人教版高中数学选修2-3《排列组合综合应用》
选修2-3 排列组合的综合应用

【剖析】 本题看似排列问题,其实是组合问题. 【正解】 最高的同学必须站在中间,再从其他6位同学中 选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边,有C63种,则剩下三位 同学的位置已定.故共有C63=20种.
某一天的课程表要排入 ak(k=1,2,……,n)共 n 节课,n∈N*.
如果第一节不排 ai,最后一节不排 aj,i≠j, 那么共有多少
种不同课程表的排法? [解] n 门课总的排法是 Ann 种, 其中不符合要求的可分为: ai 排在第一节有 An-1n-1 种排法,如图中Ⅰ; aj 排在最后一节有 An-1n-1 种排法,如图中Ⅱ; 但这两种方法,都包括 ai 在第一节, aj 排在最后一节,有 An-2n-2 种排法,如图中Ⅲ. 因此符合条件的排法应是: Ann-2An-1n-1+An-2n-2 (种).
题型一 较复杂的排列组合问题
例1 有4个不同的球,四个不同的盒子,把球全部放入盒 内.
(1)共有多少种做法? (2)恰有一个盒子不放球,有多少种放法? (3)恰有一个盒内放2个球,有多少种放法? (4)恰有两个盒子不放球,有多少种放法?
【解析】 (1)一个球一个球的放到盒子里去,每只球都可 有4种独立的放法,由分步乘法计数原理知,放法共有44= 256(种).
5.连接正三棱柱的顶点,可以组成________个四面体,可 以连成________对异面直线.
答案 12 36 解析 ①从正三棱柱的 6 个顶点中任取 4 个,有 C64 种方法, 其中 4 个点共面的有 3 种,则可以组成 C64-3=12(个)四面体. ②过三棱柱任意 2 个顶点的直线共有 C62=15(条),其中异面 直线分 3 类:三棱柱的底边三角形的边与侧面对角线、侧棱之间 的异面直线,有 6×3=18(对);侧面中,一条棱对应 2 条异面直 线,3 条棱一共就是 6 对;侧面中,面对角线之间有 6 对;上下 底面之间的异面直线共有 6 对.则满足题意的异面直线共有 18 +6+6+6=36(对).
高二数学人教A版选修2-3:组合的应用 课件

从4名男生3名女生中选出3名代表,按下列要求,分别有 多少种不同的选法? (1)选出的3名代表中至少有1名女生入选; (2)选出的3名代表中不全是女生入选;
( 1)解1:C31 C42 C32 C41 C33 C40 31 . 解2:C73 C43 31 .
组合的应用
高二年级 数学
请同学们观察给出的排列和组合的概念
从n个不同元素中取出m(
)个元素,按按照照一一定定
顺顺序序排排成成一一列列,叫做从n个不同元素中取出m个元素
的一个排列.
从n个不同元素中取出m(
)个元素合成一组,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
(1)从5本不同的书中选3本,共有多少种不同选法?
解:教练员分两步完成这件事情:
C11
第1步,从17名学员中选出11人组成上场小组,共有 17 种;
第2步,从选出的11人中选出1名守门员,共有 C111种.
C11 17
C111
136 136
.
何时使用分步乘法计数原理?
不能一步完成一件事,需要分几步完成
例1(教材P23例6):一位教练的足球队共有17名初级学员, 他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛 时一个足球队的上场队员是11人,问: (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员, 那么教练员有多少种选择方案?
解1: 从10件产品中抽出5件中至少有1件次品分成三类
C C 第1类:其中1件是次品的抽法有
1 3
4 7
种;
第2类:其中2件是次品的抽法有 C32 C73 种;
第3类:其中3件是次品的抽法有C33 C72 种.
最新人教版高中数学选修2-3《排列组合的综合应用》课堂指导

课堂指导三点剖析一、排列数组合数的运算【例1】 已知61-m n C =14mn C =211-m n C .解析:已知条件可化为)1()!1(6!+--∙m n m n=)!(!14!m n m n -∙=)!1()!1(21!--+∙m n m n ,又n!,(m-1)!(n-m-1)!都是正整数,故有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=+-,)1(211)(141,141)1(61m m n m m n 即 ⎩⎨⎧=--=+-.0352,03103m n m n 解得⎩⎨⎧==.3,9m n 所以m n C 1-=38C =56.温馨提示要注意依据排列数与组合数公式及其变形,在计算过程中要注意阶乘的运算,组合数性质的使用和提取公因式等方法的运用. 二、排列与组合的差别【例2】某天某班的课程表要排语文、数学、外语、物理、化学、体育六门课程,如果第一节不排体育,最后一节不排数学,一共有多少种不同的排法? 解析:把六门课程看成六个元素,把顺序看成位置(1)位置分析法:依第一节课的情况进行分类,有以下情况排法: ①第一节课排数学,第六节课排体育,共有44A 种排法. ②第一节课排数学,第六节课不排体育,共有14A 44A 种排法. ③第一节课不排数学,第六节课排体育,共有14A 44A 种排法. ④第一节课不排数学,第六节课不排体育,共有24A 44A 种排法. 由分类计数原理,所求的不同排法共有44A +142A 44A +24A 44A =504种.(2)元素分析法:依数学课的排法进行分类,有以下情况的排法:①数学课排在第一节,体育课排在第六节,共有44A 种排法. ②数学课排在第一节,体育课不排在第六节,共有14A 44A 种排法. ③数学课不排在第一节,体育课排在第六节,共有14A 44A 种排法. ④数学课不排在第一节,体育课不排在第六节,共有24A 44A 种排法. 由分类计数原理,所求的不同排法共有44A +142A 44A +24A 44A =504种. 温馨提示排列组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置的数目问题,它们之间的主要区别在于是否要考虑选出元素的先后顺序.不需要考虑顺序的是组合问题,需要考虑顺序的是排列问题,排列是在组合的基础上对入选的元素进行排队,因此,分析解决排列组合问题的基本思路是“先选之,再排队”. 三、排列、组合的综合应用【例3】从包含甲的若干名同学中选出4名分别参加数学、物理、化学和英语竞赛,每名同学只能参加一种竞赛,且任2名同学不能参加同一种竞赛,若甲不参加物理和化学竞赛,则共有72种不同的参赛方法,问一共有多少名同学.思路分析:若设共有n 名同学,则我们可以用n 把参赛方法种数表示出来,从而得到一个关于n 的方程,解方程可求出n 的值.解:设共有n 名同学,首先从这n 名同学中选出4人,然后再分别参加竞赛,按同学甲进行分类:第一类,不选甲,则从剩下的n-1名同学中选出4人分别参加4种竞赛,有41-n A 种参赛方式;第二类,选甲,首先安排甲,有12A 种方法,再从剩下的n-1名同学中选出3人参加剩下的3种竞赛,有31-n A 种方法,共有12A ·3n A 种参赛方式,由分类计数原理共有41-n A +12A ·31-n A 种方法,根据题意,得 41-n A +12A ·31-n A =72解得n=5. 温馨提示对于这类较为复杂的问题,往往会感到无从下手,如果从竞赛学科角度来思考,则需分很多情况,容易出错,而我们可以采取“先取后排”的原则,即首先取出符合条件的元素,再按要求把它们排起来,这样解答条理性强,有利于问题的解决.各个击破类题演练 1化简11A +222A +333A +…+nn nA . 解析:由于-n n A =n n n A ,则11A +222A +333A +…+n n n A=(22A -11A )+(33A -22A )+(44A -33A )+…+11+-n n A -n n A=11++n n A -1=(n+1)!-1.变式提升 1求n n C 313++1312-+n n C +2311-+n n C +…+n n C -172的值. 解析:由n n C 313+知n 满足3n≤13+n ① 由n n C -112知n 满足17-n≤2n.②联立①②得317≤n≤213,而n ∈N *,所以n=6所以原式=1819C + 1718C +…+1112C =119C +118C +…+112C=19+18+…+12=124. 类题演练 2用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数. (1)可组成多少个不同的四位数? (2)可组成多少个不同的四位偶数?解析:(1)直接法:15A 35A =300;间接法:46A -35A =300; (2)由题意知四位数个位数上必须是偶数;同时暗含了首位不能是0,因此该四位数的个位和首位是“特殊位置”,应优先处理,另一方面,0既是偶数,又不能排在首位,属“特殊元素”应重点对待.方法一:(直接法)0在个位的四位偶数有35A 个;0不在个位时,先从2,4中选一个放在个位,再从余下的四个数(不包括0)中选一个放在首位,应有12A ·14A ·24A 个.综上所述,共有35A +12A ·14A ·24A =156个.方法二:(间接法)从这六个数字中任取四个数字组成最后一位是偶数的排法,有13A ·35A ,其中第一位是0的有12A ·24A 个,故适合题意的数有13A ·35A ·24A =156个.变式提升 2将4个编号为1、2、3、4的小球放入4个编号为1、2、3、4的盒子中. (1)有多少种放法?(2)每盒至多一球,有多少种放法?(3)恰好有一个空盒,有多少种放法? 解析:(1)每个小球都可能放入4个盒子中的任何一个,将小球一个一个地放入盒子,共有4×4×4×4=44=256种放法.(2)为全排列问题,共有44A =24种方法.(3)方法一:先将四个小球分为三组,有22111224A C C C 种, 再将三组小球投入四个盒子中的三个盒子,有34A 种投放方法,故共有22112224A C C C 34A =144(种). 方法二:先取4个球中的两个“捆”在一起,有24C 种选法,把它与其他两个球,共3个元素分别放入4个盒子中的3个中,有34A 种, 所以共有24C 34A =144(种). 类题演练 3从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少要有甲型与乙型电视机各一台,则不同的取法共有( )A.140种B.84种C.70种D.35种解析:从4台甲型电视机中取2台且从5台乙型电视机中取1台,有24C ·15C 种取法;从4台甲型电视机中取1台且从5台乙型电视机中取2台有25C ·14C 种取法,所以取出的3台电视机中至少要有甲型与乙型各一台的取法共有24C ·15C +14C ·25C =70(种).答案:C 变式提升 34个不同的小球,全部放入3个不同的盒子中,要求不能有空盒,则有多少种不同的放法?解析:从4个小球中取出2个看成一个“大球”,有24C 种取法,再把这“3个球”全部放入3个盒子中,有33A 种方法,共有24C ·33A =36种放法.。
人教版高中数学选修23第二节排列组合的应用1PPT课件

课堂小结:
基本的解题方法:
⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特 殊元素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置) 法(优先法);
⑵ 某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作 一个元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内 部排列,这种方法称为“捆绑法”;
⑶ 某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将 这些不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法” ;⑷ 在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种 思维形式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列 问题的根基.
人教版高中数法:
对于相邻问题,常常先将要相邻的元素 捆绑在一起,视作为一个元素,与其余 元素全排列,再松绑后它们之间进行全 排列.这种方法就是捆绑法.
人教版高中数学选修23第二节排列组 合的应 用1PPT 课件
三.插空法
例2:七个家庭一起外出旅游,若其中四家是一个男孩, 三家是一个女孩,现将这七个小孩站成一排照相留念。 若三个女孩互不相邻,有多少种不同的排法?
有A52 种;
第二步:剩下的全排列,有 A55种;
共有A52 A55=2400种 答:共有2400种不同的排列方法。
人教版高中数学选修23第二节排列组 合的应 用1PPT 课件
人教版高中数学选修23第二节排列组 合的应 用1PPT 课件
解法二:(特殊元素法) 第一步:将甲乙安排在除排头和排尾的5个
⑴直接计算法
排列的限制条件一般是:某些特殊位置和特殊元素. 解决的办法是“特事特办”,对于这些特殊位置和元素, 实行优先考虑,即特殊元素预置法、特殊位置预置法.
⑵间接计算法
先抛开限制条件,计算出所有可能的排列数,再从 中减去不合题意的排列数,特别要注意:不能遗漏,也 不能重复. 即排除法.
河北省抚宁县第六中学人教A版高中数学选修2-3课件:1.2排列组合综合应用问题

说明:对不相邻元素的排列问题,一般采用“插空 法”对反面明了的,可用“排除法”
第二十一页,编辑于星期日:十四点 三十七分。
② Ab-------------Ba
③ Bb-------------Aa
④ Ba-------------Ab
显然: ①与③; ②与④在搭配
上是一样的。所以只有2种方法,
所以总的搭配方法有2 C82.C72种。
第十四页,编辑于星期日:十四点 三十七分。
排列组合综合问题
练习3 高二某班要从7名运动员出4名组成
第十二页,编辑于星期日:十四点 三十七分。
排列组合综合问题
例2 求不同的排法种数.
(4)4男4女排成一排,同性者不能相邻.
解:(1)先把男生全排列,再选择必须插空的位 置∴总排列数为 A44.A43.A21
(2)同性不相邻必须男女都排好,即男奇数位, 女偶数位,或者对调.∴总排列数为A22.A44.A44种.
注意:若是3个元素按一定顺序,
则必须除以排列数 A33.
点评:排列应用题是实际问题的一种,其指导思想:
弄清题意,联系实际,合理设计,调动相关知识和方
法.本例是排列的典型问题,解题方法可借鉴.排列
问题思考比较抽象,“具体排”是一种把抽象转化具
体的好方法.
第二十二页,编辑于星期日:十四点 三十七分。
有条件限制的组合问题
排列数.
部分平均分组问题中,先考虑不平均分组,剩下的就是 平均分组。这样分组问题就解决了.
人教版高中数学选修2-3教学案:1.2.1第二课时排列的综合应用

第二课时摆列的综合应用数字摆列问题[典例 ]用0,1,2,3,4,5这六个数字能够构成多少个切合以下条件的无重复的数字?(1)六位奇数;(2)个位数字不是 5 的六位数;(3)不大于 4 310 的四位偶数.[解 ] (1)第一步,排个位,有A13种排法;第二步,排十万位,有 A 41种排法;第三步,排其余位,有 A 44种排法.114个六位奇数.故共有 A3A4A4= 288(2) 法一:(直接法 )十万位数字的排法因个位上排0 与不排 0 而有所不一样,所以需分两类.第一类,当个位排 0 时,有 A55个;第二类,当个位不排0时,有 A41A 41A44个.故切合题意的六位数共有5114个 ).A5+A 4A4A4= 504(法二: (清除法 )0 在十万位和 5 在个位的摆列都不对应切合题意的六位数,这两类摆列中都含有0 在十万位和 5 在个位的状况.故切合题意的六位数共有A66- 2A55+ A44= 504(个 ).(3)分三种状况,详细以下:①当千位上排1,3 时,有 A1A1A 2个.2 3 4②当千位上排 2 时,有 A 12A24个.③当千位上排 4 时,形如40××, 42××的各有 A13个;形如 41××的有 A12A13个;形如 43××的只有 4 310 和 4 302 这两个数.故共有 A12A13A24+ A21A24+ 2A13+ A12A13+ 2= 110(个 ).[一题多变 ]1. [变设问 ]本例中条件不变,能构成多少个被 5 整除的五位数?解:个位上的数字一定是 0 或 5.若个位上是0,则有 A54个;若个位上是 5,若不含 0,则有 A 44个;若含 0,但 0 不作首位,则0 的地点有 A31种排法,其余各位有 A43种排法,故共有 A 54+ A44+ A31 A43= 216(个 )能被 5 整除的五位数.2. [变设问 ] 本例条件不变,若所有的六位数按从小到大的次序构成一个数列{a n},则240 135 是第几项?解:因为是六位数,首位数字不可以为0,首位数字为 1 有 A55个数,首位数字为2,万位240 135的项数是A55+ 3A44+ 1= 193,即240 135是数上为0,1,3 中的一个有3A44个数,所以列的第193 项.3. [变条件,变设问]用0,1,3,5,7五个数字,能够构成多少个没有重复数字且 5 不在十位地点上的五位数.解:此题可分两类:第一类:0 在十位地点上,这时, 5 不在十位地点上,所以五位数的个数为A44= 24;第二类: 0 不在十位地点上,这时,因为 5 不可以排在十位地点上,所以,十位地点上只好排 1,3,7 之一,有 A13= 3(种 )方法.又因为 0 不可以排在万位地点上,所以万位地点上只好排 5 或 1,3,7 被选作十位上的数字后余下的两个数字之一,有 A 13= 3(种 ).十位、万位上的数字选定后,其余三个数字全摆列即可,有 A33= 6(种 ).依据分步乘法计数原理,第二类中所求五位数的个数为A13·A 13·A33= 54.由分类加法计数原理,切合条件的五位数共有24+ 54= 78(个 ).数字摆列问题的解题原则、常用方法及注意事项(1) 解题原则:摆列问题的实质是“元素”占“位子”问题,有限制条件的摆列问题的限制条件主要表此刻某元素不排在某个位子上,或某个位子不排某些元素,解决该类摆列问题的方法主假如按“优先”原则,即优先排特别元素或优先知足特别位子,若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数时,应分类议论.(2)常用方法:直接法、间接法.(3)注意事项:解决数字问题时,应注意题干中的限制条件,适合地进行分类和分步,特别注意特别元素“0”的办理.排队问题[典例 ] 3 名男生, 4 名女生,依据不一样的要求排队,求不一样的排队方案的方法种数.(1)全体站成一排,此中甲只好在中间或两头;(2)全体站成一排,此中甲、乙一定在两头;(3)全体站成一排,此中甲不在最左端,乙不在最右端;(4) 全体站成两排,前排 3 人,后排 4 人,此中女生甲和女生乙排在前排,还有 2 名男生丙和丁因个子高要排在后排.116 [解 ] (1)先考虑甲有 A3种方案,再考虑其余六人全摆列,故N = A3A6=2 160(种 ).(2)先安排甲、乙有 A 22种方案,再安排其余 5 人全摆列,故 N= A22·A55= 240(种 ).(3)[ 法一特别元素优先法]按甲能否在最右端分两类:第一类,甲在最右端有N 1= A66(种 ),第二类,甲不在最右端时,甲有 A 15个地点可选,而乙也有 A 15个地点,而其余全摆列5 1 1 5A5,有 N2= A5A5A 5,6 1 1 5故 N= N 1+ N2= A6+ A5A 5A5= 3 720(种 ).[法二间接法]无穷制条件的摆列数共有A77,而甲在左端或乙在右端的排法都有A66,且甲在左端且乙在右端的排法有 A 55,故 N = A77- 2A66+ A 55= 3 720(种 ) .[法三特别地点优先法 ]按最左端优先安排分步.关于左端除甲外有 A61种排法,余下六个地点全排有A66,但减去乙在最右端的排法 A51A55种,故 N= A 61A66- A51 A55= 3 720(种 ).(4) 将两排连成一排后原问题转变为女生甲、乙要排在前 3 个地点,男生丙、丁要排在后 4个地点,所以先排女生甲、乙有A 32种方法,再排男生丙、丁有A42种方法,最后把节余的 3名同学全摆列有 A33种方法.故 N= A 32·A42·A33= 432(种 ).排队问题的解题策略(1)合理归类,要将题目大概归类,常有的种类有特别元素、特别地点、相邻问题、不相邻问题等,再针对每一类采纳相应的方法解题.(2)适合联合,摆列问题的解决离不开两个计数原理的应用,解题过程中要适合联合两个计数原理.(3)正难则反,这是一个基本的数学思想,奇妙应用清除法可起到事半功倍的成效.[活学活用]排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单.(1) 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?(2) 歌唱节目与舞蹈节目间隔摆列的方法有多少种?解: (1)先排歌唱节目有A55种,歌唱节目之间以及两头共有 6 个空位,从中选 4 个放入舞蹈节目,共有A46种方法,所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有A55·A 46= 43 200种方法.(2) 先排舞蹈节目有 A 44种方法,在舞蹈节目之间以及两头共有 5 个空位,恰巧供 5 个歌唱节目放入.所以歌唱节目与舞蹈节目间隔摆列的排法有A44·A55= 2 880种方法.层级一学业水平达标1. 6 名学生排成两排,每排 3 人,则不一样的排法种数为 ()A. 36B. 120C. 720D. 240分析:选C因为 6 人排两排,没有什么特别要求的元素,故排法种数为A66= 720.2.用 0到 9这十个数字,能够构成没有重复数字的三位数共有()A. 900 个B. 720 个C. 648 个D. 504 个分析:选 C 因为百位数字不可以是0,所以百位数字的取法有A91种,其余两位上的数字取法有 A92种,所以三位数字有A91·A92= 648(个 ).3.数列 {a n}共有 6 项,此中 4 项为 1,其余两项各不同样,则知足上述条件的数列{a n}共有()A.30个B.31 个C.60个D.61 个分析:选A在数列的 6 项中,只需考虑两个非1 的项的地点,即可得不一样数列共有A62= 30 个.4. 6 名同学排成一排,此中甲、乙两人一定排在一同的不一样排法有()A. 720 种B. 360 种C. 240 种D. 120 种分析:选C(捆绑法)甲、乙看作一个整体,有A22种排法,再和其余 4 人,共 5 个元素全摆列,有A55种排法,故共有排法A 22·A 55= 240 种.5. (辽宁高考)6 把椅子摆成一排, 3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为() A. 144B. 120C. 72D. 24分析:选 D节余的3个座位共有3坐法种数为A4= 4×3×2= 24.4 个缝隙供 3 人选择就座,所以任何两人不相邻的6.从班委会的 5 名成员中选出 3 名分别担当班级学习委员、娱乐委员与体育委员,其中甲、乙二人不可以担当娱乐委员,则不一样的选法共有________种. (用数字作答)分析:娱乐委员有 3 种选法,则安排学习委员、体育委员有A24= 12种方法.由分步乘法计数原理知,共有3×12= 36 种选法.答案: 367.将红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的小球,分别放入红、黄、蓝、白、黑 5 种颜色的小口袋中,若不一样意空袋且红口袋中不可以装入红球,则有________种不一样的放法.分析:(清除法)红球放入红口袋中共有 A 44种放法,则知足条件的放法种数为A55- A 44=96(种 ).答案:968.用 0,1,2,3,4 这 5 个数字构成无重复数字的五位数,此中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数有______种.23不夹在 1,3之间又不在首位有1212分析:0 夹在 1,3 之间有 A 2A3种排法,0A2A 2A 2A2种排法.所以一共有A22A 33+ A12A 22A12A22= 28 种排法.答案: 289.一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目,要求排出一个节目单.(1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法?(2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法?解: (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个地点有A52种排法,再将节余的 3 个演唱节目, 3 个舞蹈节目排在中间6 个地点上有 A66种排法,故共有不一样排法 A52A66=14 400种.(2) 先不考虑摆列要求,有A88种摆列,此中前四个节目没有舞蹈节目的状况,可先从5个演唱节目中选 4 个节目排在前四个地点,而后将节余四个节目摆列在后四个地点,44有 A5A4种排法,所从前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A 88- A 54A44)= 37 440 种.10.从 5 名短跑运动员中选出 4 人参加4×100 米接力赛,假如 A 不可以跑第一棒,那么有多少种不一样的参赛方法?解:法一:当 A 被选上时,共有 A13A34种方法,此中 A13表示 A 从除掉第一棒的其余三棒中任选一棒; A 34表示再从剩下 4 人中任选 3 人安排在其余三棒.当 A 没有被选上时,其余四人都被选上且没有限制,此时有A44种方法.故共有 A31A43+ A44= 96(种 )参赛方法.法二:接力的一、二、三、四棒相当于有四个框图,第一个框图不可以填A,有 4种填法,其余三个框图共有A43种填法,故共有4×A43= 96(种 )参赛方法.法三:先不考虑 A 能否跑第一棒,共有 A54= 120( 种 )方法.此中 A 在第一棒时共有A 43种方法,故共有A54- A43= 96(种 )参赛方法.层级二应试能力达标1. (四川高考 )用数字 1,2,3,4,5 构成没有重复数字的五位数,此中奇数的个数为() A. 24B. 48C. 60D. 72分析:选D第一步,先排个位,有A31种选择;第二步,排前 4 位,有 A 44种选择.由分步乘法计数原理,知有A31·A44= 72(个 ).2.从 4 名男生和 3 名女生中选出 3 人,分别从事三种不一样的工作,若这 3 人中起码有1 名女生,则选派方案共有()A. 108 种B. 186 种C. 216 种D. 270 种分析:选 B 可采纳间接法解决: A 73- A43= 186( 种 ),应选 B.3.用数字 0,1,2,3,4,5 能够构成没有重复数字,而且比20 000 大的五位偶数共有 ()A. 288 个B. 240 个C. 144 个D. 126 个分析:选 B 个位上是0 时,有 A41A43= 96(个 );个位上不是 0 时,有 A21 A31A 43= 144( 个 ).∴由分类加法计数原理得,共有96+ 144= 240(个 )切合要求的五位偶数.4. (四川高考 )六个人从左至右排成一行,最左端只好排甲或乙,最右端不可以排甲,则不一样的排法共有()A. 192 种B. 216 种C. 240 种D. 288 种分析:选B当最左端排甲时,不一样的排法共有A55种;当最左端排乙时,甲只好排在中间四个地点之一,则不一样的排法共有4A 44种.故不一样的排法共有A55+4A 44= 120+ 4×24=216 种.5. 8 名学生和 2 位老师站成一排合影, 2 位老师不相邻的排法种数为________.分析: (插空法 )8 名学生的摆列方法有A88种,分开了 9 个空位,在 9 个空位中摆列 2 位2 8 2答案: 2 903 0406.某一天上午的课程表要排入语文、数学、物理、体育共 4 节课,假如第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有不一样排法________种.3种排法,最后一节有 2 种排法,中间两节随意排,有2×2×2= 8 种方法,依据分类加法计数原理,共有6+ 8= 14 种,故答案为14.法二:间接法: 4 节课所有可能的排法有A44= 24 种,此中体育排第一节的有A33= 6 种,3数学排最后一节的有A3= 6 种,体育排第一节且数学排最后一节的有2×1= 2 种,故切合要求的排法种数为24- 6- 6+ 2= 14种.答案:147.某次文艺晚会上共演出8 个节目,此中 2 个唱歌、 3 个舞蹈、 3 个曲艺节目,求分别知足以下条件的节目编排方法有多少种?(1)一个唱歌节目开头,另一个放在最后压台;(2)2 个唱歌节目互不相邻;(3)2 个唱歌节目相邻且 3 个舞蹈节目不相邻.解:(1) 先排唱歌节目有A 22种排法,再排其余节目有 A 66种排法,所以共有 A22·A66= 1 440(种 )排法.(2) 先排 3 个舞蹈节目, 3 个曲艺节目有A66种排法,再从此中7 个空 (包含两头 )中选 2个排唱歌节目,有 A72种插入方法,所以共有A66·A72= 30 240(种 )排法.(3) 把 2 个相邻的唱歌节目看作一个元素,与 3 个曲艺节目摆列共A44种排法,再将 3 个舞蹈节目插入,共有 A53种插入方法,最后将 2 个唱歌节目交换地点,有A22种排法,故所求排法共有 A44·A53·A 22= 2 880(种)排法.8.从 1 到 9 这 9 个数字中拿出不一样的 5 个数进行摆列.问:(1)奇数的地点上是奇数的有多少种排法?(2)拿出的奇数一定排在奇数地点上有多少种排法?解: (1)奇数共 5 个,奇数地点共有 3 个;偶数共有 4 个,偶数地点有 2个.第一步先在奇数地点上排上奇数共有A53种排法;第二步再排偶数地点, 4 个偶数和余下的 2 个奇数能够排,排法为 A 62种,由分步乘法计数原理知,排法种数为A53·A 62= 1 800.(2) 因为偶数地点上不可以排奇数,故先排偶数位,排法为A42种,余下的2个偶数与 5 个奇数全可排在奇数地点上,排法为 A73种,由分步乘法计数原理知,排法种数为 A42·A73= 2 520种.。
高二数学(选修-人教B版)-排列组合综合应用-教案

教案
例4 用1,2,3,4,5中的数字组成5位数,并按要求计
算出符合条件的五位数的个数.
问题一 1不在万位且各数位数字无重复. 直接法: 14C 种. 先排1:再排其余数: 有4
4A 种.
所以总共有14
4
496C A =种. 间接法:
总的情况55A ,不符合要求的是1在万位,另外四
个数全排列有44A 种.所以符合要求的有54
5
496A A -=种.
问题二 各数位的数字无重复,并且1与2相邻,1与
3不相邻. 罗列枚举:将12捆绑,再选择3的位置
一共有2
2
(26+32)36A ⨯⨯=种. 直接法:核心是先排特殊元素1,2,3. 12相邻,2可
以与3相邻,也可以与3不相邻.与3相邻就把123或
321捆绑,
加上顺序,所以是3
32A .再考虑1与2捆绑之后的整体与3不相邻,所以从4,5造的三个空中选
两个放入12和3这两组数,有顺序,所以是2
3A ,1,2可以调换顺序,4,5可以调换顺序,乘在一起
222322A A A ,两种情况再一加就是3222
3322236A A A A +=.。
人教A版高中数学选修2-3第一章《排列与组合综合应用》课件(共16张)

• 所以分配种树为:N=360+90+90=540
• 现场演练4.要将“五.四”青年节文艺汇演节目中 的7个节目分配给高一年级12个班中的5个班,每 个班至少有一个节目。一共有多少种分配方案?
• 提示:先确认分配下去的数字方案,再选班级选 节目。
• 1.12个班选出5个;
• 2.将7分解成1,1,1,1,3;1,1,1,2,2两类,按方案 选人“捆绑”——捆绑法
排列与组合分类讨论的产生:
• 1.待选取的元素有特殊性或有特殊要求; • 2.元素分配的位置有特殊性或有特殊要求; • 3.选取的不确定性或分组的不确定性。 • 基本原则: • (1)特殊问题特殊对待; • (2)分类不重复不遗漏
课堂小结
• 排列组合综合问题,要学会从条件中抠字 眼,认真体会,寻找解决问题的方案:
组合3.排列与组合 综合应用中的 常见问题研究
• 一.两个特殊的排列组合方法。
• 1.相邻问题捆绑法.
• 例1.4名男生,3名女生一起排成一排。 • (1)若三名女生要求站在一起,一共有多
少种排法? • (2)若其中恰好有三名男生按照固定的顺
序相邻,有多少种排法?
• 解:(1)女生不分开,则先将女生内部排序, 再将其看成“1”个,与4名男生一起一共“5”个 全排列。所以一共有
• 3.按照5个元素全排列方法完成分配分配
• 方案的种数为 N C152 (C73 C72C52 ) A55
规律小结
• 1.例3是局部元素选出全排列,因为条件限 制导致分类;
• 2.例4是元素的分配不是一对一,导致各个 位置分得的元素数字可以变化从而导致分 类,此类问题需要注意
• (1)先确认各位置数字分配方案; • (2)捆绑的对象内部是否需要排序。
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上表演,出场安排甲,乙两人都不唱中间两位的 安排方法有多少种?
A C A A A A (种)
6 8 1 2 1 4 5 8 2 4 4 8
(二)有条件限制的组合问题:
例2:已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8,9} 求含有5个元素,且其中至少有两个是偶数的子 集的个数。 下面解法错在哪里? 至少有两个偶数,可先由4个偶数中取2个偶数, 然后再由剩下的7个数中选3个组成5个元素集合且满足至 少有2个是偶数。成以共有子集C42.C73=210(个)
用“具体排”来看一看是否重复,如C42中的一种选法是:选4 个偶数中的2,4,又C73中选剩下的3个元素不6,1,3组成集 合{2,4,6,1,3,};再看另一种选法:由C42 中选4个偶数中 的4,6,又C73中选剩下的3个元素不2,1,3组成集合{4,6, 2,1,3}。显然这是两个相同和子集,所以重复了。重复的原 因是分类不独立。
(三)排列组合混合问题:
例3.九张卡片分别写着数字0,1,2,…,8,从中取出三 张排成一排组成一个三位数,如果6可以当作9使用,问 可以组成多少个三位数?
1 1 1 解:可以分为两类情况:① 若取出6,则有2(A2 + C 8 2 C7C7 A 7 种方法,
解: ⑤ a在e的左边(可不相邻),这表明a,e只有一种顺 序,但a,e间的排列数为A22,所以,可把5个元素全排 列得排列数A55,然后再除以a,e的排列数A22。所以共 有排列总数为A55 / A22(种) 注意:若是3个元素按一定顺序,则必须除以排列数 A33。
1. 高二要从全级10名独唱选手中选出6名在歌咏会
优先法
解: ② 先从b,c,d三个选其中两个 排在首末两位,有A32种,然后把剩下的一个与a,e 排在中间三个位置有A33种,由乘法原理: 共有A32. A33=36种排列.
间接法: A55- 4A44+2A33(种)排法。
解:③捆绑法:a,e排在一起,可以将a,e看成 一个整体,作为一个元素与其它3个元素全排列,有 A44种; a,e两个元素的全排列数为A22种,由乘法原 理共有A44. A22(种)排列。 解:④排除法:即用5个元素的全排列数A55,扣除 a,e排在一起排列数A44. A22,则a,e不相邻的排列总数 为A55- A44. A22(种) 插空法:即把a,e以外的三个元素全排列有A33种, 再把a,e插入三个元素排定后形成的4个空位上有A42 种,由乘法原理共有A33. A42 (种)
根据分类计数原理,一共有 C 种方法
1 7
A
2 7
2 1 1 2(A + C 8 =602 2 C7 C +
练习:从6名男同学和4名女同学中,选出3名男同 学和2名女同学分别承担A,B,C,D,E5项工作。 一共有多少种分配方案。 解:分三步完成,1.选3名男同学有C63种,2.选2 名女同学有C42种,3.对选出的5人分配5种不同的 工作有A55种,根据乘法原理C63.C42.A55=14400(种).
典型例题练习
1. 4名优等生被保送到3所学校,每所学校至少 得1名,则不同的保送方案总数为( A )。 2 3 (A) 36 (B) 24 (C) 12 (D) 6 C4 A3 2.若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了,则可能 出现的错误的种数是( B ) 3 2 (A) 20 (B) 19 (C) 10 (D) 69 C5 A2 1 3.小于50000且含有两个5,而其它数字不重复的五位数 有( B )个。 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 (A) A4 (B) (C) (D) A4 A8 C4C4 A8 C4C4 C8 C4C8 A4
排列组合应用题与实际是紧密相连的,但思 考起来又比较抽象。“具体排”是抽象转化为 具体的桥梁,是解题的重要思考方法之一。 “具体排”可以帮助思考,可以找出重复,遗 漏的原因。有同学总结解排列组合应用题的方 法是“ 想透,排够不重不漏” 是很有道理的。
解排列组合应用题最重要的是,通过分析构想设计 合理的解题方案,在这里抽象与具体,直接法与间接 法,全面分类与合理分步等思维方法和解题策略得到 广泛运用。
解排列组合问题,一定要做到“不重”、“不漏”。
(一).有条件限制的排列问题 例1:5个不同的元素a,b,c,d, e每次取全排列。 ①a,e必须排在首位或末位,有多少种排法? ②a,e既不在首位也不在末位,有多少种排法? ③ a,e排在一起多少种排法? ④ a,e不相邻有多少种排法? ⑤ a在e的左边(可不相邻)有多少种排法? 解: ① (解题思路)分两步完成,把a,e排在首末两 端有A22种,再把其余3个元素排在中间3个位置有A33种。 由乘法共有A22. A33=12(种)排法。
问题:解决排列组合问题一般有哪些方法?应注 意什么问题? 解排列组合问题时,当问题分成互斥各类时,根 据加法原理,可用分类法;当问题考虑先后次序时, 根据乘法原理,可用位置法;上述两种称“直接 法”,当问题的反面简单明了时,可通过求差排除法, 采用“间接法”;另外,排列中“相邻”问题可采 用捆绑法;“分离”问题可用插空法等。