[经济学]整数规划
第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
第四章整数规划讲稿11
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连 续工作8h，问该公交线路怎样安排机和乘务人员，既能 满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘 务人员数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：minZ= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6
第四章 整数规划(Integer Programming ，简称为IP） 本章要求 • 理解整数规划的含义； • 掌握分配问题的匈牙利算法； • 掌握割平面法； • 掌握分枝定界法的思想和方法； • 掌握0-1变量的含义和用法。
§1
整数规划问题的提出
在线性规划问题中，所有的解都假设为具 有连续型的数值，即解可以是整数、分数或 小数。但对于某些具体的问题，常要求最优 解是整数的情形。例如，所求的解是机器台 数，完成工作的人数或装货的车数等，还有 逻辑变量，只允许取整数值的一类变量，比 如x=1或0。这时，分数或小数的解就不符合 要求。
一、整数规划的定义：决策变量要求取整数的LP。
IP的松驰问题：任何IP，放弃整数要求后，所得到的 问题称为原IP的松驰问题（Slack Problem）或称作和原 IP相应的LP问题。 二、分类
1、纯整数规划(Pure Integer Programming)或全整数规划 (All Integer Programming)：全部决策变量均要求取整数 的LP。
解题时需要引入m2个0-1变量 xij ，即令 ：
匈牙利法要求分配问题的模型为标准型， 即满足下列条件的模型： （1）目标函数为极小化；
（2）效率矩阵[ij]为m阶方阵；
（3）[ ij]中元素 ij ≥0，且为常数。
第8章 整数规划
12
例 混合泳接力队的选拔
5名候选人的百米成绩 名候选人的百米成绩 名候选人的
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳 甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6 乙 57”2 1’06” 1’06”4 53” 丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4 丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2 戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
若选择队员i参加泳姿 的比赛，记xij=1, 否则记 ij=0 若选择队员 参加泳姿j 的比赛， 参加泳姿 , 否则记x 目标 函数
Min
Z = ∑ ∑ c ij x ij
j =1 i =1
4
5
约束 每人最多入选泳姿之一 4 条件 ∑ xij ≤ 1, i = 1,⋯5
j =1
管 理 运 筹
每种泳姿有且只有1 每种泳姿有且只有1人
第八章 整数规划
管
理
运
筹
学
1
第八章 整数规划
• 求整数解的线性规划问题，不是用四舍五入法或去 尾法对线性规划的非整数解加以处理都能解决的， 而要用整数规划的方法加以解决。 • 在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则 称为纯整数规划问题；如果有一部分变量为负整数， 则称之为混合整数规划问题。在整数规划中，如果 变量的取值只限于0和1，这样的变量我们称之为01变量。在纯整数规划和混合整数规划问题中，如 果所有的变量都为0-1变量，则称之为0-1规划。
管
理
运
筹
学
8
二、固定成本问题 例5．高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器， ． 所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需 的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费用，每种容器 售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的 金属板有500吨，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外 不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用： 小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制 定一个生产计划，使获得的利润为最大。
整数规划规划论
Xpress-Optimizer广泛应用于各种行 业，如金融、物流、能源和制造业， 用于解决复杂的优化问题。
06
整数规划的实际应用案 例
生产计划优化
要点一
生产计划
整数规划可以用于优化生产计划，通过合理安排不同产品 的生产数量、生产时间和生产顺序，降低生产成本，提高 生产效率。
要点二
资源分配
整数规划还可以用于优化资源分配，例如合理分配人力、 物料、设备等资源，确保生产过程的顺利进行，同时避免 资源的浪费。
物流与运输优化
路径规划
整数规划可以用于优化物流和运输过程中的路径规划， 通过选择最短或最优路径，降低运输成本和时间。
车辆调度
整数规划还可以用于优化车辆调度，例如合理安排车辆 的出发时间、行驶路线和装载量等，以提高运输效率和 服务质量。
金融投资组合优化
投资组合选择
整数规划可以用于优化金融投资组合的选择，通过合 理分配资金到不同的投资品种，实现风险和收益的平 衡。
整数规划理论
目录
• 整数规划简介 • 整数规划的基本概念 • 整数规划的算法 • 整数规划的优化方法 • 整数规划的软件工具 • 整数规划的实际应用案例
01
整数规划简介
定义与特性
定义
整数规划是一种数学优化方法，旨在 找到满足一系列约束条件的最大化或 最小化的整数值。
特性
整数规划的主要特性是要求决策变量 取整数值，这使得它在处理某些问题 时具有独特的优势，例如资源分配、 排程和布局问题等。
CPLEX
概述
CPLEX是IBM出品的一款商业优化软件，用于解决线性规划、混合整数规划和其他优化 问题。
特点
CPLEX提供了强大的求解器，支持大规模问题，具有高度的可靠性和稳定性。它提供了 广泛的算法和功能，支持多种编程语言和平台。
整数规划 数学名词
整数规划具体介绍整数规划是指规划中的变量（全部或部分）限制为整数，若在线性模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
所流行的求解整数规划的方法往往只适用于整数线性规划。
一类要求问题的解中的全部或一部分变量为整数的数学规划。
从约束条件的构成又可细分为线性，二次和非线性的整数规划。
定义：在线性规划问题中，有些最优解可能是分数或小数，但对于某些具体问题，常要求某些变量的解必须是整数。
例如，当变量代表的是机器的台数，工作的人数或装货的车数等。
为了满足整数的要求，初看起来似乎只要把已得的非整数解舍入化整就可以了。
实际上化整后的数不见得是可行解和最优解，所以应该有特殊的方法来求解整数规划。
在整数规划中，如果所有变量都限制为整数，则称为纯整数规划；如果仅一部分变量限制为整数，则称为混合整数规划。
整数规划的一种特殊情形是01规划，它的变数仅限于0或1。
不同于线性规划问题，整数和01规划问题至今尚未找到一般的多项式解法。
发展历程：整数规划是从1958年由R.E.戈莫里提出割平面法之后形成独立分支的，30多年来发展出很多方法解决各种问题。
解整数规划最典型的做法是逐步生成一个相关的问题，称它是原问题的衍生问题。
对每个衍生问题又伴随一个比它更易于求解的松弛问题（衍生问题称为松弛问题的源问题）。
通过松弛问题的解来确定它的源问题的归宿，即源问题应被舍弃，还是再生成一个或多个它本身的衍生问题来替代它。
随即，再选择一个尚未被舍弃的或替代的原问题的衍生问题，重复以上步骤直至不再剩有未解决的衍生问题为止。
现今比较成功又流行的方法是分支定界法和割平面法，它们都是在上述框架下形成的。
整数规划又分为：1、纯整数规划：所有决策变量均要求为整数的整数规划2、混合整数规划：部分决策变量均要求为整数的整数规划3、纯0－1整数规划：所有决策变量均要求为0－1的整数规划4、混合0－1规划：部分决策变量均要求为0－1的整数规划整数规划与线性规划不同之处只在于增加了整数约束。
第02章 整数规划
必须为 1；当 x j = 0 时只有 y j 为 0 时才有意义，所以（4）式完全可以代替（3）式。
3.2 0 −1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法） 解 0 −1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规划的情形一样，就是穷举法，
即检查变量取值为 0 或 1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就需要检查
5x1 + 4x2 ≤ 24 或 7x1 + 3x2 ≤ 45 。 为了统一在一个问题中，引入 0 − 1 变量 y ，则上述约束条件可改写为：
⎪⎨⎧57xx11
+ +
4x2 3x2
≤ ≤
24 45
+ +
yM (1 −
y)M
⎪⎩ y = 0或1
其中 M 是充分大的数。
约束条件
可改写为
x1 = 0 或 500 ≤ x1 ≤ 800
x2
=
3 2
, min
z
=
3 2
。
若限制整数得： x1 = 1, x2 = 1, min z = 2 。
（ii） 整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
1.3 求解方法分类：
（i）分枝定界法—可求纯或混合整数线性规划。
（ii）割平面法—可求纯或混合整数线性规划。
（iii）隐枚举法—求解“0-1”整数规划：
第二章 整数规划
§1 概论
1.1 定义
规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。若在线性规划模型中，
变量限制为整数，则称为整数线性规划。目前所流行的求解整数规划的方法，往往只适
用于整数线性规划。目前还没有一种方法能有效地求解一切整数规划。
1.2 整数规划的分类
第3章 整数规划
分枝定界法的解题步骤
1、不考虑整数约束，解相应LP问题
2、检查是否符合整数要求，是，则得最 优解，完毕。否则，转下步
3、任取一个非整数变量xi=bi，构造两个 新的约束条件：xi ≤[bi] ,xi ≥ [bi]+1,分别 加入到上一个LP问题，形成两个新的分 枝问题。
4、不考虑整数要求，解分枝问题。若整 数解的Z值>所有分枝末梢的Z值，则得最 优解。否则， 取Z值最大的非整数解， 继续分解，Go to 3
L4：z4=14 x1=4，x2=1
3.4 隐枚举法与0-1规划问题
3.4.1 0-1规划问题及模型
1、0-1规划问题的概念 • 在整数规划问题中，若变量取值为0或者1，则为0-1 规划问题。
• 0-1变量通常用来表示逻辑性选择的决策。
2、0-1变量的应用
（1）表示选择性决策（投资场所的选定——相互排斥的计划）
解题时先引入0-1变量xi (=1,2，…，7)
令
xi
1, 当Ai点被选用 0, 当Ai点没有被选用
i 1,2,,7
于是问题可列成：
目标函数： max
z
7
ci xi
i 1
7
bi xi B
i1
约束条件xx14
x2 x5
x3 1
2
x6 x7 1
0
xi
1
（2） 表示选择性约束
例3.在本章开始的集装箱运输中，关于运货的体积
-----年总收益 ----投资额限制
(j=1,2,---,10)
例2 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议 中有7个位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定：
在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 如 计 个选点为可用ci元使Ai，点年但，利投设润资备为总投最额资大不估? 能计超为过bi元B元，。每问年应可选获择利哪润估几
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第23页
数学模型
cij：第i人做第j事的费用
1 若指派第i人做第j事
i，j＝1,...,n
xij＝
总费用：cij xij
i 1 j 1
0 若指派第i人不做第j 事 n n
每件事必有且只有一个人去做
每个人必做且只做一件事
x
n
x
j 1
i 1 n
ij
1 j＝1,...,n
ij
1 i＝1,...,n
步骤1： 把各行元素分别减去本行元素的最小值； 然后在此基础上再把每列元素减去本列中 的最小值。
min 4
4 7 6 6 6 8 7 15 12 9 17 14 10 9 12 8 7 7 14 6 10 9 12 10 6
0 7 0 6 0 6 0 0 6 min 0
可行解是松弛问题的可行解 最优值不会优于其松弛问题的最优值
第16页
解的特点
第17页
解的特点
第18页
注
释
• 最优解不一定在顶点上达到 • 最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整 数解 • 整数可行解远多于顶点，枚举法不可取
第19页
第四章 整数规划与分配问题
• 整数规划的特点及作用 • 分配问题与匈牙利法 • 分枝定界法与割平面法 • 应用案例
松弛问 题
x j中部分或全部取整数
第 4页
整数线性规划类型
1.纯整数线性规划：
人员安排问题
x j中全部取整数
2.混合整数线性规划： 物资运输问题
x j中部分取整数
3.0－1型整数线性规划： 投资组合问题
x j只能取值0或1
第 5页
人员安排问题
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4
4
ij
x ij 1 2 0 0
再引入一个0-1变量y
4 0 0 4 3 6 0 0 x ij 2 0 0 j 1 4 0 4 4 3 0 y 1500 c ij x 5 1200 (1 y ) ij 4 4 1 j 1 i 4 4 0 0 min z cij xij 1500 x ij i 1 j 1 1 400 3 0 0 i 1 5 0 400 600 4 600 200y x ij j 1 0 200(1 y ) 200 350 350 x 0 400 4 400 ij xij 300 300 i 1 y 0或1 150 第 9页 150
第 7页
物资运输问题
工厂A1和A2生产某种物资。由于该种物资供不应求，故需要再建一家工厂。 相应的建厂方案有A3和A4两个。这种物资的需求地有B1，B2，B3，B4四个。 各工厂年生产能力、各地年需求量、各厂至各需求地的单位物资运费 cij(i,j=1,2,3,4).
B1 A1 A2 A3 A4 2 8 7 4
A 1 若 建 工 厂 y A 0 若 建 工 厂
投资组合问题
• 证券投资：把一定的资金投入到合适的 有价证券上以规避风险并获得最大的利 润。 • 项目投资：财团或银行把资金投入到若 干项目中以获得中长期的收益最大。
第10页
现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个，项目 j所需投资额和预期收益分别为aj和cj（j=1,2,...,n）。 此外， 由于种种原因，有三个附加条件： 第一，若选择项目1，就必须同时选择项目2。反之，则不 一定； 第二，项目3和4中至少选择一个；
第13页
模型的特点
特征—变量整数性要求 来源
问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要
性质—可行域是离散集合
第14页
模型的特点
第15页
与线性规划的关系
整数规划
松弛问题
m inc x Ax b s .t . x 0, x为整数
m i nc x Ax b s .t . x 0
松弛问 题
x j中部分或全部取整数
第 4页
整数线性规划类型
1.纯整数线性规划：
人员安排问题
x j中全部取整数
2.混合整数线性规划： 物资运输问题
x j中部分取整数
3.0－1型整数线性规划： 投资组合问题
x j只能取值0或1
第 5页
人员安排问题
• 医院护士24小时值班，每次值班8小时。 不同时段需要的护士人数不等。据统计：
B2 9 3 6 5
B3 3 5 1 2
B4 4 7 2 5
生产能力 400 600 200 200
需求量
350
400
300
150
1200
工厂A3或A4开工后，每年的生产费用估计分别为1200万元或1500万元。现要
决定应该建设工厂A3还是A4，才能使今后每年的总费用最少？
m i nz
c
i 1 j 1
可行解是松弛问题的可行解 最优值不会优于其松弛问题的最优值
第16页
解的特点
第17页
解的特点
第18页
注
释
• 最优解不一定在顶点上达到 • 最优解不一定是松弛问题最优解的邻近整 数解 • 整数可行解远多于顶点，枚举法不可取
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第四章 整数规划与分配问题
• 整数规划的特点及作用 • 分配问题与匈牙利法 • 分枝定界法与割平面法 • 应用案例
a x
j 1 j
n
j
B
• 目标—总收益最大
max c j x j
j 1第12页n来自模型m ax z
c
j 1
n
j
xj
n a j x j B j 1 x2 x1 x3 x4 1 x x x 2 6 7 5 x j 0或1 （ j 1,2,...,n）
第四章 整数规划与分配问题
• • • • 整数规划的特点及作用 分配问题与匈牙利法 分枝定界法与割平面法 应用举例
第 1页
第四章 整数规划与分配问题
• • • • 整数规划的特点及作用 分配问题与匈牙利法 分枝定界法与割平面法 应用举例
第 2页
整数规划的特点及作用
• 模型
• 实例
• 特点
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序号 1 2 3 时段 06—10 10—14 14—18 最少人数 安排人数 60 x1 70 60 x2 x3
4 5 6
18—22 22—02 02—06
50 20 30
x4 x5 x6
第 6页
最少需要多少护士？
人员安排问题
设x1,x2,…,x6为各班新上班人数
min z=x1+x2+x3+x4+x5+x6 x1+x2 ≥70 x2+x3 ≥60 x3+x4 ≥ 50 x4+x5 ≥20 x5+x6 ≥30 x6＋x1≥60 xj 正整数,j=1,2,…6
整数线性规划模型
max(或 min) z c j x j
j 1 n
n i 1,..., p aij x j bi j 1 n s.t. aij x j ()bi i p 1,..., m j 1 x j 0 j 1,..., n
第三，项目5，6和7中恰好选择两个。
应当怎样选择投资项目，才能使总预期收益最大？
1 对项目j投 资 xj 0 对项目j不 投 资
模
型
• 变量—每个项目是否投资
x j 1,0
j 1,2...,n
x2 x1 x3 x4 1 x5 x6 x7 2
• 约束—总金额不超过限制＋3个附加条件
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分配问题的提出
设某公司准备派n个工人x1,x2,…,xn,去作 n件工作y1,y2,…,yn. 已知工人xi去作工作 yj的效率为wij(i,j=1,2,…,n).