2)依据指数函数中底数a 对函数图象的影响，画出函数y ＝7x 与y ＝8x 的图象(图略)，可得7－0.5>8－0.5.(3)因为1<6<7，所以指数函数y ＝6x 与函数y ＝7x 在定义域R 上是增函数，且6－0.8<1,70.7>1，所以6－0.8<70.7.解简单的指数不等式[例2] (1)已知3x (2)已知0.2x <25，求实数x 的取值范围．[解] (1)因为3>1，所以指数函数f (x )＝3x 在R 上是增函数． 由3x ≥30.5，可得x ≥0.5，即x 的取值范围为[0.5，＋∞)． (2)因为0<0.2<1，所以指数函数f (x )＝0.2x 在R 上是减函数． 又25＝⎝⎛⎭⎫15－2＝0.2－2，所以0.2x <0.2－2，则x >－2， 即x 的取值范围为(－2，＋∞)． [类题通法]解指数不等式应注意的问题(1)形如a x >a b 的不等式，借助于函数y ＝a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如a x >b 的不等式，注意将b 转化为以a 为底数的指数幂的形式，再借助于函数y ＝a x 的单调性求解．[活学活用] 如果a－5x>a x ＋7(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．解：①当a >1时，∵a －5x>a x ＋7，∴－5x >x ＋7，解得x <－76.②当0<a <1时，∵a－5x>a x ＋7，∴－5x <x ＋7解得x >－76.综上所述，当a >1时，x ∈(－∞，－76)；当0<a <1时，x ∈(－76，＋∞).指数函数性质的综合应用[例3] 已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52，f (2)＝174.(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性，并求f (x )的值域．[解] (1)∵⎩⎨⎧f 1＝52，f2＝174，∴根据题意得⎩⎨⎧f 1＝2＋2a ＋b ＝52，f2＝22＋22a ＋b ＝174，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.故a ，b 的值分别为－1,0.(2)由(1)知f (x )＝2x ＋2－x ，f (x )的定义域为R ，关于原点对称． 因为f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)设任意x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，则f (x 1)－f (x 2)＝(2x 1＋2－x 1)－(2x 2＋2－x 2)＝(2x 1－2x 2)＋⎝⎛⎭⎫12x 1－12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2. 因为x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)，所以2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1，所以2x 1＋x 2－1>0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上为增函数． 当x ＝0时，函数取得最小值，为f (0)＝1＋1＝2，所以f (x )的值域为[2，＋∞)． [类题通法]解决指数函数性质的综合问题应关注两点(1)指数函数的单调性与底数有关，因此讨论指数函数的单调性时，一定要明确底数与1的大小关系．与指数函数有关的函数的单调性也往往与底数有关，其解决方法一般是利用函数单调性的定义．(2)指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．[活学活用]已知函数f (x )＝2x －12x ＋1.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)用单调性的定义证明：f (x )在R 上是增函数．证明：(1)f (x )的定义域是R ，对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝2－x －1·2x 2－x＋1·2x ＝1－2x 1＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)f (x )＝2x －12x ＋1＝2x ＋1－22x ＋1＝1－22x ＋1(可以不分离常数，但分离常数后计算较简单)．设x 1，x 2是R 上的任意两个值，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(1－22x 1＋1)－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝22x 2＋1－22x 1＋1＝22x 1－2x 22x 1＋12x 2＋1.因为x 1<x 2，所以2x 1<2x 2，2x 1＋1>1,2x 2＋1>1，所以2x 1－2x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在R 上是增函数．6.警惕底数a 对指数函数单调性的影响[典例] 若指数函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值是最小值的2倍，则实数a 的值为________．[解析] 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数，最小值为a 2，最大值为a ，故a ＝2a 2，解得a ＝12.当a >1时，f (x )＝a x 为增函数，最小值为a ，最大值为a 2. 故a 2＝2a ，解得a ＝2. 综上，a ＝12或a ＝2.[答案] 12或2[易错防范]1．解决上题易忽视对a 的讨论，错认为a 2＝2a ，从而导致得出a ＝2的错误答案．2．求函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在闭区间[s ，t ]上的最值，应先根据底数的大小对指数函数进行分类．当底数大于1时，指数函数为[s ，t ]上的增函数，最小值为a s ，最大值为a t .当底数大于0小于1时，指数函数为[s ，t ]上的减函数，最大值为a s ，最小值为a t .[活学活用]f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a ＝________.解析：由于a x (a >0，且a ≠1)在[1,2]上是单调函数，故其最大值与最小值之和为a 2＋a ＝6，解得a ＝－3(舍去)，或a ＝2，所以a ＝2.答案：2[随堂即时演练]1．若2x ＋1<1，则x 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－1，＋∞) C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选D 不等式2x ＋1<1＝20，∵y ＝2x 是增函数， ∴x ＋1<0，即x <－1.2．已知三个数a ＝60.7，b ＝0.70.8，c ＝0.80.7，则三个数的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．a >c >b解析：选D a ＝60.7>60＝1，c ＝0.80.7>0.70.7>0.70.8＝b ，且c ＝0.80.7<0.80＝1，所以a >c >b . 3．不等式2x <22－3x的解集是________．解析：由2x <22－3x得x <2－3x ，即x <12，解集为{x |x <12}．答案：{x |x <12}4．函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．解析：(1)若a >1，则f (x )在[1,2]上递增， ∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减， ∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)．综上所述，所求a 的值为12或32.答案：12或325．设函数f (x )＝e x a ＋ae x (e 为无理数，且e≈2.718 28…)是R 上的偶函数且a >0.(1)求a 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性． 解：(1)∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (－1)＝f (1)，∴e －1a ＋a e －1＝e a ＋a e ，即1a e －a e ＝ea －a e. ∴1e ⎝⎛⎭⎫1a －a ＝e ⎝⎛⎭⎫1a －a ， ∴1a －a ＝0，∴a 2＝1. 又a >0，∴a ＝1.(2)f (x )＝e x ＋e －x ，设x 1，x 2>0，且x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝e x 2＋e －x 2－e x 1－e －x 1＝e x 2－e x 1＋1e x 2－1e x 1＝e x 2－e x 1＋e x 1－e x 2e x 1e x 2＝(e x 2－e x 1)⎝⎛⎭⎫1－1e x 1e x 2.。
数学必修1课件：第二章 基本初等函数(I)1.1 第2课时
12
4．已知 m＞0，则 m3 ·m3 ＝( )
A．m
2
B．m3
C．1 [答案] A
2
D．m9
5．( 3)1＋ 3·( 3)1－ 3＝( )
A. 3
C．1 [答案] D
B．2 3 D．3
[解析] 原式＝( 3)1＋ 3＋1－ 3＝( 3)2＝3.
第二章 2.1 2.1.1 第二课时 第十六页，编辑于星期日：十一点 二十九分。
第二章 2.1 2.1.1 第二课时 第九页，编辑于星期日：十一点 二十九分。
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修1
●自主预习
1．分数指数幂
m
(1)意义：a n
＝___n_a_m___，a－
m n
1 1 ＝_a_mn ______＝_n__a_m____，
其中a＞0，m，n∈N*，n＞1.
第二章 2.1 2.1.1 第二课时 第二十四页，编辑于星期日：十一点 二十九分。
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化简下列各式：
(1)2 3×3 1.5×6 12；
4
1
a3－8a3b
3
(2)
÷(1－2
4b23＋23
2
ab＋a3
ba)×3 a.
[解析]
(1)2
3×3
1.5×6
23
23
13
[解析] (1)原式＝a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 ；
111
111
111
7
(2)原式＝[a·(a·a2 )2 ]2 ＝a2 ·a4 ·a8 ＝a2 ＋4 ＋8 ＝a8 ；
1
1
高一数学人教版必修1 第二章《基本初等函数》同步课件2.2.1.1
其中错误说法的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
数学 必修1
第二章 基本初等函数(Ⅰ)
学案·新知自解
教案·课堂探究
练案·学业达标
解析： 只有符合 a>0，且 a≠1，N>0，才有 ax＝N⇔x＝logaN，故(2)错误．由 定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．
答案： C
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
教案·课堂探究
练案·学业达标
解析： 因为 lg 10＝1，所以 lg(lg 10)＝lg 1＝0，①正确； 因为 ln e＝1，所以 lg(ln e)＝lg 1＝0，②正确； 若 10＝lg x，则 x＝1010，③错误； 由 log25x＝12，得 x＝2512＝5，④错误． 答案： ①②
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提示： 设ab＝N，则b＝logaN. ∴ab＝alogaN＝N.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
学案·新知自解
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1．对于下列说法：
(1)零和负数没有对数；
(2)任何一个指数式都可以化成对数式；
(3)以 10 为底的对数叫做自然对数；
(4)以 e 为底的对数叫做常用对数．
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
学案·新知自解
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1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－2＝19；(2)43＝64； (3)log1327＝－3；(4)log x64＝－6.
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第二章 基本初等函数(Ⅰ)
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高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1指数函数2.1.2第1课时指数函数的图象及性质课件新人教A版必修1
与指数函数有关的定义域、值域问题
求下列函数的定义域与值域：
(1)y＝
；(2)y＝23－|x|.
思路点拨：
指数函数y＝axa＞0， 且a≠1的定义域是R
―→
函数y＝afxa＞0，且a≠1 与fx的定义域相同
―→
值域
解：(1)由xx＋ －11≥0，得 x≤－1 或 x＞1.
已知指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则f(6)＝________. 解析：设f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)． ∵函数f(x)的图象过点(3,8)． ∴8＝a3，∴a＝2. ∴f(x)＝2x. ∴f(6)＝26＝64. 答案：64
2．指数函数的图象和性质 a＞1
图象图象
如图是指数函数：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④ y＝dx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
思路点拨：
解析：方法一：在①②中底数大于零且小于 1，在 y 轴右 边，底数越小，图象向下越靠近 x 轴，故有 b＜a，在③④中底 数大于 1，在 y 轴右边，底数越大，图象向上越靠近 y 轴，故 有 d<c.故选 B.
1．指数函数的图象一定在x轴的上方．( ) 2．当a＞1时，对于任意x∈R总有ax＞1.( ) 3．函数f(x)＝2－x在R上是增函数．( ) 答案：1.√ 2.× 3.×
指数函数的概念
函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，求a的值． 思路点拨： ax的系数为1 ―→ a为常数，a＞0且a≠1 ―→ 不等式组 解：∵y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数， ∴aa＞2－03且a＋a≠3＝1，1， 解得aa＝ ＞10或 且2a，≠1. ∴a＝2.
人教A版高中数学必修1《第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.3 幂函数 习题2.3》_6
课题：§ 2.3.1幂函数教学目标：（一）知识目标1、通过实例了解幂函数的定义。
2、通过作图观察他们的特性并归纳幂函数的相关性质（单调性、奇偶性）。
（二）能力目标通过探索，要求学生掌握幂函数的定义及其性质，会做一些与幂函数相关的变式试题，培养学生的发散思维，实践能力和创新能力。
（三）情感目标通过观察、比较、归纳获取数学知识,培养学生学习数学的乐趣及勇于钻研、探索、团结协作的精神。
教学重点:幂函数定义，图像与性质。
教学难点:函数图像了解它们的变化情况，会做相关的变式试题。
教学方法:启发引导法，自主探究和共同探究相结合。
教学准备(教具):彩色粉笔，小黑板。
课型:新授课。
教学过程（一）课题引入试写出下列问题所反映的函数关系式：问题1写出下列y关于x的函数解析式：1．如果张红购买了每千克1元的苹果w千克，那么她需要付的钱数P= ;2．如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S= ;3．如果立方体的边长为a，那么立方体的体积是V= ;4．如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长a= ;5．如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v= .分析：若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是。
（1）y=x （2）y=x2（3）y=x3（4）y=x1/2（4）y=x-1（二）探索新知问题2是否为指数函数？上述函数解析式有什么共同特征？x，（0<a<1）的函数，其中指数答;都不是指数函数，指数函数是形如y=ax是自变量，底数a是常数，而这五个函数的自变量都不是指数。
共同特点是：1、都是函数。
2、均是以自变量为底的幂。
3、指数为常数。
4、自变量前的系数为1.（三）讲授新课1、概念: 我们把形如：y=xª的函数称为幂函数，其中a是常数练习1下列函数是幂函数的是（）(1) y=x4(2) y=2x2(3)y=-x2(4)y=2x(5)y=x-2(6)y=x3+2注意：1、要确定一个函数是幂函数，只要确定 a就可以了。
数学必修1课件：第二章 基本初等函数(I)2.1 第2课时
(2)loga yzx＝loga x－loga(yz)＝logax12－(logay＋logaz)
＝12logax－logay－logaz.
第二章 2.2 2.2.1 第二课时
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运用对数的运算性质解题
第二章 2.2 2.2.1 第二课时
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●自主预习
1．对数的运算性质
条件 性质
a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga(MN)＝_l_o_g_aM__＋__lo_g_a_N_____
logaMN ＝___lo_g_a_M_－__l_o_g_aN____ logaMn＝__n_l_o_g_aM__(n_∈__R__) ___
第二章 2.2 2.2.1 第二课时
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(1)求证：logambn＝mn logab(a＞0 且 a≠1，b>0)； (2)求 log927 的值； (3)求 log89·log2732 的值． [分析] 原式 及换常―底― 用公→结式论 同底数的对数式 对―性 数―质 运→算 结果
第二章 2.2 2.2.1 第二课时
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3．指数的运算法则：a>0，b>0，r，s∈R， ar·as＝__a_r_＋_s， ar÷as＝_a_r－__s _， (ar)s＝__a_r_s _， (ab)r＝__a_rb_r_.
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(1)求f (x)的定义域；
(2)判断f (x)的奇偶性并源自以证明.第二章 基本初等函数（I）
整数指数幂
定义
有理指数幂
无理指数幂
指数
对数
运算性质
定义
定义
指数函数
图象与性质
对数函数
图象与性质
幂函数
一、指数、对数运算 1.指数的运算性质： (1)aras ＝ar＋s ; (2)(ar)s＝ars ; (3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r、s∈Q)．
2.对数的运算性质：
(1) log a MN log a M log a N ;
M ( 2) log a log a M log a N ; N
( 3) log a M n log a M (n R)(a 0, a 1, M , N 0)
n
(4)换底公式 log c b log a b (a 0且a 1, c 0且c 1, b 0) log c a
1 x4
(1) y 2
;
2 | x| ( 2) y ( ) ; 3 2 ( 3) y log 2 (4 x ).
3.比较下列各组数的大小：
(1)0.8－0.1，0.8－0.2； (2) log35和log64； (3)(lgn)1.7和(lgn)2 (n＞1).
1 x 4.已知f (x)=loga (a 0, a 1). 1 x
一、指数与对数的运算
化简下列各式：
(1)(4 2 3) 27 16 2(8 ) ; 1 32 4 (2) lg lg 8 lg 245; 2 49 3
1 2 1 6 3 4 2 3 1
二、指数与对数函数性质
1.函数y＝a x－3＋3 (a＞0,且a≠1) 图像恒过定点_______. 2.求下列函数的定义域与值域
二、指数函数和对数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
a>1 图 象 (1)定义域：R (2)值域(0，＋∞) (3)过点(0，1)，即x＝0时，y＝1 (4)在R上是增函数 在R上是减函数 0<a<1
性 质
2.对数函数的图象和性质
a>1 0<a<1
图 象
(1)定义域： (0，＋∞) 性 质 (2)值域：R (3)过点(1，0)，即x＝1时，y＝0 (4)在(0,+∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数