2019版高考数学复习函数导数及其应用第7讲对数式与对数函数课时作业理

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2019届高考(文科)江苏版一轮复习：第2章 7 第7讲对数与对数函数

[解析] 对①，根据 y＝log0.5x 为单调减函数易知正确．对②，由 log34>log33＝1＝log55>log65 可知正确． 4 6 6 对③，由 log34＝1＋log3 >1＋log3 >1＋log5 ＝log56 可知正 3 5 5 确．对④，由 π>e>1 得，logeπ>1>logπe 可知错误．
2．对数的运算法则如果 a>0，且 a≠1，M >0，N>0，那么：
logaM＋logaN ； ①loga(M· N)＝________________
M logaM－log aN ②log a ＝_____________ __ ___； N
nlogaM ③logaMn＝____________ (n∈R)；
对数式的化简与求值
4 3 － 3 (1)若 a＝log43，则 2a＋2 a＝________ ．
1 1 10 (2)设 2 ＝5 ＝m，且＋＝2，则 m＝________． a b
a b
（1－log63）2＋log62·log618 1 (3) ＝________ ． log64
【解析】＝ 3＋
n ④logamM ＝ logaM. m
n
3．对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1
图象
定义域值域
(0，＋∞) __________
R
a>1 定点单调性
0<a<1
(1，0) 过点__________
在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是
增函数 __________
当 x>1 时，y>0；当 0<x<1 时，y<0

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第7讲对数式与对数函数课时作业理.docx

第7讲对数式与对数函数知能」训练-1 1 11.己知a=23, Z?=log2-, c=log j 贝lj( )2A.a>b>cB. a>c>bC. c>a>b D- c>Z?>日2.（2017年湖北孝感一模）设曰=2016而，b=log2o】6佰帀，c=log2sr\/硕，则曰, b, c 的大小关系为（）A. a>li>cB. a>c>bC. b>a>cD. c>b>a3・已知/={#2WxW：n},定义在力上的函数y=log川（a>0,且日Hl）的最大值比最小值大1,则底数白的值为（）2 HA.— B —兀卜2c.开一2 D.4.（2016年浙江）已知白，方>0,且臼H1,方H1,若log.^>l,贝Ij（）A.（日一1）（方一1）〈0B.（日一1）（日一方）>0C.（方一1）（方一刃<0D.（b— 1）（b—臼）>05.（2015年天津）已知定义在R上的函数f（x）=2i —1（刃为实数）为偶函数，记日= Alogo.s3）, /?=/'（log25）, c= f（.2ni）,则日，b, c 的大小关系为（）A. a<b<cB. c<a<bC. c<bD. c<b<a6.（2017年山东临沂一模）己知log,3日一1）恒为正数，那么实数的収值范围是（）C.臼>17.（2017年天津）己知奇函数f（x）在R上是增函数.若日=—/^。

巧丿，b=f\\^A. 1）, c=f（2°"），则日，b, c的大小关系为（）A. KKcB. ZKa<cC. D. c<a<Z?8.（2015年上海）方程log2（9L」5）=log2（3“T-2）+2的解为 __________ ・再质丹华9.己知函数f（x） =log2（x+l）— log2（l — x） •（1）求/U）的定义域;（2）判断的奇偶性;（3）求使得不等式F3 >0成立的x的解集.10.-------------------------------- 已知函数f(x) =ln (S〉0) •1(1)求函数fd)的定义域；(2)若函数£(劝在区间［10, +8)上是增函数，求实数£的取值范围.第7讲对数式与对数函数-丄 1 111. 0 解析：a=2 3 丘(0,1), /?=log 2-<0, c=log ] §>log T=l,所以 c>a>b.故选 C.2 22. A 解析：V c= 1 og2oirx/2016 =^1 og 2oi72016^> Z?>c. V a= 20162017 >1, ZK1, ：.a>b.故选 A.3. D 解析：分0"〈l 和臼>1两种情况进行讨论.4. D 解析：log 』>logaa=l,当日>1 时，b>a>l, Z?—1>0, b —Q0.・°・(b —l)(b —a)>0；当 0幺<1 时,：.0<Ka<l. AA-KO, b~a<0. :. (Z?-l) (b-a)>0.故选 D.5. B 解析：由fd)为偶函数，得〃尸0,所以&=少环3|_1=2叱23_1 = 3 — 1 = 2, b =2也5_1=5_1=4, c=2°—l = 0.所以 c<a<b.故选 B.G1,6. D 解析：Tioga (3Q — 1)恒为正数，.••仁〔3曰一1>1,1 2或故选D. 7. C 解析：因为f(x)是奇函数且在R 上是增函数，日=—/(log2*)=/(—log£) = Alog 25), Z?=Alog 24. 1), c=f(208), 2a8<2<log 24. l<log 25,所以 c<b<a.故选 C.8. 2 解析：依题意 log 2(9r -1-5)=log 2(4-3^1-8),所以 9v_1-5=4 - 3^-8•令 3'_1= t( t>0),贝ij 4f+3 = 0.解得 t=l 或方=3.当 t=l 时，3V_1 = 1,所以 x=\.而 91_1 —5<0,所以x=l 不合题意，舍去；当Z = 3时，3' 1 = 3,所以x=2, 92 ! —5 = 4>0, 32 —2=1>0.所以x=2满足条件.所以x=2是原方程的解.9. 解：(l)f(x) =log2(x+l) —log2(l —X ),卄 1〉0,贝I 」解得一1〈*1. [1—x>0.故所求函数f(x)的定义域为{” 一 iao}.(2) 由(1)知,f(0的定义域为UI-KK1},且 /( — X)=log2(—卄 1) — log 2(l+%)=—[log2(x+l) — log2(l —劝]=—/*(0，故代劝为奇函数.(3) f(x) =l()g2^^,1 —X易知f(x)在定义域{x|-l<Kl)±是增函数.v-4- 1・•・代力>00—>1.解得0<Xl.・・・使f3 >0成立的x 的解集是｛x\ 0<Kl) •当斤=1时，函数f(x)的定义域为｛”xHl ｝；0<a<l, 0<3a-l<l,，“ / X , kx —1 10.解:⑴由口>0,得(Ax —1) (x —1)>0. •/ A>0, 匕一1)>0・当0〈廉1时，函数fd)的定义域为* *1,或X#/、/、k X— +k~\ (, , k~l\(2) f(x) =]n --------------- : ------- =ln k+ ------ .x— 1 J x— 1 丿・・•函数fd)在区间[10, +<-)上是单调递增函数, ・•・由复合函数的单调性知，A-l<0, BP K1.. 10A— 1 1又当 /= 10 吋，]0_] >0, k>—.综上所述，实数斤的取值范围为1°。

高三数学一轮复习 2.7《对数与对数函数》课时作业

对数与数函数一、选择题三、解答题10．已知f x＝log a a x－1a＞0，且a≠1．1求f x的定义域；2讨论函数f x的单调性.解析：1由a x－1＞0，得a x＞1.当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0.∴当a＞1时，f x的定义域为0，＋∞；当0＜a＜1时，f x的定义域为－∞，0．2当a＞1时，设0＜x1＜x2，则1＜ax1＜ax2，故0＜ax1－1＜ax2－1，∴log a ax1－1＜log a ax2－1，∴f x1＜f x2，故当a＞1时，f x在0，＋∞上是增函数．类似地，当0＜a＜1时，f x在－∞，0上为增函数．12．已知函数f x＝log4ax2＋2x＋3．1若f1＝1，求f x的单调区间；2是否存在实数a，使f x的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析：1∵f1＝1，∴log4a＋5＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f x＝log4－x2＋2x＋3．由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，函数定义域为－1,3．令g x＝－x2＋2x＋3.则g x在－∞，1上递增，在1，＋∞上递减，又y＝log4x在0，＋∞上递增，所以f x的单调递增区间是－1,1，递减区间是1,3．来源12．已知函数f x＝log4ax2＋2x＋3．1若f1＝1，求f x的单调区间；2是否存在实数a，使f x的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．解析：1∵f1＝1，∴log4a＋5＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f x＝log4－x2＋2x＋3．由－x2＋2x＋3＞0得－1＜x＜3，函数定义域为－1,3．来源来源令g x＝－x2＋2x＋3.则g x在－∞，1上递增，在1，＋∞上递减，又y＝log4x在0，＋∞上递增，所以f x的单调递增区间是－1,1，递减区间是1,3．。

2019高考数学大一轮总复习 2.7对数与对数函数课时作业理.doc

2019高考数学大一轮总复习 2.7对数与对数函数课时作业理A 级训练(完成时间：10分钟)1.下列命题中不正确的是( ) A ．log a b ·log b c ·log c a ＝1B ．函数f (x )＝ln x 满足f (a ·b )＝f (a )＋f (b )C ．函数f (x )＝ln x 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )D ．若x log 34＝1，则4x ＋4－x＝1032.函数y ＝log 12(x －2)＋5必过定点( )A ．(1,0)B ．(3,1)C ．(3,5)D ．(1,5)3.若点(a ，b )在y ＝lg x 的图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A ．(1a，b ) B ．(10a,1－b )C ．(10a，b ＋1) D ．(a 2,2b )4.(2014·天津)设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞b ＞a5.(2014·天津)函数f (x )＝lg x 2的单调递减区间是 (－∞，0) .6.函数f (x )＝log 13(2＋2x －x 2)的值域为 [－1，＋∞) .7.已知函数f (x )＝ln 2＋x2－x.(1)求函数f (x )的定义域；(2)求使f (x )≤0的x 的取值范围； (3)判定f (x )在定义域中的增区间．B 级训练(完成时间：23分钟)1.[限时2分钟，达标是( )否( )]在同一坐标系中，函数y ＝2－x与y ＝log 2x 的图象是( )A. B.C. D. 2.[限时2分钟，达标是( )否( )]若实数a 满足log a 45＜1，则a 的取值范围是( )A ．(0，45)∪(1，＋∞)B ．(0，45)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)3.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知log a 13＞log b 13＞0，则a ，b 之间的大小关系是( )A ．1＜b ＜aB ．1＜a ＜bC ．0＜a ＜b ＜1D ．0＜b ＜a ＜14.[限时2分钟，达标是( )否( )]已知0＜x ＜y ＜a ＜1，m ＝log a x ＋log a y ，则有( ) A ．m ＜0 B ．0＜m ＜1 C ．1＜m ＜2 D ．m ＞25.[限时2分钟，达标是( )否( )]方程log 2(2x ＋1)log 2(2x ＋1＋2)＝2的解为 0 . 6.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x >0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x的取值范围是 {x |－1＜x ≤0或x ＞2} .7.[限时5分钟，达标是( )否( )]已知f (x )＝log a (a x－1)(a ＞0，且a ≠1) (1)求其定义域；(2)解方程f (2x )＝log a (a x＋1)．[限时5分钟，达标是( )否( )]已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值及y 取最大值时x 的值．C 级训练(完成时间：12分钟)1.[限时3分钟，达标是( )否( )]已知函数y ＝2x －a x(a ≠2)是奇函数，则函数y ＝log a x 是( ) A ．增函数 B ．减函数C ．常数函数D ．增函数或减函数 2.[限时3分钟，达标是( )否( )](2014·重庆)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为 . 3.[限时6分钟，达标是( )否( )]求函数y ＝log a (x －x 2)(a ＞0，a ≠1)的定义域、值域、单调区间．第7讲对数与对数函数【A 级训练】 1．C 2.C3．D 解析：因为点(a ，b )在y ＝lg x 的图象上，a ≠1，所以b ＝lg a ，则lg 1a＝－b ，故A 不正确；lg(10a )＝1＋b ，故B 不正确；lg 10a＝1－b ，故C 不正确；lg(a 2)＝2b ，故D正确．4．C 解析：利用指数函数与对数函数的性质判断出a ，b ，c 的取值范围，然后比较大小．因为π＞2，所以a ＝log 2π＞1.因为π＞1，所以b ＝log 12π＜0.因为π＞1，所以0＜π－2＜1，即0＜c ＜1.所以a ＞c ＞b .5．(－∞，0) 解析：把函数写成分段函数的形式，然后画出函数图象，写出单调递减区间．函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的偶函数，且f (x )＝lg x 2＝⎩⎪⎨⎪⎧2lg x ，x ＞0，2lg －x ，x ＜0.函数大致图象如图所示，所以函数的单调递减区间是(－∞，0)．6．[－1，＋∞) 解析：令t ＝2＋2x －x 2＝－(x －1)2＋3≤3，因为函数y ＝log 13t 在(0，＋∞)上单调递减，所以log 13(2＋2－x 2)≥log 133＝－1.故值域为[－1，＋∞)．7．解析：(1)由2＋x 2－x >0，可得x ＋2x －2<0，即(x ＋2)(x －2)<0，解得－2<x <2，故函数的定义域为(－2,2)．(2)由f (x )≤0可得0<2＋x2－x≤1，即－1≤x ＋2x －2<0，故有⎩⎪⎨⎪⎧2x x －2≥0x ＋2x －2<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x ≤0－2<x <2，解得－2<x ≤0，故不等式的解集为(－2,0]．(3)由于函数u (x )＝2＋x 2－x ＝－2－x ＋42－x ＝－1＋42－x在(－2,2)内是增函数，由复合函数的单调性规律可得函数f (x )在其定义域(－2，2)内是增函数，故(－2,2)是函数f (x )的增区间．【B 级训练】1．A 解析：因为函数y ＝2－x＝(12)x 是减函数，它的图象位于x 轴上方，y ＝log 2x 是增函数，它的图象位于y 轴右侧，观察四个选项，只有A 符合条件．2．A 解析：由log a 45<1可得log a 45<log a a ，当a >1时，对数函数是增函数，所以a >1；当0<a <1时，对数函数是减函数，所以0<a <45，故选A.3．D 解析：因为log a 13>log b 13>0，且0<13<1，所以0<a <1,0<b <1，在一个坐标系中画出函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，由对数函数的图象在第一象限内从左到右底数逐渐增大知，b <a ，所以01＝30⇒x ＋1>0，所以－1<x ≤0；当x >0时，log 2x >1，所以x >2，综上所述，－1<x ≤0或x >2.7．解析：(1)由已知条件，知a x －1＞0，即a x＞1. 故当a ＞1时，x ＞0，当0＜a ＜1时，x ＜0. 即当a ＞1时，函数的定义域为(0，＋∞)，当0＜a ＜1时，函数的定义域为(－∞，0)．(2)log a (a 2x －1)＝log a (a x＋1)，即a 2x －1＝a x＋1.所以(a x )2－a x－2＝0.所以a x ＝2或a x＝－1(舍去)．所以x ＝log a 2.8．解析：因为f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，所以y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋(2＋log 3x 2)＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6，令t ＝log 3x ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤91≤x 2≤9，即1≤x ≤3，则t ∈[0,1]，所以y ＝t 2＋6t ＋6＝(t ＋3)2－3在[0,1]上单调递增，当t ＝1即x ＝3时，函数有最大值，y max ＝13. 【C 级训练】1．B 解析：因为函数y ＝2x －a x(a ≠2)是奇函数，所以必有2x －a x ＋2－x －a －x＝0，化简可得(2x －a x)(1－12x ax )＝0，因为a ≠2，所以2x －a x≠0，必有1－12x ax ＝0，解之可得a ＝12，故y ＝log a x ＝log 12x 是减函数．2．－14解析：利用对数的运算法则及性质对函数解析式进行化简，通过换元化归为二次函数求最值．f (x )＝log 2x ·log 2(2x ) ＝12log 2x ·2log 2(2x ) ＝log 2x (1＋log 2x )．设t ＝log 2x (t ∈R )，则原函数可以化为y ＝t (t ＋1)＝(t ＋12)2－14(t ∈R )，故该函数的最小值为－14.故f (x )的最小值为－14.3．解析：(1)定义域：x －x 2>0，x (1－x )>0,0<x <1.所以函数定义域是(0,1)．(2)值域：因为x －x 2≤14，当x ＝12时取等号，由(1)得x －x 2>0所以0<x －x 2≤14.当0<a <1时，函数y ＝log a x 单调递减，所以f (x )＝log a (x －x 2)的值域为[log a 14，＋∞)；当a >1时，函数y ＝log a x 单调递增，f (x )＝log a (x －x 2)的值域为(－∞，log a 14]．(3)单调区间：由(1)知函数定义域是0<x <1，t ＝x －x 2＝－(x －12)2＋14，所以当0＜a ＜1时，增区间是(12，1)，减区间是(0，12)；当a ＞1时，增区间是(0，12)，减区间是(12，1)．。

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第7讲对数式与对数函数配套课件理

m
换底公式
2.对数函数的图象及性质
对数函数 y＝logax(a>1) y＝logax(0<a<1)
图象
定义域
(0，＋∞) R
(0 ，＋∞) ____________
________
值域
R
(续表) 对数函数单调性定点性质 y＝logax(a>1) 在(0，＋∞)上单调递增过定点(1,0) 当 x∈(0,1)时，y＜0；当 x∈(1，＋∞)时，y＞0 y＝logax(0<a<1) 单调递减在(0，＋∞)上__________ 过定点(1,0) 当 x∈(0,1)时，y＞0；
A.(1,2)
B.(2,2)
C.(2,3)
D.(4,4)
解析：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数 y ＝ logax(a>0 ，a≠1) 的图象向右平移一个单位，再向上平移 2 个单位，即可得到函数 y ＝ loga(x － 1) ＋ 2(a>0 ， a≠1) 的图象 . 又因为
函数 y ＝ logax(a>0 ， a≠1) 的图象恒过点 (1,0) ，由平移向量公式，
3361 3361 M 解析：设 N ＝x＝1080，两边取对数，得 lg x＝lg 1080＝lg 3361 －lg 10 ＝361×lg 3－80≈93.28，所以 x≈10 1093.故选 D.
答案：D
80 93.28
M ，即 N 最接近
考向 2 对数恒等式的应用例2：(1)(2015年浙江)若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
易得函数y＝loga(x－1)＋2(a>0，a≠1)的图象恒过点(2,2).故选B.
4.(2013年新课标Ⅱ)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则则( D ) A.c>b>a C.a>c>b B.b>c>a D.a>b>c

高考数学复习第2章基本初等函数导数及其应用第7讲对数与对数函数文北师大版38

第7讲对数与对数函数1．(2016·焦作模拟)设a ＝log 54，b ＝log 53，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a<c<bB ．b<a<cC ．a<b<cD ．b<c<a解析：选B.因为y ＝log 5x 在定义域内是增函数，所以b<a.又log 54<1<log 45，所以a<c ，即b<a<c.2．(2016·西安模拟)若函数y ＝log 2(mx 2－2mx ＋3)的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(0，3)B ．[0，3)C ．(0，3]D ．[0，3]解析：选B.由题意知mx 2－2mx ＋3>0恒成立．当m ＝0时符合题意；当m ≠0时只需⎩⎨⎧m>0，Δ＝（－2m ）2－12m<0，解得0<m<3.综上0≤m<3，故选B. 3．(2015·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝⎩⎨⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)＝( ) A ．3 B ．6 C ．9D ．12解析：选C.因为－2<1，所以 f(－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. 因为log 212>1，所以 f(log 212)＝2log 212－1＝122＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝3＋6＝9.故选C.4．(2016·沈阳质检)已知函数f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上递增，则( ) A ．f(3)<f(－2)<f(1) B ．f(1)<f(－2)<f(3) C ．f(－2)<f(1)<f(3)D ．f(3)<f(1)<f(－2)解析：选B.因为f(x)＝log a |x|在(0，＋∞)上递增，所以a>1，f(1)<f(2)<f(3)．又函数f(x)＝log a |x|为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，所以f(1)<f(－2)<f(3)．5．已知函数f(x)＝log a (ax －3)在[1，3]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(0，1) C.⎝⎛⎭⎪⎫0，13D ．(3，＋∞)解析：选D.由于a>0，且a ≠1，所以u ＝ax －3为增函数，所以若函数f(x)为增函数，则y ＝log a u 必为增函数，因此a>1.又u ＝ax －3在[1，3]上恒为正，所以a －3>0，即a>3，故选D.6．(2015·高考天津卷)已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f(log 0.53)，b ＝f(log 25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a<b<cB ．c<a<bC ．a<c<bD ．c<b<a解析：选B.因为f(x)是偶函数，所以m ＝0，所以f(x)＝2|x|－1，且f(x)在[0，＋∞)上为增函数，由题意得a ＝f(log 0.53)＝f(－log 23)＝f(log 23)，因为log 25>log 23>0，所以f(log 25)>f(log 23)>f(0)，即b>a>c ，故选B.7．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________．解析：原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg 122·52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20. 答案：－208．(2016·云南省师大附中适应性考试)“10a >10b ”是“lg a>lg b ”的________条件．解析：当lg a>lg b 时，a>b>0，则10a >10b ；当10a >10b 时，a>b ，无法得出。

2019年高考数学总复习课时作业对数与对数函数理

课时作业(九)第9讲对数与对数函数基础热身1.函数f(x)=log a2x-(a>0,a≠1)的定义域为()A.(1,+∞)B.(-∞,-1)C.(-∞,1)D.(-1,+∞)2.[2017·揭阳二模]已知0<a<b<1<c,则()A.a b>a aB.c a>c bC.log a c>log b cD.log b c>log b a3.函数f(x)=log2(3x+1)的值域为()A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.(1,+∞)D.[1,+∞)4.已知2a=5b=m,且+=2,则m=()A.B.10C.20D.1005.[2017·成都三诊]若2x=10,则x-log25的值为.能力提升6.[2017·吉林实验中学二模]若函数y=(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,1],则log a+log a=()A.1B.2C.3D.47.函数f(x)=(0<a<1)的大致图像是 ()图K9-18.如果函数f(x)=lg x x-+1,x∈1,,那么f(x)的最大值是()A.0B.C.D.19.已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,若实数a满足f(log 2a)+f(log0.5a)≤2f(1),则实数a的最小值是()A.B.1 C.D.210.已知a>0且a≠1,函数y=log a(2x-3)+的图像恒过点P,若点P在幂函数f(x)的图像上,则f(8)= .11.[2017·中山一中等七校联考]已知函数f(x)=a x(a>0且a≠1),其图像与函数g(x)的图像关于直线y=x对称.若f(2)=9,则g+f(3)的值是.12.(12分)[2018·河南林州一中调研]已知函数f(x)=log a(3-ax)(a>0,a≠1).(1)当a=2时,求函数f(x)在[0,1)上的值域.(2)是否存在实数a,使函数f(x)在[1,2]上单调递减,并且最大值为1?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.13.(13分)已知函数f(x)=log a(a>0且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性,并加以证明.(2)是否存在实数m,使得f(x+2)+f(m-x)为常数?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.难点突破14.(5分)[2017·天津南开中学月考]设实数a,b,c分别满足2a3+a=2,b log2b=1,c log5c=1,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.a>c>b15.(5分)已知函数f(x)=log a(2x-a)在区间,上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是()A.B.C.D.课时作业(九)1.D[解析] 由2x->0,得x>-1,故选D.2.C[解析] ∵0<a<b<1<c,∴a b<a a,c a<c b,log a c>log b c,log b c<log b a.故选C.3.A[解析] 因为3x+1>1,所以f(x)=log2(3x+1)>log21=0,故选A.4.A[解析]∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,∴==log m2,==log m5,∴+=log m2+log m5=log m10=2,∴m2=10,又∵m>0,∴m=.5.1[解析] ∵x=log210,∴x-log25=log22=1.6.D[解析] 若a>1,则y=在[0,1]上单调递减,则解得a=2,此时,log a+log a=log216=4;若0<a<1,则y=在[0,1]上单调递增,则无解.故选D.7.C[解析] 当x>0时,f(x)=log a x单调递减,排除A,B;当x<0时,f(x)=-log a(-x)单调递减,排除D.故选C.8.A[解析] f(x)=lg x2-x+1=lg x-2+,令t=x-2+,当x∈1,时,t max=1,此时f(x)取到最大值0.9.A[解析] 因为f(x)是偶函数,所以f(log2a)+f(log0.5a)≤2f(1)等价于2f(log2a)≤2f(1),即f(|log2a|)≤f(1).又因为f(x)在[0,+∞)上是增函数,所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2,所以实数a的最小值为.10.2[解析] y=log a(2x-3)+的图像恒过点P(2,),设幂函数为f(x)=x a,则2a=,∴a=,故幂函数为f(x)=,∴f(8)=2.11.25[解析] 由题意知函数f(x)=a x的反函数为g(x)=log a x,又f(2)=9,∴a2=9,∴a=3,∴g(x)=log3x,∴g+f(3)=log3+33=25.12.解:(1)由题意知当a=2时,f(x)=log2(3-2x),令t=3-2x,则t∈(1,3],∴函数f(x)在[0,1)上的值域为(0,log23].(2)令u=3-ax,则u=3-ax在[1,2]上恒为正.∵a>0,a≠1,∴u=3-ax在[1,2]上单调递减,∴3-2a>0,即a∈(0,1)∪1,.又函数f(x)在[1,2]上单调递减,u=3-ax在[1,2]上单调递减,∴a>1,即a∈1,.又函数f(x)在[1,2]上的最大值为1,∴f(1)=log a(3-a)=1,∴a=,与a∈1,矛盾,∴a不存在.13.解:(1)f(x)=log a为奇函数.证明如下:由>0,可得f(x)的定义域为{x|x<-5或x>5},关于原点对称.∵f(-x)=log a=-log a=-f(x),∴函数f(x)为奇函数.(2)假设存在满足条件的实数m.∵f(x+2)+f(m-x)=log a=log a,∴为常数,设其为k,则(k-1)x2+(m-2)(1-k)x-3(m-5)-7k(m+5)=0对定义域内的x恒成立,∴解得∴存在实数m=-2满足条件.14.C[解析] 令f(x)=2x3+x-2,则f(x)在R上单调递增,且f(0)·f(1)=-2×1=-2<0,即a∈(0,1).在同一坐标系中作出y=,y=log2x,y=log5x的图像,由图像得1<b<c,故c>b>a.故选C.15.A[解析] 当0<a<1时,函数f(x)在区间,上是减函数,所以log a-a>0,即0<-a<1,解得<a<,故<a<1;当a>1时,函数f(x)在区间,上是增函数,所以log a(1-a)>0,即1-a>1,解得a<0,此时无解.综上所述,实数a的取值范围是,1.。

高考数学一轮复习7 第7讲对数与对数函数

第7讲对数与对数函数最新考纲考向预测1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0且a≠1).命题趋势对数函数中利用性质比较对数值大小，求对数型函数的定义域、值域、最值等仍是高考考查的热点，题型多以选择、填空题为主，属中档题.核心素养数学运算、直观想象1．对数概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，log a N叫做对数式性质对数式与指数式的互化：a x＝N⇔x＝log a N(a>0，且a≠1) log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N(a>0且a≠1)运算法则log a(M·N)＝log a M＋log a Na>0，且a≠1，M>0，N>0 log aMN＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M(n∈R)换底公式log a b＝logcblogca(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数3.反函数指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．换底公式的三个重要结论①log a b ＝1logba ；②log a m b n ＝nm log a b ；③log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 2．对数函数图象的特点(1)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限． (2)函数y ＝log a x 与y ＝log 1a x (a >0且a ≠1)的图象关于x 轴对称．(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．常见误区1．在运算性质log a M n ＝n log a M 中，要特别注意M >0的条件，当n ∈N *，且n 为偶数时，在无M >0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |.2．研究对数函数问题应注意函数的定义域．3．解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a >1及0<a <1进行分类讨论．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝log a x 2与函数y ＝2log a x 是相等函数．( ) (4)若M >N >0，则log a M >log a N .( )(5)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 2．log 29·log 34＝( ) A ．14 B ．12 C ．2D ．4解析：选D.原式＝log 232×log 322＝4log 23×log 32＝4×lg 3lg 2×lg 2lg 3＝4. 3．函数y ＝log 2(x ＋1)的图象大致是( )解析：选C.函数y ＝log 2(x ＋1)的图象是把函数y ＝log 2x 的图象向左平移一个单位长度得到的，图象过定点(0，0)，函数定义域为(－1，＋∞)，且在(－1，＋∞)上是增函数，故选C.4．(易错题)函数f (x )＝1lg （x ＋1）＋2－x 的定义域为________．解析：由f (x )＝1lg （x ＋1）＋2－x ，得⎩⎨⎧x ＋1>0，lg （x ＋1）≠0，2－x≥0，得x ∈(－1，0)∪(0，2]．答案：(－1，0)∪(0，2]5．(易错题)函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________．解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12.所以a ＝2或a ＝12.答案：2或12对数式的化简与求值[题组练透]1．(2020·高考全国卷Ⅰ)设a log 34＝2，则4－a ＝( ) A.116 B.19 C.18D.16解析：选B.方法一：因为a log 34＝2，所以log 34a ＝2，则有4a ＝32＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法二：因为a log 34＝2，所以－a log 34＝－2，所以log 34－a ＝－2，所以4－a ＝3－2＝132＝19，故选B.方法三：因为a log 34＝2，所以a 2＝1log34＝log 43，所以4a2＝3，两边同时平方得4a ＝9，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法四：因为a log 34＝2，所以a ＝2log34＝log39log34＝log 49，所以4－a ＝14a ＝19，故选B.方法五：令4－a ＝t ，两边同时取对数得log 34－a ＝log 3t ，即a log 34＝－log 3t ＝log 31t ，因为a log 34＝2，所以log 31t ＝2，所以1t ＝32＝9，所以t ＝19，即4－a ＝19，故选B.方法六：令4－a ＝t ，所以－a ＝log 4t ，即a ＝－log 4t ＝log 41t .由a log 34＝2，得a ＝2log34＝log39log34＝log 49，所以log 41t ＝log 49，所以1t ＝9，t ＝19，即4－a ＝19，故选B. 2．计算：lg 427－lg 823＋lg 75＝________．解析：原式＝lg 4＋12lg 2－lg 7－23lg 8＋lg 7＋12lg 5＝2lg 2＋12(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝12. 答案：12 3．计算：(1)⎝⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷100－12；(2)（1－log63）2＋log6 2·log618log64.解：(1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log63＋（log63）2＋log663·log6（6×3）log64＝1－2log63＋（log63）2＋1－（log63）2log64＝2（1－log63）2log62＝log66－log63log62＝log62log62＝1.[提醒] 对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的，不能出现log 212＝log 2[(－3)×(－4)]＝log 2(－3)＋log 2(－4)的错误．对数函数的图象及应用(1)若函数y ＝a |x |(a >0且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为____________．【解析】 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象大致为选项B.(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知，只需两图象在⎝⎛⎦⎥⎤0，12上有交点即可，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2≥log a 12，则a ≤22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22.【答案】 (1)B (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )解析：选 C.函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；函数y ＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D.选C.对数函数的性质及应用角度一比较对数值的大小(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( ) A ．a <c 52，所以3>523，所以log 53>log 5523＝23，所以b >c ，所以a <c 0时，f (x )＝log 3x ，则满足不等式f (x )>0的x的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log2x ，x>0，log 12（－x ），x<0，若f (a )<f (－a )，则实数a 的取值范围是________．【解析】 (1)由题意知y ＝f (x )的图象如图所示，所以满足f (x )>0的x 的取值范围是(－1，0)∪(1，＋∞)．(2)由f (a )<f (－a )得⎩⎨⎧a>0，log2a<log 12a 或⎩⎨⎧a<0，log2（－a ）>log 12（－a ），即⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log2a<－log2a 或 ⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log2（－a ）>－log2（－a ），解得0<a <1或a <－1. 【答案】 (1)(－1，0)∪(1，＋∞)(2)(－∞，－1)∪(0，1)解对数不等式的函数及方法(1)形如log a x >log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论；(2)形如log a x >b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式．角度三对数型函数的综合问题(1)(多选)已知函数f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )，则( ) A ．f (x )在(2，6)上单调递增 B ．f (x )在(2，6)上的最大值为2ln 2 C ．f (x )在(2，6)上单调递减D ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝4对称(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( )A ．[1，2)B ．[1，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)【解析】 (1)f (x )＝ln(x －2)＋ln(6－x )＝ln[(x －2)(6－x )]，定义域为(2，6)．令t ＝(x －2)(6－x )，则y ＝ln t ．因为二次函数t ＝(x －2)(6－x )的图象的对称轴为直线x ＝4，又f (x )的定义域为(2，6)，所以f (x )的图象关于直线x ＝4对称，且在(2，4)上单调递增，在(4，6)上单调递减，当x ＝4时，t 有最大值，所以f (x )max ＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD.(2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a>0，a≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．【答案】 (1)BD (2)A解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．已知函数f (x )＝log 2(1＋2－x )，则函数f (x )的值域是( ) A ．[0，2) B ．(0，＋∞) C ．(0，2)D ．[0，＋∞)解析：选B.f (x )＝log 2(1＋2－x )，因为1＋2－x >1，所以log 2(1＋2－x )>0，所以函数f (x )的值域是(0，＋∞)，故选B.2．已知函数f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，则f (－2)________f (a ＋1)．(填“<”“＝”或“>”)解析：因为f (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，所以a >1，所以a ＋1>2.因为f (x )是偶函数，所以f (－2)＝f (2)<f (a ＋1)．答案：<3．已知a >0，若函数f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上是增函数，则a 的取值范围是________．解析：要使f (x )＝log 3(ax 2－x )在[3，4]上单调递增，则y ＝ax 2－x 在[3，4]上单调递增，且y ＝ax 2－x >0恒成立，即⎩⎨⎧12a ≤3，9a －3>0，解得a >13.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞思想方法系列5 换元法的应用换元法又称变量代换法．通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将题目变为熟悉的形式，简化复杂的计算和推证．若x ，y ，z ∈R ＋，且3x ＝4y ＝12z ，x ＋yz ∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则n 的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】设3x ＝4y ＝12z ＝t (t >1)，则x ＝log 3t ，y ＝log 4t ，z ＝log 12t ，所以x ＋y z ＝log3t ＋log4t log12t ＝log3t log12t ＋log4t log12t ＝log 312＋log 412 ＝2＋log 34＋log 43.因为1<log 34<2，0<log 43<1，所以1<log 34＋log 43<3.又log 34＋log 43>2log34·log43＝2，所以4<2＋log 34＋log 43<5，即x ＋yz ∈(4，5)．所以n ＝4. 【答案】 C换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中再研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化．换元法经常用于研究指数型、对数型函数的性质、三角函数式的化简求值、解析几何中计算等．函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫log2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.答案：－14[A 级基础练]1．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n ＝( ) A ．3 B ．34 C ．9D ．92解析：选D.因为log a 12＝m ，log a 3＝n ，所以a m ＝12，a n ＝3. 所以a m ＋2n ＝a m ·a 2n ＝a m ·(a n )2＝12×32＝92.2．函数y ＝log3（2x －1）＋1的定义域是( ) A ．[1，2]B ．[1，2)C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫23，＋∞解析：选C.由⎩⎪⎨⎪⎧log3（2x －1）＋1≥0，2x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧log3（2x －1）≥log 313，x>12，解得x ≥23.故选C.3．(2021·河北九校第二次联考)设a ＝4－12，b ＝log 1213，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a log 22＝1，c ＝log 32>log 33＝12，且c ＝log 32<log 33＝1，即12<c <1，所以a <c <b ，故选B.4.(多选)在同一平面直角坐标系中，f (x )＝kx ＋b 与g (x )＝log b x 的图象如图，则下列关系不正确的是( )A ．k ＜0，0＜b ＜1B ．k ＞0，b ＞1C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x g (1)＞0(x ＞0)D ．x ＞1时，f (x )－g (x )＞0解析：选ABC.由直线方程可知，k ＞0，0＜b ＜1，故A ，B 不正确；而g (1)＝0，故C 不正确；而当x ＞1时，g (x )＜0，f (x )＞0，所以f (x )－g (x )＞0.所以D 正确．5．(多选)已知函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，令h (x )＝f (1－|x |)，则关于函数h (x )有下列说法，其中正确的为( )A ．h (x )的图象关于原点对称B ．h (x )的图象关于y 轴对称C ．h (x )的最大值为0D ．h (x )在区间(－1，1)上单调递增解析：选BC.函数f (x )的图象与g (x )＝2x 的图象关于直线y ＝x 对称，所以f (x )＝log 2x ，h (x )＝log 2(1－|x |)，为偶函数，不是奇函数，所以A 错误，B 正确；根据偶函数性质可知D 错误；因为1－|x |≤1，所以h (x )≤log 21＝0，故C 正确． 6．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________．解析：因为2a ＝5b ＝m >0，所以a ＝log 2m ，b ＝log 5m ，所以1a ＋1b ＝1log2m ＋1log5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2.所以m 2＝10，所以m ＝10. 答案：107．(2021·贵州教学质量测评改编)已知函数y ＝log a (x ＋3)－89(a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，则点A 的坐标为________；若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f (log 32)＝________．解析：令x ＋3＝1可得x ＝－2，此时y ＝log a 1－89＝－89，可知定点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－89.点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，故－89＝3－2＋b ，解得b ＝－1.所以f (x )＝3x －1，则f (log 32)＝3log 32－1＝2－1＝1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－89 18．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ＋b ，x>1，ex －2，x≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________．解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2，x>1，ex －2，x≤1.当x >1时，y ＝ln x ＋2>2；当x ≤1时，y ＝e x －2∈(－2，e －2]．故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞)．答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞) 9．已知函数f (x －3)＝log a x6－x (a >0，a ≠1)．(1)求f (x )的解析式；(2)判断f (x )的奇偶性，并说明理由．解：(1)令x －3＝u ，则x ＝u ＋3，于是f (u )＝log a 3＋u 3－u(a >0，a ≠1，－30，a ≠1，－3<x <3)．(2)f (x )是奇函数，理由如下：因为f (－x )＋f (x )＝log a 3－x 3＋x ＋log a 3＋x3－x ＝log a 1＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又定义域(－3，3)关于原点对称．所以f (x )是奇函数．10．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0且a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求实数a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值．解：(1)因为f (1)＝2，所以log a 4＝2(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x>0，3－x>0，得－1<x <3，所以函数f (x )的定义域为(－1，3)．(2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2[(1＋x )(3－x )]＝log 2[－(x －1)2＋4]，所以当x ∈(－1，1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1，3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.[B 级综合练]11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B ．0<a <2，a ≠1 C ．1<a <2D ．a ≥2解析：选C.当a >1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最小值，故x 2－ax ＋1＝0中Δ<0，即a 2－4<0，所以2>a >1.当0<a <1时，y 有最小值，则说明x 2－ax ＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.12．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log2（x －1），x>1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x≤1，则()A ．若f (a )＝1，则a ＝0B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0202 019＝2 019C ．若f (f (a ))＝2－f (a )，则0≤a ≤3D ．若方程f (x )＝k 有两个不同的实数根，则k ≥1解析：选BC.由f (a )＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a>1，log2（a －1）＝1或⎩⎨⎧a≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝1，解得a ＝3或a ＝0，故选项A 不正确；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0202 019＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log212 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log212 019＝2log 22 019＝2 019，选项B 正确；f (f (a ))＝2－f (a )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12f （a ），所以f (a )≤1，得⎩⎪⎨⎪⎧a>1，log2（a －1）≤1或⎩⎨⎧a≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ≤1，解得0≤a ≤3，选项C 正确；作出函数f (x )的图象(如图)，结合函数图象可知，当方程f (x )＝k 有两个不同的实数根时，k ≥12，选项D 不正确．13．已知函数f (x )＝－log 2x ，则下列四个结论中正确的是________．(填序号) ①函数f (|x |)为偶函数；②若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1；③函数f (－x 2＋2x )在(1，3)上单调递增．解析：对于①，f (|x |)＝－log 2|x |，f (|－x |)＝－log 2|－x |＝－log 2|x |＝f (|x |)，所以函数f (|x |)为偶函数，故①正确；对于②，若f (a )＝|f (b )|，其中a >0，b >0，a ≠b ，则f (a )＝|f (b )|＝－f (b )，即－log 2a ＝log 2b ，即log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ＝0，得到ab ＝1，故②正确；对于③，函数f (－x 2＋2x )＝－log 2(－x 2＋2x )，由－x 2＋2x >0，解得0<x <2，所以函数f (－x 2＋2x )的定义域为(0，2)，因此在(1，3)上不具有单调性，故③错误．答案：①②14．已知函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋a .(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值范围；(3)若函数f (x )在区间[0，1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a 的取值范围．解：(1)因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，求得a ＝0.当a ＝0时，f (x )＝－x 是R 上的奇函数．所以a ＝0为所求．(2)因为函数f (x )的定义域是一切实数，所以12x ＋a >0恒成立．即a >－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)，故只要a ≥0即可．(3)由已知得函数f (x )是减函数．故f (x )在区间[0，1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )，最小值是f (1)＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫12＋a .由题设得log 2(1＋a )－log 2⎝⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2⇒⎩⎨⎧a ＋12>0，a ＋1≥4a ＋2.故－12<a ≤－13.[C 级创新练]15．形如y ＝1|x|－1的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把其生动地称为“囧函数”．若函数f (x )＝log a (x 2＋x ＋1)(a >0，a ≠1)有最小值，则“囧函数”与函数y ＝log a |x |的图象的交点个数为( )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：选 C.令u ＝x 2＋x ＋1，则函数f (x )＝log a u (a >0，a ≠1)有最小值．因为u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34≥34，所以当函数f (x )是增函数时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上有最小值；当函数f (x )是减函数时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞上无最小值．所以a >1，此时“囧函数”y ＝1|x|－1与函数y ＝log a |x |在同一平面直角坐标系内的图象如图，由图象可知，它们的图象的交点个数为4.故选C.16．我们知道，互为反函数的指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象关于直线y ＝x 对称；而所有偶函数的图象都关于y 轴对称．现在我们定义：如果函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，即已知函数f (x )的定义域为D ，∀x ∈D ，若y ＝f (x )，x ＝f (y )也成立，则称函数f (x )为“自反函数”．显然斜率为－1的一次函数f (x )＝－x ＋b 都是“自反函数”，它们都是单调递减的函数．你认为是否还存在其他的“自反函数”？如果有，请举例说明，并对该“自反函数”的基本性质提出一些猜想；如果没有，请说明理由．解：有．举例如下：根据“自反函数”的定义，函数f (x )＝kx (k ≠0)是“自反函数”．“自反函数”f (x )＝kx (k ≠0)的定义域、值域均为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当k >0时，f (x )＝k x 在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为减函数；当k <0时，f (x )＝kx 在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上为增函数；f (x )＝kx (k ≠0)是奇函数，但不是周期函数．。

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第7讲对数式与对数函数
1．已知a＝2
1
3
-
，b＝log2
1
3
，c＝log
1
2
1
3
，则( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>a>b D．c>b>a
2．(2017年湖北孝感一模)设a＝2016
1
2017，b＝log20162017，c＝log20172016，则a，b，c的大小关系为( )
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
3．已知A＝{x|2≤x≤π}，定义在A上的函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的最大值比最小值大1，则底数a的值为( )
A.
2
π
B.
π
2
C．π－2 D.
π
2
或
2
π
4．(2016年浙江)已知a，b>0，且a≠1，b≠1，若log a b>1，则( )
A．(a－1)(b－1)<0
B．(a－1)(a－b)>0
C．(b－1)(b－a)<0
D．(b－1)(b－a)>0
5．(2015年天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b
C．a＜c＜b D．c＜b＜a
6．(2017年山东临沂一模)已知log a(3a－1)恒为正数，那么实数的取值范围是( ) A．a<
1
3
B.
1
3
<a≤
2
3
C．a>1 D.
1
3
<a<
2
3
或a>1
7．(2017年天津)已知奇函数f(x)在R上是增函数．若a＝－f⎝
⎛
⎭⎪
⎫
log2
1
5
，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a<b<c B．b<a<c
C．c<b<a D．c<a0成立的x的解集．
10．已知函数f (x )＝ln kx －1x －1
(k >0)． (1)求函数f (x )的定义域；
(2)若函数f (x )在区间[10，＋∞)上是增函数，求实数k 的取值范围．
第7讲对数式与对数函数
1．C 解析：a ＝21
3-∈(0,1)，b ＝log 213<0，c ＝log 1213>log 12
12＝1，所以c >a >b .故选C. 2．A 解析：∵c ＝log 20172016＝12log 20172016<12，b ＝log 20162017＝12log 20162017>12
，∴b >c .∵a ＝201612017>1，b <1，∴a >b .故选A.
3．D 解析：分0<a <1和a >1两种情况进行讨论．
4．D 解析：log a b >log a a ＝1，当a >1时，b >a >1，∴b －1>0，b －a >0.∴(b －1)(b －a )>0；当0<a <1时，∴00.故选D.
5．B 解析：由f (x )为偶函数，得m ＝0，所以a ＝0.5|log 3|2－1＝2log 32－1＝3－1＝2，b
＝2log 52－1＝5－1＝4，c ＝20－1＝0.所以c ＜a ＜b .故选B.
6．D 解析：∵log a (3a －1)恒为正数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，3a －1>1，或⎩
⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，0<3a －1<1，解得 a ＞1，或13＜a ＜23
.故选D. 7．C 解析：因为f (x )是奇函数且在R 上是增函数，a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝
⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，20.8<2<log 24.1<log 25，所以c <b <a .故选C.
8．2 解析：依题意log 2(9x －1－5)＝log 2(4·3x －1－8)，所以9x －1－5＝4·3x －1－8.令3
x －1＝t (t ＞0)，则t 2－4t ＋3＝0.解得t ＝1或t ＝3.当t ＝1时，3x －1＝1，所以x ＝1.而9
1－1－5＜0，所以x ＝1不合题意，舍去；当t ＝3时，3x －1＝3，所以x ＝2，92－1－5＝4＞0,3
2－1－2＝1＞0.所以x ＝2满足条件．所以x ＝2是原方程的解．
9．解：(1)f (x )＝log 2(x ＋1)－log 2(1－x )，
则⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，1－x >0.解得－1<x <1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1<x <1}．
(2)由(1)知，f (x )的定义域为{x |－1<x <1}，
且f (－x )＝log 2(－x ＋1)－log 2(1＋x )＝
－[log 2(x ＋1)－log 2(1－x )]＝－f (x )，
故f (x )为奇函数．
(3)f (x )＝log 2x ＋11－x
，易知f (x )在定义域{x |－1<x <1}上是增函数．
∴f (x )>0⇔x ＋11－x
>1.解得0<x <1. ∴使f (x )>0成立的x 的解集是{x |0<x <1}．
10．解：(1)由kx －1x －1
>0，得(kx －1)(x －1)>0. ∵k >0，∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －1k (x －1)>0. 当k ＝1时，函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}；
当0<k <1时，函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1，或x >1k ；
当k >1时，函数f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <1k ，或x >1. (2)f (x )＝ln k x －＋k －1x －1＝ln ⎝ ⎛⎭
⎪⎫k ＋k －1x －1. ∵函数f (x )在区间[10，＋∞)上是单调递增函数， ∴由复合函数的单调性知，k －1<0，即k <1.
又当x ＝10时，10k －110－1>0，∴k >110
. 综上所述，实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫
1101.。