[推荐学习]2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关系与不等式 Word版含解析-

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2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邯郸期中)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>bc 2＋1解析：A 选项不对，当a >0>b 时不等式不成立，故排除；B 选项不对，当a ＝0，b ＝－1时不等式不成立，故排除；C 选项不对，当c ＝0时，不等式不成立，故排除；D 选项正确，由于1c 2＋1>0，又a >b 故a c 2＋1>b c 2＋1，故选D. 答案：D2．(2018届衡水模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，c <d ，则a c >bd C ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d D ．若ab >0，a >b 则1a <1b解析：当c ＝0时，故A 错误；若a >b >0，c <0<d ，则a c <bd ，故B 错误； ∵c >d ，∴－d >－c ∴a －d >b －c ，故C 不一定正确；若ab >0，则a >b .可以分a >b >0和0>a >b 两种情况，都有1a <1b ，故D 正确．故选D.答案：D3．(2017届渝中区校级模拟)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是( ) A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a cD.a b >ac解析：∵0<a <1，b >c >0，∴a b <a c ，b a >c a ，log a b <log a c ，a b <ac .∴只有D 错误，故选D.答案：D4．(2017届柳州一模)若x>y>1,0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是() A．x a>y b B．x a<y bC．a xb y解析：y＝a x(0<a<1)在R上单调递减，y＝x a(a>1)在(0，＋∞)上单调递增，∵x>y>1,0<a<b<1，故a x<a y1，b>1”是“ab>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>1，b>1⇒ab>1；但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b ＝－2时，ab＝4>1.故选A.答案：A6．已知a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2>c2B．a|b|>c|b|C．ac>bc D．ab>ac解析：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，c<0，b可大于0，可等于0，也可小于0，则当b＝0时，A、B均不成立．又∵c<0，a>b，∴ac<bc，∴C不成立．∵a>0，b>c，∴ab>ac.D成立．答案：D7．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是() A．a>b B．a＝bC．am＋m－1，所以a<b，选C.答案：C8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时教室D ．谁先到教室不确定解析：设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4sv 1＋v 2，故乙先到教室．答案：B9．(2017届四川乐山模拟)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面1.2元的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买2套，则买票面1.2元的x 套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．解析：票面1.2元的每套1.2×5＝6元，票面2元的每套2×4＝8元，则由题意可得x ，y 应满足的条件如下：⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，6x ＋8y ≤50，x ，y ∈N *，即⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.答案：⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N*11．若1a <1b <0，则下列不等式： ①1a ＋b<1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ； ④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号) 解析：由1a <1b <0，得b <a <0， ①因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b<0，1ab >0，所以1a ＋b<1ab 成立，即①正确； ②因为b <a <0，所以－b >－a >0，则－b >|a |>0，即|a |＋b <0，所以②错误；③因为b <a <0且1a <1b <0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④因为b <a <0，所以b 2>a 2，所以ln b 2>ln a 2成立，所以④错误．故正确的是①③.答案：①③12．(2017届湖北期末)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy . 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，因此(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，因此(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们买团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价每人为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ，因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠。

2019年人教版A版高三数学(理)高考一轮复习6.1 不等关系与不等式教学设计及答案

第一节不等关系与不等式不等式的概念和性质了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．知识点一实的大小顺序与运算性质的关系(1)a>b⇔a－b>0；(2)a＝b⇔a－b＝0；(3)a<b⇔a－b<0.必备方法比较大小的常用方法：(1)作差法一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论(注意所比较的两个的符号)．[自测练习]1．已知a1，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( )A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0.∴(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0.∴M>N.答案：B知识点二不等式性质易误提醒1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如a ≤b ，b <c ⇒a <c . 2．在乘法法则中，要特别注意“乘c 的符号”，例如当c ≠0时，有a >b ⇒ac 2>bc 2；若无c ≠0这个条件，a >b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论(当c ＝0时，取“＝”)．[自测练习]2．设a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3解析：当c <0时，ac >bc 不成立，故A 不正确，当a ＝1，b ＝－3时，B 、C 均不正确，故选D.答案：D3．若a >b >0，则下列不等式中恒成立的是( ) A.b a >b ＋1a ＋1B ．a ＋1a >b ＋1bC ．a ＋1b >b ＋1aD.2a ＋b a ＋2b >a b解析：由a >b >0⇒0<1a <1b ⇒a ＋1b >b ＋1a，故选C.答案：C4．已知a <0，－10，∴ab >ab 2>a . 答案：ab >ab 2>a考点一利用不等式(组)表示不等关系|1．将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0， 5－x ＋ 12－x >13－x ，5－x 2＋ 12－x 2< 13－x 2.2．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，甲、乙产品都需要在A ，B 两台设备上加工，在A ，B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A ，B 两台设备每月有效使用时分别为400和500.写出满足上述所有不等关系的不等式．解：设甲、乙两种产品的产量分别为x 件，y 件，由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤400，2x ＋y ≤500，x ≥0，x ∈N ，y ≥0，y ∈N .利用不等式(组)表示不等关系的一个注意点及一个关键点：关键点：准确将题目中的文字语言转为学符号语言．注意点：要注意“不超过”，“至少”，“低于”表示的不等关系，同时还应考虑变量的实际意义．考点二不等式性质及应用|1．(2016·大庆质检)若a 1a B.1a >1bC ．|a |>|b |D ．a 2>b 2解析：由a 1a 不成立，选A. 答案：A2．(2016·武汉调研)若实a ，b ∈(0,1)，且满足(1－a )b >14，则a ，b 的大小关系是( )A ．a <bB ．a ≤bC ．a >bD ．a ≥b解析：∵a ，b ∈(0,1)，∴1－a >0，又(1－a )b >14，∴14<⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a ＋b 22，12<1－a ＋b2，即b －a >0，故选A. 答案：A3．设a ，b 是实，则“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：法一：因为a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab，所以若a >b >1，显然a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝ a －b ab －1 ab>0，则充分性成立；当a ＝12，b ＝23时，显然不等式a ＋1a >b ＋1b 成立，但a >b >1不成立，所以必要性不成立，故选A.法二：令函f (x )＝x ＋1x ，则f ′(x )＝1－1x 2＝x 2－1x2，可知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上为增函，在(－1,1)上为减函，所以“a >b >1”是“a ＋1a >b ＋1b”的充分不必要条件，选A.答案：A运用不等式性质求解问题的两个注意点1．解题时，易忽视不等式性质成立的条件，或“无中生有”自造性质导致推判定失误．2．对于不等式的常用性质，要注意弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据．考点三比较大小|(1)若实a ≠1，比较a ＋2与31－a 的大小；(2)比较a a b b 与a b b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1)的大小． [解] (1)a ＋2－31－a ＝－ a 2＋a ＋11－a，∵a 2＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34>0，∴－(a 2＋a ＋1)<0，∴当1－a >0，即a <1时，－ a 2＋a ＋1 1－a <0，则有a ＋2<31－a .当1－a <0即a >1时，－ a 2＋a ＋1 1－a >0，则有a ＋2>31－a .综上知，当a <1时，a ＋2<31－a，当a >1时，a ＋2>31－a.(2)a a b b a b b a ＝a a －b b b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b，当a >b >0时，ab>1，a －b >0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a ；当b >a >0时，0<a b<1，a －b <0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b>1，∴a a b b >a b b a ；当a ＝b >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b＝1，∴a a b b ＝a b b a ，综上知a a b b ≥a b b a (当且仅当a ＝b 时取等号)．比较两个(式)大小的两种方法(1)比较大小时，要把各种可能的情况都考虑进去，对不确定的因素需进行分类讨论，每一步运算都要准确，每一步推都要有充分的依据．(2)用作商法比较代式的大小一般适用于分式、指式、对式，作商只是思路，关键是简变形，从而使结果能够与1比较大小．已知实a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >b解析：c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .将题中两式作差得2b ＝2＋2a 2，即b ＝1＋a 2.∵1＋a 2－a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋34>0，∴1＋a 2>a ，∴b ＝1＋a 2>a .∴c ≥b >a . 答案：A10.不等式变形中不等价致误【典例】设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________．[解析] 法一：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b ，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，即5≤f (－2)≤10. 法二：由⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ＝a －b ，f 1 ＝a ＋b得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12[f －1 ＋f 1 ]，b ＝12[f 1 －f －1 ].∴f (－2)＝4a －2b ＝3f (－1)＋f (1)．又∵1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10.法三：由⎩⎪⎨⎪⎧1≤a －b ≤2，2≤a ＋b ≤4，确定的平面区域如图阴影部分，当f (－2)＝4a －2b 过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，取得最小值4×32－2×12＝5，当f (－2)＝4a －2b 过点B (3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f (－2)≤10. [答案] [5,10][易误点评] 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出a ，b 的范围，再求f (－2)＝4a －2b 的范围，导致变量范围扩大．[防范措施] (1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过“一次性”使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围．[跟踪练习] 若α，β满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤α＋β≤1，1≤α＋2β≤3，试求α＋3β的取值范围．解：设α＋3β＝x (α＋β)＋y (α＋2β)＝(x ＋y )α＋(x ＋2y )β.则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x ＋2y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.∵－1≤－(α＋β)≤1,2≤2(α＋2β)≤6，两式相加，得1≤α＋3β≤7. ∴α＋3β的取值范围为[1,7]．A 组考点能力演练1．已知1a <1b<0，则下列结论错误的是( ) A ．a 22 C ．ab >b 2 D ．lg a 2<lg ab解析：∵1a <1b <0，∴1b －1a ＝a －b ab>0，∴a －b >0， ∴ab －b 2＝(a －b )b <0，∴ab πb ，即a >b ，由函y ＝ln x ，y ＝sin x ，y ＝1x，y ＝x 3的单调性知C 正确．答案：C3．(2016·资阳一诊)已知a ，b ∈R ，下列命题正确的是( )A ．若a >b ，则|a |>|b |B ．若a >b ，则1a <1bC ．若|a |>b ，则a 2>b 2D ．若a >|b |，则a 2>b 2解析：当a ＝1，b ＝－2时，A 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，B 不正确；当a ＝1，b ＝－2时，C 不正确；对于D ，a >|b |≥0，则a 2>b 2，故选D.答案：D4．已知ab >0，则“b <1a ”是“a <1b”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由b <1a ，ab >0得ab 20，所以a <1b ，同由a <1b可得b <1a，故选C. 答案：C5．(2016·贵阳期末)下列命题中，正确的是( )A ．若a >b ，c >d ，则ac >bdB ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2b ，c >d ，则a －c >b －d解析：A 项，取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；B项，当c <0时，ac >bc ⇒a 0，∴a y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b＋y ，③ax >by ，④a y >b x这四个式子中，恒成立的不等式有________(写出所有恒成立的不等式的序号)．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，∴a －x ＝b －y ，因此①不成立．又ax ＝－6，by ＝－6，∴ax ＝by ，因此③也不成立．又a y＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝b x，因此④不成立．由不等式的性质可推出②成立．答案：②8．如果0<a 0，∴a ＋1b ＋c d ＋1e >a b ＋c ＋1d ＋1e，即当变量a 的值增加1会使S 的值增加最大．答案：a9．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e a －c 2>eb －d 2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0.又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0.∴(a －c )2>(b －d )2>0.∴0<1 a －c 2<1 b －d 2. 又∵e <0，∴e a －c 2>eb －d 2. 10．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往．甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受7.5折优惠．”乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx . 所以y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝⎛⎭⎪⎫1－n 5. 当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人为5人时，两车队收费相同；多于5人时，甲车队更优惠；少于5人时，乙车队更优惠．B 组高考题型专练1．(2013·高考天津卷)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③解析：∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0， ∴c a >c b，故①正确．当c <0时，y ＝x c 在(0，＋∞)上是减函，又a >b >1，∴a c b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确．答案：D3．(2014·高考山东卷)已知实x ，y 满足a x <a y (0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C ．sin x >sin yD ．x 3>y 3解析：根据指函的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A ，B 中的不等式不恒成立；根据三角函的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立．4．(2014·高考四川卷)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c 解析：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错，只有D 正确．答案：D。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关系与不等式 Word版含解析

[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邯郸期中)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>bc 2＋1解析：A 选项不对，当a >0>b 时不等式不成立，故排除；B 选项不对，当a ＝0，b ＝－1时不等式不成立，故排除；C 选项不对，当c ＝0时，不等式不成立，故排除；D 选项正确，由于1c 2＋1>0，又a >b 故ac 2＋1>b c 2＋1，故选D. 答案：D2．(2018届衡水模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，c <d ，则a c >bd C ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d D ．若ab >0，a >b 则1a <1b解析：当c ＝0时，故A 错误；若a >b >0，c <0<d ，则a c <bd ，故B 错误； ∵c >d ，∴－d >－c ∴a －d >b －c ，故C 不一定正确；若ab >0，则a >b .可以分a >b >0和0>a >b 两种情况，都有1a <1b ，故D 正确．故选D.答案：D3．(2017届渝中区校级模拟)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是( ) A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a cD.a b >ac解析：∵0<a <1，b >c >0，∴a b <a c ，b a >c a ，log a b <log a c ，a b <ac .∴只有D 错误，故选D.答案：D4．(2017届柳州一模)若x>y>1,0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是() A．x a>y b B．x a<y bC．a xb y解析：y＝a x(0<a<1)在R上单调递减，y＝x a(a>1)在(0，＋∞)上单调递增，∵x>y>1,0<a<b<1，故a x<a y1，b>1”是“ab>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>1，b>1⇒ab>1；但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b ＝－2时，ab＝4>1.故选A.答案：A6．已知a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2>c2B．a|b|>c|b|C．ac>bc D．ab>ac解析：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，c<0，b可大于0，可等于0，也可小于0，则当b＝0时，A、B均不成立．又∵c<0，a>b，∴ac<bc，∴C不成立．∵a>0，b>c，∴ab>ac.D成立．答案：D7．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是() A．a>b B．a＝bC．am ＋m －1，所以a <b ，选C.答案：C8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时教室D ．谁先到教室不确定解析：设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室．答案：B9．(2017届四川乐山模拟)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面1.2元的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买2套，则买票面1.2元的x 套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．解析：票面1.2元的每套1.2×5＝6元，票面2元的每套2×4＝8元，则由题意可得x ，y 应满足的条件如下：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，y ≥2，6x ＋8y ≤50，x ，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.答案：⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N*11．若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号) 解析：由1a <1b <0，得b <a <0，①因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0，所以1a ＋b <1ab 成立，即①正确； ②因为b <a <0，所以－b >－a >0，则－b >|a |>0，即|a |＋b <0，所以②错误；③因为b <a <0且1a <1b <0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④因为b <a <0，所以b 2>a 2，所以ln b 2>ln a 2成立，所以④错误．故正确的是①③.答案：①③12．(2017届湖北期末)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy . 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，因此(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，因此(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们买团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价每人为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ，因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠。

高三数学课时作业：第6章第1节不等关系与不等式

课时作业一、选择题1．已知a1，a2∈(0，1）,记M＝a1a2,N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是( ）A．M〈N B．M >NC．M＝N D．不确定B [由题意得M－N＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)·（a2－1)〉0，故M >N.]2．若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是( ）A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－mD ［解法一:（取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．解法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．］3．(2012·湖北高考）设a，b，c∈R，则“abc＝1"是“错误!＋错误!＋错误!≤a＋b＋c”的（）A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件A ［错误!＋错误!＋错误!＝错误!＝错误!＋错误!＋错误!≤错误!＋错误!＋错误!＝a ＋b＋c(当且仅当“a＝b＝c”时，“＝"成立)，但反之，则不成立（警如a＝1，b＝2，c＝3时,满足错误!＋错误!＋错误!≤a＋b＋c，但abc ≠1）．］4．(2014·丹东调研)若1＜a＜3，－4＜b＜2，则a－|b｜的取值范围是（) A．(－1，3) B．（－3，6)C．（－3，3）D．（1，4）C ［∵－4＜b＜2,∴0≤｜b|＜4.∴－4＜－｜b|≤0.又∵1＜a＜3，∴－3＜a－｜b|＜3.故选C.]5．若错误!〈错误!〈0,则下列结论不．正确的是（）A．a2<b2B．ab<b2C．a＋b<0 D．｜a｜＋|b|〉|a＋b｜D ［∵1a〈错误!<0，∴0〉a〉b。

∴a2<b2,ab〈b2，a＋b<0,|a|＋｜b|＝｜a＋b|。

］6．设a，b是非零实数，若a〈b，则下列不等式成立的是( ）A．a2<b2B．ab2<a2bC。

2019年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测：6-1不等

[课时跟踪检测][基础达标]1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <BD ．A >B解析：由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 答案：B2．已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y >0 B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0解析：∵x >y >0，∴1x <1y ，即1x －1y <0，故A 不正确；当x >y >0时，不能说明sin x >sin y ，如x ＝π，y ＝π2，x >y ，但sinπ<sin π2，故B 不正确；∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R z 上为减函数，且x >y >0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；当x ＝1，y ＝12时，ln x ＋ln y <0，故D 不正确．故选C.答案：C3．若a ，b 都是实数，则“a －b >0”是“a 2－b 2>0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a －b >0得a >b ≥0，则a 2>b 2⇒a 2－b 2>0；由a 2－b 2>0得a 2>b 2，可得a >b ≥0或a 0”是“a 2－b 2>0”的充分不必要条件，故选A.答案：A4．(2017届陕西咸阳摸底)若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( )A ．a 2>b 2 B.b a <1 C ．lg(a －b )>0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b 解析：特值法：令a ＝－1，b ＝－2，则a 21， lg(a －b )＝0，可排除A ，B ，C 三项．故选D. 答案：D5．(2018届浙江温州质检)设a ，b ∈R ，则“a >1，b >1”是“ab >1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：a >1，b >1⇒ab >1，但ab >1，则a >1，b >1不一定成立，如a ＝－2，b ＝－2时，ab ＝4>1.故选A.答案：A6．已知a ＝ln 13，b ＝sin 13，c ＝13，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a 0，因为0<13<π2，且0<x <π2时，sin x <x ，所以b <c ，故a b ”是“a －1a >b －1b ”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab ，又1＋1ab >0，若a >b ，则(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0，所以a －1a >b －1b 成立；反之，若(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1ab >0，则a >b 成立．故选C.答案：C8．设0log 12a ，B 错误； a >b >0⇒a 2>ab ，D 错误，故选C. 答案：C9．已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________．解析：∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎨⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<11，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．若a >b >0，c <d <0，e <0.求证：e (a －c )2>e(b －d )2. 证明：∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0. ∴0<1(a －c )2<1(b －d )2.又∵e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2. [能力提升]1．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定解析：设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时为s v 1＋s v 2，乙用时为4sv 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝ s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室．答案：B2．a ，b ∈R ，a 1a ，即1a <1b ；若ab >0，则1a >1b .所以a <b 和1a <1b 同时成立的条件是a <0<b . 答案：a <0<b3．(2017届盐城一模)若－1<a ＋b <3,2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________．解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12.又因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132.即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，1324．求不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0在|a |≤1时恒成立的x 的取值范围．解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． ②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎨⎧f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎨⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x<2或x>4.故x的取值范围为(－∞，2)∪(4，＋∞)．。

数学(文)一轮复习：第六章不等式第讲不等关系与不等式

知识点考纲下载不等关系与不等式了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景．二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1。

会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．2．了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．基本不等式错误!≤错误! (a≥0，b≥0）1。

了解基本不等式的证明过程．2．会用基本不等式解决简单的最大（小)值问题．第1讲不等关系与不等式，）1．实数大小顺序与运算性质之间的关系a－b〉0⇔a〉b;a－b＝0⇔a＝b；a－b〈0⇔a<b．2．不等式的基本性质（1)对称性:a＞b⇔b＜a；（2）传递性：a＞b,b＞c⇒a＞c;(3）可加性:a＞b⇒a＋c＞b＋c;a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4）可乘性:a＞b，c＞0⇒ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；（5)可乘方:a＞b＞0⇒a n＞b n(n∈N，n≥2）;(6）可开方：a＞b＞0⇒na＞错误!（n∈N，n≥2)．1．辨明两个易误点(1）在应用传递性时,注意等号是否传递下去，如a≤b，b〈c⇒a〈c；(2)在乘法法则中，要特别注意“乘数c的符号”，例如当c≠0时，有a〉b⇒ac2〉bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2〉bc2就是错误结论(当c＝0时,取“＝”)．2．不等式中的倒数性质（1)a〉b，ab>0⇒错误!<错误!;(2)a〈0<b⇒错误!〈错误!；(3)a〉b〉0，0<c〈d⇒错误!>错误!；（4)0〈a〈x〈b或a<x〈b<0⇒错误!〈错误!<错误!。

3．不等式恒成立的条件(1）不等式ax2＋bx＋c〉0对任意实数x恒成立⇔错误!或错误!(2)不等式ax2＋bx＋c〈0对任意实数x恒成立⇔错误!或错误!1。

错误!若a<b〈0,则下列不等式不成立的是( )A．错误!〉错误!B．错误!〉错误!C．｜a｜>|b| D．a2>b2A 由a<b<0,可用特殊值法，取a＝－2,b＝－1，则错误!〉错误!不成立．2.错误!设A＝（x－3）2，B＝(x－2）(x－4)，则A与B的大小为( ）A．A≥B B．A〉BC．A≤B D．A〈BB A－B＝（x2－6x＋9）－(x2－6x＋8）＝1〉0，所以A〉B.故选B.3.错误!若a〉b，则下列不等式一定成立的是( ）A．ac2>bc2B．错误!<错误!C．ac2≥bc2D．错误!≤错误!C 当c＝0时,A、B错误;当a〉0,b<0时,D错误,故选C.4.错误!下列四个结论，正确的是（)①a〉b，c〈d⇒a－c>b－d；②a>b〉0，c<d〈0⇒ac>bd；③a〉b〉0⇒错误!>错误!;④a〉b>0⇒错误!>错误!.A．①②B．②③C．①④D．①③D 对于①,因为a〉b,c<d，所以－c>－d，所以a－c>b－d。

一轮复习课时训练§6.1：不等关系与不等式

第六章§1：不等关系与不等式(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间45钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．“a ＋c>b ＋d ”是“a>b 且c>d ”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．已知a ，b 满足0<a<b<1，下列不等式中成立的是A ．a a b a 3．若a<b<0，则下列不等式中不一定成立的是A ．ab(a －b)<0B ．1a －b >1bC ．－a>－bD ．a 2>ab4．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时到教室D ．谁先到教室不确定5．设[x]表示不超过x 的最大整数，又设x ，y 满足方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x]＋13y ＝4[x －3]＋5，如果x 不是整数，那么x ＋y 的取值范围是A ．(35,39)B ．(49,51)C ．(71,75)D ．(93,94)二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为______． 7．某高校在2011年9月初共有m 名在校学生，其中有n 名新生，在9月底，又补录了b 名学生，则新生占学生的比例______(填“变大”“变小”或“不变”)，其理论依据用数学关系式表达为____________．8．已知三个不等式：①ab>0，②c a >db ，③bc>ad ，以其中两个作为条件，剩下一个作为结论，则可组成______个正确命题．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分）已知0<α－β<π2，π2<α＋2β<32π，求α＋β的取值范围．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）甲、乙两人同去一家粮店买了两次粮食，两次粮食的价格不同，两人的购粮方式也不同，其中，甲每次买1 000 kg 粮食，乙每次消费1 000元买粮食．若两次购粮价格分别为m ，n 元/kg 且m ≠n.(1)求两人购粮均价分别是多少？ (2)谁的购粮方式更合算？参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：∵a ＋c>b ＋dD ⇒/a>b 且c>d ，∴充分性不成立．∵a>b 且c>d ⇒a ＋c>b ＋d ，∴必要性成立，故选A 项．答案：A2．解析：取特殊值法．令a ＝14，b ＝12，则a a ＝(14)14＝(12)12，b b ＝(12)12，∴A 项错．a b ＝(14)12<(12)12＝b b ，∴C 项错．b b ＝(12)12<(12)14＝b a ，∴D 项错．b a ＝(12)14>(12)12＝a a ，∴B 项正确．答案：B3．解析：取a ＝－3，b ＝－2代入检验知B 项不成立．答案：B4．解析：设甲用时间T ，乙用时间2t ，步行速度为a ，跑步速度为b ，距离为s ，则 T ＝s 2a ＋s 2b ＝s 2a ＋s2b ＝s·a ＋b 2ab ，ta ＋tb ＝s ，则2t ＝2sa ＋b， ∴T －2t ＝s (a ＋b )2ab －2sa ＋b＝s·(a ＋b )2－4ab 2ab (a ＋b )＝s (a －b )22ab (a ＋b )>0，故选B 项．答案：B5．解析：∵[x －3]＝[x]－3，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3[x]＋13y ＝4[x －3]＋5，得[x]＝20，y ＝73.∵x 不是整数，∴20<x<21，∴93<x ＋y<94，故选D 项．答案：D二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：∵a ＝5－12∈(0,1)，∴函数f(x)＝a x 为R 上的减函数．又∵f(m)>f(n)，∴m<n. 答案：m<n7．解析：补录前比例为nm ，补录后比例为n ＋b m ＋b ，n ＋b m ＋b －n m ＝mn ＋mb －mn －nb (m ＋b )m ＝(m －n )b (m ＋b )m.由已知m>n>0，b>0，∴(m －n )b (m ＋b )m >0，∴n ＋b m ＋b >nm .∴比例变大．答案：变大n m <n ＋bm ＋b(m>n>0，b>0) 8．解析：由不等式性质，得⎭⎪⎬⎪⎫ab>0c a >d b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ab>0bc －ad ab >0⇒bc>ad ；⎭⎬⎫ab>0bc>ad ⇒c a >db；⎭⎪⎬⎪⎫c a >d b bc>ad ⇒⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫bc －ad ab >0bc>ad ⇒ab>0.故填3.答案：3三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分）解：设α＋β＝A(α－β)＋B(α＋2β)＝(A ＋B)α＋(2B －A)β.∴⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝12B －A ＝1，∴⎩⎨⎧B ＝23A ＝13.∴α＋β＝13(α－β)＋23(α＋2β)．∵α－β∈(0，π2)，∴13(α－β)∈(0，π6)．∵α＋2β∈(π2，32π)，∴23(α＋2β)∈(π3，π)．∴α＋β∈(π3，76π)．∴α＋β的取值范围是(π3，76π)．10.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)甲购粮均价为a ＝1 000m ＋1 000n 2 000＝m ＋n2 元/kg ；乙购粮均价为b ＝ 2 0001 000m ＋1 000n ＝2mnm ＋n元/kg.(2)由(1)知，a －b ＝m ＋n 2－2mn m ＋n ＝(m －n )22(m ＋n ).∵m ≠n ， ∴a －b>0.∴a>b ，说明甲的购粮单价比乙的购粮单价高．因此乙的购粮方式更合算．。

2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-4基本不等式含解析精品

[课时跟踪检测][基础达标]1．已知a，b∈(0,1)且a≠b，下列各式中最大的是()A．a2＋b2B．2abC．2ab D．a＋b解析：只需比较a2＋b2与a＋b.由于a，b∈(0,1)，∴a2<a，b2<b，∴a2＋b2<a ＋b.答案：D2．(2017届清新区校级一模)下列各函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋1 xB．y＝sin x＋1sin x，x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2C．y＝x2＋3 x2＋2D．y＝x＋1 x解析：对于A，∵x>0，∴y＝x＋1x≥2x×1x＝2，当且仅当x＝1时取等号．故选A.答案：A3．(2017届人大附中模拟)(3－a)(a＋6)(－6≤a≤3)的最大值为()A．9 B.9 2C．3 D.32 2解析：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0.由基本不等式，可知(3－a)(a＋6)≤(3－a)＋(a＋6)2＝92，当且仅当a＝－32时等号成立．故选B.答案：B4．已知a>0，且b>0，若2a＋b＝4，则1ab的最小值为()A.14 B ．4 C.12D ．2解析：∵a >0，b >0,2a ＋b ＝4，∴1ab ＝22a ·b ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋b 22＝12，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1ab min ＝12.答案：C5．(2017届金山模拟)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值是( )A ．23＋2B ．23－2C ．2 3D ．2解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2≥2(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1即x ＝1＋3时取等号，故选A. 答案：A6．(2018届全国模拟)已知x >0，y >0，lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，则1x ＋13y 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．2 3解析：∵lg 2x ＋lg 8y ＝lg 2，∴lg(2x ·8y )＝lg 2，∴2x ＋3y ＝2，∴x ＋3y ＝1. ∵x >0，y >0，∴1x ＋13y ＝(x ＋3y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋13y ＝2＋3y x ＋x 3y ≥2＋23y x ·x 3y ＝4，当且仅当x ＝3y＝12时取等号，故选C.答案：C7．(2018届雅安模拟)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．[－2，＋∞)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |，故a 大于或等于－|x |＋1|x |的最大值．由基本不等式可得|x |＋1|x |≥2，∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |≤－2，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫|x |＋1|x |的最大值为－2，故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选B.答案：B8．(2018届柳州模拟)设a >0，b >1，若a ＋b ＝2，则3a ＋1b －1的最小值为( )A ．2 3B ．8C ．4 3D ．4＋2 3解析：因为a >0，b >1且a ＋b ＝2，所以a ＋(b －1)＝1，则3a ＋1b －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b －1[a ＋(b －1)]＝3＋ab －1＋3(b －1)a ＋1 ＝4＋ab －1＋3(b －1)a ≥4＋2 3. 当且仅当⎩⎨⎧ab －1＝3(b －1)a ，a ＋b ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3－32，b ＝1＋32时等号成立．所以3a ＋1b －1的最小值为4＋2 3.答案：D9．(2017届山东临沂期中)若x ≥0，则y ＝x ＋4x ＋1的取值范围为________．解析：y ＝x ＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1－1≥24－1＝3.⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＋1＝4x ＋1即x ＝1时等号成立因此y ＝x ＋4x ＋1的取值范围为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)10．(2017届湖北八校二模)若2x ＋4y ＝4，则x ＋2y 的最大值是________．解析：因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ，所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2，当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时x ＋2y 取得最大值2.答案：211．(2017年江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意可得，一年的总运费与总存储费用之和＝600x ×6＋4x ≥4×2× 900x ·x ＝240(万元)．当且仅当x ＝30时取等号．答案：3012．某化工企业2015年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x 年的年平均污水处理费用为y (单位：万元)．(1)用x 表示y ；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．解：(1)由题意得，y ＝100＋0.5x ＋2＋4＋6＋…＋2xx ，即y ＝x ＋100x ＋1.5(x ∈N *)． (2)由基本不等式得， y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x ，即x ＝10时取等号．故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．13．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．试求：(1)仓库底面积S的取值范围是多少？(2)为使仓库底面积S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计多长？解：(1)设正面铁栅长为x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库底面积S＝xy.由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.因为x>0，y>0，所以4x＋9y≥24x－9y＝12xy＝12S，当且仅当4x＝9y 时取等号，所以6S＋S≤160，即(S)2＋6S－160≤0，所以0<S≤10，即0<S≤100.故仓库底面积S的取值范围是(0,100]．(2)当S＝100 m2时，4x＝9y且xy＝100，解得x＝15(m)，y＝203(m)．故当仓库底面积S达到最大，且实际投资不超过预算时，正面铁栅长为15 m.14．(2017届合肥二模)已知log 12(x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)，若x－y≤λ恒成立，求λ的取值范围．解：由log 12(x＋y＋4)<log12(3x＋y－2)得，x＋y＋4>3x＋y－2>0，可行域如图中阴影部分所示，不包括边界．而x－y≤λ恒成立等价于(x－y)max≤λ，由可行域知，z＝x－y过点A(3，－7)时取得最大值10，而点A不在可行域内，所以λ的取值范围是[10，＋∞)．[能力提升]1．(2017届徐汇区校级模拟)设x ，y ∈R ＋，且xy －(x ＋y )＝1，则( ) A ．x ＋y ≥22＋2 B ．xy ≤2＋1 C ．x ＋y ≤(2＋1)2D ．xy ≥22＋2解析：∵x ，y ∈R ＋，∴xy ≤(x ＋y )24(当且仅当x ＝y 时成立)．∵xy ＝1＋x ＋y ，∴1＋x ＋y ≤(x ＋y )24，解得x ＋y ≥2＋22或x ＋y ≤2－22(舍)，A 符合题意，可排除C ；同理，由xy ＝1＋x ＋y ，得xy －1＝x ＋y ≥2xy (当且仅当x ＝y 时成立)，解得xy ≥1＋2或xy ≤1－2(舍)，即xy ≥3＋22从而排除B 、D ，故选A.答案：A2．(2017届湖北黄石调研)圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和圆x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R ，且ab ≠0，则1a 2＋1b 2的最小值为( )A ．1B ．3 C.19D.49解析：由题意可得两圆相外切，两圆的标准方程分别为(x ＋a )2＋y 2＝4，x 2＋(y －2b )2＝1，圆心分别为(－a,0)，(0,2b )，半径分别为2和1，故有a 2＋4b 2＝3，所以a 2＋4b 2＝9，所以a 2＋4b 29＝1，所以1a 2＋1b 2＝a 2＋4b 29a 2＋a 2＋4b 29b 2＝19＋49＋4b 29a 2＋a 29b 2≥59＋2481＝1，当且仅当4b 29a 2＝a 29b 2时，等号成立，所以1a 2＋1b2的最小值为1.答案：A3．(2017届江西师大附中期末)不等式2x 2－axy ＋y 2≥0对于任意x ∈[1,2]及y ∈[1,3]恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤2 2B ．a ≥2 2C ．a ≤113D ．a ≤92解析：因为y 不为0，所以对原不等式两边同时除以y 2，能够得到2⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2－a ·x y ＋1≥0，令t ＝xy ，则不等式变为2t 2－at ＋1≥0，其中t 由x ，y 的范围决定，可知t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，这样就将原不等式恒成立转化为2t 2－at ＋1≥0在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2时恒成立，由2t 2－at ＋1≥0可得a ≤2t 2＋1t ⇒a ≤2t ＋1t ，当t ＝22时，2t ＋1t 取得最小值22，且此时t ＝22∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2，所以有a ≤2 2.答案：A4．(2018届珠海模拟)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________(其中a ＞0，b ＞0)．解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 23a ＋4b ＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，因为a ，b ＞0，所以b ＝3aa －4＞0，解得a ＞4. a ＋b ＝a ＋3a a －4＝a ＋3(a －4)＋12a －4＝a －4＋12a －4＋7≥7＋2 (a －4)·12a －4＝7＋4 3.当且仅当a ＝4＋23时取等号，所以a ＋b 的最小值是7＋4 3. 答案：7＋4 35．(2018届陕西部分学校摸底检测)已知0＜x ＜32，则y ＝2x ＋93－2x 的最小值为________．解析：解法一：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x (3－2x )，设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x (3－2x )＝25t －2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，记f (t )＝t ＋81t ⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，易知f (t )在(6,9)上是减函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫9，283上是增函数，∴当t ＝9时函数f (t )＝t ＋81t 取得最小值，最小值为18，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法二：∵y ＝2x ＋93－2x ＝5x ＋6x (3－2x )，设5x ＋6＝t ，则x ＝t －65，∵0＜x ＜23，∴6＜t ＜283，∴y ＝5x ＋6x (3－2x )＝25t－2t 2＋39t －162＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39⎝ ⎛⎭⎪⎫6＜t ＜283，由基本不等式得t ＋81t ≥18(t ＝9时取等号)，∴当t ＝9时函数y ＝25－2⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋81t ＋39取得最小值，最小值为253.解法三：∵0<x <32，∴0<2x <3， ∴y ＝2x ＋93－2x ＝42x ＋93－2x＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫42x ＋93－2x (2x ＋3－2x )＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＋4(3－2x )2x ＋9·2x 3－2x ≥13(13＋2×6)＝253.当且仅当x ＝35时等号成立，∴y min＝253. 答案：253。

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[课时跟踪检测][基础达标]1．(2018届邯郸期中)若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b B ．a 2>b 2 C ．a |c |>b |c |D.a c 2＋1>bc 2＋1解析：A 选项不对，当a >0>b 时不等式不成立，故排除；B 选项不对，当a ＝0，b ＝－1时不等式不成立，故排除；C 选项不对，当c ＝0时，不等式不成立，故排除；D 选项正确，由于1c 2＋1>0，又a >b 故ac 2＋1>b c 2＋1，故选D. 答案：D2．(2018届衡水模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2 B ．若a >b ，c <d ，则a c >bd C ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d D ．若ab >0，a >b 则1a <1b解析：当c ＝0时，故A 错误；若a >b >0，c <0<d ，则a c <bd ，故B 错误； ∵c >d ，∴－d >－c ∴a －d >b －c ，故C 不一定正确；若ab >0，则a >b .可以分a >b >0和0>a >b 两种情况，都有1a <1b ，故D 正确．故选D.答案：D3．(2017届渝中区校级模拟)设0<a <1，b >c >0，则下列结论不正确的是( ) A ．a b <a c B ．b a >c a C ．log a b <log a cD.a b >ac解析：∵0<a <1，b >c >0，∴a b <a c ，b a >c a ，log a b <log a c ，a b <ac .∴只有D 错误，故选D.答案：D4．(2017届柳州一模)若x>y>1,0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是() A．x a>y b B．x a<y bC．a xb y解析：y＝a x(0<a<1)在R上单调递减，y＝x a(a>1)在(0，＋∞)上单调递增，∵x>y>1,0<a<b<1，故a x<a y1，b>1”是“ab>1”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>1，b>1⇒ab>1；但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b ＝－2时，ab＝4>1.故选A.答案：A6．已知a>b>c且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．a2>b2>c2B．a|b|>c|b|C．ac>bc D．ab>ac解析：∵a>b>c且a＋b＋c＝0，则a>0，c<0，b可大于0，可等于0，也可小于0，则当b＝0时，A、B均不成立．又∵c<0，a>b，∴ac<bc，∴C不成立．∵a>0，b>c，∴ab>ac.D成立．答案：D7．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝m－m－1，则以下结论正确的是() A．a>b B．a＝bC．am ＋m －1，所以a <b ，选C.答案：C8．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则( )A ．甲先到教室B ．乙先到教室C ．两人同时教室D ．谁先到教室不确定解析：设步行速度与跑步速度分别为v 1和v 2显然0<v 1<v 2，总路程为2s ，则甲用时间为s v 1＋s v 2，乙用时间为4s v 1＋v 2，而s v 1＋s v 2－4sv 1＋v 2＝s (v 1＋v 2)2－4s v 1v 2v 1v 2(v 1＋v 2)＝s (v 1－v 2)2v 1v 2(v 1＋v 2)>0，故s v 1＋s v 2>4s v 1＋v 2，故乙先到教室．答案：B9．(2017届四川乐山模拟)已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b >0，(a －b )2≥0，∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0，∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b10．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面1.2元的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种邮票至少买2套，则买票面1.2元的x 套与买票面2元的y 套应满足的条件为________．解析：票面1.2元的每套1.2×5＝6元，票面2元的每套2×4＝8元，则由题意可得x ，y 应满足的条件如下：⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，y ≥2，6x ＋8y ≤50，x ，y ∈N *，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.答案：⎩⎨⎧x ≥2，y ≥2，3x ＋4y ≤25，x ，y ∈N*11．若1a <1b <0，则下列不等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2中，正确的不等式是________．(填正确不等式的序号) 解析：由1a <1b <0，得b <a <0，①因为a ＋b <0，ab >0，所以1a ＋b <0，1ab >0，所以1a ＋b <1ab 成立，即①正确； ②因为b <a <0，所以－b >－a >0，则－b >|a |>0，即|a |＋b <0，所以②错误；③因为b <a <0且1a <1b <0，所以a －1a >b －1b ，故③正确；④因为b <a <0，所以b 2>a 2，所以ln b 2>ln a 2成立，所以④错误．故正确的是①③.答案：①③12．(2017届湖北期末)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝p (p －1)x 2＋q (q －1)y 2＋2pqxy . 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，因此(px ＋qy )2－(px 2＋qy 2)＝－pq (x 2＋y 2－2xy )＝－pq (x －y )2. 因为p ，q 为正数，所以－pq (x －y )2≤0，因此(px ＋qy )2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．13．某单位组织职工去某地参观学习需包车前往，甲车队说：“如领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们买团体票，按原价的8折优惠”．这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．解：设该单位职工有n 人(n ∈N ＋)，全票价每人为x 元，坐甲车需花y 1元，坐乙车需花y 2元，则y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34xn ，y 2＝45nx ，因为y 1－y 2＝14x ＋34xn －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5，当n ＝5时，y 1＝y 2；当n >5时，y 1<y 2；当n <5时，y 1>y 2.因此当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠。

14．已知a >0且a ≠1，p ＝log a (a 3＋1)，q ＝log a (a 2＋1)，比较p 与q 的大小．解：p －q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1，当a >1时，a 3＋1>a 2＋1，∴a 3＋1a 2＋1>1.∴log a a 3＋1a 2＋1>0；当0<a <1时，a 3＋1<a 2＋1，∴a 3＋1a 2＋1<1.∴log a a 3＋1a 2＋1>0.综上可得p －q >0，∴p >q .[能力提升]1．(2017届安徽合肥一模)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，若c a ＋b <a b ＋c b ＋c >c ＋a .由a ＋b >b ＋c 可得a >c ；由b ＋c >c ＋a 可得b >a ，于是有c <a 0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)>f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：解法一：f (x 1)－f (x 2)＝(ax 21＋2ax 1＋4)－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 21－x 22)＋2a (x 1－x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝2a (x 1－x 2)<0，故f (x 1)<f (x 2)．解法二：函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，二次函数的图像开口向上，对称轴为x ＝－1.∵x 1＋x 2＝0，x 1与x 2的中点为0，x 1<x 2，∴x 2到对称轴的距离大于x 1到对称轴的距离，∴f (x 1)<f (x 2)．答案：A3．已知－1<a ＋b <3，且2<a －b <4，则2a ＋3b 的取值范围为________．解析：设2a ＋3b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12，因为－52<52(a ＋b )<152，－2<－12(a －b )<－1，所以－92<52(a ＋b )－12(a －b )<132，即－92<2a ＋3b <132. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－92，1324．若x >y ，a >b ，则在①a －x >b －y ，②a ＋x >b ＋y ，③ax >by ，④x －b >y －a ，⑤a y >bx 这五个式子中，恒成立的不等式的序号是________．解析：令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2，符合题设条件x >y ，a >b ，因为a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5，所以a －x ＝b －y ，因此①不成立，因为ax ＝－6，by ＝－6，所以ax ＝by ，因此③也不成立．因为a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，所以a y ＝bx ，因此⑤不成立．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④5．已知a >0且a ≠1，m >n >0，比较A ＝a m ＋1a m ，B ＝a n ＋1a n 的大小．解：A －B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a m ＋1a m －⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n ＝a m －a n ＋1a m －1a n ＝(a m －a n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a m ＋n .当0<a <1时，∵m >n >0，∴0<a m ＋n <1，∴1a m ＋n>1，∴1－1a m＋n<0，而a m－a n<0，∴A－B>0，因此A>B.当a>1时，∵m>n>0，∴a m＋n>1，∴1a m＋n<1，∴1－1a m＋n>0，而a m－a n>0，∴A－B>0，此时A>B.综上所述，A>B.。