现代精算风险理论课程简介
精算数学
（1）保费设定； ）保费设定； （2）准备金评估； ）准备金评估； （3）再保险形式的选择及自留额的确定问 ） 题； （4）资产负债与偿付能力管理问题。 ）资产负债与偿付能力管理问题。
因为不同的人对同一潜在后果有不同的风险 态度， 态度，即使是同一个人在不同的时候对同一 个风险亦有不同的认识， 个风险亦有不同的认识，当然价值判断也就 不同，折射到保险学方面， 不同，折射到保险学方面，就会有不同保额 的产生或者保单的不同设计条款。 的产生或者保单的不同设计条款。
例如，有两个决策者，其中一个是概率论高手 ， 例如，有两个决策者，其中一个是概率论高手A，一个 是做梦都想发财的B，两个人手里都有10元钱 元钱， 是做梦都想发财的 ，两个人手里都有 元钱，目标是通 过购买彩票或不够买彩票这两种可能的决策方案来获得最 大的收益，结果A的决策是不作为 的决策是不作为， 却选择了购买。 大的收益，结果 的决策是不作为，而B却选择了购买。面 却选择了购买 临着同样的风险，A和B的风险态度便有了区别。 临着同样的风险， 和 的风险态度便有了区别。 的风险态度便有了区别
对于后面的两个问题， 对于后面的两个问题，构造 一个决策问题示意图来说明。 一个决策问题示意图来说明。 假如有n个决策 个决策DM1， 假如有 个决策 DM2，……，DM n为了达 ， 到某个决策目标O而提出一 到某个决策目标 而提出一 系列被选方案f, 系列被选方案 g,……,h,要 要 在其中选择一个最优秀或最 满意的方案. 满意的方案
表1中的每一项都可能形成风险，譬 中的每一项都可能形成风险， 中的每一项都可能形成风险 保险收入”如不稳定， 如“保险收入”如不稳定，假设出 现大量的退保现象， 现大量的退保现象，则会形成保费 收入现金流动风险。 税务” 收入现金流动风险。“税务”一栏 也会形成风险， 也会形成风险，假设法律法规更改 突然规定税率的提高， 突然规定税率的提高，则会形成税 金准备不足风险等等。 金准备不足风险等等。
现代精算风险理论 第1章_效用理论与保险2007
可以证明（见习题 1.4
第
3
题）
d
E
X
X
d
以
及 2 d Var X X d 是 d 的 连 续 函 数 ． 注 意
0 2 0 0, EX 和 2 VarX .
有重大的决策时，决策者往往在风险厌恶者。 被保险人是风险厌恶者。 风险厌恶者的效用函数的特点：
1． 边际效用递减u'(x) 0 ； 2． 凹函数 u''(x) 0 。
定理1.2.3 ( Jensen 不等式） 如果是一个凸函数，Y 是一个随机变量，则
其中等号成立当且仅当在Y 的支撑集上是线性的或 Var (Y)=0，由此不等式可以得到，对于一个凹的效 用函数，有
下的游戏．抛掷一枚均匀的硬币，直到出现正面为
止．如果投掷 n 次才首次出现正面，则游戏的参与者
就可以获得2n 元．因此，从该游戏中获得的期望收益
是
n1
2n
1 2
n
．然而，除非
P
很小，否则很少有人会
参加这样的游戏，这就意味着人们并不仅仅看到期望
收益．
在经济学中，由冯· 诺伊曼（von Neumann）和
厌恶风险
例：我们有这样的二种选择： A：0.1%的失去得到10000元钱，99.9%
的机会不损失。
B：100%的机会夫去20元。 选择A？或B？
1.2 期望效用模型
假设一个个体面临损失额为B ，发生概率0.01 的风险，他可以将损失进行投保，并愿意为这份 保单支付保费P，B 和P之间有何种关系？
对于这样的决策，效用函数u 应该具有怎样的形式？
选择 w=0．假设u 0 0 和u 1 1 ．
当b = 1 时，他选择A； u( 1) 1 [u(0) u(1)]
《现代精算风险理论》课程简介
《现代精算风险理论》课程简介现代精算风险理论 3.0Modern Actuarial Risk Theory 3-0预修课程：数学分析，概率论,随机过程面向对象：三、四年级本科生内容简介:主要内容包括经典的风险理论的内容，如期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型等；也包括许多与精算实务息息相关的研究方法，如保费原理，IBNR 模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等。
课程的内容还包括现代精算风险理论的一些热点研究，如风险排序。
推荐教材或主要参考书：教材：现代精算风险理论，R.卡尔斯，M.胡法兹，J. 达呐，M.狄尼特著，唐启鹤，胡太忠，成世学译，科学出版社。
参考书：数学风险论导引，汉斯. U. 盖伯著，世界图书出版公司。
风险理论， N.L.鲍尔斯等著，上海科学技术出版社。
《现代精算风险理论》教学大纲现代精算风险理论 3.0Modern Actuarial Risk Theory 3-0预修课程：数学分析，概率论,随机过程面向对象：三、四年级本科生一、教学目的和基本要求：通过本课程的学习，要求学生掌握非寿险精算的一些经典风险理论的模型，包括期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型和破产模型。
掌握与精算实务息息相关的研究方法，包括保费原理，IBNR模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等，了解现代精算风险理论的一些热点,包括风险排序等。
二、主要内容及学时分配：第一章效用理论与保险（4学时）期望效用模型；效用函数族；停止损失再保险的最优性。
课后习题3-5题。
第二章个体风险模型（4学时）混合分布和风险；卷积；变换；近似；应用：最优再保险。
课后习题3-5题。
第三章聚合风险模型（4学时）复合分布；理赔次数的分布；复合泊松分布；Panjer递推；复合分布的近似；个体和聚合风险模型；几个理赔额分布和参数族；停止损失保险与近似；方差不等情形下的停止损失保费。
课后习题3-5题。
第四章破产理论（8学时）风险过程；指数型上界；破产概率和指数型理赔；离散时间模型；再保与破产概率；Beekman卷积公式；破产概率的一些解析表达式；破产概率的近似计算。
现代精算风险理论 第6_章奖惩系统
t
t
稳态分布 l() 是 P 对应于特征值 1 的左特征向
量．为求 l() ,只需求出线性方程组(6.5)的一个
非平凡解,该方程组等价于一个齐次方程组 (PT I )lT () (0, 0,L , 0)T ．为了使 l() 为一个概率分 布，我们需把它除其各个分量之和以标准化.鉴于 lj () limt lj(t) ,向量 l() 的所有分量必须是非负的
注6.3.4 （稳态保费和Loimaranta 功效）
从状态 i 到状态 j 的转移概率（参数等于 ）为
服从参数为 5, 2 的对数正态分布，则有下面的结果：
i）损失额临界值 0% 组别：200 元 25% 组别：275 元 40%组别：75 元
ii） P(索赔|赔案发生)=P(C>x)其中 x 为组别 i）中的数据
因为，C : ln , 2 ，所以，
P(C
x)
P(ln
C
ln
x)
1
ln
x
有 0 e() 1 ．
d log b() b '() 1 1 (e() 1) 0. d b()
所以 log b() 关于 单调下降，此外，当 0 时b() 趋于 ，
当入
时 b( )
会趋于
0
．所以存在一个理赔频率0
。
使得 0 时的稳态保费正好等于纯保费．对应于 0 的驾
设一个驾驶员在一个保单年度里发生一个或多个理 赔的概率为 p，如果给定前两年中有一个理赔发生, 那么该驾驶员会跌到状态 1,或状态要上升一个水 平．于是我们得到下面的具有转移概率 pij
P是一个随机矩阵：每行表示一个进入各状态的 概率分布，从而所有元素都是非负的 .
现代精算风险理论 第4章_破产理论
（1）破产概率可以作为综合保费和索赔过程的保险公司稳健性的一个指标，是风险管理的一个有用工具．破产概率高意味着保险公司不稳定：这时保险人必须采取诸如进行再保或者提高保费等措施，或者还可以设法吸收一些额外的资本金．（2）不可以对破产概率理解绝对化，因为实际上它并非真正表示保险公司将在近期倒闭的概率.但可以用破产概率作为不同的保单组合进行比较风险大小的比较。
（3）破产概率的计算是精算学的一个经典的问题．但精确的破产概率仅仅对指数分布或取有限值的离散分布两种类型的才能计算出来．但可以给出没有破产的概率（未破产概率）的矩母函数。
盈余过程或者风险过程如下：4.2风险过程破产时刻定义如下：最终破产概率：如果N ( t ）是一个泊松过程，那么()S t 是一个复合泊松过程；对一个固定的0t t =。
累计理赔额()0S t 服从一个参数为0t λ的复合泊松分布．记理赔的分布函数和矩分别为定义: 负荷保费因子或者安全系数为θ)11c θλμ=+tt S E 1)((λμ=ctt =+1)1(λμθ定义4 .3.1 （调节系数）设理赔满足我们称关于r 的方程0X ≥[]10E X μ=>的正数解R 为X 的调节系数.解的存在性问题？()X m t 是严格凸的,因为()()()210),01tX X X m t E X e m θμ'''⎡⎤=><+⎣⎦，并几乎无一例外地有()X m t 连续趋近于∞．调节系数也可以被看作如下等价方程的正数解。
指数效用函数的情况下，调节系数R对应于风险厌恶系数α。
例4 . 3 . 3 （指数分布场合下的调节系数）设X 服从一个参数为的指数分布，则对应的调节系数是如下方程的正数解：11βμ=这是唯一能明确求出R的连续分布定理4 . 3 . 4 （破产概率的Lundberg 型指数界）设在一个复合泊松风险过程中，初始资本金为，单位时间的保费为，理赔分布及其矩母函数分别为和, 并且调节系数R 满足（4 . 10 ) ，我们有如下关于破产概率的不等式：().P ()X mt。
现代精算风险理论 第4章_破产理论
（1）破产概率可以作为综合保费和索赔过程的保险公司稳健性的一个指标，是风险管理的一个有用工具．破产概率高意味着保险公司不稳定：这时保险人必须采取诸如进行再保或者提高保费等措施，或者还可以设法吸收一些额外的资本金．（2）不可以对破产概率理解绝对化，因为实际上它并非真正表示保险公司将在近期倒闭的概率.但可以用破产概率作为不同的保单组合进行比较风险大小的比较。
（3）破产概率的计算是精算学的一个经典的问题．但精确的破产概率仅仅对指数分布或取有限值的离散分布两种类型的才能计算出来．但可以给出没有破产的概率（未破产概率）的矩母函数。
盈余过程或者风险过程如下：4.2风险过程破产时刻定义如下：最终破产概率：如果N ( t ）是一个泊松过程，那么()S t 是一个复合泊松过程；对一个固定的0t t =。
累计理赔额()0S t 服从一个参数为0t λ的复合泊松分布．记理赔的分布函数和矩分别为定义: 负荷保费因子或者安全系数为θ)11c θλμ=+tt S E 1)((λμ=ctt =+1)1(λμθ定义4 .3.1 （调节系数）设理赔满足我们称关于r 的方程0X ≥[]10E X μ=>的正数解R 为X 的调节系数.解的存在性问题？()X m t 是严格凸的,因为()()()210),01tX X X m t E X e m θμ'''⎡⎤=><+⎣⎦，并几乎无一例外地有()X m t 连续趋近于∞．调节系数也可以被看作如下等价方程的正数解。
指数效用函数的情况下，调节系数R对应于风险厌恶系数α。
例4 . 3 . 3 （指数分布场合下的调节系数）设X 服从一个参数为的指数分布，则对应的调节系数是如下方程的正数解：11βμ=这是唯一能明确求出R的连续分布定理4 . 3 . 4 （破产概率的Lundberg 型指数界）设在一个复合泊松风险过程中，初始资本金为，单位时间的保费为，理赔分布及其矩母函数分别为和, 并且调节系数R 满足（4 . 10 ) ，我们有如下关于破产概率的不等式：().P ()X mt。
现代精算风险理论 第3章 聚合风险模型
E[etX ] exp( et 1)
P(N
k)
r
k k
1 pr
(1
p)k
,
E[etX
]
1
p (1
p)et
r
E[ X
]
r (1 p
p)
,Var[ X
]
r (1 p2
p)
,
例 3.3. l（泊松分布，参数的不确定性） 设某个汽车驾驶员
3.1 引 言
本章我们要引入聚合风险模型.同第2章那样，我们要 计算在某个时间段内理赔总额的分布函数，但是现在 要把风险组合理解为在随机时间点上产生的理赔全体. 记
其中N 表示理赔次数， X i 表示第i个理赔额． 此外，按习惯约定当N = 0 时S = 0.
这样的模型称为聚合风险模型！
• 在聚合模型中我们要求理赔次数和理赔额之间 相互独立，即（N与X1， X2，… Xn）
例3.4.3（应用：稀疏向量算法） 如果理赔额X 是
非负整值随机变量，可以用一种有效的方式来计
算复合泊松分布F．
设
4
,
Pr X
1, 2,3
1,1,1. 424
S 1N1 2N2 3N3
采用卷积来计算S 的分布。
1
4
1 4
1, 2
4 1 2
2, 3
故S是一个复合泊松随机变量.
(1)m个独立复合泊松保单组合的总和仍然服从复合泊松 分布. (2)对同一个复合泊松保单观测m年且假设逐年的结果相 互独立，则m年结果的总和也仍然服从复合泊松分布．
当每一个Si 有非随机的理赔额xi 时，我们有Si xi Ni ，
《风险理论》课程说明
《风险理论》课程说明学时：48学分：3授课班级：12级保险本科班开课学期：2014-2015学年第二学期授课教师：金璐教师联系方式：woshijinlu23@一、课程网址：http://222.30.192.115/本课程可以登录河北金融学院网络课堂，主要内容包括教学大纲、授课计划、教案、课件、章节课后练习、课外阅读材料。
二、教科书和参考书目：1.邹公明主编.风险理论，上海财经大学出版社，2006．2.龚日朝主编.保险风险理论模型，中国经济出版社，2011.3.肖芸茹主编.精算数学与实务：非寿险精算部分，南开大学出版社，2007.4.中国精算师协会主编.精算模型，中国时政经济出版社，2010.5.黄向阳主编.精算中常用的统计模型，中国人民大学出版社，2009.6.王晓军，主编.保险精算原理与实务，中国人民大学出版社，2014.三、课程简介、学习目标：风险理论是保险本科专业的必修课程。
本课程系统阐述了风险理论在精算中的地位，风险理论的研究对象与内容，内容包括期望效用模型、个体风险模型、聚合风险模型、破产概率、保费原理、奖惩系统、信度理论、广义线性模型、IBNR 技巧和风险排序。
通过这门课的学习，能为相关专业课程的学习打下坚实的基础，同时也能提高学生的精算知识水平。
四、本课程学习方法：（1）课前预习，课上听讲，课后发问认真学习课本内容，上课认真听讲，注意跟着老师的思路思考问题，自己完成课上练习题，课下及时进行复习，并加强自己对所学内容的理解和思考。
每次课程会抽取10分钟的时间让学生提出本次课程的疑问点，找其他明白的学生上讲台为其解答，老师再进行补充讲解，可以带动学生的积极性，让学生感觉到有紧张感，增加课堂的活跃度。
（2）撰写文献综述风险理论这门课程的核心更侧重了各种风险度量方法的学习和运用，而很多外文文献都对这些度量方法的产生、优缺点以及发展进程进行了详尽的描述。
教学过程中，针对不同的计量模型，鼓励学生挑取一些外文文献进行研读和参考，并且以小组的形式对文献核心进行讲解，并撰写文献综述。
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《现代精算风险理论》课程简介
现代精算风险理论 3.0
Modern Actuarial Risk Theory 3-0
预修课程：数学分析，概率论,随机过程
面向对象：三、四年级本科生
内容简介:
主要内容包括经典的风险理论的内容，如期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型等；也包括许多与精算实务息息相关的研究方法，如保费原理，IBNR 模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等。
课程的内容还包括现代精算风险理论的一些热点研究，如风险排序。
推荐教材或主要参考书：
教材：现代精算风险理论，R.卡尔斯，M.胡法兹，J. 达呐，M.狄尼特著，唐启鹤，胡太忠，成世学译，科学出版社。
参考书：数学风险论导引，汉斯. U. 盖伯著，世界图书出版公司。
风险理论， N.L.鲍尔斯等著，上海科学技术出版社。
《现代精算风险理论》教学大纲
现代精算风险理论 3.0
Modern Actuarial Risk Theory 3-0
预修课程：数学分析，概率论,随机过程
面向对象：三、四年级本科生
一、教学目的和基本要求：
通过本课程的学习，要求学生掌握非寿险精算的一些经典风险理论的模型，包括期望效用模型，个体风险模型，聚合风险模型和破产模型。
掌握与精算实务息息相关的研究方法，包括保费原理，IBNR模型，汽车保险保单的评估,广义线性模型、信度理论等等，了解现代精算风险理论的一些热点,包括风险排序等。
二、主要内容及学时分配：
第一章效用理论与保险（4学时）
期望效用模型；效用函数族；停止损失再保险的最优性。
课后习题3-5题。
第二章个体风险模型（4学时）
混合分布和风险；卷积；变换；近似；应用：最优再保险。
课后习题3-5题。
第三章聚合风险模型（4学时）
复合分布；理赔次数的分布；复合泊松分布；Panjer递推；复合分布的近似；
个体和聚合风险模型；几个理赔额分布和参数族；停止损失保险与近似；方差不等情形下的停止损失保费。
课后习题3-5题。
第四章破产理论（8学时）
风险过程；指数型上界；破产概率和指数型理赔；离散时间模型；再保与破产概率；Beekman卷积公式；破产概率的一些解析表达式；破产概率的近似计算。
课后习题3-5题。
第五章保费计算（4学时）
利用上下方法计算保费；各种保费原理；保费原理的性质；保费原理的刻画；通过共保来降低保费。
课后习题3-5题。
第六章奖惩系统（4学时）
奖惩系统的一个例子；马尔可夫分析。
课后习题3-5题。
第七章信度理论（4学时）
平衡Buhlmann模型；更一般的信度模型；Buhlmann-Straub模型；关于汽车保险理赔次数的负二项模型。
课后习题3-5题。
第八章广义线性模型（4学时）
广义线性模型；若干传统的估计方法与广义线性模型；偏差与比例偏差；列联表分析；广义线性模型的随机分量。
课后习题3-5题。
第九章IBNR技巧（4学时）
一个包容不同IBNR方法的广义线性模型；若干IBNR方法的数值说明。
课后习题3-5题。
第十章风险排序（8学时）
较大风险；更危险的风险；应用；不完全信息；相依随机变量之和。
课后习题3-5题。
三、教学方式：课堂讲授。
四、相关教学环节安排：
1.安排助教批改学生的作业；
2.采用多媒体教学。
五、考试方式及要求：
期末闭卷考80%，平时作业20%。
六、推荐教材或主要参考书：
教材：现代精算风险理论，R.卡尔斯，M.胡法兹，J. 达呐，M.狄尼特著，唐启鹤，胡太忠，成世学译，科学出版社。
参考书：数学风险论导引，汉斯. U. 盖伯著，世界图书出版公司。
风险理论， N.L.鲍尔斯等著，上海科学技术出版社。
七、有关说明：。