2017届河南省郑州市第一中学高三上学期第一次质量检测数学(文)试卷(带解析)
河南省郑州市第一中学2017届高三上学期期中考试数学文试题
郑州一中2016－2017学年上期中考17届 高三数学（文）试题命题人：杨丹 审题人：王明星说明：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 满分150分．考试时 间120分钟．2.将试题卷中题目的答案填(涂)在答题卷 (答题卡)的相应位置.第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题： 本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合{}|24xA x =≤，集合 {}|lg(1)B x y x ==-，则 A B 等于( )A.(1,2)B. (1,2]C. [1,2)D. [1,2] 2. 在复平面内，复数2332ii-+对应的点的坐标为( ) A.(0,1)- B.13(0,)9-C.12(,1)13-D.1213(,)99- 3. 已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p 的值为( )A.2B.4C.2-D.4-4. 已知等差数列{n a }，62a =，则此数列的前11项的和11S =( ) A.44 B.33 C.22 D.115. 已知函数()21,0,cos ,0x x f x x x .⎧+>=⎨≤⎩则下列结论正确的是( )A.()f x 是偶函数B.()f x 在(),-∞+∞上是增函数C.()f x 是周期函数D.()f x 的值域为[)+∞-,16. 平面向量与a b 的夹角为()602,012==+ ，，，则a b a b 等于( )A.B. C.127. 已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b>”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8. 若不等式组0,220,x y x y x m-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是面积为169的三角形，则m 的值为( )A.12B.23C.23-D.569. 已知函数x b x a x x f 223)1(31)(+--=，其中}4,3,2,1{∈a ，}3,2,1{∈b ，则函数)(x f 在R 上是增函数的概率为( )A.41B.21C.32D.3410．设2log 31()3a =，5log 41()3b =，ln 33c =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.c a b >>B.a b c >>C.c b a >>D.a c b >>11.已知直线2x =22221x y a b -=的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离,则此双曲线的离心率为( ) A.2 B.3 C.2 D.3 12. 如果函数()y f x =在区间I 上是增函数，而函数()f x y x=在区间I 上是减函数，那么称函数()y f x =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”.若函数()21322f x x x =-+是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为( )A.[)1,+∞B.⎡⎣C.[]0,1D.⎡⎣第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分．13. 将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是 ．14. 阅读左下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________.15. 我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如上右图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x 为__________.16. 已知数列{}n a 满足：对任意n *∈N 均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为__________.三、解答题：本大题共6小题. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为D C B ,,）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东 60方向，仰角为 60，B 救援中心测得飞船位于其南偏西 30方向，仰角为 30．D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向.（Ⅰ）求C B ,两救援中心间的距离； （Ⅱ）D 救援中心与着陆点A 间的距离.18. （本小题满分12分）郑州一中研究性学习小组对本校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名 学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图1的频率分布直方图．（Ⅰ）若直方图中后四组的频数成等差数列,计算高三全体学生视力在5.0以下的人 数，并估计这100名学生视力的中位数（精确到0.1）；（Ⅱ）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视 力与学习成绩是否有关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调 查，得到如表1中数据，根据表1及表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前 提下认为视力与学习成绩有关系?D附表2：（参考公式： 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ， 其中)n a b c d =+++19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2PA AB AC===，BC = （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）如果N 是棱AB 上的点，且三棱锥BMC N -为31，求AN NB的值.20.（本小题满分12分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求AB 的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数),(ln )(R ∈++=b a x bx ax f 在1=x 处的切线方程为0198=-+y x . （Ⅰ）求b a ,；（Ⅱ）如果函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，求实数k 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题做答，在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求||AB 的最小值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|1|2|1|f x m x x =---+. （Ⅰ）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（Ⅱ）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.郑州一中2016－2017学年上期中考 17届 高三数学（文）试题参考答案第Ⅰ卷 （选择题，共60分）第Ⅱ卷 （ 非选择题，共90分）二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分． 13．13 14．13815．1.6 16. {}1,3,67--- 三、解答题： 本大题共6小题. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解：（Ⅰ）由题意知AB PA AC PA ⊥⊥,，则PAB PAC ∆∆,均为直角三角形……1分在PAC Rt ∆中，︒=∠=60,1PCA PA ，解得33=AC …………………………2分 在PAB Rt ∆中，︒=∠=30,1PBA PA ，解得3=AB …………………………3分又︒=∠90CAB ，33022=+=BC AC BC 万米. …………………………5分 （Ⅱ）103sin sin =∠=∠ACB ACD ，101cos -=∠ACD ，…………………………7分又︒=∠30CAD ，所以102133)30sin(sin -=∠+︒=∠ACD ADC .……………………9分在ADC ∆中，由正弦定理，ACDADADC AC ∠=∠sin sin …………………………10分 1339sin sin +=∠∠⋅=ADC ACD AC AD 万米…………………………12分18. 解：（Ⅰ）设各组的频率为(1,2,3,4,5,6)i f i =，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人， 因为后四组的频数成等差数列， 所以后四组频数依次为 27,24,21,18则后四组频率依次为 0.27,0.24,0.21,0.18 …………………2分视力在5.0以下的频率为3727242182++++=人， 故全年级视力在5.0以下的人数约为 821000820100⨯=人． ………………… 4分 设100名学生视力的中位数为x ，则有(0.150.35 1.35)0.2( 4.6)(0.240.2)0.5x ++⨯+-⨯÷=4.7x ≈ ………………… 6分（Ⅱ） 22100(4216348)200 3.509 3.8415050762457k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ …………………10分 因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩没有关系． ……12分19. 解：（Ⅰ）连结AC ．因为在ABC ∆中，2AB AC ==，BC = 所以 222AC AB BC +=，所以 AC AB ⊥．因为ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，所以AC CD ⊥． 又因为 PA ⊥底面ABCD ，且⊂CD 底面ABCD ，所以 PA CD ⊥． 因为 A PA AC = ， 所以 CD ⊥平面PAC ．--------------------------- 6分（Ⅱ）设x ABBN=， 因为PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，所以ABCD P ABCD M ABC M BNC M BMC N V xV x xV V V -----====42 312)222(314=⨯⨯⨯⨯=∴-x V BMC N ，解得21=x ，所以1=NBAN. ……………………12分 20. 解：（Ⅰ）设圆C 的方程为：()222x a y r -+=()0r >，……………………1分因为圆C 过点()0,0和()1,1-，所以()22222,11.a r a r ⎧=⎪⎨--+=⎪⎩……………………………………………………3分 解得1a =-，1r =．所以圆C 的方程为()2211x y ++=．……………………………………5分 （Ⅱ）设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤．…………………………………6分由圆C 与圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -， 所以120AB k k x =-，因为PA ，PB 是圆C 的切线，所以1k ，2k1=，即1k ，2k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，即()0012200201220021,21.2y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩所以120AB k k x =-x = 因为()220044y x =--，所以AB =………………………9分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数，所以()0max 2225564fx f ⎛⎫==⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}min0131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB 的取值范围为4⎦．……………………………12分21. 解：（Ⅰ）)0(1)()(2'>++-=x xb x a x f 由题，⎪⎩⎪⎨⎧-=++-==+=811)1()1( 491)1(2'b a f b a f 解得⎪⎩⎪⎨⎧==129b a ……………4分 （Ⅱ）当29=a 时，x x x f ln )1(29)(++=，其定义域为),0(+∞ 22)1(2)2)(12(1)1(29)(+--=++-='x x x x x x x f ，令0)(='x f 得211=x ，22=x 因为当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ；当221<<x 时，0)(<'x f 所以函数)(x f 在)21,0(上递增，在)2,21(上递减，在),2(+∞上递增且)(x f 的极大值为2ln 3)21(-=f ，极小值为2ln 23)2(+=f又当+→0x 时，-∞→)(x f ；当+∞→x 时，+∞→)(x f 因为函数k x f x g -=)()(仅有一个零点，所以函数)(x f y =的图象与直线k y =仅有一个交点. 所以2ln 3->k 或2ln 23+<k ……………12分 22. 解：（Ⅰ）由θθρcos 4sin 2=，得2(sin )4cos ρθρθ= 所以曲线C 的直角坐标方程为24y x =.……………………5分（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入24y x =，得04cos 4sin 22=--ααt t . 设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则1224cost t α+=，1224t t α=-， 当2πα=时，||AB 的最小值为4. ……………………10分23. 解：（Ⅰ）当5m =时，36(1)()2(11)43(1)x x f x x x x x + <-⎧⎪=-+ -≤≤⎨⎪- >⎩，……………3分由()2f x >易得不等式的解集为4{|0}3x x -<<；……………5分 （Ⅱ）由二次函数2223(1)2y x x x =++=++，该函数在1x =-取得最小值2，因为31(1)()3(11)31(1)x m x f x x m x x m x ++ <-⎧⎪=--+ -≤≤⎨⎪-+- >⎩在1x =-处取得最大值2m -，………7分所以要使二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，只需22m -≥，即4m ≥.……………10分。
2017届河南省郑州市高三上学期第一次质量预测文科数学试题及答案
郑州市2017届高三上学期第一次质量预测试题数学（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|2,|A x x B x x m =>=<,且A B R = ，那么m 的值可以是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．复数1iz i+=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8 点甲、乙两个 2.5PM 监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 A ．甲 B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视 图是平行四边形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．5．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 A.3 B. 2 C ．1 D ．126．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则212b b 等于A ．1B ．2C ．4D ．87．若1sin()34πα-=，则cos(2)3πα+A.78- B ．14- C ．14 D ．788．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为A ．x=lB ．2x =C ．1x =-D ．2x =-9．设函数())cos(2)()2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数10．双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为B D 11．已知向量a 是与单位向量夹角为60 的任意向量，则对任意的正实数t,的最小值是A. 0B.12D. 112. 定义在R 上的函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠的单调增区间为（-1，1），若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有4个不同的实根，则实数a 的值为．A ．12 B ．12- C ．1 D ．－1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件1,3,0,x y x y y -≥-⎧⎪+<⎨⎪>⎩， 则z x y =-的取值范围为________．14．执行右面的程序框图，若输出的78S =，则输入的整 数p 的值为__________．15.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶 点都在同一球面上，若12,2,1AA AB AC ===．60BAC ∠= ，则此球的表面积等于_________．16．整数数列{}n a 满足21()n n n a a a n N *++=-∈，若此数列的前800项的和是2017，前813项的和是2000，则其前2017项的和为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数()sin(2)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<，当3x π=-时取得最小值-4．(I)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且24(0),()6a f a f π==，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车,为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：(I)估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；(Ⅱ)若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，11,AB AA ==D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A ． (I)证明：1BC AB ⊥；(Ⅱ)若OC OA =，求三棱锥1C ABC -的体积． 20．（本小题满分12分）已知△ABC 的两顶点坐标(1,0),(1,0)A B -，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，1CP =（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C 的轨迹为曲线M ．(I)求曲线M 的方程；(Ⅱ)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在 以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln ,()k x f x x x g x x-==． (I)当k e =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间和极值；； (Ⅱ) 若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值。
2016-2017学年河南省郑州一中高三(上)入学数学试卷(文科)(解析版)
2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知全集U＝R，集合P＝{x|lnx2≤1}，Q＝{y|y＝sin x+tan x，x∈[0，]}，则P ∪Q为（）A．（﹣，）B．[﹣，]C．（0，]D．（0，] 2．（5分）复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3+2i，则z1•z2＝（）A．12+13i B．13+12i C．﹣13i D．13i3．（5分）已知向量，满足||＝2，||＝1，（+）•＝0，那么向量，的夹角为（）A．30°B．60°C．150°D．120°4．（5分）已知公差不为0的等差数列{a n}满足a1，a3，a4成等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，则的值为（）A．2B．3C．﹣2D．﹣35．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2B．1.6C．1.8D．2.46．（5分）过椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点F1，作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）函数与的图象关于直线x＝a对称，则a可能是（）A．B．C．D．8．（5分）见如图程序框图，若输入a＝110011，则输出结果是（）A．51B．49C．47D．459．（5分）已知函数f（x）＝2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x+2，则关于x的不等式f （3x+1）+f（x）＞4的解集为（）A．（﹣，+∞）B．（﹣∞，﹣）C．（0，+∞）D．（﹣∞，0）10．（5分）已知实数x，y满足，若目标函数z＝﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]11．（5分）过双曲线x2﹣＝1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2＝4和圆C2：（x﹣4）2+y2＝1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10B．13C．16D．1912．（5分）定义域为R的可导函数y＝f（x）的导函数f′（x），满足f（x）＞f′（x），且f（0）＝2，则不等式f（x）＜2e x的解集为（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，2）C．（0，+∞）D．（2，+∞）二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，b＝3，cos C＝，则sin A＝．14．（5分）F1，F2分别为椭圆＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且＝（+），＝（+），则||+||．15．（5分）过球O表面上一点A引三条长度相等的弦AB、AC、AD，且两两夹角都为60°，若球半径为R，求弦AB的长度．16．（5分）已知函数f（x）＝，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，则m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知f（x）＝sin x•cos x+cos2x．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（C）＝1，求的取值范围．18．（12分）在三棱锥D﹣ABC，AB＝BC＝CD＝DA＝8，∠ADC＝∠ABC＝120°，M、O 分别为棱BC，AC的中点，DM＝4．（1）求证：平面ABC⊥平面MDO；（2）求点M到平面ABD的距离．19．（12分）襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．20．（12分）已知点C为圆（x+1）2+y2＝8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP 上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足•＝0，＝2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2＝1相切，直线l与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，O是坐标原点，且≤•≤时，求k的取值范围．21．（12分）已知f（x）＝a（x﹣lnx）+，a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，已知圆O是△ABC的外接圆，AB＝BC，AD是BC边上的高，AE是圆O的直径．过点C作圆O的切线交BA的延长线于点F．（Ⅰ）求证：AC•BC＝AD•AE；（Ⅱ）若AF＝2，CF＝2，求AE的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ﹣4sinθ．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）＝|x﹣2|，g（x）＝m|x|﹣2，（m∈R）．（1）解关于x的不等式f（x）＞3；（2若不等式f（x）≥g（x）对任意x∈R恒成立，求m的取值范围．2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）入学数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【解答】解：∵lnx2≤1＝lne，∴0＜x2≤e，∴﹣≤x＜0或0＜x≤，∴P＝[﹣，0）∪（0，]，∵y＝sin x+tan x，在[0，]为增函数，∴y∈[0，]，∴Q＝[0，]，∴P∪Q＝[﹣，]，故选：B．2．【解答】解：复数z1在复平面内关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝2+3i，所以z1•z2＝（3+2i）（2+3i）＝13i．故选：D．3．【解答】解：设向量，的夹角为θ，由||＝2，||＝1，（+）•＝0，得，即2×1×cosθ＝﹣1，∴cos．∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°．故选：D．4．【解答】解：设等差数列的公差为d，首项为a1，所以a3＝a1+2d，a4＝a1+3d．因为a1、a3、a4成等比数列，所以（a1+2d）2＝a1（a1+3d），解得：a1＝﹣4d．所以＝＝2，故选：A．5．【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（）2x＝12.6，解得：x＝1.6．故选：B．6．【解答】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），∵∠F1PF2＝60°，∴＝，即2ac＝b2＝（a2﹣c2）．∴e2+2e﹣＝0，∴e＝或e＝﹣（舍去）．故选：D．7．【解答】解：由题意，设两个函数关于x＝a对称，则函数关于x＝a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．8．【解答】解：第一次执行循环体后，t＝1，b＝1，i＝2，不满足退出循环的条件，第二次执行循环体后，t＝1，b＝3，i＝3，不满足退出循环的条件，第三次执行循环体后，t＝0，b＝3，i＝4，不满足退出循环的条件，第四次执行循环体后，t＝0，b＝3，i＝5，不满足退出循环的条件，第五次执行循环体后，t＝1，b＝19，i＝6，不满足退出循环的条件，第六次执行循环体后，t＝1，b＝51，i＝7，满足退出循环的条件，故输出b值为51，故选：A．9．【解答】解：设g（x）＝2016x+log2016（+x）﹣2016﹣x，g（﹣x）＝2016﹣x+log2016（+x）﹣2016x+＝﹣g（x）；g′（x）＝2016x ln2016++2016﹣x ln2016＞0；∴g（x）在R上单调递增；∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；∴g（3x+1）＞g（﹣x）；∴3x+1＞﹣x；解得x＞﹣；∴原不等式的解集为（﹣，+∞）．故选：A．10．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z＝﹣mx+y得y＝mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z＝﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z＝﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y＝0的斜率大，比2x﹣y+6＝0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．11．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2＝4的圆心为（﹣4，0），半径为r1＝2；圆C2：（x﹣4）2+y2＝1的圆心为（4，0），半径为r2＝1，设双曲线x2﹣＝1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2＝（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）＝（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）＝|PF1|2﹣|PF2|2﹣3＝（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3＝2a（|PF1|+|PF2|﹣3＝2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3＝2•8﹣3＝13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选：B．12．【解答】设g（x）＝，则g'（x）＝，∵f（x）＞f′（x），∴g'（x）＜0，即函数g（x）单调递减．∵f（0）＝2，∴g（0）＝f（0）＝2，则不等式等价于g（x）＜g（0），∵函数g（x）单调递减．∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选：C．二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣2ab cos C＝22+32﹣2×2×3×＝9，解得c＝3．∴△ABC是等腰三角形．∴cos C＝＝sin，cos＝＝．∴sin A＝2sin cos＝，故答案为：．14．【解答】解：椭圆＝1的a＝6，由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|＝2a＝12，＝（+），可得B为AF1的中点，＝（+），可得C为AF2的中点，由中位线定理可得|OB|＝|AF2|，|OC|＝|AF1|，即有||+||＝（|AF1|+|AF2|）＝a＝6，故答案为：6．15．【解答】解：由题意，球心在正四面体中心，设AB＝a，则截面BCD与球心的距离d＝a﹣R，过点B、C、D的截面圆半径r＝a，所以（a）2＝R2﹣（a﹣R）2，得a＝R．故答案为：R．16．【解答】解：当m＞0时，函数f（x）＝的图象如下：∵x＞m时，f（x）＝x2﹣2mx+4m＝（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，∴y要使得关于x的方程f（x）＝b有三个不同的根，必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，∴m的取值范围是（3，+∞），故答案为：（3，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（I）由三角函数公式化简可得：f（x）＝sin2x+（1+cos2x）＝+sin（2x+），由可得∴函数f（x）的单调递增区间为；（II）∵f（C）＝+sin（2x+）＝1，∴sin（2x+）＝，∴或，k∈Z，∴结合三角形内角的范围可，由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab，∴，∵△ABC为锐角三角形，∴，∴由正弦定理得＝＝＝＝+∈（，2），∴．18．【解答】解：（I）证明：由题意：OM＝OD＝4，∵，∴∠DOM＝90°，即OD⊥OM．又∵在△ACD中，AD＝CD，O为AC的中点，∴OD⊥AC．∵OM∩AC＝O，∴OD⊥平面ABC，又∵OD⊂平面MDO，∴平面ABC⊥平面MDO．…（6分）（Ⅱ）由（I）知OD⊥平面ABC，OD＝4△ABM的面积为．又∵在Rt△BOD中，OB＝OD＝4，得，AB＝AD＝8，∴．∵V M﹣ABD＝V D﹣MAB，即∴，∴点M到平面ABD的距离为．…（12分）19．【解答】（1）设初赛成绩的中位数为x，则：（0.001+0.004+0.009）×20+0.02×（x﹣70）＝0.5…（4分）解得x＝81，所以初赛成绩的中位数为81；…（6分）（2）该校学生的初赛分数在[110，130）有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130，150）有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有（A，B），（A，C），（A，D），（A，a），（A，b），（B，C），（B，D），（B，a），（B，b），（C，D），（C，a），（C，b），（D，a），（D，b），（a，b）共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…（10分）故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P＝…（12分）20．【解答】解：（I）由题意知MQ中线段AP的垂直平分线，∴，∴点Q的轨迹是以点C，A为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，，故点Q的轨迹方程是．（II）设直线l：y＝kx+b，F（x1，y1），H（x2，y2）直线l与圆x2+y2＝1相切联立，（1+2k2）x2+4kbx+2b2﹣2＝0，△＝16k2b2﹣4（1+2k2）2（b2﹣1）＝8（2k2﹣b2+1）＝8k2＞0，可得k≠0，∴，＝＝＝，∴为所求．21．【解答】（Ⅰ）解：由f（x）＝a（x﹣lnx）+，得f′（x）＝a（1﹣）+＝＝（x＞0）．若a≤0，则ax2﹣2＜0恒成立，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当a＞0，若0＜a＜2，当x∈（0，1）和（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（1，）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；若a＝2，f′（x）≥0恒成立，f（x）在（0，+∞）上为增函数；若a＞2，当x∈（0，）和（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当x∈（，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；（Ⅱ）解：∵a＝1，令F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝x﹣lnx﹣1＝x﹣lnx+．令g（x）＝x﹣lnx，h（x）＝．则F（x）＝f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x），由，可得g（x）≥g（1）＝1，当且仅当x＝1时取等号；又，设φ（x）＝﹣3x2﹣2x+6，则φ（x）在[1，2]上单调递减，且φ（1）＝1，φ（2）＝﹣10，∴在[1，2]上存在x0，使得x∈（1，x0）时φ（x0）＞0，x∈（x0，2）时，φ（x0）＜0，∴函数h（x）在（1，x0）上单调递增；在（x0，2）上单调递减，由于h（1）＝1，h（2）＝，因此h（x）≥h（2）＝，当且仅当x＝2取等号，∴f（x）﹣f′（x）＝g（x）+h（x）＞g（1）+h（2）＝，∴F（x）＞恒成立．即f（x）＞f′（x）+对于任意的x∈[1，2]成立．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．【解答】证明：（I）如图所示，连接BE．∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°．又∠E与∠ACB都是所对的圆周角，∴∠E＝∠ACB．∵AD⊥BC，∠ADC＝90°．∴△ABE∽△ADC，∴AB：AD＝AE：AC，∴AB•AC＝AD•AE．又AB＝BC，∴BC•AC＝AD•AE．解：（II）∵CF是⊙O的切线，∴CF2＝AF•BF，∵AF＝2，CF＝2，∴（2）2＝2BF，解得BF＝4．∴AB＝BF﹣AF＝2．∵∠ACF＝∠FBC，∠CFB＝∠AFC，∴△AFC∽△CFB，∴AF：FC＝AC：BC，∴AC＝＝．∴cos∠ACD＝，∴sin∠ACD＝＝sin∠AEB，∴AE＝＝[选修4-4：坐标系与参数方程]23．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ﹣4sinθ，∴ρ2＝2ρcosθ﹣4ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2＝2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2＝5，∵直线l过点（1，﹣1），且该点到圆心的距离为，∴直线l与曲线C相交．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心，|AB|＝2≠3，因此直线l必有斜率，设其方程为y+1＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k﹣1＝0，圆心到直线l的距离＝，解得k＝±1，∴直线l的斜率为±1．[选修4-5：不等式选讲]24．【解答】解：（1）由f（x）＞3，得|x﹣2|＞3，可得x﹣2＞3，或x﹣2＜﹣3．求得x＜﹣1，或x＞5，故原不等式的解集为{x|x＜﹣1，或x＞5}．（2）由f（x）≥g（x），得|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立．当x＝0时，不等式|x﹣2|≥m|x|﹣2 恒成立；当x≠0时，问题等价于m≤对任意非零实数恒成立．∵≥＝1，∴m≤1，即m的取值范围是（﹣∞，1]．。
2017郑州市第一次质量检测数学试卷及答案
2017郑州第一次质量检测数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在-2 017，0，-3，2 017这四个数中，最小的数是（ ）A ．-2 017B ．0C ．-3D ．2 0172. 如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．三棱柱D ．三棱锥3. 我国一次性建成最长的万吨重载铁路——晋豫鲁重载铁路，铁路全线长1 260公里，横跨山西、河南、山东三省，总投资941亿元，941亿用科学记数法表示为（ ） A ．994110⨯B ．109.4110⨯C ．1194.110⨯D ．129.4110⨯4. 如图所示，一艘船在海上从A 点出发，沿东北方向航行至点B ，再从B 点出发沿南偏东20°方向行至点C ，则∠ABC 的度数是（ ） A ．45° B ．65° C ．75°D ．90°5. 下列说法中，正确的是（ ）A ．为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用全面调查的方式CBA俯视图左视图主视图B．在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定C．小强班上有3个同学都是16岁，因此小强认为他们班学生年龄的众数是16岁D．给定一组数据，则这组数据的中位数一定只有一个6.如图，已知△ABC，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，小红按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．则四边形ADCE 的周长为（）A．10 B．20C．12 D．247.如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8.从九年级一班3名优秀班干部和九二班2名优秀班干部中随机抽取两名学生担任升旗手，则抽取的两名学生刚好一个班的概率为（）A．15B．25C．35D．459.某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长8 dm，宽为5dm的矩形内画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积等于22 dm2（如图），若设彩纸的宽度为x分（35kg）乙甲甲（45kg）丙NMEODCBA米，则可得方程为（ ） A ．40-10x -16x =18 B ．(8-x )(5-x )=18 C ．(8-2x )(5-2x )=18 D ．40-5x -8x +4x 2=2210. 如图，矩形ABCD 中，AB =2AD =4 cm ，动点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度沿线段AB向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿折线AD→DC→CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ） 时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与 x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：03=__________．12. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DE ∥BC ，如果AB =12 cm ，AD =9 cm ，AC =8 cm ，那么AEQP D C BA第12题图 第14题图13. 当k =__________时，双曲线ky x=过点． 14. 如图，把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点(80)A -，和原点O (0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为__________．15. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，点E 是边BC上一动点，把△DCE 沿DE 折叠得△DFE ，射线DF 交 直线CB 于点P ，当△AFD 为等腰三角形时，DP 的长 为_________．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16. （8分）先化简，再求值：22113()263x x xx x x ++-÷---，其中x 为方程(6)(3)0x x --=的实数根．CE BAD PA B FE DC17. （9分）如图，在菱形ABCD 中，AB =20，∠DAB =60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连拉MD ，AN ． （1）求证：四边形AMDN 是平行四边形．（2）填空：①当AM 的值为_________时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为_________时，四边形AMDN 是菱形．18. （9分）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：NM E D CBA（1）本次抽样调查了_________个家庭； （2）将图1中的条形图补充完整；（3）学习时间在2~2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是______度；（4）若该社区有家庭共3 000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？19. （9分）已知关于x 的一元二次方程22(2)0x x m +--=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根为x =1，求m 的值及另一个根．图1时间/小时图254°108° 1.5~2小时2~2.5小时1~1.5小时0.5~1小时20. （9分）郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°（见示意图），如果高架桥高CD =6米，匝道BD 和AD 每米造价均为4 000元，那么设计优化后修建匝道AD 的投资将增加多少元？（参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09，tan15°≈0.27，结果保留整数）21. （10分）雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12 000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2 700元，进价和售价如下表：米（2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍．甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售．若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2 460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？22.（10分）如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．（1）当AB=AD，且P是AD的中点时，求证：AG=BP；（2）在（1）的条件下，求DEBE的值；（3）类比探究：若AB=3AD，AD=2AP，DEBE的值为_______．（直接填答案）AB CDPFGE23.（11分）如图1，若直线l：y=-2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．过点A，B，D的抛物线h：y=ax2+bx+4．（1）求抛物线h的表达式；（2）若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长度的速度从y轴向左平移，交线段CD于点M，交抛物线h于点N，求线段MN的最大值；（3）如图2，点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限上的一动点（不与点D，B重合），连接PE，以PE为边作图示一侧的正方形PEFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．Array图1图2备用图参考答案。
2016-2017学年河南省郑州一中高三(上)第一次质检数学试卷(文科)
2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）第一次质检数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M={x|x2＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜0}D．{x|x＜1}2．（5分）该试题已被管理员删除3．（5分）已知命题，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则p成立是q 成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）在△ABC中，||=||，||=||=3，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．（5分）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为（）A．3.119 B．3.124 C．3.132 D．3.1516．（5分）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．207 B．C．216﹣36πD．216﹣18π7．（5分）函数y=sin2x+cos2x如何平移可以得到函数y=sin2x﹣cos2x图象（）A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移8．（5分）函数f（x）=（）cosx的图象大致为（）A．B． C．D．9．（5分）如图直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，△ABC为边长为2的等边三角形，AA'=4，点E、F、G、H、M分别是边AA'、AB、BB'、A'B'、BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面ACC'A'，则动点P的轨迹长度为（）A．2 B．2πC．D．410．（5分）已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．11．（5分）已知a，b∈R+，且，则a+b的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且（m﹣2）（x﹣2）＜f（x）对任意的x＞2恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．8二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点和点O重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点M坐标为，则=．14．（5分）已知实数x，y满足不等式组则z=x+y的最小值为．15．（5分）如果满足∠A=60°，BC=6，AB=k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是．16．（5分）对于函数f（x）与g（x），若存在λ∈{x∈R|f（x）=0}，μ∈{x∈R|g （x）=0}，使得|λ﹣μ|≤1，则称函数f（x）与g（x）互为“零点密切函数”，现已知函数f（x）=e x﹣2+x﹣3与g（x）=x2﹣ax﹣x+4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB 是等边三角形，已知，M 是SD 上任意一点，，且m＞0．（1）求证：平面SAB⊥平面MAC；（2）试确定m的值，使三棱锥S﹣ABC体积为三棱锥S﹣MAC体积的3倍．19．（12分）近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S（单位：元），PM2.5指数为x．当x在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x在区间（100，300]内时对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S（x）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？附：，其中n=a +b +c +d ．20．（12分）已知坐标平面上动点M （x ，y ）与两个定点P （26，1），Q （2，1），且|MP |=5|MQ |．（1）求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为C ，过点N （﹣2，3）的直线l 被C 所截得的线段长度为8，求直线l 的方程．21．（12分）设函数f （x ）=lnx ． （1）证明：f （x ）≤x ﹣1； （2）若对任意x ＞0，不等式恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（φ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心为（3，），半径为1的圆．（Ⅰ）求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 为曲线C 1上的点，N 为曲线C 2上的点，求|MN |的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ＞0，b ＞0，函数f （x ）=|x +a |+|x ﹣b |的最小值为4． （Ⅰ）求a +b 的值；（Ⅱ）求的最小值．2016-2017学年河南省郑州一中高三（上）第一次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2016秋•中原区校级月考）已知集合M={x|x2＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|0＜x＜1}C．{x|x＜0}D．{x|x＜1}【解答】解：M={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={x|2x＞1}={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，故选：B．2．（5分）该试题已被管理员删除3．（5分）（2017春•江西月考）已知命题，命题q：∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则p成立是q成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由＞，解得：0＜a＜4，故命题p：0＜a＜4；若∀x∈R，ax2+ax+1＞0，则，解得：0＜a＜4，或a=0时，1＞0恒成立，故q：0≤a＜4；故命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A．4．（5分）（2017•泰安一模）在△ABC中，||=||，||=||=3，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC中，||=||，||=||=3，如图，设|OC|=x，则|OA|=x，所以|AO|2+|OC|2=|AC|2即3x2+x2=9，解得x=，所以|BC|=3，所以△ABC为等边三角形，所以=3×3×=；故选：C．5．（5分）（2016秋•中原区校级月考）我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为781，则由此可估计π的近似值为（）A．3.119 B．3.124 C．3.132 D．3.151【解答】解：x2+y2＜1发生的概率为=，当输出结果为781时，i=1001，m=781，x2+y2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.124，故选B．6．（5分）（2017春•江西月考）某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．207 B．C．216﹣36πD．216﹣18π【解答】解：由三视图可得，直观图是棱长为6的正方体，截去个圆锥，圆锥的底面半径为3，高为6，故体积为=216﹣，故选B．7．（5分）（2016秋•中原区校级月考）函数y=sin2x+cos2x如何平移可以得到函数y=sin2x﹣cos2x图象（）A．向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移【解答】解：y=sin2x+cos2x=sin（2x+），y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣），y=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）+]，∴函数y=sin2x+cos2x向右平移得到函数y=sin2x﹣cos2x图象，故选D．8．（5分）（2017春•武邑县校级期中）函数f（x）=（）cosx的图象大致为（）A．B． C．D．【解答】解：函数f（x）=（）cosx，当x=时，是函数的一个零点，属于排除A，B，当x∈（0，1）时，cosx＞0，＜0，函数f（x）=（）cosx＜0，函数的图象在x轴下方．排除D．故选：C．9．（5分）（2016秋•中原区校级月考）如图直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，△ABC为边长为2的等边三角形，AA'=4，点E、F、G、H、M分别是边AA'、AB、BB'、A'B'、BC的中点，动点P在四边形EFGH内部运动，并且始终有MP∥平面ACC'A'，则动点P的轨迹长度为（）A．2 B．2πC．D．4【解答】解：连结HF，FM，HM，因为直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，点E、F、G、H、M分别是边AA'、AB、BB'、A'B'、BC的中点，可知HF∥AA′，FM∥AC，HF∩FM=F，可知平面HFM∥平面ACC'A'，P∈有平面HFM，所以有MP∥平面ACC'A'，可得P的轨迹是线段HF，HF=4．故选：D．10．（5分）（2016秋•中原区校级月考）已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设双曲线的焦点坐标（c，0），渐近线方程为：bx+ay=0，由题意可得：，可得a=b，即c=a，则e=．故选：C．11．（5分）（2017春•江西月考）已知a，b∈R+，且，则a+b的取值范围是（）A．[1，4]B．[2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵a，b∈R+，∴≥ab，可得≥．∵，∴（a+b）=5≥（a+b），化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，解得1≤a+b≤4，则a+b的取值范围是[1，4]．故选：A．12．（5分）（2016秋•中原区校级月考）已知函数f（x）=x+xlnx，若m∈Z，且（m ﹣2）（x﹣2）＜f（x）对任意的x＞2恒成立，则m的最大值为（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：令g（x）=f（x）﹣（m﹣2）（x﹣2）=x+xlnx﹣（m﹣2）（x﹣2），x ＞2．g（2）=2+2ln2＞0．g′（x）=2+lnx﹣（m﹣2）=4+lnx﹣m，只考虑m＞0，①0＜m≤4+ln2，m∈Z时，g′（x）=4+lnx﹣m＞0，函数g（x）在x＞2时单调递增，g（x）＞g（2）＞0．②m≥4+ln2，即m≥5时，令g′（x）=4+lnx﹣m=0，解得x=e m﹣4．则x=e m﹣4时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（e m﹣4）=e m﹣4（1+m﹣4）﹣（m﹣2）（e m﹣4﹣2），则g（e m﹣4）=e m﹣4（1+m﹣4）﹣（m﹣2）（e m﹣4﹣2）＞0，化为：e m﹣4＜2（m ﹣2）．m=5，6时成立，m=7时，e3＞10，即e m﹣4＜2（m﹣2）不成立．因此m的最大值为6．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）（2016秋•中原区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点和点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M坐标为，则=．【解答】解：∵点P（1，）是角α终边上一点，∴tanα=，∴===．故答案为：．14．（5分）（2016秋•中原区校级月考）已知实数x，y满足不等式组则z=x+y的最小值为﹣14．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域：得到如图的阴影部分，由，解得A（3，2），由解得B（﹣12，﹣2）设z=F（x，y）=x+y，将直线l：z=x+y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最小值，∴z=F（﹣12，﹣2）=﹣14．最小值故答案为：﹣14．15．（5分）（2016秋•中原区校级月考）如果满足∠A=60°，BC=6，AB=k的锐角△ABC有且只有一个，那么实数k的取值范围是．【解答】解：由题意，30°＜C＜90°，∴＜sinC＜1由正弦定理可得=，∴k=4sinC∴k∈，故答案为．16．（5分）（2016秋•中原区校级月考）对于函数f（x）与g（x），若存在λ∈{x ∈R|f（x）=0}，μ∈{x∈R|g（x）=0}，使得|λ﹣μ|≤1，则称函数f（x）与g（x）互为“零点密切函数”，现已知函数f（x）=e x﹣2+x﹣3与g（x）=x2﹣ax﹣x+4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是[3，4] ．【解答】解：函数f（x）=e x﹣2+x﹣3的零点为x=2，设函数g（x）=x2﹣ax﹣x+4的零点为β，若函数f（x）=e x﹣2+x﹣3与g（x）=x2﹣ax﹣x+4互为“零点密切函数”，根据零点关联函数，则|2﹣β|≤1，∴1≤β≤3，如图，由于g（x）=x2﹣ax﹣x+4必经过点A（0，4），故要使其零点在区间[1，3]上，则，解得3≤a≤4．故答案为：[3，4]．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）（2014•湖南）已知数列{a n}的前n项和S n=，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=+（﹣1）n a n，求数列{b n}的前2n项和．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，a1=s1=1，当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=﹣=n，∴数列{a n}的通项公式是a n=n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b n=2n+（﹣1）n n，记数列{b n}的前2n项和为T2n，则T2n=（21+22+…+22n）+（﹣1+2﹣3+4﹣…+2n）=+n=22n+1+n﹣2．∴数列{b n}的前2n项和为22n+1+n﹣2．18．（12分）（2017春•江西月考）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面梯形ABCD 中，AD∥BC，平面SAB⊥平面ABCD，△SAB是等边三角形，已知，M是SD上任意一点，，且m＞0．（1）求证：平面SAB⊥平面MAC；（2）试确定m的值，使三棱锥S﹣ABC体积为三棱锥S﹣MAC体积的3倍．【解答】（1）证明：在△ABC中，由于，∴AB2+AC2=BC2，故AB⊥AC，又平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD=AB，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面SAB，又AC⊂平面MAC，故平面SAB⊥平面MAC；（2）解：在△ACD中，∵AD=CD=，AC=4，∴，．又∵，=V M﹣SAC=，∴V S﹣MAC∴=，即m=2．故m的值为2．19．（12分）（2016秋•中原区校级月考）近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中PM2.5指数的监测数据，统计结果如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失为S （单位：元），PM2.5指数为x ．当x 在区间[0，100]内时对企业没有造成经济损失；当x 在区间（100，300]内时对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元． （1）试写出S （x ）的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？ 附：，其中n=a +b +c +d ．【解答】解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为150时造成的经济损失为500元，当PM2.5指数为200时，造成的经济损失为700元）；当PM2.5指数大于300时造成的经济损失为2000元，可得：（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜w≤250，频数为39，，（3）根据以上数据得到如下列联表：K2的观测值，所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．20．（12分）（2016秋•中原区校级月考）已知坐标平面上动点M（x，y）与两个定点P（26，1），Q（2，1），且|MP|=5|MQ|．（1）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为C，过点N（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意，得．即：=5，化简，得：x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25；所以点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣2；此时所截得的线段的长为2=8，所以l：x=﹣2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．所以直线l的方程为x﹣y+=0，即5x﹣12y+46=0，综上，直线l的方程为x=﹣2或5x﹣12y+46=0．21．（12分）（2017春•江西月考）设函数f（x）=lnx．（1）证明：f（x）≤x﹣1；（2）若对任意x＞0，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）证明：令g（x）=f（x）﹣（x﹣1），则．当x=1，g'（x）=0．所以0＜x＜1时，g'（x）＞0，x＞1时，g'（x）＜0，即g（x）在（0，1）递增；在（1，+∞）递减；所以g（x）≤g（1）=0，f（x）≤x﹣1…（4分）（2）记h（x）=ax+﹣lnx，则在（0，+∞）上，h（x）≥1，，…（5分）①若0＜a≤，﹣1+＞1，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，h （x）＜h（1）=2a﹣1≤0，这与h（x）≥1上矛盾；…（6分）②若＜a＜1，0＜﹣1+＜1，（1，+∞）上h'（x）＞0，h（x）递增，而h（1）=2a﹣1＜1，这与这与h（x）≥1上矛盾；…（7分）③若a≥1，﹣1+≤0，∴x∈（0，1）时时h'（x）＜0，h（x）单调递减；x∈（1，+∞）时h'（x）＞0，h（x）单调递增∴最小值h（1）=2a﹣1≥1，即h（x）≥1恒成立…（9分）④若a=0，，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=﹣1＜0，这与h（x）≥1矛盾…（10分）⑤若a＜0，，x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）≤h（1）=2a﹣1＜0，这与h（x）≥1矛盾…（11分）综上，实数a的取值范围是[1，+∞）…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆．（Ⅰ）求曲线C1，C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）消去参数φ可得C1的直角坐标方程为+y2=1，∵曲线C2是圆心为（3，），半径为1的圆曲线C2的圆心的直角坐标为（0，3），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=1；（Ⅱ）设M（2cosφ，sinφ），则|MC2|====，∴﹣1≤sinφ≤1，∴由二次函数可知2≤|MC2|≤4，由题意结合图象可得|MN|的最小值为2﹣1=1，最大值为4+1=5，∴|MN|的取值范围为[1，5][选修4-5：不等式选讲]23．（2017•江西模拟）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，所以f（x）的最小值为a+b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式得．即，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最小值为．参与本试卷答题和审题的老师有：刘老师；sxs123；changq；lcb001；qiss；沂蒙松；w3239003；zlzhan；liu老师；danbo7801；洋洋；lincy（排名不分先后）菁优网2017年5月8日。
河南省郑州市第一中学2017届高三上学期第一次质量检测
本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第1卷1至4页，第Ⅱ卷4至6页，考试时间90分钟，满分100分。
考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效。
交卷时只交答题卡。
第1卷（选择题，共50分）一、单项选择题（每题2分，共50分）武汉某建筑采用大玻璃幕墙的设计方案。
为达到最佳遮阳和采光效果，设计师把该地二分二至日正午太阳高度、建筑物玻璃幕墙高度和屋檐外延长度巧妙结合起来，如图1所示。
这种设计既可以增加建筑物的美观性，也可以极大地减少玻璃幕墙的日射负荷，显出很好的节能性。
读图回答1—2题。
1．一年内，正午室内太阳直接照射面积由最小到最大的变化过程中，该地A．昼长逐渐增加 B．正午太阳高度不断降低C．月均温不断降低 D．月均降水量不断减少2．为达到最佳遮阳和采光效果，随纬度的变化需调节玻璃幕墙高度和屋檐外延长度。
若玻璃幕墙高度不变，在我国北方地区，随着纬度升高，屋檐外延长度应A.变长 B．变短 C．先变长后变短 D．先变短后变长读埃及近22年间沙尘暴出现频数逐时变化图（图2），回答3～4题。
3．一天中，埃及沙尘暴颍数最高时，北京时间约为A. 14时 B．18时 C．20时 D．22时4．影响埃及沙尘暴频数逐时变化的主要因素是A．地面温度 B．植被覆盖率 C．海拔高度D．降水量某月，从我国广州港出发的一艘货轮经斯里兰卡驶往埃及亚历山大港。
图3为该货轮所经海域该月海平面等压线(单位：hPa)分布图。
读图回答5～7题。
5．该月，斯里兰卡盛行A.东南风 B．东北风 C．西北风 D．西南风6．该货轮在北印度洋海域行驶途中，主要是A.顺风顺水 B．顺风逆水 C．逆风顺水 D．逆风逆水7．该月，亚历山大港气候A.炎热干燥 B．寒冷干燥 C．高温多雨 D．温和多雨读世界某大渔场鱿鱼产量随纬度和经度分布图（图4），回答8～9题。
8．该渔场为A.纽芬兰渔场 B．北海渔场 C．秘鲁渔场 D．北海道渔场9．影响该渔场形成的主要因素是A.离岸风 B．河流 C．洋流 D．人类活动雅鲁藏布江大峡谷中的丹娘沙丘，位于高原半湿润季风区。
河南省郑州市第一中学2017届高三数学上学期期中试题文
河南省郑州市第一中学2017届高三上学期期中考试文数试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设集合{}|24xA x =≤，集合(){}|y lg 1B x x ==-，则AB 等于（ ）A ．()1,2B ．(]1,2C ．[)1,2D ．[]1,2 【答案】B考点:集合的基本运算. 2.在复平面内，复数2332ii-+对应的点的坐标为（ ） A ．()0,1- B ．130,9⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．12,113⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1213,99⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】A 【解析】 试题分析：23(23)(32)(0,1)3213i i i i i ---==-⇒-+，故选A. 考点：复数及其运算.3.已知抛物线22y px =的准线方程是2x =-，则p 的值为（ ）A ．2B ．4C ．-2D ．-4 【答案】B 【解析】 试题分析：422=⇒=p p，故选B. 考点：抛物线及其性质.4.已知等差数列{}n a ，62a =，则此数列的前11项的和11S =（ ）A ．44B ．33C ．22D ．11【答案】C 【解析】 试题分析：61111111()11222a a S a +===,故选C.考点：等差数列的前n 项和.5.已知函数()21,0cos ,0x x f x x x ⎧+>=⎨≤⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是偶函数B ．()f x 在(),-∞+∞上是增函数C ．()f x 是周期函数D ．()f x 的值域为[]1,-+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由()20,11;0,1cos 11x x x x f x >+>≤-≤≤⇒≥-⇒()f x 的值域为[]1,-+∞，故选D. 考点：三角函数的图象与性质.6.平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0,1a b ==，则2a b +等于（ ）A ．．．12 D 【答案】B考点：向量的基本运算.7.已知,a b 都是实数，那么“0a b <<”是“11a b>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析：11a b>可能推出0a b <<，反之成立，故充分不必要条件，故正确答案是A. 考点：充要条件.8.若不等式组0220x y x y x m -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，表示的平面区域是面积为169的三角形，则m 的值为（ ）A ．12 B ．23 C ．23- D ．56【答案】C 【解析】试题分析：由下图可得⇒+)2,2(),,(),22,(C m m B m m A 212(2)16(2)2249m m S m --=⨯⨯-== 23m ⇒=-,故选C.考点：线性规划． 9.已知函数()()322113f x x a x b x =--+，其中{}1,2,3,4a ∈，{}1,2,3b ∈，则函数()f x 在R 上是增函数的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．23 D ．34【答案】D考点：1、函数的单调性；2、古典概型.x【方法点晴】本题考函数的单调性、古典概型，涉及函数与方程思想、数形结合思想、或然与必然思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用数形结合思想和转化与化归思想，将原命题等价转化为()()22'210f x x a x b =--+≥在R 恒成立2222)1(04)1(4b a b a ≤-⇒≤--=∆⇒，符合上述不等式的有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,3)⇒所求概率43439=⨯=P . 10.设25log 3log 4ln311,,333a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．c a b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．a c b >> 【答案】C 【解析】试题分析：2525log 3log 411log log ln3341125533111113,3,3,log 2log 5,log log log 33334a b c ⎛⎫⎛⎫=====>∴<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 5211log log ln3342511ln 30log log ,3033,43∴>>>∴>>>∴c b a >>,故选C.考点：实数的大小比较.11.已知直线2x =被双曲线22221x y a b -=的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离，则此双曲线的离心率为（ ）A．2 D ．3 【答案】C考点：1、双曲线的方程；2、双曲线的渐近线；3、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线、双曲线的离心率，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先22cc a ea=⇒=⇒==，数形结合思想是解决本题的关键.12.如果函数()y f x=在区间I上是增函数，而函数()f xyx=在区间I上是减函数，那么称函数()y f x=是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数()21322f x x x=-+是区间I上“缓增函数”，则“缓增函数区间”I为（）A．[)1,+∞ B．⎡⎣ C．[]0,1 D．⎡⎣【答案】D考点：1、函数的单调性；2、导数的应用.【方法点晴】本题考查函数的单调性、导数的应用，涉及函数与方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先利用数形结合思想由()21()1()2f x x x f x=-+⇒在[1,)+∞上是增函数，()3()122f x x f xxx x=+-⇒在上是减函数⇒()f x的缓增区间为⎡⎣.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.将某班参加社会实践编号为：1，2，3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是____________．【答案】13【解析】试题分析：先将48名同学分为6组，每组8名，观察数据可得：被抽取的是每组第5名同学，故还有一名学生的编号是13.考点:系统抽样.14.阅读左下面的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为_______________．【答案】13 8考点：程序框图.【方法点晴】本题主要考查程序框图，属于较易题型.高考中对于程序框图的考查主要有：输出结果型、完善框图型、确定循环变量取值型、实际应用型等，最常见的题型是以循环结构为主，求解程序框图问题的关键是能够应用算法思想列出并计算每一次循环结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系.15.我国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器------商鞅铜方升，其三视图如上如图所示（单位：寸），若 取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为____________．【答案】6.1考点：1、三视图；2、体积.【方法点晴】本题主要考查三视图和体积，计算量较大，属于中等题型.应注意把握三个视图的尺寸关系：主视图与俯视图长应对正（简称长对正）,主视图与左视图高度保持平齐 （简称高平齐）,左视图与俯视图宽度应相等（简称宽相等）,若不按顺序放置和不全时，则应注意三个视图名称.此外本题应注意掌握柱体的体积公式.16.已知数列{}n a 满足：对任意*n N ∈均有133n n a pa p +=+-（p 为常数，0p ≠且1p ≠），若{}2345,,,19,7,3,5,10,29a a a a ∈---，则1a 所有可能值的集合为_______________． 【答案】{}1,3,67--- 【解析】试题分析：1113333(3)3n n n n n n a a pa p a p a p a ++++=+-⇒+=+⇒=+，又{}316,4,0,8,13,32,i a +∈--12,3,4,53i a =⇒+的可能值为 10,2,64a -⇒的所有可能值的集合为{}1,3,67---.考点：数列的递推公式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）“郑一”号宇宙飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员求出，地面指挥中心的在返回舱预计到达 的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为,,B C D ）．当返回舱距地面1万米的P 点的时（假定 以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东60°方向，仰角为60°，B 救援中 心测得飞船位于其南偏西30°方向，仰角为30°，D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向．（1）求,B C 两救援中心间的距离； （2）D 救援中心与着陆点A 间的距离．【答案】（1（2试题解析： （1）由题意知,PA AB PA AC ⊥⊥，则,PAC PAB ∆∆均为直角三角形，．．．．．．．．．．．．．1分在Rt PAC ∆中，01,60PA PCA =∠=，解得AC =．．．．．．．．．．．．．．．．．2分在Rt PAB ∆中，01,30PA PBA =∠=，解得AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又090,3CAB BC ∠==万米．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）sin sinACD ACB ACD ∠=∠=∠=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分又030CAD ∠=，所以()0sin sin 30ADC ACD ∠=+∠=．．．．．．．．．．9分在ADC ∆中，由正弦定理，sin sin AC ADADC ACD=∠∠．．．．．．．．．．．．．．．．10分sin sin AC ACD AD ADC ∠==∠万米．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：解三角形. 18.（本小题满分12分）郑州一中研究性学习小组对本校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100 名学生的体检表，并得到如图1的频率分布直方图．（1）若直方图中后四组的频数成等差数列，计算高三的全体学视力在5.0以下的人数，并估计这100名 学生视力的中位数（精确到0.1）；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有 关系，对高三全体学生成绩名次在前50名和后50名的学生进行了调查，得到如表1中数据，根据表1 及表2中的数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？附表2：（参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）820，4.7；（2）不能在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系.试题解析： （1）设各组的频率为()1,2,3,4,5,6i f i =，由图可知，第一组有3人，第二组7人，第三组27人，因为后四组的频数成等差数列，所以后四组频数依次为18212427、、、则后四组频率依次为18.0021.24.027.0、、、．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分视力在0.5以下的频率为3727242182++++=人， 故全年级视力在0.5以下的人数约为821000820100⨯=人．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 设100名学生视力的中位数为x ，则有()()()0.150.35 1.350.2 4.60.240.20.5x ++⨯+-⨯÷=，4.7x ≈．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）()221004216348200 3.509 3.8415050762457k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因此在犯错误的概率不超过05.0的前提下认为视力与学习成绩没有关系．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、频率分布直方图；2、独立性检验. 19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点，且2,PA AB AC BC ====．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）如果N 是棱AB 上一点，且三棱锥N BMC -的体积为13，求AN NB的值．【答案】（1）证明见解析；（2）1ANNB=．试题解析：（1）连结AC ，因为在ABC ∆中，2,BC AB AC ===222BC AB AC =+， 所以AB AC ⊥．因为//AB CD ，所以AC CD ⊥． 又因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，因为AC PA A =，所以CD ⊥平面PAC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）设BNx AB=，因为PA ⊥底面ABCD ，M 是棱PD 的中点， 所以24N BMC M BNC M ABC M ABCD P ABCD x xV V xV V V -----====，∴(112433N BMC x V -=⨯⨯⨯=，解得12x =，所以1ANNB=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、线面垂直；2、锥体的体积. 20.（本小题满分12分）已知圆心在x 轴上的圆C 过点()0,0和()1,1-，圆D 的方程为()2244x y -+=．（1）求圆C 的方程；（2）由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于,A B 两点，求AB 的取值范围．【答案】（1）()2211x y ++=；（2）4⎦． 【解析】试题分析： （1）建立方程组()2222211a r a r⎧=⎪⎨--+=⎪⎩⇒ 1,1a r =-=⇒圆C 的方程为()2211x y ++=；（2）设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ⇒()220044x y -+=⇒()2200440y x =--≥⇒026x ≤≤． 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-⇒点A 的坐标为()0100,y k x -，同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -⇒120AB k k x =-，因为,PA PB 是圆C 的切线，所以12,k k1=⇒即12,k k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根⇒()0012200201220021212y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩⇒120AB k k x x =-==设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+⇒知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤ ⎥⎝⎦上是减函数⇒()0max 225f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭2564=()()(){}0min131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭⇒以AB的取值范围为4⎦．（2）设圆D 上的动点P 的坐标为()00,x y ，则()220044x y -+=，即()2200440y x =--≥，解得026x ≤≤，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分由圆C 和圆D 的方程可知，过点P 向圆C 所作的两条切线的斜率必存在， 设PA 的方程为：()010y y k x x -=-，则点A 的坐标为()0100,y k x -， 同理可得点B 的坐标为()0200,y k x -，所以120AB k k x =-， 因为,PA PB 是圆C 的切线，所以12,k k1=，即12,k k 是方程()()2220000022110x x k y x k y +-++-=的两根，即()0012200201220021212y x k k x x y k k x x ⎧++=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，所以120AB k k x x =-=， 因为()220044y x =--，所以AB =．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设()()0020562x f x x -=+，则()()00305222x f x x -+'=+．由026x ≤≤，可知()0f x 在222,5⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是增函数，在22,65⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数，所以()0max 2225564f x f ⎛⎫==⎡⎤⎪⎣⎦⎝⎭， ()()(){}0min 131min 2,6min ,484f x f f ⎧⎫===⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭， 所以AB的取值范围为⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 考点：1、圆的方程；2、直线与圆. 21.（本小题满分12分） 已知函数()()ln 1af x x a R x =+∈+在1x =处的切线方程为8190x y +-=． （1）求,a b ；（2）如果函数()()g x f x k =-仅有一个零点，求实数k 的取值范围．【答案】（1）当1x >时，()()11f x f >=，当1x =时，()()11f x f ==，当1x <时，()()11f x f <=；（2）3ln 2k >-或3ln 22k <+.（2）当92a =时⇒()()9ln 21f x x x =++，其定义域为()0,+∞，令 ()()()()2212021x x f x x x --'==+ ⇒ 121,22x x == ⇒当102x <<或2x >时，()0f x '>；当122x <<时，()0f x '<⇒函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()2,+∞上递增⇒()f x 的极大值为13ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极小值为()32ln 22f =+，又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，⇒3ln 2k >-或3ln 22k <+． 试题解析： （1）当2a =时，()2ln 1f x x x =++，其定义域为()0,+∞，因为()()()222211011x f x x x x x -+'=+=>++，所以()f x 在()0,+∞上是增函数， 故当1x >时，()()11f x f >=；当1x =时，()()11f x f ==； 当1x <时，()()11f x f <= （2）当92a =时，()()9ln 21f x x x =++，其定义域为()0,+∞， ()()()()()22212912121x x f x x x x x ---'=+=++，令()0f x '=得121,22x x ==，因为当102x <<或2x >时，()0f x '>；当122x <<时，()0f x '<， 所以函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在()2,+∞上递增且()f x 的极大值为13ln 22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，极小值为()32ln 22f =+，又当0x +→时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞，因为函数()()g x f x k =-仅有一个零点，所以函数()y f x =的图象与直线y k =仅有一个交点．所以3ln 2k >-或3ln 22k <+； 考点：1、函数的极值；2、函数的零点；3、函数与不等式.【方法点晴】本题考查函数的函数的极值、函数的零点、函数与不等式，涉及分类讨论思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想和转化化归思想的应用.请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参 数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设直线l 与曲线C 相交于A B 、两点，当α变化时，求AB 的最小值． 【答案】（1）24y x =；（2）4． 【解析】试题分析：（1）由2sin4cos ρθθ=⇒()2sin 4cos ρθρθ=⇒曲线C 的直角坐标方程为24y x =；（2）将直线l 的参数方程代入24y x =⇒22sin 4cos 40t t αα--=⇒1212224cos 4,sin sin t t t t ααα+==-，∴1224sin AB t t α=-==⇒当2πα=时，AB 的最小值为4．考点：坐标系与参数方程.【方法点晴】本题主要考查参数方程、极坐标方程和韦达定理，由于涉及直线参数的几何意义，具有一定的难度，属于中等题型.解此类题型时要注意熟练掌握直角坐标方程(普通方程)、参数方程和极坐标方程三者之间的互化，并应掌握相关定义和性质，特别要熟练掌握直线参数的几何意义及其应用，它的几何意义可以大大降低题目的计算量，对于提高解题速度和解题质量很有帮助. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()121f x m x x =---+． （1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围．【答案】（1）4|03x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）4m ≥． 【解析】试题分析：（1）当5m =时⇒()()()()361211431x x f x x x x x +<-⎧⎪=-+-≤≤⎨⎪->⎩，由()2f x >⇒不等式的解集为4|03x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭；（2）由二次函数()222312y x x x =++=++⇒该函数在1x =-取得最小值2， 因为()()()()311311311x m x f x x m x x m x ++<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+->⎩在1x =-处取得最大值2m -，⇒22m -≥⇒4m ≥．考点：不等式选讲.。
【百强校】2017届河南郑州一中网校高三入学测试数学(文)试卷(带解析)
试卷第1页，共8页绝密★启用前【百强校】2017届河南郑州一中网校高三入学测试数学（文）试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：204分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、过双曲线的右支上一点，分别向圆和圆作切线，切点分别为，则的最小值为（ ）A ．10B ．13C ．16D ．192、已知实数满足，若目标函数的最大值为，最小值为，则实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．试卷第2页，共8页3、已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．4、按下图所示的程序框图，若输入，则输出的（ ）A ．45B ．47C ．49D ．515、函数与的图象关于直线对称，则可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6、过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第3页，共8页7、中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的为（ ）A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.48、已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（ ）A ．-2B ．-3C ．2D ．39、已知向量满足，那么向量的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．150°D ．120°10、复数在复平面内对应的点关于直线对称，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．11、已知全集，集合，则为（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第4页，共8页12、定义域为的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第5页，共8页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）13、已知函数其中，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则的取值范围是___________．14、过球表面上一点引三条长度相等的弦，且两两夹角都为60°，若球半径为，求弦的长度___________．15、分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，则__________．16、设的内角的对边分别为，且，则____．三、解答题（题型注释）17、选修4-5：不等式选讲 已知函数．（1）解关于的不等式； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围．18、选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半试卷第6页，共8页轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数）．（1）判断直线与曲线的位置关系，并说明理由； （2）若直线和曲线相交于两点，且，求直线的斜率．19、选修4-1：几何证明选讲 如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径，过点作圆的切线交的延长线于点．（1）求证：； （2）若，求的长．20、已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明对于任意的成立．21、已知点为圆的圆心，是圆上的动点，点在圆的半径上，且有点和上的点，满足．（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若斜率为的直线与圆相切，与（1）中所求点的轨迹交于不同的两点是坐标原点，且时，求的取值范围．试卷第7页，共8页22、郑州一中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．23、三棱锥中，分别为棱的中点，．（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离．24、已知．（1）求函数的单调递增区间；试卷第8页，共8页（2）在锐角的三个角所对的边分别为，且，求的取值范围．参考答案1、B2、C3、A4、D5、A6、D7、B8、C9、D10、A11、B12、C13、14、15、16、17、（1）；（2）.18、（1）相交；（2）.19、（1）证明见解析；（2）.20、（1）当时，函数在内单调递增，在内单调递减，当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增，当时，在内单调递增，当在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；（2）证明见解析.21、（1）；（2）.22、（1）；（2）.23、（1）证明见解析；（2）.24、（1）（）；（2）.【解析】1、试题分析：如图所示，根据切线，可有，，所以最小值为.考点：圆与双曲线的位置关系.【思路点晴】本题考查双曲线的定义，直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线位置关系，考查数形结合的数学思想，考查划归与转化的数学思想.我们首先根据题意画出图象，然后根据半径垂直于切线，将题目中的转化为，这样，再结合图象，可以知道，三点共线时取得最小值为.2、试题分析：画出可行域如下图所示，依题意可知，目标函数在点取得最大值，在点取得最小值.由图可知，当时，，当时，，故取值范围是.考点：线性规划.3、试题分析：，设，，所以为奇函数，图象关于原点对称，要，只需.考点：函数的单调性.4、试题分析：程序框图的效果是将二进制的数转化为十进制的数，即.考点：算法与程序框图.5、试题分析：图象关于直线对称，则有关于直线对称，，，即. 考点：三角函数图象变换.6、试题分析：依题意，所以.考点：直线与圆锥曲线位置关系.7、试题分析：这是一个圆柱和一个长方体，体积为.考点：三视图.8、试题分析：成等比数列，即，.考点：数列的基本概念.9、试题分析：.考点：向量运算.10、试题分析：，.考点：复数概念及运算.11、试题分析：集合，集合，故．考点：1.集合并集；2.三角函数值域.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系.12、试题分析：构造函数，在上单调递减，故等价于.考点：函数导数与不等式.【思路点晴】无论不等式的证明还是解不等式，构造函数，运用函数的思想，利用导数研究函数的性质（单调性和最值），达到解题的目的，是一成不变的思路，合理构思，善于从不同角度分析问题，是解题的法宝.利用求函数最值的方法来证明不等式，但是注意是的充分不必要条件；适当对不等式等价变形，通过换元法，转化为含有一个未知数的不等式，并通过构造函数，并且利用导数研究的单调性，达到证明的目的.13、试题分析：二次函数段对称轴为.要有三个根，只需，即.考点：1.分段函数；2.数形结合的数学思想.【思路点晴】本题考查分段函数、数形结合的数学思想、化归与转化的数学思想.第一段是偶函数，它是由折起来而成.第二段是二次函数，其开口向上，对称轴为，画出这两个函数的图象，依题意关于的方程有三个不同的根，则只需，也就是左边第一段的右端点函数值比右边第二段左端点的函数值要大即可.14、试题分析：依题意可知，这是一个正四面体的外接球. 若一个正四面体边长为,其外接球半径公式为:，即.考点：球的内接几何体.【思路点晴】对棱相等的三棱锥,设三对棱长分别为,如下图所示三棱锥,请同学们推导其外接球半径公式,特别地,若一个正四面体边长为,其外接球半径公式为:. 设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.2.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.15、试题分析：依题意有，故.考点：向量运算.16、试题分析：，.考点：解三角形、正余弦定理.17、试题分析：（1），即，即；（2），得对任意恒成立，当时，问题等价于对任意非零实数恒成立，，故.试题解析：（1）由，得，即，∴故原不等式的解集为；（2）由，得对任意恒成立，当时，不等式成立当时，问题等价于对任意非零实数恒成立，∵，∴，即的取值范围是．考点：不等式选讲.18、试题分析：（1）圆两边乘以，化简得，直线过顶点，该点在圆内，故直线与圆相交；（2）当直线的斜率不存在时，直线过圆心，，则直线必有斜率，设其方程为，利用圆心到直线的距离等于，可求得.试题解析：（1）∵，∴，∴曲线的直角坐标方程为，即，直线过点，且该点到圆心的距离为，直线与曲线相交．（2）当直线的斜率不存在时，直线过圆心，，则直线必有斜率，设其方程为，即，圆心到直线的距离，解得，∴直线的斜率为．考点：坐标系与参数方程.19、试题分析：（1）连结，由题意知为直角三角形，利用证得，从而有；（2）由切割线定理，有，可证得，所以，得，所以．试题解析：（1）证明：连结，由题意知为直角三角形，因为，所以，即．又，所以．（2）因为是圆的切线，所以，又，所以，因为，又，所以．所以，得，所以．考点：几何证明选讲.20、试题分析：（1）先求定义域为，求导通分因式分解得.对分成，，，四类对单调区间进行讨论；（2）先求出，利用导数求出在区间的单调区间和最值，即可得证.试题解析：（1）函数的定义域为；，当时，单调递增；时，单调递减，当时，．（1），当或时，单调递增；当时，单调递减；（2）时，，在内，单调递增；（3）时，，当或时，单调递增；当时，单调递减．综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增．（2）由（1）知，时，，，令，则，由可得，当且仅当时取得等号．又，设，则在单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以，即对于任意的恒成立．考点：函数导数与不等式.【方法点晴】分类讨论参数的取值范围是导数问题中最常见的题型.它主要考查分类讨论的数学思想方法.我们为什么要求导，什么时候要进行分类讨论？如此题，我们求导是为了研究单调区间、极值和最值，求导后发现含有参数，即，无法确定单调区间，就需要我们分类讨论了.由于这是二次项的系数含有参数，我们就先从两类进行分类.21、试题分析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以，所以的轨迹是椭圆，即方程为；（2）设直线，由直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可得.联立直线的方程和椭圆的方程，写出根与系数关系，代入，有，由此解得.试题解析：（1）由题意知中线段的垂直平分线，所以，所以点的轨迹是以点为焦点，焦距为2，长轴为的椭圆，；（2）设直线，直线与圆相切，，，，所以为所求．考点：直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】求轨迹方程的常用方法有定义法和向观点法.本题是定义法.根据题意，动点满足椭圆的定义，也即动点到两个定点的距离之和等于常数，并且这个常数大于这两个定点的距离.在求解出椭圆方程后，要验证是否椭圆方程的每个点是否都在图象上，因为有时候有些点是不符合题意的，比如有时候斜率不存在的点可能要舍去.22、试题分析：（1）利用频率分布直方图估计中位数，也就是左右两边面积等于的地方，设初赛成绩的中位数为，则，解得；（2）该校学生的初赛分数在有人，分别记为，分数在有人，分别记为，利用列举法，列举出基本事件有种，其中符合题意的有种，故概率为.试题解析：（1）设初赛成绩的中位数为，则，解得，所初赛成绩的中位数为81；（2）该校学生的初赛分数在有4人，分别记为，分数在有2人，分别记为，在则6人中随机选取2人，总的事件有共15个基本事件上，其中符合题设条件的基本事件有8个．故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为．考点：1.频率分布直方图；2.古典概型.23、试题分析：（1）利用勾股定理有，利用等腰三角形中点，有，故平面，所以平面平面；（2）利用等体积法，，即，所以.试题解析：（1）由题意：，∵，∴，即．又∵在中，为的中点，∴．∵，∴平面，又∵平面，∴平面平面．（2）由（1）知平面，的面积为，又∵在中，，得，∴．∵，即，∴，∴点到平面的距离为．考点：1.立体几何证明线面垂直；2.等体积法.24、试题分析：（1）先用降次公式和辅助角公式，化简得，代入单调递增区间，求出相应自变量的取值范围为；（2）由（1）知，.由余弦定理得：，化简，再由正弦定理和基本不等式可求得取值范围.试题解析：（1），∴，，∴，∴函数的单调递增区间；（2），∴，∴，∴，由余弦定理得：，∴，为锐角三角形，∴，∴，由正弦定理得：，∴．考点：1.三角函数图象与性质；2.解三角形.。
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绝密★启用前2017届河南省郑州市第一中学高三上学期第一次质量检测数学（文）试卷（带解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．已知集合，，则（）A. B. C. D.2．若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为（）A. B. C. D.3．已知命题：，命题：，，则成立是成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．在中，，，则（）A. 3B.C.D.5．我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为（）A. 3.119B. 3.124C. 3.132D. 3.1516．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A. 207B.C.D.7．函数如何平移可以得到函数图象（）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移8．函数的图象大致为（）A. B. C. D.9．如图直三棱柱中，为边长为2的等边三角形，，点、、、、分别是边、、、、的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为（）A. B. C. D.10．已知双曲线的焦点到渐进线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.11．已知，，且，则的取值范围是（）A. B. C. D.12．已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为（）A. 4B. 5C. 6D. 8第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则__________．14．已知实数，满足不等式组则的最小值为__________．15．如果满足，，的锐角有且只有一个，那么实数的取值范围是__________．16．对于函数与，若存在，，使得，则称函数与互为“零点密切函数”，现已知函数与互为“零点密切函数”，则实数的取值范围是__________．三、解答题17．已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18．如图，在四棱锥中，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，，是上任意一点，，且．（1）求证：平面平面；（2）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的3倍．19．近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（365天）内100天的空气中指数的监测数据，统计结果如下：记某企业每天由空气污染造成的经济损失为（单位：元），指数为．当在区间内时对企业没有造成经济损失；当在区间内时对企业造成经济损失成直线模型（当指数为150时造成的经济损失为500元，当指数为200时，造成的经济损失为700元）；当指数大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？附：，其中．20．已知坐标平面上动点与两个定点，，且．（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为8，求直线的方程．21．已知函数．（1）证明：；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为的圆．（1）求曲线，的直角坐标方程；（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围．23．选修4-5：不等式选讲已知，，函数的最小值为4．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小值．参考答案1．B【解析】依题意得：，，所以。
故本题正确答案为点晴:本题考查的是集合的运算.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象的属性，这是很关键的一步.而本题中两个集合都是不等式的解集构成的集合，在求交集时注意区间端点的取舍. 通常用画数轴的方法来解交集、并集和补集的题目.2．D【解析】依题意得：，所以的共轭复数.故本题正确答案为3．A【解析】若命题成立，则，解得；若命题成立，则或即，当命题成立时，命题一定成立，当命题成立时，命题不一定成立，所以成立是成立的充分不必要条件。
故本题正确答案为4．C【解析】由题意得：，展开得：，又因为，所以可得：，因为所以.故本题正确答案为5．B【解析】根据函数的定义知，每次循环产生的和，是大小属于区间的两个随机数，而判断语句，即在直角坐标系下判断每次产生的随机数，形成的点，是不是在以原点为圆心，半径为，的圆内，因为和，所以当和满足时，点会落在圆在第一象限的圆内。
而随机数，形成的点可以看成以原点为顶点，边长为，图象在第一象限的正方形内任意一点.由题意知，程序框图共执行循环语句次，输出，代表判断语句为是的次数为，即随机数和在圆内次数为，根据随机数和在正方形内等概率分布和圆的面积公式可得：，解得.故本题正确答案为6．B【解析】观察三视图可知，这个几何体是挖去个底面圆半径为，高为的圆锥的边长为的正方体，所以几何体的体积是正方体的体积减去个圆锥的体积，即几何体的体积.故本题正确答案为7．D【解析】因为所以是由向右平移个单位得到的。
故本题正确答案为8．C【解析】所以为奇函数，排除选项又时，,图像在轴下方，故本题正确答案为9．D【解析】因为分别为的中点，所以，，所以平面，平面，又因为,所以平面平面，要使平面，则平面，所以点的轨迹为线段，点的轨迹长度为.故本题正确答案为.10．C【解析】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，根据点到直线距离的坐标公式得，焦点到渐近线的距离为，根据题意知，焦点到渐近线的距离等于实半轴长，即，又因为双曲线满足，所以，离心率；当双曲线焦点在轴上时，双曲线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，实半轴长为，同理可得：，所以，离心率.综上所述，双曲线离心率.故本题正确答案为11．A【解析】由题意得：，即，由均值不等式知，，即，解得.故本题正确答案为点晴：本题主要考查的是乘除的恒等变换以及均值不等式的应用.解决本题有两个关键步骤，一是巧妙利用，二是由均值不等式得到关于的不等式，从而解得的范围.12．C【解析】由题意知，当时，恒成立，即在时恒成立，令，则，令，则，所以在时满足，所以在上是增函数，且，，所以存在，使得，即，所以在上是减函数，在上是增函数，所以，所以，所以的最大值为，即的最大值为故本题正确答案为点晴：本题考查的是导数在研究函数中的应用以及转化与化归思想，首先通过转化与化归把不等式恒成立问题，通过变量分离得到在时恒成立，进而转化为利用导数知识求解的最小值问题.13．【解析】由题意可知，，角为直线与轴非负半轴的夹角，所以，，，，根据两角和与差公式，.故本题正确答案为.14．【解析】根据题中约束条件作出可行域如下图阴影区域所示，因为 ，所以 ，由题可以看出当 经过点 时， 取最小值，即 .故本题正确答案为 .点晴：本题考查的是线性规划问题，线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想，需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最值会在可行域的端点或边界上取得.15．【解析】由正弦定理得： ，所以，因为 是锐角三角形，所以 ，所以 ，所以 ，即 . 故本题正确答案为 .16．【解析】 由题意知，函数 的零点为 ，设 满足 的零点为 ，因为 ，解得 ，因为 函数图象开口向上，所以要使 的一个零点落在区间 上，则需满足 或，解得： 或 ，取并集得： .故本题正确答案为 .17．（1） ;（2） .【解析】试题分析 : （1）利用 即可求出其通项；（2）将 拆分为一等比数列与一等差数列，分别求和，相加即可得到结论.试题解析：（1）当 时， ；当时，.也满足，故数列的通项公式为.（2）由（1）知，故.记数列的前项和为，则.记，，则，.故数列的前项和.点晴：本题考查的是数列求通项以及数列求和问题. 第一问利用即可求出其通项，要格外注意和能否表示成统一的通项;第二问中的求和要先研究通项，先通过分组分成两组求和，再对采用并项求和.18．（1）见解析; （2）【解析】试题分析：（1）利用线段平面，进而推得面平面平面．（2）利用三棱锥平面与三棱锥的体积比，三棱锥与三棱锥的体积比，推导出三棱锥与三棱锥的体积比，进而解出的值.试题解析：（1）证明：在中，由于，∴,故．又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，故平面平面．（2），∴，解得．19．（1）（2）（3）有的把握认为空气重度污染与供暖有关．【解析】试题分析：（1）根据题意列出关于的分段函数即可.（2）利用样本频率估计总体概率即可.（3）根据题中的数据求出的观测值，再与比较大小，得出是否有的把握认为空气重度污染与供暖有关的结论即可.试题解析：（1）根据在区间对企业没有造成经济损失;在区间对企业造成经济损失成直线模型（当PM2.5指数为时造成的经济损失为元,当PM2.5指数为时,造成的经济损失为元）;当PM2.5指数大于时造成的经济损失为元,可得：（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于元且不超过元”为事件，由得频数为39，（3）根据以上数据得到如下列联表：的观测值所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关．20．（1）点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆（2）直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0．【解析】试题分析：解：(1)由题意，得＝5．，化简，得x2＋y2－2x－2y－23＝0．即(x－1)2＋(y－1)2＝25．∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段的长为，∴l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，圆心到l的距离，由题意，得，解得．∴直线l的方程为．即5x－12y＋46＝0．综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0．考点：圆的方程点评：解决的关键是根据直接法来得到点满足的几何关系，然后坐标化得到求解，并能结合直线与圆的位置关系来得到，属于基础题。
21．（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.【解析】试题分析：（1）令,再证明在定义域内小于等于零即可。