六上第四讲时钟问题

第四讲 时钟问题
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钟表是我们日常生活中必不可少的计时工具。

而钟表上还有许多问题值得我们研究。

时钟上的数学问题常见的有以下三类：
1、用直线分割钟面。

解题时需要先求出钟面上数字之和，然后转化成和倍问题。

2、时间的快慢。

解题的关键是掌握快慢时钟与标准时钟的折算。

3、分针与时针重合、成直线、成直角等。

这是最为常见的时钟问题。

由于钟表上时针与分针的速度是固定不变的，一快一慢，朝着同一方向运动，很像两个人在圆形跑道上运动，所以我们这类时钟问题看做是时针与分针的相遇与追及问题来解决，且在解答时根据题意画出时钟图，就更能直观的看出时针与分针的追及与相遇，这样就能使题目的难度大大降低。

解决这类时钟问题需要掌握的基础知识有：
（1）分针速度是时针的12倍，时针速度是分针的112。

钟面上按“时”平均分为12大格，时针每小时走1大格；分针1小时走12大格，时针与分针走1小时的速度差为12－1=11，速度和是12＋1=13；
按“分”平均分成60小格，分针每分钟走1小格，时针每分钟走112
小格，时针与分针走1分钟的速度差为1－112 =1112 ，速度和是1＋112 =1312。

（2）也可将钟面看做是一个圆周角，一个圆周角360°， 则每个大格30°， 每个小格6°。

分针1分钟
旋转6°， 时针1分钟旋转0.5°， 分针与时针的速度差是6°－0.5°=5.5°，速度和是 6°＋0.5°=6.5°。

（3）注意时针与分针在钟面的位置关系：
时针与分针的特定关系：如两针重合、两针交换位置；
分针与时针夹角的关系：如两针垂直、两针成反方向一直线或两针夹角为特定的夹角。

因为时针与分针一快一慢同向转动，所以这一类时钟问题我们经常转化成追及问题来解决，少数题目会转化成相遇问题来解决。

【例题精讲】
例1 请你在钟面上划一条直线，将钟面上的数化成两组，使其中一组数的和是另一组数的和的12。

分析与解：钟面上有1、2、3……12十二个数，这十二个数的和是1＋2＋3＋……＋11＋12= 。

因为钟面被直线分割后，一部分数之和是另一部分之和的12
，把另一部分看作单
位“1”，78相当于另一部分的 ，另一部分之和是78÷（1＋12
）=52，一部分之和是52
×12 =26。

求出了这些，问题就很好解决了。

方案一：将 分成一组，其它数分在另一组。

（如左图）
方案二：将 分成一组，其它数分在另一组。

（如右图）
例2 从时钟指向4点开始，再经过多少分钟，时针正好与分针重合？
分析：在钟面上分针要与时针重合，分针必须要追上时针，可以转化成追及问题来解答。

解法一 4点钟时，时针指向“4”，分针指向“12”，时针与分针重合时，分针比时针多走4个大格。

即分针追及时针的路程是4大格。

时针1小时走1大格，分针1小时走12大格，所以从4点开始，到分针与时针重合，所用时间为： （分钟）。

解法二 分针与时针相距4大格，即分针追及时针的路程是5×4=20小格，1分钟分针走1格，时针走112
格，所以从4点开始，到分针与时针重合，所用时间为： （分钟）。

解法三 分针与时针相距4大格，即分针追及时针的路程是30°×4=120°，1分钟分针走6°，时针走0.5°，所以从4点开始，到分针与时针重合，所用时间为： （分钟）。

答：再经过21911
分钟，时针与分针重合。

例3 现在是下午1时，再过多少时间，时针与分针第一次成直线（方向相反）？
分析：开始的时刻，分针与时针相差5个小格，也就是说1点钟时，分针还在时针的后面，在这5个小格中分针与时针不可能成直线，显然分针与时针先重合后再超过时针30个小格，这时两针第一次成反方向直线。

从1点起，分针追及时针的路程为 （小格）
解：
答：再过38211
分钟，时针与分针第一次成直线。

例4 钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角时多少度？
分析与解：先从整点钟考虑。

5点整时，分针与时针的夹角是 （度）；因为分
针一分钟前进6°，时针一分钟前进0.5°。

那么5点零8分时，分针走了 （度），时针走了 （度）
因此，钟面上5点零8分时，时针与分针的夹角是： （度）。

答：时针与分针的夹角时106度。

例5 钟面上3点过几分时，时针与分针离“3”的距离相等，并在“3”的两旁？
分析：由于时针与分针离“3”的距离相等，且在“3”的两旁，所以假设从3时起时针沿反时针方向前进，那么两针相遇的时间即为所求时间。

相遇时两针共走了3大格，即5×3=15小格。

解：假设时针沿反时针方向前进，两针相遇时作相向运动，分针速度是每分钟走1小格。

时针的速度每
分钟走112
小格，两针共走15小格，用
答：当钟面上是3小时131113 分钟，也就是分针行走131113
分钟时，两针离“3”的距离相等，且在“3”的两旁。

例6 现在时间是下午5点40分，还需多少时间两针第一次重合？
分析与解法一：可以先考虑两针从现在时刻到第一次重合的路程差及速度差，直接求出所需时间。

开始的状态，分针指向数字8，在钟面上8至12共20个小格，从12至5共25个小格，5时40分，时针距
5的距离为112 ×40=313
（小格），这三段路程相加即为两针从现在的时刻到第一次重合的路程差。

分析与解法二：将问题转化为“先求出从6时正开始到第一次重合所需时间，然后再加上前面的20分钟”。

答：还需52811
分钟两针第一次重合。

做一做1现在时间是下午7点15分，还需多少时间两针第一次重合？
例7 在7点与8点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？
分析：时针与分针相互垂直，也就是分针与时针成90夹角，相距15小格。

此题有两种答案。

一种是从7时开始，两针相差35个小格，在这35个小格内有一次成垂直的时刻，追及的路程是35-15=20（小格）
解：
另一种是不超过8时，分针先与时针重合，再追上时针15个小格，即为两针第二次垂直的时刻，追及的路程是35＋15=50（小格）
解：
答：时针与分针垂直的时刻分别是7时219
11分和7时54
6
11
分。

做一做2在10点与11点之间，钟面上时针与分针在什么时候垂直？
分析：时针与分针相互垂直，也就是分针与时针成90夹角，相距15小格。

从10点整考虑，分针与时针顺时针方向相差50小格，逆时针方向相差10小格。

要分两种情况：按顺时针看两针成2700或900。

【重点练习】
1、钟面上有12个数，你能画一条线将钟面分成两部分，使每部分的数相加的和相等吗？
2、在3时与4时之间，时钟的分针与时针在什么时刻重合？
3、 2时27分时，时钟的时针与分针成多少度角？
4、现在是下午7时整，问两针第一次垂直的时刻？
5、 7点过多少分时，时针和分针离“7”的距离相等，并且在“7”的两边？
6 、 6点整，分针与时针正好在一条直线上，至少再经过多少分钟两针正好重合？
7、在5点和6点之间，什么时刻分针与时针成直角？
过关题4点24分时，分针与时针所成的锐角是多少度？
课前挑战题：
4、小明在看一场不足1小时的纪录片的录像。

他在片子开始时看了一下手表，片子结束时他又看了下手表，发现时针与分针刚好交换了一下位置，问这部纪录片片长多少分钟？
课后过关题分析与解： 先从整点考虑：4点。

4点整时，分针与时针的夹角时30×4=120度；因为分针一分钟前进6°，时针一分钟前进0.5°。

4点24分时，分针走了6×24=144（度），则时针走0.5×24=12（度），这时分针与时针相差：144－120－12=12（度）。

答：4点24分时，分针与时针所成的锐角是12度
课前挑战题分析与解：
如图所示，我们可以看出，时针从A 走到B ，分针从B 走到A ，分针和时针交换了一下位置，两针一共走了一圈。

换一个说法：时针和分针同时从B 点出发，反向而行，它们在A 点相遇。

两针所行的距
离和是60下个（旋转的度数和等于360度），而分针每分钟走1小格（旋转6度），时针每分钟走112
小格（旋转0.5度），两针每分钟走了1＋112 =1112
小格，（共旋转6＋0.6=6.5度） 60÷（1＋112 ）=55513 （分）或 360÷（6＋0.5）=55513
（分）。

答：这部纪录片片长55513
分钟。