人教A版选修2-3数学选修2—3：排列组合和概率测试卷

2011年台州一中高二数学选修2-3排列组合和概率测试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若A 与B 相互独立，则下面不．相互独立事件有（） A ．A A 与B ．A B 与C ．A B 与D ．A B 与2．一个口袋内装有大小相同的6个白球和2个黑球，从中取3个球，则共有（）种不同的取法.A ．1262C CB ．2162C CC ．36CD ．38C3．旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团只能任选其中一条，则不同的选择方法有（）种.A ．24B ．48C ．64D ．81 4．二项式41(1)n x +-的展开式系数最大项为（）A ．第2n +1项B ．第2n +2项C ．第2n 项D ．第2n +1项和第2n +2项5．一人有n 把钥匙，其中只有一把可把房门打开，逐个试验钥匙，房门恰好在第k 次被打开（1≤k ≤n ）的概率是（）A ．1!n B ．1nC ．knD ．1(1)!k n-6．以图1中的8个点为顶点的三角形的个数是（）A ．56B ．48C ．45D ．427．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为b 、c ， 则方程20x bx c ++=有相等实根的概率为（）A ．112 B ．19 C ．136 D ．1188．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：11n n a n ⎧-⎪=⎨⎪⎩第次摸取红球第次摸取白球,如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7=3的概率为（）A ．525712()()33C gB ．225721()()33C gC ．525711()()33C gD ．325712()()33C g9．如果消息A 发生的概率为P （A ），那么消息A 所含的信息量为21()log .()I A P A =若王教授正在一个有4排8列座位的小型报告厅里听报告，则发布的以下4条消息中，信息量最大的是（） A ．王教授在第4排 B ．王教授在第4排第5列 C ．王教授在第5列 D ．王教授在某一排10．将正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的各面涂色，任何相邻两个面不同色，现在有5个不同的颜色，并且涂好了过顶点A 的3个面的颜色，那么其余3个面的涂色方案共有（） A ．15种 B ．14种 C ．13种 D ．12种 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上）11．若137n nC C =，则2n C =____________________. 12．设{3,4,6},{0,2,7,8},{1,8,9}a b R ∈∈∈，则圆222()()x a y b R -+-=可以表示________个大小不等的圆，___________个不同的圆.（位置不同或大小不等）（用数字作答） 13．若62()a x x-的展开式中常数项为-160，则常数a =______________，展开式中各项系数之和为_____________.14．先将一个棱长为10的正方体的六个面分别涂上六种颜色再将该正方体均匀切割成棱长为1的小正方体，现从切好的小正方体中任取一块，所得正方体的六个面至少有一个面涂色的概率是________________.15．杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家，他的数学研究与教育工作的重点是在计给出下列五个命题：①记第*()i i ∈N 行中从左到右的第*()j j ∈N 个数为ij a ，则数列{}ij a 的通项公式为j i C ； ②第k 行各数的和是2k ；③n 阶杨辉三角中共有2(1)2n +个数；④n 阶杨辉三角的所有数的和是121n +-.其中正确命题的序号为___________________.三．解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.（12分）已知二项式62(3).3x x-（1）求展开式第四项的二项式系数； （2）求展开式第四项的系数； （3）求第四项.17.（12分）从8名运动员中选4人参加4×100米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？（用数字结尾）（1）甲、乙两人必须跑中间两棒；（2）若甲、乙两人只有一人被选且不能跑中间两棒； （3）若甲、乙两人都被选且必须跑相邻两棒.18.（12分）在一次军事演习中，某军同时出动了甲、乙、丙三架战斗机对一军事目标进行轰炸，已知甲击中目标的概率是34，甲、丙同时轰炸一次，目标未被击中的概率是112；乙、丙同时轰炸一次，都击中目标的概率是1.4（1）求乙、丙各自击中目标的概率； （2）求目标被击中的概率. 图2第0行 第1行 第2行 第3行 第4行 第5行 第6行 第7行 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 1 3 6 10 15 21 1 4 10 20 35 1 5 15 35 1 6 21 1 7 119．（12分）如下图，设每个电子元件能正常工作的概率均为P （0<P <1），问甲、乙哪一种正常工作的概率大？20.（13分）一位学生每天骑自行车上学，从他家到学校共有5个交通岗，假设他在每个交通岗遇到红灯是相互独立的，且首末两个交通岗遇红灯的概率均为P ，其余3个交通岗遇红灯的概率均为12. （1）若23P =，求该学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率； （2）若该学生至多遇到一次红灯的概率不超过518，求P 的取值范围.21.（14分）有人玩掷骰子移动棋子的游戏，棋盘分为A 、B 两方，开始时棋子放在A 方，根据下列①、②、③的规定移动棋子：①骰子出现1点时，不能移棋子；②出现2、3、4、5点时，把棋子移向对方；③出现6点时，如果棋子在A 方就不动，如果棋子在B 方就移至A 方，将骰子掷了n 次后，棋子仍在A 方的概率记为.n P （1）求P 1、P 2；（2）对于任意*n ∈N ，证明点1(,)n n P P +总在过定点55(,)99，斜率为12-的直线上；（3）求P n .22.甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为21与p ，且乙投球2次均未命中的概率为161. （Ⅰ）求乙投球的命中率p ；（Ⅱ）若甲投球1次，乙投球2次，两人共命中的次数记为ξ，求ξ的分布列和数学期望.23.一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。

已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是97。

（Ⅰ）若袋中共有10个球， （i ）求白球的个数；（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望ξE 。

（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于107。

并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

参考答案1.A2.D3.C4.A5.B6.D7.D8.B9.B10.C 11．190 12．3;36 13．1；1 14．6112515．（2）（4）提示：5．111k n knA P n A --== 6．2112113334343438544242.C C C C C C C C C ++=--=或7．∵240b c ∆=-=，∴1424c c b b ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或，即21.3618P ==8．711111113S =--+++++=，即7次摸球中摸到白球5次，摸到红球2次，摸到白球概率为13P =白，摸到红球概率为23P =红，由独立重复试验的概率公式225721()().33P C =9．221()log log ()()I A P A P A ==-，当P (A )最小时，I (A )最大.答案B 中事件的概率最小. 10．分三类：①有3组对面同色33C ；②有2组对面同色2132C C ；③有1组对面同色111321C C C ，即共有14．各面均未涂色的小正方体有3(102)512-=个，即至少有一面涂色的概率为5126111000125P =-=15．（1）1j ij i a C -= （3）(1)(2)2n n ++ 16．解：62(3)3x x -的展开式的通项是6162(3)()(0,1,6)3r r r r T C x r x-+=-=g L （Ⅰ）展开式的第4项的二项式系数为3620.C =（r =3）（Ⅱ）展开式的第4项的系数为333623()160.3C -=-g（Ⅲ）展开式的第4项为331160()()160x x-=-g17．解：（1）222660A A =（2）113226480C C A =（3）223263180A C A =18．解：（1）设甲、乙、丙各自独立击中目标的事件分别为A 、B 、C ，则由已知，得3()4P A =，11()()()[1()]412P A C P A P C P C ==-=g ，∴2()3P C =，由1()()()4P B C P B P C ==g g ，∴3().8P B =（2）目标被击中的概率为332911()1[1()][1()][1()]1(1)(1)(1).48396P A B C P A P B P C -=----=----=g g答：（1）乙、丙各自击中的目标的概率分别为32,83；（2）目标被击中的概率为91.9819．解：记元件(1,2,3,4)i A i ==正常工作为事件(1,2,3,4)i A i =，甲电路中：A 1、A 2串联，A 1A 2路中能工作的概率为12()P A A P =g 2,不能工作的概率为21.P -同理，A 3A 4路中不能工作的概率为21P -，而A 1A 2路与A 3A 4路为并联电路，不能工作的概率为A 1A 2路、A 3A 4路同时不能工作，故甲线路中不能工作的概率为22(1)(1)P P --，所以甲线路正常工作的概率为22241(1)(1)2P P P P P =---=-甲.对于乙电路：A 1、A 2为并联电路，A 1A 2路不能工作的概率为212()(1)P A A P =-g ，能正常工作的22能正常工作的概率为22234[1(1)][1(1)]44P P P P P P =----=-+g乙 ∵222(1)0P P P P -=->乙甲，∴图乙正常工作的概率大.20．解：（1）记该学生在第i 个交通岗遇到红灯事件为(1,2,5)i A i =L ，它们相互独立，则“这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯为123A A A g g ， 1212332111()()()()(1)(1)32212P A A A P A P A P A ==-⨯-⨯=g g这名学生在第三个交通岗第一次遇到红灯的概率为1.12（2）过首末两个路口，过中间三个路分别看作独立重复试验，该学生至多遇到一次红灯指没有遇红灯（记为A ）或恰好遇一次红灯（记为B ），则A 与B 互斥，223322311()(1)(1)(1)28P A C P C P =--=-g22121332232311131()(1)(1)(1)(1)(1)(1)22284P B C P C C P P C P P P =--+--=-+-g g这名学生至多遇到一次红灯为A+B ，2221311()()()(1)(1)(1)(32)8844P A B P A P B P P P P P P +=+=-+-+-=-+故21518(32)41833P P P -+即≤≤≤，又101,[,1].3P P ∴∈≤≤ 21．解：（1）P 1为将骰子掷1次后，棋子仍在A 方的概率. P 2为将骰子掷2次后，棋子仍在A 方的概率.开始时，棋子放在A 方，第1次骰子出现1点或6点，棋子不动，12163P ==，把骰子掷2次，棋子仍在A 处有两种情况：①掷第1次后棋子在A 方，第2次出现1点或6点，棋子不动，仍在A 处，此时概率为1236⨯； ②掷第1次后棋子在B 方，第2次出现2、3、4、5或6点，则棋子移至A 处，此时概率为15136⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭，即212152(1).36363P =⨯+-=g（2）设把骰子掷了n +1次后，棋子仍在A 方的概率为1n P +，把骰子掷n +1次后，棋子仍在A方，有两种情况：①第n 次棋子在A 方，且第n +1次骰子出现1点或6点，棋子不动， 其概率为2163=，因此，第①种情况产生的概率为1.3n P ②第n 次棋子在B 方，且第n +1次骰子出现2、3、4、5或6点，其概率为56，因此，第②种情况产生的概率为5(1).6n P -所以115(1)36n n n P P P +=+-，即1515()929n n P P +-=--，∴1(,)n n P P +总在过定点55(,)99斜率为12-的直线上.（3）由（1）知113P =，由（2）知1519529n n P P +-=--∴5{}9n P -是首项为15299P -=-， 公比为12-的等比数列，∴125215(1)().992992nn n n n P P ----=--=+g 即22.解：（Ⅰ）设“甲投球一次命中”为事件A ，“乙投球一次命中”为事件B 由题意得()()()1611122=-=-p B P 解得43=p 或45（舍去），所以乙投球的命中率为43 （Ⅱ）由题设和（Ⅰ）知()()()()41,43,21,21====B P B P A P A Pξ可能的取值为0，1，2，3，故()()()321412102=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅==B B P A P P ξ ()()()()()()32721414324121321412112212=⨯⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+⋅==A P B P B P C B B P A P P ξ()()()329432132=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⋅==B B P A P P ξ()()()()321531012==-=-=-==ξξξξP P P P ξ的分布列为ξ 0 1 2 3P321 327 3215 329ξ的数学期望232933215232713210=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE23.本题主要考查排列组合、对立事件、相互独立事件的概率和随机变量分布列和数学期望等概念，同时考查学生的逻辑思维能力和分析问题以及解决问题的能力．满分14分． （Ⅰ）解：（i ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则2102107()19xC P A C -=-=，得到5x =．故白球有5个．（ii ）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，分布列是ξ 0 1 2 3P112 512 512 112ξ的数学期望155130123121212122E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （Ⅱ）证明：设袋中有n 个球，其中y 个黑球，由题意得25y n =， 所以2y n <，21y n -≤，故112y n -≤． 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B ，则23()551y P B n =+⨯- 231755210+⨯=≤． 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n ，红球的个数少于5n ． 故袋中红球个数最少．。