均值不等式题型98
最全的均值不等式专题练习
《 均值不等式》练习题1、 求下列函数的最小值（1） 已知t > 0 ,y = tt t 142+- ;（2） 、y = x 2 + 142+x ;（3）、y = 182++x x (x > 0 )（4）已知：0< x < 2π,求 f(x) = xx x 2sin sin 62cos 12++的最小值（5）若x> 0,y > 0,求 (x+22)21()21x y y ++ 的最小值2、已知 x < 45, 求函数 y = 4x －2 +541-x 的最大值。
3、求下列函数的最大值（1）、y = 41622++x x ; （2）、若20<x<60, y = 250022+-x x x4、已知x>0,132++x x x ≤ a 恒成立，求a 的取值范围5、已知a > 0,b > 0, a 2 +4b 2 = 1 , 求t = ba ab 22+的最大值。
6、已知:x > 0, y > 0,且x + y = 20,求lgx + lgy 的最大值7、已知：a > 0,b > 0,且.1222=+b a 求a.21b +的最大值8、已知 a + b = 1 ,求1212+++b a 的最大值9、若a + b+ c = 1,求121212+++++c b a 的最大值。
10、求下列函数的最大值（1）0< x <23,y = 4x (3－2x) (2) y = x 21x -(3)已知： a > 0,b > 0,c > 0,a 2 + b 2 + c 2 = 4 R 2 ,求y =ab +bc + ac 的最大值（结果用R 表示）（4）、已知：x > 0,y > 0,且x + 4y = 1,求xy 的最大值（5）、已知x > 0,y > 0,且143=+y x ,求xy 的最大值11、求下列函数的最小值（1）已知:x > 0, y > 0,且,191=+y x 求 x + y 的最小值（2）已知：a > 0, b > 0,且4a + b = 30,求ba 11+的最小值（3）、已知：x > 0, y > 0,且2x + 8y – xy = 0,求x+ y 的最小值（4）、已知：x > 0,y > 0,134=+yx 求x + 3y 的最小值 （5）、已知：x ＞ 0,y ＞0,xlg2+ ylg8 = lg2. 求yx 311+的最小值均值不等式的高级应用12、求下列各式的最小值（1）、求)(162b a b a -+的最小值 (2）、设a ＞0,b ＞0, 求ab b a 211++的最小值。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x+≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式常考题型精编版
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
(完整版)均值不等式常考题型
均值不等式及其应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
均值不等式练习题目总结
均值不等式练习题目总结
本文总结了一些常见的均值不等式练题目。
均值不等式是数学中常用的工具，用于比较一组数的大小关系。
在解题过程中，我们可以使用不等式的性质和特点来帮助求解。
一、算术平均值和几何平均值
1. 题目：已知两个正数a和b，证明：(a + b) / 2 ≥ √(ab)
解析：这是算术平均值和几何平均值不等式的基本形式，根据不等式的性质，我们可以将等式两边平方，然后进行变形和推导，最终得到证明结果。
2. 题目：已知n个正数a1, a2, ..., an，证明：(a1 + a2 + ... + an) / n ≥ √(a1 * a2 * ... * an)
解析：这是n个正数的算术平均值和几何平均值不等式，我们可以使用数学归纳法来证明。
先证明n=2的情况，然后假设n=k成立，再推导n=k+1的情况，最终得到证明结果。
二、均值不等式的应用
1. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)² / 4 ≥ ab
解析：这是均值不等式的应用题，我们可以使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
2. 题目：已知正数a，b，证明：(a + b)³ / 8 ≥ a²b
解析：这是均值不等式的应用题，同样使用算术平均值和几何平均值不等式来证明。
根据不等式的性质和变形，我们可以将等式转化为相等的形式进行比较，最终得到证明结果。
以上题目只是一部分均值不等式的练题目，通过练以上题目，可以加深对均值不等式的理解和运用能力，为解决更复杂的数学问题奠定基础。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用之公保含烟创作一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅事先b a =取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅事先b a =取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅事先b a =取“=”）0x >，则12x x +≥ (当且仅事先1x =取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅事先1x =-取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅事先b a =取“=”）0>ab ，则2≥+a bb a (当且仅事先b a =取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅事先b a =取“=”）R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅事先b a =取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最年夜”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比拟年夜小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有普遍的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2≥23x 2·12x 2＝6 ∴值域为[6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最年夜值.解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要停止拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故事先1x =，max 1y =.评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值. 技巧二：凑系数 例1. 事先，求(82)y x x =-的最年夜值.解析：由知，，应用均值不等式求最值，必需和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可.当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最年夜值为8.评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可失掉和为定值，从而可应用均值不等式求最年夜值. 变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最年夜值.解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.技巧三： 别离 例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.解析一：本题看似无法运用均值不等式，无妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其别离. 当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）.技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在别离求最值. 当,即t=时,4259y t t ≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）.评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再应用不等式求最值.即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值.技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性.例：求函数2y =的值域.(2)t t =≥，则2y 1(2)t t t ==+≥因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，思索单调性. 因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.练习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =的最年夜值.；3．203x <<，求函数y =.条件求最值2=+b a ，则b a 33+的最小值是.剖析：“和”到“积”是一个缩小的进程，而且b a33⋅定值，因此思索应用均值定理求最小值，解：b a33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+ba b a 事先ba33=等号成立，由2=+b a 及ba33=得1==b a 即事先1==b a ，b a 33+的最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x,y 的值技巧六：整体代换：屡次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会失足..2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值.错解：0,0x y >>，且191x y+=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故()min 12x y += .错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥等号成立条件是x y =，在19x y +≥19x y =即9y x =,取等号的条件的纷歧致，发作毛病.因此，在应用均值不等式处置问题时，列出等号成立条件是解题的需要步伐，而且是检验转换是否有误的一种办法. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅事先9y xx y=，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .变式： （1）若+∈R y x ,且12=+yx ，求y x 11+的最小值(2)已知+∈Ry x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x1＋y2 的最年夜值.剖析：因条件和结论辨别是二次和一次，故采用公式ab ≤a 2＋b 22.同时还应化简1＋y2 中y2前面的系数为12，x1＋y2 ＝x2·1＋y 22＝ 2 x·12＋y 22下面将x，12＋y 22辨别看成两个因式：x·12＋y 22≤x 2＋(12＋y 22)22＝x 2＋y 22＋122＝34即x1＋y2 ＝ 2 ·x 12＋y 22≤342技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.剖析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用根本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，思索用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径停止.法一：a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1·b＝－2 b2＋30bb＋1由a＞0得，0＜b＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t2＋34t －31t＝－2（t ＋16t）＋34∵t ＋16t ≥2t·16t ＝8 ∴ab ≤18 ∴y ≥118当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵a ＋2b ≥2 2 ab ∴ 30－ab ≥2 2 ab 令u ＝ab 则u 2＋22 u －30≤0，－5 2 ≤u ≤3 2 ∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考察不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算能力；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,动身求得ab 的范围，关键是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的范围.a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值.2.若直角三角形周长为1，求它的面积最年夜值.技巧九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.解法一：若应用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b 2 ≤a 2＋b 22，本题很复杂3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢. W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20 ∴ W ≤20 ＝25变式: 求函数15()22y x <<的最年夜值. 解析：注意到21x -与52x -的和为定值.又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号. 故max y =评注：本题将解析式两边平方结构出“和为定值”，为应用均值不等式发明了条件.总之，我们应用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极发明条件应用均值不等式. 应用二：应用均值不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2221）正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭剖析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式辨别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥.解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=.∴111a b c a a a a-+-==≥.同理11b -≥，11c -≥上述三个不等式两边均为正，辨别相乘，得111221118ac aba b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅事先13a b c ===取等号. 应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围.解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y xk kx ky ∴++=10312k k ∴-≥⋅ .16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞应用四：均值定理在比拟年夜小中的应用： 例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的年夜小关系是.剖析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lgQ ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg(∴R>Q>P.。
均值不等式常考题型
均值不等式及其应用之羊若含玉创作一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab ba ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当ba =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”）0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）0>ab ，则2≥+a bb a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”）R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三相等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值规模、证明不等式、解决实际问题方面有普遍的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x 2 ≥23x 2·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x ≥2x·1x ＝2；当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x·1x =－2∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技能： 技能一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值.解：因450x -<，所以首先要“调剂”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+= 当且仅当15454x x -=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =.评注：本题需要调剂项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值. 技能二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值. 解析：由知，，应用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值.注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可. 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8. 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可应用均值不等式求最大值.变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值.解：∵230<<x ∴023>-x ∴2922322)23(22)23(42=⎪⎭⎫⎝⎛-+≤-⋅=-=x x x x x x y 当且仅当,232x x -=即⎪⎭⎫⎝⎛∈=23,043x 时等号成立.技能三： 分别例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域.解析一：本题看似无法运用均值不等式，无妨将分子配方凑出含有（x ＋1）的项，再将其分别.当,即时,421)591y x x ≥+⨯+=+（（当且仅当x ＝1时取“＝”号）.技能四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x ＋1，化简原式在分别求最值.当,即t=时,4259y t t ≥⨯=（当t=2即x ＝1时取“＝”号）. 评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子离开或将分母换元后将式子离开再应用不等式求最值.即化为()(0,0)()Ay mg x B A B g x =++>>，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值.技能五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应联合函数()af x x x=+的单调性.例：求函数224y x =+的值域.24(2)x t t +=≥，则224y x +2214(2)4x t t t x =+=+≥+因10,1t t t >⋅=，但1t t =解得1t =±不在区间[)2,+∞，故等号不成立，斟酌单调性.因为1y t t =+在区间[)1,+∞单调递增，所以在其子区间[)2,+∞为单调递增函数，故52y ≥.所以，所求函数的值域为5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 演习．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x ++=>（2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y 的最大值.；3．203x <<，求函数y .条件求最值2=+b a ，则b a 33+的最小值是.剖析：“和”到“积”是一个缩小的进程，并且b a33⋅定值，因此斟酌应用均值定理求最小值，解：b a33和都是正数，b a 33+≥632332==⋅+ba b a当b a33=时等号成立，由2=+b a 及b a 33=得1==b a 即当1==b a 时，b a 33+的最小值是6．变式：若44log log 2x y +=，求11x y +的最小值.并求x,y 的值技能六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，不然就会出错..2：已知0,0x y >>，且191x y +=，求x y +的最小值.错解：0,0x y >>，且191x y+=，∴()1912x y x y x y ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故()min 12x y += .错因：解法中两次连用均值不等式，在x y +≥等号成立条件是x y=，在19x y +≥等号成立条件是19x y=即9y x =,取等号的条件的不一致，产生错误.因此，在应用均值不等式处理问题时，列出等号成立条件是解题的需要步调，并且是磨练转换是否有误的一种办法. 正解：190,0,1x y x y >>+=，()1991061016y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y=时，上式等号成立，又191x y +=，可得4,12x y ==时，()min 16x y += .变式： （1）若+∈R y x ,且12=+yx ，求y x 11+的最小值(2)已知+∈Ry x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x+的最小值技能七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22 ＝1，求x 1＋y2 的最大值.剖析：因条件和结论分别是二次和一次，故采取公式ab ≤a 2＋b 22 . 同时还应化简1＋y2 中y 2前面的系数为 12 ， x1＋y2 ＝x2·1＋y 22 ＝ 2 x ·12 ＋y 22下面将x ，12 ＋y 22 分别算作两个因式：x ·12 ＋y 22 ≤x 2＋(12 ＋y 22 )22 ＝x 2＋y 22 ＋12 2＝34 即x 1＋y2 ＝2 ·x12 ＋y 22 ≤34 2技能八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.剖析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或根本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用根本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不克不及一步到位求出最值，斟酌用根本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行.法一：a ＝30－2b b ＋1 ， ab ＝30－2b b ＋1 ·b ＝－2 b2＋30bb ＋1由a ＞0得，0＜b ＜15令t ＝b +1，1＜t ＜16，ab ＝－2t2＋34t －31t ＝－2（t ＋16t ）＋34∵t ＋16t ≥2t·16t ＝8∴ab ≤18 ∴y ≥118 当且仅当t ＝4，即b ＝3，a ＝6时，等号成立.法二：由已知得：30－ab ＝a ＋2b ∵a ＋2b ≥2 2 ab ∴ 30－ab ≥2 2 ab 令u ＝ab 则u 2＋2 2 u －30≤0，－5 2 ≤u ≤3 2∴ab ≤3 2 ，ab ≤18，∴y ≥118点评：①本题考核不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,的应用、不等式的解法及运算才能；②如何由已知不等式230ab a b =++）（+∈R b a ,出发求得ab 的规模，症结是寻找到ab b a 与+之间的关系，由此想到不等式ab ba ≥+2）（+∈R b a ,，这样将已知条件转换为含ab 的不等式，进而解得ab 的规模. a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值.2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值.技能九、取平方5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值. 解法一：若应用算术平均与平方平均之间的不等关系，a ＋b2 ≤a 2＋b 22 ，本题很简略3x ＋2y ≤ 2 （3x ）2＋（2y ）2 ＝ 2 3x ＋2y ＝2 5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用根本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件挨近.W ＞0，W 2＝3x ＋2y ＋23x ·2y ＝10＋23x ·2y ≤10＋(3x )2·(2y )2 ＝10＋(3x ＋2y )＝20∴ W ≤20 ＝2 5变式: 求函数15()22y x =<<的最大值. 解析：注意到21x -与52x -的和为定值.又0y >，所以0y <≤当且仅当21x -=52x -，即32x =时取等号. 故max y =评注：本题将解析式双方平方结构出“和为定值”，为应用均值不等式创造了条件.总之，我们应用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技能，积极创造条件应用均值不等式. 应用二：应用均值不等式证明不等式1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 1）正数a ，b ，c 知足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc 例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=.求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭剖析：不等式右边数字8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又111a b c a a a -+-==≥.解：a 、b 、c R +∈，1a b c ++=.∴111a b c a a a -+-==≥.同理11b -≥，11c -上述三个不等式双方均为正，分别相乘，得111221118ac aba b c b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当且仅当13a b c ===时取等号. 应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0x y >>且191x y +=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值规模.解：令,0,0,x y k x y +=>>191x y +=，99 1.x y x y kx ky ++∴+=1091y xk kx ky ∴++= 10312k k ∴-≥⋅ .16k ∴≥ ，(],16m ∈-∞应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1ba Rb a Q b a P b a +=+=⋅=>>，则R Q P ,,的大小关系是.剖析：∵1>>b a ∴0lg ,0lg >>b a21=Q （p b a b a =⋅>+lg lg )lg lgQ ab ab b a R ==>+=lg 21lg )2lg(∴R>Q>P.。
(完整版)均值不等式专题20道-带答案
均值不等式专题3学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．若则的最小值是__________．2．若,且则的最大值为______________.3．已知，且，则的最小值为______．4．已知正数满足，则的最小值是_______.5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是______．6．设正实数满足，则的最小值为________7．已知，且，则的最小值是________8．已知正实数x，y满足，则的最小值是______9．已知，函数的值域为，则的最小值为________．10．已知，，且，则的最小值为__________．11．若正数x，y满足，则的最小值是______．12．已知正实数x，y满足，则的最小值为______．13．若，，，则的最小值为______．14．若，则的最小值为________.15．已知a，b都是正数，满足，则的最小值为______．16．已知，且，则的最小值为______．17．已知点在圆上运动，则的最小值为___________．18．若函数的单调递增区间为，则的最小值为____．19．已知正实数，满足，则的最大值为______.20．已知，，则的最小值为____．参考答案1．【解析】【分析】根据对数相等得到，利用基本不等式求解的最小值得到所求结果. 【详解】则，即由题意知，则，则当且仅当，即时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.2．【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.【详解】当时，，，所以最大值为1，当时，因为，当且仅当时取等号，所以，即最大值为，综上的最大值为【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.3．4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．【详解】∵，∴，∴，当且仅当，时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．4．【解析】【分析】由题得，所以，再根据基本不等式即可求出答案．【详解】正数，满足，则，则，当且仅当时，即，时取等号，故答案为：．【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．5．4【解析】【分析】由题意可得经过圆心，可得，再+利用基本不等式求得它的最小值．【详解】圆，即，表示以为圆心、半径等于2的圆．再根据弦长为4，可得经过圆心，故有，求得，则，当且仅当时，取等号，故则的最小值为4，故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令，则当且仅当时取等号.即的最小值为8.【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7．【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】因为,当且仅当时取等号，所以的最小值是【点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．【解析】【分析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.9．【解析】【分析】由函数的值域为，可得，化为，利用基本不等式可得结果.【详解】的值域为，，，，，当，即是等号成立，所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.10．【解析】【分析】由已知将化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.【详解】因为，所以，=（当且仅当，即，时取等号），所以的最小值为，故答案为.【点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.11．【解析】【分析】利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．【详解】正数x，y满足，则，，当且仅当时取等号，故的最小值是12，故答案为：12【点睛】本题考查了基本不等式及其应用属基础题．12．2【解析】【分析】利用“1”的代换，求得最值，再对直接利用基本不等式求得最值，再结合题意求解即可【详解】正实数x，y满足，，，当且仅当，即，时，取等号，的最小值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13．9【解析】【分析】由条件可得，即有，由基本不等式可得所求最小值．【详解】若，，，即，则，当且仅当取得最小值9，故答案为：9．【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解析】【分析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
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均值不等式常见题型
常见题型：
1、分式函数求最值，如果)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++=)
()(的形式，且)(x g 在定义域内恒正或恒负，,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。
例：求函数)01(1
12>->+++=a x x x ax y 且的最小值。
解：1
)1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211)1(=-+≥-++++=a a a x a x a 当1
)1(+=+x a x a 即x=0时等号成立，1min =∴y 练习：1、（1）已知0>x ，求x x x f 312)(+=的最小值 （2）已知3<x ，求x x x f +-=3
4)(的最大值 2、（ 1）、若R x ∈，求x x x f +-=3
4)(的值域 （2）、函数()022>-=x x x y 的最大值为 3、（1）、已知0,0>>y x 且191=+y
x ，求y x +的最小值 （2）、R x ∈，求1
sin 51sin )(22+++=x x x f 的最小值 （3）、当b a x ,,10<<为正常数时，求x
b x a y -+=12
2的最小值 4、（1）、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 满足01=++ny mx ，其中0>mn ，则n
m 21+的最小值为 （2）、求2)
3(222++=x x y 的最小值为
（3）、已知x
x x f x sin 12009sin 1)(,20-+=<<π
的最小值为 5、已知y x ,都是正实数，且053=+-+xy y x （1）求xy 的最小值（2）求y x +的最小值
2、题在给出和为定值，求和的最值时，一般情况都要对所求式子进行变形，用已知条件进行代换，变形之后再利用均值不等式进行求最值。
例：已知191,0,0=+>>b
a b a 且，求b a +的最小值。
解法一：169210991=+≥+++=+b
a a
b b a
思路二：由191=+b
a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=--
b a b a 然后将b a +变形。
解法二：16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a
两种解法的等号成立的条件均为12,4==b a 。
此类题型可扩展为：设321a a a 、、均为正数，且m a a a =++321，求3
21111a a a S ++=的最小值。
)111)((1321321a a a a a a m S ++++=
)]()()(3[1322331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++= m
m 9)2223(1=+++≥，等号成立的条件是321a a a ==。
3、题中所求的式子中带有根式，而且不能直接用均值不等式来求解，则可采用逆向思维来求解，对不等式逆向转换，本类题型一般情况都给出来x 的取值范围，根据取值范围来进行逆向转换。
例：求函数]3,2
1[,37∈-=x x x y 的最小值。
思路：从所给区间]3,21
[∈x 入手，可得一个不等式0)3)(21(≤--x x
解：,0)3)(21
(≤--x x 即,372,037222-≤∴≤+-x x x x ,372,0x
x x -≤∴> 得2min =y 练习、若)0](,1
[>∈a b a x ，求x
b x ab y -+=)1(的最小值。
答案：a 4、不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，但均需满足“一正二定三相等”的条件。
例：已知a,b,c 均为，求证：c b a a
c c b b a ++≥++2
22。
练习1、若,0,0>>b a 求函数b ax x y +=
2最值。
答案：ab ab y ab ab y 2,2max min =-= 2、求函数)0(1
32<++=x x x x y 的值域。
答案：[-3，0] 3、已知正数y x ,满足,12=+y x 求y
x 11+的最小值。
答案：223+ 4、已知z y x ,,为正数，且2=++z y x ，求2111++=
y x S 的最小值。
答案：29 6、已知R c b a ∈,,，求证：（1）ca bc ab c b a ++≥++222
（2）()c b a a c c b b a ++≥
+++++2222222
7、已知1,0,0=+>>b a b a ，求证：91111≥⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛
+b a 综合训练
1、求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x
2、①设x>0，则函数y=2－
x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
②已知0x >，求12f =3x x
+（x ）的最小值为 3、①若,4>x 函数,41x
x y -+-=当=x 时，函数有最 值 。
①已知3,x >求43
y x x =+-的最小值为 。
③已知3,x <求43
y x x =+-的最大值为 。
4、 ①设2
30<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
②. 设,10<<x 则函数)1(x x y -=的最大值是 。
③已知：10,4
x <<
则函数(14)y x x =-的最大值。
5、①当1->x 时，求1
132++-=x x x y 的最小值。
②：求函数()()y x x x =++49的最值。
6、 ①若1x >，求函数2125x y x x -=
-+的值域 ②若2x <，求函数2248
x y x x -=-+的值域 7、①若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .
②若44log log 2x y +=，求11x y
+的最小值.并求x ,y 的值 8、①已知0,0x y >>，且191x y
+=，求x y +的最小值。
② 若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值 ③已知正数x 、y 满足811x y
+=，求2x y +的最小值。
9、①已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
②求函数15
()22
y x =<<的最大值。
10、求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）231,(0)x x y x x
++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
11、 ①已知01x <<，求函数y .；
②203x <<，求函数y .
12、若0,0>>y x ，且202=+y x ，则y x lg lg +的最大值是
13、若+∈R y x a ,,，且y x a y x +≤+
恒成立，则a 的最小值是 14、已知：x > 0,y > 0,134=+y
x 求x + 3y 的最小值 15、若+∈R b a ,且1=+b a ，求证：22121≤+++
b a 16、已知0,0>>b a 且1=+b a ，求4
25)1)(1(≥++b b a a .
17、若a > b > 0,求)
(162b a b a -+
的最小值。