勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别

勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。

在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。

勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。

它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。

它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。

关键词：勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分1、定义1.1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210 将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-1x ∆ 2x ∆ n x ∆2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，若()i ni i T x f ∆∑=→10lim ξ存在()()∑⎰=→∆=ni iiT baxf dx x 10lim ξ1.2勒贝格积分定义设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E 21为E 的n 个互相不相交的可测子集且 ni i E 1E ==称{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划2）设{}n E E E D 21=，{}''2'1'D n E E E =均为E 的一个L-分划，若对''D E ∈∀存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细（D D 是'的加细）3）设{}n E E E D 21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i ni i mE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==ni i i mE B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和2黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。

对于无界函数的积分或函数在无穷区间上的积分，黎曼积分是作为广义积分来定义的，这时要求{}k E 是单调增加的可测集合列，其并为E ，若极限()dx x f KE k ⎰∞→lim 存在，则f 在E上勒贝格可积，且有()dx x f E⎰=()dx x f KE k ⎰∞→lim当k E 是矩体k I 且()x f 在每个k I 上都是有界连续函数，同时满足()dx x f KE k ⎰∞→lim <∞时，可以通过计算黎曼积分()dx x f E⎰而得到勒贝格积分()dx x f E⎰=()dx x f KE k ⎰∞→lim而且计算方法与k I 的选择没有关系，只需保证{}k I 单调增加到并集E 。

例1：设f 是区间[]b a ,上的有界单调函数，f 的不连续点至多是可列集，因此f 在[]b a ,上是几乎处处连续的，又因为f 在[]b a ,上是有界的，f 在[]b a ,上是黎曼可积的，所以也是勒贝格可积。

但是，必须指出，具有广义黎曼积分的函数并不一定勒贝格可积。

例2：设()x f =x xsin ，在数分中，f 在[]∞,0上的广义黎曼积分收敛的，但不是绝对收敛的而f 在[]∞,0上不是勒贝格可积的平时我们在解勒贝格积分时，有很多可以先化为求黎曼积分，下面我们看看几个例子。

例3：计算()x f =311-x 在[]2,1上的积分解：用截断函数求解()x f 是[]2,1上的非负函数，作截函数()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≤+-+<≤21111111333x n x n x n x f n显然，对每个()[]n x f 均黎曼可积，故也勒贝格可积()[][]()()⎰⎰⎰++-+=211311121331n n nx dx R dx n R dx x f ，=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛+23232311n n n n =22123n -于是()[]dx x f ⎰2,1=()[][]dx x f nn ⎰∞→2,1lim=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→22323lim n n =23例4：设()∞=，0E ，E 上函数 [1]()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞∈∈=--,1]1,0(221x x x x x f求()dx x f E⎰解：作截断函数()[]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∞<<≤<≤<=--x x x n x n x n x f n1111022212取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=n n E n ,12， ,2,1=n 由于()[]n x f 在n E 上黎曼可积，故()[]dx x f nE n ⎰=()()dx x R dx xR nn ⎰⎰--+1211212=21111221n x n x -=3-n3()()⎰E dx x f L =()[]dx x f nEn n⎰∞→lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n 33lim=3勒贝格积分是黎曼积分的推广与发展,是一种新型积分理论。

相对于黎曼积分而言,勒贝格积分处理一些问题是相当灵活与自然的，上面的例题就充分的说明了这点。

3勒贝格积分与黎曼积分的区别黎曼积分相对勒贝格积分有明显的局限性。

勒贝格积分比黎曼积分有明显的优势，它将可积函数类拓广为有界可测函数。

勒贝格积分的可积围比黎曼积分广泛，比如：[]b a ,上的连续函数黎曼可积，也勒贝格可积，此外，还有非黎曼可积，但勒贝格可积的例子有很多，如[]10，上的狄立克莱函数 [2] ()⎩⎨⎧是有理数时当是无理数时当x x x D 10 就是黎曼不可积，但是勒贝格可积。

勒贝格积分包含了黎曼积分，这样的结论：()x f 在[]b a ,上黎曼可积，则有勒贝格可积，且积分值相同。

在数分中,经常遇到的一个重要问题是两种极限过程的交换次序问题,尤其是积分与函数列的极限的交换问题在那里，一般都是用函数列一致收敛的条件来保证极限运算与积分运算的次序可以交换但是，“一致收敛”这个条件是过于苛刻了,这也暴露出黎曼积分定义的缺陷。

其实黎曼积分与勒贝格积分大体上是相似的，仅从分割函数的定义域的角度来说，其区别在于黎曼积分所考虑的分划（如定义），只是把原来的区间分解成有限多个小区间，而勒贝格积分的分划则是把[]b a ,分成有限多个互不相交的可测子集，由定义对比可知，前者的分划必是后者的分划，所以黎曼意义下的大、小和必是勒贝格意义下的大、小和，故得到相同的积分值。

因为勒贝格积分相对黎曼积分的优越性，所以平时我们运用勒贝格积分解决黎曼积分中较难的问题。

例5：计算()10，黎曼函数()⎪⎩⎪⎨⎧==是无理数时当为互质正整数当x g px g x R 01的积分()dx x R ⎰10 [3]。

这个函数在所有无理点处事连续的，在有理点是不连续的，虽然在()10，中有无穷多个有理点，即黎曼函数在()10，上的不连续点有无穷多个，但这个函数在()10，仍然是黎曼可积的，且有0)(1=⎰dx x f ，但是用黎曼积分方法来求其积分值比较复杂，然而用勒贝格积分的方法来求积分值就显然十分简单了。

解：由()x R 是黎曼可积⇔()x R 几乎处处连续，所以令(){}中的有理数，为10x x A =，()A B -=1,0，则()()()()()dx x R L dx x R R ⎰⎰=1,01=()()()()⎰⎰+BAdx x R L dx x R L=0+()()⎰Bdx x R L=()⎰•Bdm L 0=0例6：已知()[][][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈有理点小于无理点无理点大于1,001,0311,032x x x x x x f求()[]dx x f ⎰10，解：令()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈31,01,3132x x x x x g ()()x g x f = a.e.于[]1,0()[]dx x f ⎰1,0=()[]dx x g ⎰1,0=()dx x g ⎰1=dx x dx x ⎰⎰+13123103=3113031434x x +=324103利用勒贝格积分可得出较黎曼积分比较深刻的结论,其中之一就是函数黎曼可积条件的推广。

利用勒贝格积分理论中的积分极限定理,可以证明[4]:[]b a ,上的有界函数()x f ,黎曼可积的充分必要条件是()x f 在[]b a ,上几乎处处连续即不连续点的测度长度为0 ,这是黎曼积分的本质特性,从黎曼积分的自身理论是推不出来的 ,必须借助勒贝格积分理论才能得到。

但是黎曼积分也有它的优势，比如在非均匀分布时“直线段”质量、平面薄板质量等等的问题上，用黎曼积分比较简捷方便 。

总结：1、勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系,它从数学侧面验证了科学哲学思想中的对应原理。

2、勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。

它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。

3、勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。

它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。

由勒贝格控制收敛定理可知,只要所给函数列可测、有界、收敛,积分与极限就可换序,这一点在三角级数、热学研究中非常重要。

4、勒贝格积分并没有完全否定和抛弃黎曼积分,它把黎曼积分作为一种特例加以概括,并且在一定条件下勒贝格积分可以转化为黎曼积分。

由此可见,勒贝格积分和黎曼积分各有自己的优势和价值。

在计算连续函数的积分时, 黎曼积分要比勒贝格积分简便、优越。

但勒贝格积分是积分发展史上的一次革命,它使得积分论在集合论、测度论的基础上走向现代化,从而有可能在现代水平的层次上向其它现代数学分支渗透,促进了其它学科的发展,特别是三角级数和函数序列方面。

概率论,泛函分析等学科也受到勒贝格积分的积极影响。

此外, 勒贝格积分作为纯粹数学研究的产物,后来在热学,统计力学,控制论等自然学科得到深刻而重要的应用。