(新)高中数学第二章统计2_1_3分层抽样2_1_4数据的收集

2．1.3 分层抽样 2．1.4 数据的收集[学习目标]1．理解并掌握分层抽样；会用分层抽样从总体中抽取样本；2．了解三种抽样法的联系和区别；3．数据收集的作用．[知识链接]学校教务处每年都要进行一次评教、评学活动，即对本学年教师的授课、学生的接受状况进行了解，教务处规定每班选两名同学作为代表，他们分别是各班的班长和学习委员，你认为这样科学吗？[预习导引]1．分层抽样的概念当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．2．分层抽样的优点(1)使样本具有较强的代表性．(2)在各层抽样时，可灵活地选用不同的抽样方法．3．收集数据的常用方式有做试验、查阅资料、设计调查问卷．4．做试验：根据调查项目的要求来设计一些合适的试验，能够直接地获得样本数据．5．查阅资料：有些数据资料不容易直接调查得到，这时可以通过查阅统计年鉴、图书馆文献等办法获得所需或相关的数据．还可以通过因特网上的资源得到数据资料．6．调查问卷一般由一组有目的、有系统、有顺序的题目组成．在调查问卷中，设计题目应注意符合以下要求：(1)问题要具体、有针对性，使受调查者能够容易作答．(2)语言简单、准确、含义清楚，避免出现有歧义或意思含混的句子．(3)题目不能出现引导受调查者答题倾向的语句.要点一分层抽样的概念例1 下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是( )A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100户的样本C．从1 000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量答案 B解析A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层抽样．规律方法判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点：(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)能更充分地反映了总体的情况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．跟踪演练1 (2013·湖南高考)某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法答案 D解析由于是调查男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在差异，因此用分层抽样方法．要点二分层抽样的步骤例2 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？解用分层抽样来抽取样本，步骤是：(1)分层．按年龄将职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽280×15＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽95×15＝19(人)．(3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本． (4)综合每层抽样，组成样本．规律方法 利用分层抽样抽取样本的操作步骤为 (1)将总体按一定标准进行分层；(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比；(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量； (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样或系统抽样)； (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．跟踪演练2 某校共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( )A.24 C ．16 D ．12答案 C解析 一、二年级的人数为750＋750＝1 500，所以三年级人数为2 000－1 500＝500.又64∶2 000＝4∶125，因此三年级应抽取人数为500×4125＝16.要点三 抽样方法的综合应用例3 为了考察某校的教学水平，抽查了这个学校高三年级部分学生的本学年考试成绩进行考察．为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．①从全年级14个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取14人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计14人，考察这14个学生的成绩；③把该校高三年级的学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中抽取100名学生进行考查(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，普通学生有175名)．根据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式各自采用何种抽取样本的方法？ (3)试分别写出上面三种抽取方法各自抽取样本的步骤．解 (1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第二种抽取方式中样本为所抽取的14名学生本年度的考试成绩，样本容量为14；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这14个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其考试成绩． 第二种方式抽样的步骤如下：第一步：在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为x ； 第二步：在其余的13个班中，选取学号为x ＋50k (1≤k ≤12，k ∈Z )的学生，共计14人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步：分层，因为若按成绩分，其中优秀生共105人，良好生共420人，普通生共175人，所以在抽取样本中，应该把全体学生分成三个层次．第二步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每个层抽取的个体数依次为1057，4207，1757，即15,60,25.第三步：按层分别抽取，在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人，在良好生中用简单随机抽样法抽取60人，在普通生中用简单随机抽样法抽取25人． 第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．规律方法 1.简单随机抽样、系统抽样和分层抽样是三种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用．2．三种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但各种方法间又有密切联系．在应用时要根据实际情况选取合适的方法．3．三种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．跟踪演练3 下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；(2)某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本；(3)某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；(4)体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖．解例4 请设计一份调查问卷，就最近结束的一次考试调查学生作弊情况．解调查问卷设计如下：姓名__________ 所在班级__________为了防止您回答的问题被别人知道，请您先从袋子里摸出一个棋子．若摸到的是白棋子，就如实回答问题一；若摸到的是黑棋子，就如实回答问题二．每个问题仅有两个答案：是或否．如您回答的是“是”，请在问题后面的方框内划“√”；如您回答的是“否”，不用做任何标记．问题一：您在这次考试中作弊了吗？□问题二：您的生日中的日期是偶数吗？□注意：如您回答的是“是”，请在方框内划“√”．规律方法本例是学生关心的敏感问题，如何消除被调查者的顾虑，使他们如实回答是设计问卷的关键．跟踪演练4 请设计一份关于中学生的课余活动情况的调查问卷．解调查问卷设计如下：姓名：__________ 班级：__________年龄：__________ 性别：__________联系电话：__________(1)你每天的课余时间约为( )A．2小时B．3小时C．3小时以上(2)你们的课余时间安排是( )A．自由活动B．组织安排(3)你的主要娱乐方式是( )A．踢足球B．打篮球C．打羽毛球D．上网E．其他(4)你觉得课余活动时间( )A．太少B．适中C．太多1．(2013·课标全国Ⅰ)为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样答案 C解析结合三种抽样的特点及抽样要求求解．由于三个学段学生的视力情况差别较大，故需按学段分层抽样．2．指出下面的哪些调查适用于全面调查__________．(填序号)①了解红星中学七年级学生双休日的生活情况；②了解青少年学生对文艺明星、体育明星的态度；③了解税费改革后对农民负担的影响；④了解2013年春节晚会的收视率；⑤了解“一次性木筷”的使用对绿化的影响．答案①解析①适合全面调查；②③④⑤不适合全面调查．3．①教育局到某学校检查工作，打算在每个班各抽调2人参加座谈；②某班其中考试有10人在85分以上，25人在60～84分，5人不及格，欲从中抽出8人参加改进教与学研讨；③某班级举行元旦晚会，要产生两名“幸运者”，则合适的抽样方法分别为( )A ．系统抽样，系统抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样，简单随机抽样C ．系统抽样，分层抽样，简单随机抽样D ．分层抽样，简单随机抽样，简单随机抽样 答案 C4．(2013·成都高一检测)某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是( ) A ．8,8 B ．10,6 C ．9,7 D ．12,4答案 C解析 抽样比为1652＋42＝16，则一班和二班分别被抽取的人数是54×16＝9,42×16＝7.5．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150,150,400,300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为__________． 答案 16解析 应在丙专业抽取的学生人数是 40150＋150＋400＋300×400＝16.1．对于分层抽样中的比值问题，常利用以下关系式巧解：(1)样本容量n 总体的个数N ＝各层抽取的个体数该层的个体数； (2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比． 2．选择抽样方法的规律：(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用抽签法． (2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采用随机数法． (3)当总体容量较大，样本容量也较大时，可采用系统抽样法． (4)当总体是由差异明显的几部分组成时，可采用分层抽样.。