2020年中考综合模拟检测《数学试卷》附答案解析

中考考前综合模拟测试数 学 试 卷（时间：xx 分钟 总分：xx 分）学校________ 班级________ 姓名________ 座号________一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1.实数2-的绝对值是（ ) A. 2B.2 C. 2- D. 2-2.某种花粉的直径为0.00000368cm ，把数据0.00000368科学记数法表示为（ ） A. 43.6810-⨯B. 53.6810-⨯C. 63.6810-⨯D. 73.6810-⨯3. 如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.4.下列运算正确的是（ ）． A. 23523m m m +=B. 236m m m ⋅=C. 33()m m -=-D. 33()mn mn =5.如图，若直线MN PQ P ，ACB ∠的顶点C 在直线MN 与PQ 之间，若59ACB ∠=︒，34CFQ ∠=︒，则CEN ∠的度数为（ ）A. 59°B. 34°C. 24°D. 25°6.下表记录了甲、乙、丙、丁四名八年级学生最近几次校数学竞赛成绩的平均数与方差：甲 乙 丙丁平均数（分） 115 110 115 110 方差 3.43.47.38.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加市数学竞赛，应该选择（ ） A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7.如图，将ABC V 沿BC 边上的中线AD 平移到A B C '''V 的位置，已知ABC V 的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若1AA '=，则AD 等于（ ）A .2B. 3C.23D.328.若关于x 的一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该方程有两个不相等的实数根的概率为（ ） A.23B.12C.13D.169.如图，某电信公司提供了A ，B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （元）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）（1）若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元； （2）若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜12元； （3）若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多； （4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，动点P 从点B 出发，在线段BC 上匀速运动，到达点C 时停止．设点P 运动的路程为x ，线段OP 的长为y ，如果y 与x 的函数图象如图2所示，则矩形ABCD 的面积是（ ）A. 12B. 24C. 48D. 60二、填空题（每小题3分，共15分）11.计算：23182-⎛⎫--= ⎪⎝⎭_________．12.若关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩，则关于a 、b 的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______． 13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点C （0，4），D 是OA 中点，将△CDO 以C 为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C 与点O 重合，写出此时点D 的对应点的坐标：_____．14.如图，将直径为4，圆心角为90°扇形BAC 绕A 点逆时针旋转60°，点B 、C 的对应点分别为点D 、E 且点D 刚好在»AC 上，则阴影部分的面积为_____．15.如图，在菱形ABCD 中，45DAB ∠=︒，4AB =，P 为线段AB 上一动点，且不与点A 重合，过点P 作PE AB ⊥交AD 于点E ，将A ∠沿PE 折叠，点A 落在直线AB 上点F 处，连接DF 、CF ，当CDF V 为等腰三角形时，AP 的长是_________．三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.先化简，再求值：1﹣2222244x y x y x y x xy y--÷+++，其中x 、y 满足|x ﹣2|+（2x ﹣y ﹣3）2＝0． 17.绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：设销售员的月销售额为x （单位：万元）．销售部规定：当x<16时，为“不称职”，当 1620x ≤<时为“基本称职”，当2025x ≤< 时为“称职”，当25x ≥ 时为“优秀”.根据以上信息，解答下列问题： （1）补全折线统计图和扇形统计图；（2）求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励．如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由.18.如图，AB 是O e 的直径，点C 是O e 上一点，点D 是»BC 的中点，过点D 作O e 的切线，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD ．（1）求证：AF EF ⊥． （2）填空：①已知8AB =，当BE =_________时，AC CF =．②连接BD 、CD 、OC ．当E ∠的度数为_________时，四边形OBDC 是菱形．19.汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l ，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l 上确定A ，B 两点，并在AB 路段进行区间测速．在l 外取一点P ，作PC ⊥l ，垂足为点C ．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A 到点B 用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）20.如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，与反比例函数my x=的图象在第二象限交于点C ，CE ⊥x 轴，垂足为点E ，tan ∠ABO =12，OB =4，OE =2． （1）求反比例函数的解析式；（2）若点D 是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D 作DF ⊥y 轴，垂足为点F ，连接OD 、BF ．如果S △BAF =4S △DFO ，求点D 的坐标．21.我市某工艺厂，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得到如下数据： 销售单价x (元∕件) … 30 40 50 60 … 每天销售量y (件) …500400300200…(1)上表中x 、y 的各组对应值满足一次函数关系，请求出y 与x 的函数关系式；(2)物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？22.在ABC V 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，以CA 为边在ACB ∠的另一侧作ACM ACB ∠=∠，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE BD =，连接AD 、DE 、AE ．（1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，ADE ∠的度数为__________．（2）如图2，当点D 落在线段BC （不含边界）上时，AC 与DE 交于点F ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若12AB =，求CF 的最大值．23.如图，已知直线24y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，抛物线过A ，B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交抛物线于点D ．（1）若抛物线的顶点M的坐标为19,22⎛⎫⎪⎝⎭，其对称轴交AB于点N，①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与AOBV相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式：若不存在，请说明理由答案与解析一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的．1.实数的绝对值是（ )A. 2B.C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值的意义 ，可以知道负数的绝对值等于它的相反数．【详解】解： 故选C ．【点睛】本题考查绝对值．2.某种花粉的直径为0.00000368cm ，把数据0.00000368科学记数法表示为（ ） A. 43.6810-⨯ B. 53.6810-⨯C. 63.6810-⨯D. 73.6810-⨯【答案】C 【解析】 【分析】较小数的科学计数法，表示为：10n a -⨯的形式 【详解】0.00000368表示为10n a -⨯的形式 其中a=3.68则原数小数点需要向右移动6位变为3.68，即n=6 即这个数表示为：3.68×610- 故选：C【点睛】科学计数法还可以表示较大的数，表示为10n a ⨯的形式 3. 如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】从左边看可以看到两个小正方形摞在一起，故选B. 4.下列运算正确的是（ ）． A. 23523m m m += B. 236m m m ⋅=C. 33()m m -=-D. 33()mn mn =【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂以及积的乘方运算规则，逐一判定即可.【详解】A 选项，2m 与32m 不是同类项，不能合并，此选项错误； B 选项，235m m m ⋅=，此选项错误； C 选项，33()m m -=-，此选项正确； D 选项，333()mn m n =，此选项错误； 故选：C ．【点睛】此题主要考查同底数幂以及积的乘方运算，熟练掌握，即可解题.5.如图，若直线MN PQ P ，ACB ∠的顶点C 在直线MN 与PQ 之间，若59ACB ∠=︒，34CFQ ∠=︒，则CEN ∠的度数为（ ）A. 59°B. 34°C. 24°D. 25°【答案】D【解析】【分析】如下图，过点C作CD∥MN，可得到∠ACB=∠AEM+∠PFB，进而求解∠CEN【详解】如下图，过点C作CD∥MN∵DC∥MN，MN∥PQ∴DC∥PQ∴∠AEM=∠ACD，∠DCB=∠PFB∵∠CFQ=34°，∴∠PFB=∠DCB=34°∵∠ACB=59°，∴∠ACD=∠AEM=25°，∴∠CEN=25°故选：D【点睛】本题是相交线与平行线中典型的“M型”模型，辅助线为作平行线.6.下表记录了甲、乙、丙、丁四名八年级学生最近几次校数学竞赛成绩的平均数与方差：甲乙丙丁平均数（分）115 110 115 110方差 3.4 3.4 7.3 8.5根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的学生参加市数学竞赛，应该选择（）A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】A【解析】【分析】（1）平均分反映了成绩的好坏；（2）方差反映了稳定程度【详解】如上表，其中甲、丙的平均成绩为115分，最高，故在这两个人中选择；其中甲的方差比丙的方差小，说明甲的成绩比较稳定故选：A【点睛】注意，方差越小表示越稳定，切不可弄反.7.如图，将ABCV沿BC边上的中线AD平移到A B C'''V的位置，已知ABCV的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若1AA'=，则AD等于（）A. 2B. 3C.23D.32【答案】A【解析】【分析】如下图，△A'ED∽△ABD，根据相似中面积比等于边长比的平方，可列方程求得结果.【详解】如下图∵AD是△ABC的中线，△ABC的面积为9∴92ABDS=V∵图中阴影部分面积为4∴同理2A EDS'=V∵△A B C'''是△ABC平移得到，∴△A B C'''≌△ABC，且AB∥A B''∴∠ABD=∠A ED'，∠ADB=∠ADB∴△ABD∽△A ED'∴2ABD A EDS AD A D S '⎛⎫=⎪⎝' ⎭V V ∵AD=1+A D '，所以上述方程可解得：2A D '=或25A D '=-（舍） 故选：A【点睛】需要注意，若相似图形的边长比为k ，则面积比为2k8.若关于x 的一元二次方程220x kx -+=中，k 是投掷骰子所得的数字（1，2，3，4，5，6），则该方程有两个不相等的实数根的概率为（ ） A. 23 B. 12 C. 13 D. 16【答案】A【解析】【分析】（1）利用△判断出一元二次方程有两个实根时k 的取值范围；（2）根据k 的取值范围，判断1-6中哪些符合；（3）求概率【详解】∵要使一元二次方程220x kx -+=有两个不相等的实根∴△＞0，即()24120k -->n n解得：k ＞k -＜∴在1-6中，满足条件的有：3、4、5、6这4个数∴概率P=4263= 故选：A【点睛】本题将概率和二次函数结合起来考察，头脑需要清醒，实际是考察了2个知识点：（1）用△判定根的情况；（2）简单概率求解9.如图，某电信公司提供了A ，B 两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （元）之间的关系，则下列结论中正确的有（ ）（1）若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元；（2）若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜12元；（3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多；（4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】当B方案为50元时，A方案如果是40元或者60元，才能使两种方案通讯费用相差10元，先求两种方案的函数解析式，再求对应的时间．【详解】解：A方案的函数解析式为：yA=30(0120) {218(120)5xx x≤-＜＞；B方案的函数解析式为：yB=50(0200){230(200)5xx x≤-＜＞；当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元，将y A=40或60代入，得x=145分或195分，故D错误；观察函数图象可知（1）、（2）、（3）正确．故选C．【点睛】本题考查函数的图象．10.如图1，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，动点P从点B出发，在线段BC上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段OP的长为y，如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形ABCD的面积是（）A. 12B. 24C. 48D. 60 【答案】C【解析】【分析】（1）读图2知，最低点即为点P运动到BC中点处；（2）如下图，当点P为BC中点时，得BP=4，OP=3，OP⊥BC【详解】如下图所示∵当BP=4时，OP距离最短，即OP⊥BC∴根据矩形性质知，BP=PC=4，2OP=AB=6∴AB=6，BC=8,∴矩形面积为：6×8=48故选：C【点睛】本题是一道综合题，首先需要根据图2读懂(4，3)的意义，再结合矩形性质求解.二、填空题（每小题3分，共15分）11.23182-⎛⎫-=⎪⎝⎭_________．【答案】6-【解析】【分析】（1）负数三次根号，得到的结果依旧是负数（2）负指数幂，结果为这个数倒数的正指数幂【详解】原式=(－2)－4=－6【点睛】注意，关于负指数幂的计算规则为：1nn aa -=12.若关于x、y的二元一次方程组3526x myx ny-=⎧⎨+=⎩的解是12xy=⎧⎨=⎩，则关于a、b的二元一次方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是_______． 【答案】3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】方法一：利用关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩可得m 、n 的数值，代入关于a 、b 的方程组即可求解；方法二：根据方程组的特点可得方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是12a b a b +=⎧⎨-=⎩，再利用加减消元法即可求出a,b ． 【详解】详解：∵关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩， ∴将解12x y =⎧⎨=⎩代入方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩ 可得m=﹣1，n=2∴关于a 、b 的二元一次方程组()()()()3=526a b m a b a b n a b ⎧+--⎪⎨++-=⎪⎩整理为：42546a b a +=⎧⎨=⎩ 解得：3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩方法二：∵关于x 、y 的二元一次方程组3526x my x ny -=⎧⎨+=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩ ∴方程组3()()=52()()6a b m a b a b n a b +--⎧⎨++-=⎩的解是12a b a b +=⎧⎨-=⎩解12a b a b +=⎧⎨-=⎩得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩故答案为：3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显． 13.如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是正方形，点C （0，4），D 是OA 中点，将△CDO 以C 为旋转中心逆时针旋转90°后，再将得到的三角形平移，使点C 与点O 重合，写出此时点D 的对应点的坐标：_____．【答案】（4，2）．【解析】【分析】利用图象旋转和平移可以得到结果.【详解】解：∵△CDO绕点C 逆时针旋转90°，得到△CBD′，则BD′=OD =2，∴点D 坐标为（4，6）；当将点C 与点O 重合时，点C 向下平移4个单位，得到△OAD ′′，∴点D 向下平移4个单位．故点D′′坐标为（4，2），故答案为（4，2）．【点睛】平移和旋转：平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移.定义在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.14.如图，将直径为4，圆心角为90°的扇形BAC 绕A 点逆时针旋转60°，点B 、C 的对应点分别为点D 、E 且点D 刚好在»AC 上，则阴影部分的面积为_____．【答案】3π+3． 【解析】【分析】直接利用旋转的性质结合扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质得出S阴影＝S 扇形ADE ﹣S 弓形AD ＝S 扇形ABC ﹣S 弓形AD ，进而得出答案．【详解】连接BD ，过点B 作BN ⊥AD 于点N ，∵将半径为2，圆心角为90°的扇形BAC 绕A 点逆时针旋转60°， ∴∠BAD ＝60°，AB ＝AD ， ∴△ABD 是等边三角形，∴∠ABD ＝60°， 则∠ABN ＝30°， 故AN ＝1，BN 3S 阴影＝S 扇形ADE ﹣S 弓形AD ＝S 扇形ABC ﹣S 弓形AD＝2902360π⨯⨯ ﹣（2602360π⨯⨯﹣12×2×3 ＝π﹣（23π3＝3π+3． 故答案为3π +3． 【点睛】此题主要考查了扇形面积求法以及等边三角形的判定与性质，正确得出△ABD 是等边三角形是解题关键．15.如图，在菱形ABCD 中，45DAB ∠=︒，4AB =，P 为线段AB 上一动点，且不与点A 重合，过点P 作PE AB ⊥交AD 于点E ，将A ∠沿PE 折叠，点A 落在直线AB 上点F 处，连接DF 、CF ，当CDF V 为等腰三角形时，AP 的长是_________．【答案】22或2或12+【解析】【分析】△CDF 是等腰三角形，存在3种情况：（1）DF=DC ；（2）DF=FC ；（3）CF=CD在这3种情况下，在分别分析【详解】存在3种情况，下面依次分析情况一：DF=DC ，如下图∵∠A=45°，EP ⊥AB ，△EFP 是△EAP 折叠得到∴∠EFP=∠A=45°∴∠AEF=90°，∴∠FED=90°设AP=x ，则EP=PF=x ，2x∵菱形的边长为4，∴ED=4－2x ，DF=4 ∴在Rt △EDF 中，222ED EF DF +=，即：()()22242x2x 4+=－解得：x=22，∴AP=22情况二：DF=FC 如下图，过点D 作AB 的垂线，交AB 于点H ，过线段DC 中点G 作垂线，交AB 延长线于点F∵∠A=45°，DH ⊥AB ，菱形边长为4∴AD=4，2∵DF=FC ，∴过点DC 作垂直平分线，与AB 的交点即为点F ，即如图所示∵DC=4，∴DG=GC=HF=2∴22∵点P 是AF 的中点∴21情况三：CF=CD∵CF=CD∴CF=CD=4，则点F 与点B 重合∴AP=2综上得：221或2【点睛】此题是多解问题，等腰三角形的多解问题，常常这样考察，若题干告知△ABC 是等腰三角形，则存在3种情况：（1）AB=BC ；（2）AB=AC ；（3）BC=AC三、解答题（本大题共8个小题，共75分）16.先化简，再求值：1﹣2222244x y x y x y x xy y--÷+++，其中x 、y 满足|x ﹣2|+（2x ﹣y ﹣3）2＝0．【答案】－13 【解析】 【分析】 先通分, 并将除法运算化为乘法运算对原式进行化简, 再通过已知条件,根据 “绝对值和完全平方数均大于等于0”的性质列出二元一次方程组, 解得x 和y 的值, 将其代入原式计算即可．【详解】原式＝1－2(2)2()()x y x y x y x y x y -+⋅++-＝1－2x y x y ++＝2x y x y x y +--+＝－y x y +. 因为|x －2|＋(2x －y －3)2＝0，所以20{230x x y -=--=解得21x y =⎧⎨=⎩, 当x ＝2，y ＝1时，原式＝－121+＝－13. 【点睛】本题主要考查分式的运算,注意运算的准确性.17.绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：设销售员的月销售额为x （单位：万元）．销售部规定：当x<16时，为“不称职”，当 1620x ≤<时为“基本称职”，当2025x ≤< 时为“称职”，当25x ≥ 时为“优秀”.根据以上信息，解答下列问题： （1）补全折线统计图和扇形统计图；（2）求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；（3）为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励．如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元（结果去整数）？并简述其理由.【答案】（1）补全统计图如图见解析；（2） “称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万；“优秀”的销售员月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；（3）月销售额奖励标准应定为22万元.【解析】【分析】（1）根据称职的人数及其所占百分比求得总人数，据此求得不称职、基本称职和优秀的百分比，再求出优秀的总人数，从而得出销售 26 万元的人数，据此即可补全图形．（2）根据中位数和众数的定义求解可得；（3）根据中位数的意义求得称职和优秀的中位数即可得出符合要求的数据．【详解】（1）依题可得：“不称职”人数为：2+2=4（人），“基本称职”人数为：2+3+3+2=10（人），“称职”人数为：4+5+4+3+4=20（人），∴总人数为：20÷50%=40（人），∴不称职”百分比：a=4÷40=10%，“基本称职”百分比：b=10÷40=25%，“优秀”百分比：d=1-10%-25%-50%=15%，∴“优秀”人数为：40×15%=6（人），∴得26分的人数为：6-2-1-1=2（人），补全统计图如图所示：（2）由折线统计图可知：“称职”20万4人，21万5人，22万4人，23万3人，24万4人，“优秀”25万2人，26万2人，27万1人，28万1人；“称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万；“优秀”的销售员月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；（3）由（2）知月销售额奖励标准应定为22万.∵“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为：22万，∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为22万元.【点睛】考查频数分布直方图、扇形统计图、中位数、众数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识18.如图，AB 是O e 的直径，点C 是O e 上一点，点D 是»BC 的中点，过点D 作O e 的切线，与AB 、AC 的延长线分别交于点E 、F ，连接AD ．（1）求证：AF EF ⊥． （2）填空：①已知8AB =，当BE =_________时，AC CF =．②连接BD 、CD 、OC ．当E ∠的度数为_________时，四边形OBDC 是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）①8；②30° 【解析】 【分析】（1）连接OD ，因EF 是圆的切线，则OD⊥EF.再通过内错角相等，证AF∥O D 即可； （2）①利用点C 是AF 的中点，证CB 是AEF 的中位线，从而求得BE 的长； （2）②利用菱形的性质，证ODB 是正三角形，进而推导出∠E 的大小. 【详解】（1）如下图，链接OD∵EF 是 O 的切线 ∴OD⊥EF∵点D 是¶BC的中点 ∴∠CAD=∠DAB∴∠DAB=∠ADO∴∠CAD=∠ADO∴AF∥OD∴AF⊥EF（2）①如下图，连接CB∵AB是 O的直径，∴∠ACB=90°∵AF⊥EF，∴EF∥CB∵点C是AF的中点，∴CB是△AFE的中位线∴BE=AB=8（2）②如下图，连接CO、CD∵四边形OCDB是菱形，∴OB=DB∵OD=OB，∴OD=OB=DB，∴△ODB是等边三角形∴∠DOB=60°∵AF∥OD，∴∠FAE=60°∴∠E=30°【点睛】本题的关键在于：（1）过圆心连切点，构造垂直；（2）直径所对圆周角为90°；（3）菱形边长相等，此题可证等边三角形得到角度19.汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）【答案】该车没有超速．【解析】分析：先求得AC=PCtan∠APC=87、BC=PCtan∠BPC=21，据此得出AB=AC﹣BC=87﹣21=66，从而求得该车通过AB段的车速，比较大小即可得．详解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，∴该汽车的实际速度为666=11m/s，又∵40km/h≈11.1m/s，∴该车没有超速．点睛：此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．20.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点B，与y轴交于点A，与反比例函数myx的图象在第二象限交于点C，CE⊥x轴，垂足为点E，tan∠ABO=12，OB=4，OE=2．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点D是反比例函数图象在第四象限上的点，过点D作DF⊥y轴，垂足为点F，连接OD、BF．如果S△BAF=4S△DFO，求点D的坐标．【答案】（1）6yx=-；（2）D（32，﹣4）．【解析】【分析】（1）由边的关系可得出BE=6，通过解直角三角形可得出CE=3，结合函数图象即可得出点C的坐标，再根据点C的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出反比例函数系数m，由此即可得出结论；（2）由点D在反比例函数在第四象限的图象上，设出点D的坐标为（n，﹣6n）（n＞0）．通过解直角三角形求出线段OA的长度，再利用三角形的面积公式利用含n的代数式表示出S△BAF，根据点D在反比例函数图形上利用反比例函数系数k的几何意义即可得出S△DFO的值，结合题意给出的两三角形的面积间的关系即可得出关于n的分式方程，解方程，即可得出n值，从而得出点D的坐标．【详解】解：（1）∵OB=4，OE=2，∴BE=OB+OE=6．∵CE⊥x轴，∴∠CEB=90°．在Rt△BEC中，∠CEB=90°，BE=6，tan∠ABO=12，∴CE=BE•tan∠ABO=6×12=3，结合函数图象可知点C的坐标为（﹣2，3）．∵点C在反比例函数y=mx的图象上，∴m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣6x．（2）∵点D在反比例函数y=﹣6x第四象限的图象上，∴设点D的坐标为（n，﹣6n）（n＞0）．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=4，tan∠ABO=12，∴OA=OB•tan∠ABO=4×12=2．∵S△BAF=12AF•OB=12（OA+OF）•OB=12（2+6n）×4=4+12n．∵点D在反比例函数y=﹣6x第四象限的图象上，∴S △DFO =12×|﹣6|=3． ∵S △BAF =4S △DFO ， ∴4+12n=4×3， 解得：n=32， 经验证，n=32是分式方程4+12n =4×3的解， ∴点D 的坐标为（32，﹣4）．21.我市某工艺厂，设计了一款成本为20元/件的工艺品投放市场进行试销，经过市场调查，得到如下数据：(1)上表中x 、y 的各组对应值满足一次函数关系，请求出y 与x 的函数关系式；(2)物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y ＝﹣10x +800；(2)销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润=单件利润×销售量”可得关于x 的一元二次方程，解之即可得． 【详解】(1)设y ＝kx+b ，根据题意可得30500{40400k b k b +=+=， 解得：10{800k b =-=， 则y ＝﹣10x+800；(2)根据题意，得：（x ﹣20）（﹣10x+800）＝8000， 整理，得：x 2﹣100x+2400＝0， 解得：x 1＝40，x 2＝60，∵销售单价最高不能超过45元/件，答：销售单价定为40元/件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润8000元．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系．22.在ABC V 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，以CA 为边在ACB ∠的另一侧作ACM ACB ∠=∠，点D 为射线BC 上任意一点，在射线CM 上截取CE BD =，连接AD 、DE 、AE ．（1）如图1，当点D 落在线段BC 的延长线上时，ADE ∠的度数为__________．（2）如图2，当点D 落在线段BC （不含边界）上时，AC 与DE 交于点F ，请问（1）中的结论是否仍成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若12AB =，求CF 的最大值． 【答案】（1）30ADE ∠=︒；（2）见解析；（3）CF 的最大值为9 【解析】 【分析】（1）通过证△ABD ≌△ACE ，来求∠ADE 的角度（2）如下图，先证ABD ACE △≌△，到得∠1=∠2，在推导出∠DAE 的角度，进而得出结论； （3）利用ADF ACD △∽△得到AF 、AD 、AC 之间的关系，当AD 最短时，AF 最短、CF 最长，从而求得CF 的长【详解】（1）∵AB=AC ，∠BAC=120° ∴∠B=∠ACB=30° ∵∠ACM=∠ACB ∴∠B=∠ACM 又∵BD=CE∴AD=AE，∠EAD=120° ∴∠ADE=30°（2）（1）中的结论还成立 证明：（如图所示）．∵120BAC ∠=︒，AB AC =， ∴30B ACB ∠=∠=︒．又∵ACM ACB ∠=∠，∴30B ACM ∠=∠=︒． 又∵CE BD =，∴ABD ACE △≌△． ∴AD AE =，12∠=∠．∴2313120BAC ∠+∠=∠+∠=∠=︒．即120DAE ∠=︒． 又∵AD AE =，∴30ADE AED ∠=∠=︒． （3）∵AB AC =，12AB =，∴12AC =． ∵30ADE ACB ∠=∠=︒且DAF CAD ∠=∠， ∴ADF ACD △∽△．∴AD AFAC AD=．∴2AD AF AC =⋅． ∴212AD AF =．∴212ADAF =∴当AD 最短时，AF 最短、CF 最长．易得当AD BC ⊥时，AF 最短、CF 最长，此时162AD AB ==． 22631212AD AF ===1239CF AC AF =-=-=∴CF 的最大值为9【点睛】本题考查了全等三角形、相似三角形及最值的应用.值得注意的是，由相似三角形对应边成比例，通过适当设元，来求最值是一种比较好的方法.23.如图，已知直线24y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，抛物线过A ，B 两点，点P 是线段AB 上一动点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交抛物线于点D ．（1）若抛物线的顶点M 的坐标为19,22⎛⎫⎪⎝⎭，其对称轴交AB 于点N ， ①求抛物线的解析式；②是否存在点P ，使四边形MNPD 为菱形？并说明理由；（2）当点P 的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B 、P 、D 为顶点的三角形与AOB V 相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式：若不存在，请说明理由．【答案】（1）①2224y x x =-++或写成y 219222y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭②不存在．（2）存在．满足条件的抛物线的解析式为2224y x x =-++或25342y x x =-++． 【解析】 【分析】（1）①利用顶点M 将抛物线设为顶点式，代入点A 的坐标即可求得；（1）②根据PM ∥MN 可知，PD=MN 时，四边形MNPD 是平行四边形.在求m 值来确定菱形； （2）先求出PB 的长，然后设抛物线为24y ax bx =++，代入A 的坐标可得出a 与b 的关系.在利用∠DPB=∠OBA 讨论可求得【详解】（1）①∵抛物线的顶点M 的坐标为19,22⎛⎫⎪⎝⎭∴设21922y a x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭抛物线过点A ，根据一次函数可得A(2，0)代入解析式得 a=－2∴抛物线解析式为219222y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ ②不存在． 理由如下：（如图）93322MN =-=， 设P 点坐标为(m ，－2m+4)，则()2,224D m m m -++， ∴PD=2224m m -++－(－2m+4)=224m m -+， ∵PD MN P ，当PD MN =时，四边形MNPD 为平行四边形，即23242m m -+=，解得112m =（舍去），232m =，此时P 点坐标为3,12⎛⎫⎪⎝⎭， ∵2213(31)522PN ⎛⎫=-+-= ⎪⎝⎭∴PN MN ≠，∴平行四边形MNPD 不为菱形， ∴不存在点P ，使四边形MNFD 为菱形； （2）存在．如图，4OB =，2OA =，则222425AB =+=当1x =时，y=－2x+4=2，则()1,2P ， 5设抛物线的解析式24y ax bx =++，把()2,0A 代入得4a+2b+4=0，解得b=－2a －2，∴抛物线的解析式为()2214y ax a x =-++， 当1x =时，()22142242y ax a x a a a =-++=--+=-，则D(1，2－a)，∴PD=－a ，∵DC OB P ，∴∠DPB=∠OBA，∴当PD PB BO BA =时，PDB BOA △∽△，即5425a -=2a =-，此时抛物线解析式为2224y x x =-++；当PD PB BA BO =时，PDB BAO △∽△5425=，解得52a =-，此时抛物线解析式为y=25342x x -++； 综上所述，满足条件的抛物线的解析式为2224y x x =-++或y=25342x x -++． 【点睛】本题是一道压轴题，特别是最后一问，存在讨论的情况，在解题的过程中，注意不要遗漏多解。