浅谈分段函数的学习

浅谈分段函数的学习
山西 张朝霞
分段函数是指自变量不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数。

分段函数是一类表达形式特殊的函数，学习时应牢记“三个要点九条注意事项”。

“三个要点”是：
（1）分段函数只有一个对应法则，是一个函数，切不可把它看成是几个函数。

分段函数在书写时用括号把各段函数合并写成一个函数的形式，并且必须指明各段函数的自变量x 的取值范围。

（2）分段函数的定义域是函数各段自变量取值集合的并集。

一个函数只有一个定义域，只能写成一个集合的形式，不能分开写成几个集合的形式。

（3）分段函数的值域是各段函数值集合的并集。

求分段函数的值域，应先求出各段函数在对应自变量的取值范围内的函数值的集合，再求出它们的并集。

“九条注意事项”是：
（1）作分段函数的图象时应注意只能在同一坐标系中作出各段函数的图象。

例1 作函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤-=32,4220,12)(x x x x x g 的图象。

【解】所作函数图象如右图所示。

段函数图象分别作在不同的坐标系中。

（2）求函数值应注意自变量所在范围及其相应的函数值。

例2 设,0.(),0.
x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1(())2g g =_________ 【解】1ln 2111(())(ln )222g g g e ===. 【说明】求分段函数的函数值的关键是根据自变量的取值范围确定相应的函数值。

（3） 求分段函数的最值应注意比较各段函数最值的大小。

例3对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩⎨⎧≥b
a b b a a ＜,,，函数f （x ）＝max{|x+1|,|x-2|}(x ∈R)
的最小值是
(A)0 (B)12 (C) 32
(D)3 【解】当x <－1时，|x ＋1|＝－x －1，|x －2|＝2－x ，因为（－x －1）－（2－x ）
＝－3<0，所以2－x >－x －1；当－1≤x <12
时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝2－x ，
因为（x ＋1）－（2－x ）＝2x －1<0，x ＋1<2－x ；当
12
≤x <2时，x ＋1≥2－x ；当x ≥2时，|x ＋1|＝x ＋1，|x －2|＝x －2，显然x ＋1>x －2； 故2((,1)12([1,))2()11([,2))21([2,))x x x x f x x x x x -∈-∞-⎧⎪⎪-∈-⎪=⎨⎪+∈⎪⎪+∈+∞⎩据此求得最小值为32。

选C 【说明】求分段函数的最值，应先分别求出各段函数中对应的最值，然后再取各段的最值进行比较，从而达到求解最值的目的。

（4）求分段函数构成的方程或不等式时应分段讨论
例4 已知函数21(0)()21(1)
x c cx x c f x c x -+<<⎧⎪=⎨⎪+<⎩ ≤满足29()8f c =． ○
1求常数c 的值； ○2
解不等式()1f x >． 【解】○1因为01c <<，所以2c c <；由29()8f c =，即3918c +=，12c =． ○2由○1得411122()211x x x f x x -⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩
，，≤
由()18f x >+得， 当102x <<
12
x <<；当112x <≤时，解得1528x <≤
所以()18f x >+
的解集为58x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩
⎭ 【说明】解由分段函数构成的方程或不等式，通常应等价转化为方程组或不等式组来求解，但必须分段考虑，以免漏解。

（5）求分段函数的反函数应注意先分段求解，然后合并得到分段函数的反函数
例5 函数y =⎩⎨⎧<-≥0
,0,22x x x x 的反函数是
A ．y =⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,2x x x x
B ．y =⎩⎨⎧<-≥0,0,2x x x x
C ．y =⎪⎩⎪⎨⎧<--≥0
,0,2x x x x D ．y =⎩⎨⎧<--≥0,0,2x x x x
【解】当x ≥0时，由2y x =≥0得12x y = 所以1(2
y x x =≥0） 当x <0时,由2y x =-<0
得x =
所以y x =<0)所以选C
【说明】求分段函数的反函数,应先求出各个区间上的反函数及定义域,然后合并成一个函数。

值得特别注意的是，分段函数的反函数仍然是分段函数。

（6）判断分段函数奇偶性应注意分段讨论。

例6 判断函数()f x = 2(1)0(11)2(1)
x x x x x +<<<+>---的奇偶性。

【解】该函数的定义域关于原点对称。

当1x <-时，1x >-，())2f x x =+--(-=()2x f x +=
； 当11x <<-时，11x <<--，()f x -=0=
()f x 当 1x >时，x <-1-，()f x -=()f x 。

所以，对一切x ∈R ，都有()()f x f x =-。

因此，函数
()f x 是偶函数。

【说明】分段函数奇偶性的判断，应先分析其定义域是否关于原点对称，然后对x 的值进行分类讨论，寻求()f x 与()f x -在各段上的关系，从而判断函数的奇偶性。

注意函数的奇偶性是对整个定义域而言的。

（7）分段函数的复合运算应也应注意分段讨论。

○
1复合求值 例7设1232,2()((2))log (1) 2.
x e x f x f f x x -⎧⎪=⎨-≥⎪⎩＜，则的值为， (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解：f （f （2））＝f （1）＝2，选C
○
2复合求解析式 例8 已知函数()2f x x =-1 ，x g()=
2,01,0x x x ><- 求()f g x ⎡⎤⎣⎦和()g f x ⎡⎤⎣⎦。

【解】0x >时，x g()=2x ，()f g x ⎡⎤⎣⎦
=21x -2；
0x <时，1x -g()=，
()f g x ⎡⎤⎣⎦=－2－1=－3； 所以
()f g x ⎡⎤⎣⎦= 221,00x x x ><--3 , 当21x ->0即x >12时，()g f x ⎡⎤⎣⎦
=221)x (-；
当21x -<0即x <12时，()g f x ⎡⎤⎣⎦=－1； 所以 ()g f x ⎡⎤⎣⎦= 2121),211,2
x x x ><(--。

【说明】求分段函数复合后的解析式应注意分段考虑，特别要注意复合后的定义域变化。

（8）分段函数的连续性判断应注意某一点的极限值求法要分段考虑 例 9 223(1)x x x +≤-
函数()f x = (12)x x << 则()f x
22(x x -≥2)
A 在点x =1处不连续
B 在点x =2处不连续
C 在x =1和x =2处不连续
D 处处连续
【解】函数在x =1处的左极限应把1 代入22x x +3-中求得结果为0,而函数在x =1处的右极限应把1代入x 中求得结果为1.所以函数在x =1处不连续.所以选A,同理可判断其它选项是错误的。

(9)分段函数的单调性的判断应注意各段间的联结关系
例10已知(31)4,1() log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值范
围是
（A ）(0,1) （B ）1(0,)3 （C ）11[,)73 （D ）1[,1)7
【解】：由()f x 在R 上是减函数，∴()f x 在[1,)+∞上单调递减，由对数函数单
调性知01a <<○1，又由
()f x 在(,1)∞-上单调递减，∴3a -1<0，∴13a <○2，又由于()f x 在R 上是减函数，为了满足满足单调区间的定义，()f x 在(,1)∞-上的最小值71a -要大于等于()f x 在[1,)+∞上的最大值0，才能保证单调区间，书
写上的完整性，∴71a -≥0，即a ≥17○3 ，由○1○2○3可得17≤a ＜1
3
【说明】以分段函数为依托,利用函数单调性研究不等式问题,从表面看由两段函数单调递减分别求字母取值范围,然后求交集即可.实质上这里在引用一个错误结论“函数在两个不同区间递减，那么在这两个区间上的并集上仍然递减”，要证分段函数在(,)-∞+∞上递减，还需要一次函数的最小值不小于对数函数的最大值。