线性系统理论8线性二次型最优控制
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《最优控制》第4章线性系统二次型性能指标的最优控制问题
1 T 1 T e ( t ) Q ( t ) e ( t ) X (t )Q(t ) x(t ) 以零状态为平衡状态 2 2 1 T 1 T ②输出调节器 e (t )Q(t )e(t ) y (t )Q(t ) y (t ) 2 2
<输出调节器可转化为状态调节器> y(t ) c(t ) x(t )
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
(t ) (22 F12 )1( F11 21) x(t )
可以证明 (22 F12 )1 存在 因此， (t )与X (t ) 呈线性关系，可表示为 (t ) P(t ) x(t ) 则
u * (t ) R 1(t ) BT (t ) P(t ) x(t )
（微分方程解的存在性和唯一性定理）
* * * * x1 x2 即x1 x2
16
第4章——线性系统二次型性能指标的最优控制问题
5.总结 状态调节器控制规律 u * (t ) R 1 (t ) BT (t ) P(t ) x(t ) 其中P(t)满足下面的矩阵黎卡提微分方程及边界条件
⑤状态方程
x Qx AT
1 T 1 T x x Ax BR B A BR B x T T Qx A Q A
x(t0 ) x(t ) (t ) (t , t0 ) (t ) 0
3 Q(t ), R(t ) 加权矩阵 Q(t )半正定，R(t )正定且均为时变 1 T 4 e (t f ) Fe(t f ) 突出对终端的误差的要求 2 特别要求终端固定，即e(t f ) 0时，F
5
【线性系统课件】线性二次型最优控制问题
x (t f ) P (t f ) x (t f )
T
1 2
x (0) P (0) x (0)
T
1 2 1 1 2 1 2 1 2
tf
d dt
[ x P ( t ) x ] dt
T T
T
0 tf
2
[ x P ( t ) x x P ( t ) x x P ( t ) x ] dt { x [ A P ( t ) P ( t ) P ( t ) A ] x u B P ( t ) x x P ( t ) Bu } dt
T
1 2
tf
[ x ( t ) Qx ( t ) u ( t ) Ru ( t )] dt
T T
t0
S , Q : 半正定 , 对称矩阵 R : 正定 , 对称矩阵
求 u (t )
使
J ( u ( t )) min J ( u ( t ))
u (t )
二. 有限时间LQ调节问题
调节问题：受外部动态扰动时，保持x(t)回到零平衡态； 有限时间： t f 为有限值； LQ问题：二次型性能指标。 定理：系统 x Ax Bu , x ( 0 ) x 0 , t [ 0 , t f ] 使性能指标
z Fz Gy Hu , z ( 0 ) z 0 ˆ x T
1
z
在F，G，H，T满足一定条件时，可作为原系统 的观测器。
结论1： x 0 , z 0 , u 任意，上述系统是{A,B,C}的全维状态观测 器的充要条件是：
(1) TA FT GC , T 非奇异 ( 2 ) H TB ( 3 ) i ( F ), i 1, 2 , , n 均具负实部
线性二次型最优控制器设计
二、连续系统线性二次型最优控制
1.连续系统线性二次型最优控制原理
假设线性连续定常系统的状态方程为：
1 要寻求控制向量 (t ) 使得二次型目标函数 J u
x(t ) Ax(t ) Bu (t )
2 0
( x Qx u Ru )dt
T T
为最小。式中，Q为半正定是对称常数矩阵，R为正定实对称常数矩阵，Q、R 分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u
R
1
B Px Kx
T
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必须 T 1 P PB BP Q 0 满足黎卡夫（Riccati）代数方程 PA
A
R
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程的问题，并 求出反馈增益矩阵K。
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
x(k 1) Ax(k ) Bu(k ),(k 0,1, , N 1)
要寻求控制向量u (k )使得二次型目标函数
1 T T J [ x (k )Qx(k ) u (k ) Ru (k )] 2 k 0
E[ (t ) (t )] 0 E[ (t ) (t )] 0
T
式中，E〔x〕为向量x的均值。E〔xxT〕为零均值的Gauss信号x的协方差。 进一步假设ω (t)和ν (t)为相互独立的随机变量，使得E〔 ω (t)ν T(t) 〕=0。定义最 优控制的目标函数为： T T
x(k 1) 2 x(k ) u (k ) y (k ) x(k )
试计算稳态最优反馈增益矩阵，并给出闭环系统的单位阶跃 响应曲线。
4.1 线性二次型最优控制
(4-2-10)
用Ω(t，t0)表示方程组(4-2-9)的2n╳2n维转移矩阵，用λ(t0)表示待定的 协态变量初值，则方程组(4-2-9)的解可以表示为
x( t 0 ) x( t ) ( t ) ( t , t 0 ) ( t ) 0
(4-2-11)
• 二次型性能指标中加权矩阵F、Q、R的选取在最优 控制方法中是受人为因素影响最大的步骤。 • 对同样的二次型最优控制问题，选取不同的F、Q、 R，则所得到的最优控制规律也将不一样。 • 控制规律设计（控制器综合）中人为因素影响总是 客观存在的。
(4) 线性二次型最优控制问题的三种类型
状态调节器问题 此时有C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) 输出调节器问题 此时有yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t) 跟踪问题 此时yr(t) ≠ 0， e(t) = yr(t) - y(t)
1 tf 2 为单输出，即e(t)为数量函数时， e ( t )dt 即为经典控制中的动态误 2 t0
Lu u T ( t ) R ( t ) u( t )为衡量控制功率（积分后即为能量）大小的
代价函数，若u(t)表示电流或电压时，则u2(t)正比于电功率；
e T ( t f )Fe( t f ) 是要使末值时刻误差最小。
则(4-2-12）式可写为来自(4-2-13)x ( t f ) 11 ( t f , t ) x ( t ) 12 ( t f , t ) ( t )
(4-2-14) (4-2-15)
( t f ) 21 ( t f , t ) x( t ) 22 ( t f , t ) ( t )
线性二次型最优控制共41页
。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
线性二次型最优控制
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
线性二次型最优控制
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
53、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿
(优选)线性二次型最优控制器设计
在）；E为矩阵A-BK的特征值。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
其中， lqry()函数用于求解二次型状态调节器的特 例，是用输出反馈代替状态反馈，即其性能指标为：
x u 1
J (
TQx
TRu)dt
20
这种二次型输出反馈控制叫做次优控制。
此外，上述问题要有解，必须满足三个条件：
（1） （A，B）是稳定的；
（2） R＞0且Q-NR-1NT≥0;
1、离散系统线性二次型最优控制原理
假设完全可控离散系统的状态方程为：
•
x(k 1) Ax(k) Bu(k), (k 0,1,, N 1)
要寻求控制向量u (t )使得二次型目标函数 x u J 1 [ T(k)Qx(k) T(k)Ru(k)]
2 k0
为最小。
式中，Q为半正定实对称常数矩阵；R为正定实对称
常数矩阵；Q、R分别为X和U的加权矩阵。
根据极值原理，我们可以导出最优控制律：
u [R BTPB]BTPAx(k) Kx
式中，K为最优反馈增益矩阵；P为常值正定矩阵，必
须满足黎卡夫（Riccati）代数方程PA ATP PBR1BP Q 0
因此，系统设计归结于求解黎卡夫（Riccati）方程 的
一、线性二次型最优控制概述
线性二次型最优控制设计是基于状态空间技术来 设计一个优化的动态控制器。系统模型是用状态空间 形式给出的线性系统，其目标函数是状态和控制输入 的二次型函数。二次型问题就是在线性系统约束条件 下选择控制输入使二次型目标函数达到最小。
线性二次型最优控制一般包括两个方面：线性二 次型最优控制问题（LQ问题），具有状态反馈的线 性最优控制系统；线性二次型Gauss最优控制问题， 一般是针对具体系统噪声和量测噪声的系统，用卡尔 曼滤波器观测系统状态。
线性二次型的最优控制
dy = zeros(1,1); a=-1; % a column vector
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
T x 0 x Ax 0 正定二次型 T x 0 x Ax 0 半正定二次型
求最优控制 u * ( tபைடு நூலகம்) ，使下列二次型性能指标最小。
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
t 1 1 f T T T J ( u ) e ( t ) Fe ( t ) [ e ( t ) Q ( t ) e ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt ( 5 3 ) f f t 0 2 2
( 5 18 )
可实现最优 线性反馈控制
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
2.应用其性质求解p(t)
( t ) P ( t ) x ( t ) ( 5 17 ) 1T x Ax BR B Ax S H T T Qx A Qx A Px ( 5 19 )
x
1 T 1 T
P x P x P x P [ Ax BR B Px ] [ P PA PBR B P ] x( 5 20 )
（5-20）与（5-19）相等，可得
q=1;
r=1; dy(1)= -2*a*y(1)+y(1)^2-q;
利用matlab求解黎卡提方程的解（数值解） 文件名：cal_p.mat(主程序） options = odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',1e-4);
T x 0 x Ax 0 正定二次型 T x 0 x Ax 0 半正定二次型
求最优控制 u * ( tபைடு நூலகம்) ，使下列二次型性能指标最小。
实对称阵A为正定（半正定）的充要条件是全部特征值>0（>=0)。
加权矩阵总可化为对称形式。
t 1 1 f T T T J ( u ) e ( t ) Fe ( t ) [ e ( t ) Q ( t ) e ( t ) u ( t ) R ( t ) u ( t )] dt ( 5 3 ) f f t 0 2 2
( 5 18 )
可实现最优 线性反馈控制
下面思路：
求解P(t),但直接 利用（5-16）求 解，涉及矩阵求 逆，运算量大
2.应用其性质求解p(t)
( t ) P ( t ) x ( t ) ( 5 17 ) 1T x Ax BR B Ax S H T T Qx A Qx A Px ( 5 19 )
x
1 T 1 T
P x P x P x P [ Ax BR B Px ] [ P PA PBR B P ] x( 5 20 )
（5-20）与（5-19）相等，可得
第4章线性二次型最优控制
由以上两式及(4-2-10）式可得
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
λ(t) = [Ω 22 (t f , t) − FΩ12 (t f , t)]−1[FΩ11 (t f , t) − Ω 21 (t f , t)]x(t)
此式表明λ(t)与 x(t)之间存在线性关系。令
λ(t) = P(t)x(t)
考虑Ω（tf ，tf）=I2n╳2n， 即
首先列出该问题的 Hamilton 函数
H
=
1 2
xＴ
(t)Q(t)x(t)
+
1 2
uＴ
(t)R(t)u(t)
+
λＴ [A(t)x(t)
+
B(t)u(t)]
(4-2-3）
因 u(t)不受约束，所以沿最优轨线有
∂H ∂u (t )
=
0
即
∂H ∂u(t)
=
R(t)u(t)
+
BＴ
(t )λ (t )
=
0
(4-2-4）
则取较小值。 z 若要减少各分量间的关联耦合作用，系数矩阵可不为对角线矩阵，只需
将在系数矩阵中对应关联分量位置的元素取为非零的正数，其大小也依
对消除各分量间关联的重视程度而定，即最优性能指标也可以用于解耦
控制设计。 z 当 Q、R 取为时变矩阵 Q(t)和 R(t)时，可以反映不同时间阶段的系统控
制要求。如当 t = t0 时 e(t)可能很大，但此时并不反映系统的控制性能， 可以将 Q(t)取得较小；当 t→ tf、e(t)减小时，为保证控制系统性能，可 以将 Q(t)逐渐取大。 二次型性能指标中系数矩阵 F、Q、R 的选取在最优控制理论中是受人为因 素影响最大的步骤，对同样的二次型最优控制问题，选取不同的 F、Q、R 所得 到的最优控制规律也是完全不一样的。 （4） 线性二次型最优控制问题的三种类型 依照系统(4-1-1）~(4-1-3）的情况不同，线性二次型最优控制问题可以分为 如下三类： I. 状态调节器问题 此时有 C(t) = I 为单位矩阵，yr(t) = 0，即有 y(t) = x(t) = -e(t) II. 输出调节器问题 此时有 yr(t) = 0，即有 y(t) = -e(t)。 III. 跟踪问题
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tf
0
性能指标： x, u, t dt xt f 达极小。 J t
u t 为上 定理8.1.4 （基本定理） 设 述最优控制的解， t 为系统 x f x, u, t x
在 u t 驱动下的运动，则存在一个对应的 n 维向量函数 t ，它们满足下述正则方程
则 M t 在 t 0 , t f 上恒为零。
tf
t0
y T t M t dt 0
J x t 在 x t 定理8.1.2 泛函
处取得极值的必要条件是下述Euler方程
d 0 x dt x 和边界条件
x 0, x 0
例8.2.1给定系统x (t ) ax (t ) bu (t ), x (0) x0 1 tf 1 2 2 和性能指标J qx (t ) ru (t ) dt sx 2 (t f ) 2 t0 2 其中，q 0; r 0; s 0求最优控制u (t )。 解 从式u (t ) R 1 (t ) B T (t ) P (t ) x (t )知 1 u (t ) bP (t ) x (t ) 其中，P (t )应满足 r 方程 P t P t A t AT t P t
T
下的二次型最优状态调节器为
ut K t xt , K t R
1
t B t Pt
其中，P t 为一
n n
Hale Waihona Puke 阶矩阵，且满足下述矩阵微分方程
t P t A t AT t P t P P t B t R 1 t BT t P t Q t
最优控制
u t
，使得在该控制律的作用下
上述系统的状态在限定时间 t 0 , t f
内由给定的 x t 0 出发转移到某个 xt f
且同时使得式
1 tf T 1 T T J x Qt x u Rt u dt x t f Sx t f 2 t0 2
例8.2.2 给定系统 x1 x2 , x2 u 及性能指标
1 x12 (3) 2 x2 2 (3) J 2 1 3 2 1 2 2 2 x1 ( t ) 4 x2 ( t ) 2 x1 ( t ) x2 ( t ) u ( t ) dt 2 0 2
的性能指标 J 取得极小值。
8.2.2 有限时间最优状态调节器 定理8.2.1 线性系统 T H x, u, , t x, u, t f x, u, t
在性能指标
1 tf T 1 T T J x Qt x u Rt u dt x t f Sx t f 2 t0 2
J y1 x y2 x J y1 ( x) J y2 ( x) 则称 J y( x )为线性泛函，常记为 L y( x )
4. 泛函 J y( x )的增量： 由变量 y x 的变分导致的泛函增 量，记为 J ，即 J J y x y J y( x ) 5. 泛函 J y( x ) 的变分 泛函 J y( x ) 的变分记为 ：J ，其定 义为
上泛函 J 的Euler方程成立。
8.1.3
最优控制问题
问题OC 已知一个动态系统：
x f x, u, t 其中， R n为状态向量，u R r 为控制向 x
量，f 为一个关于所有变量连续可微的向量 函数； t0 , t f , xt0 x0 , xt f 自由。目的是 t 要寻找系统的一个控制 u t ，使下述泛函
第八章
线性二次型最优控制
8.1
变分法简介
最优控制理论是变分法,也是泛函极 值理论的一个分支。 定义8.1.1 设y( x ) 为已给的某类函数。如 果对于这类函数中的每一个函数，有某数 J 与之对应，则称 J 为这类函数的泛函， 记为 J J y( x )。函数类 y( x ) 称为泛函
0 1 0 解 在本系统中，易知 A 0 0 , B 1
求最优控制 u ( t )
2 1 1 0 1 Q , R 2 ; S 0 2 , t0 0, t f 3 1 4
P (t )
是 2 2 对称阵，设为
k
时有 J y x J y0 x 则称泛函 J y( x ) 为在 y0 x 处具有 k 阶 接近度的连续泛函。 3.线性泛函：设 J y( x ) 为一连续泛函。如 果对于任意常数 , , J 之定义域中的任 何变量 y1 x , y2 x ，有
或 ut R1 t BT t P t xt 作用下的最 优轨线有系统
t At Bt R1 t BT t Pt x t , x t0 x0 x
决定。 说明8.2.4 在上述最优控制问题中，我们并 没有要求系统是可稳的。 说明8.2.5 最优控制系统的结构如下图所 示。
当 maxy 0 时， y x , y 0
8.1.2 泛函的极值 定义8.1.2 给定泛函 J [ y( x)] 及其定义域中 一变量 y0 ( x ) 。如果对于任何一个与 y0 ( x ) 接近的变量 y( x ) ，都有 J y0 x J y( x ) 0
J y x y J L y x , y
L y( x ),y 为 J 的线性主部，即
J L y x y y x y maxy
其中， L y( x ),y 相对于 J 为线性泛函
H x, u , , t x
H x , u, , t u
x x
0
u u
状态方程 和边界条件 及横截条件
x f x ,u ,t
x t 0 x0
t f
x
t t f
其中
H x, u, , t x, u, t f x, u, t
P t B t R 1 t B T t P t Q t (t ) 2aP (t ) 1 b 2 P 2 (t ) q及边界条件 即P r P (t f ) s求解上述微分方程有
s
P (t )
b
2
dP (t ) 2 rP (t ) 2aP (t ) q
定理8.1.1 如果具有变分的泛函 J y( x ) 在 y y0 ( x )上达到极值，则 J y( x ) 沿着 y0 ( x ) 的变分 J 为零。
引理8.1.1 设 M t 是 t 0 , t f 上的 r 维连续 向量函数。如果对于任意的、在 t 0 , t f 上连续，且满足 yt 0 y t f 0 的 r 维向量函数 yt 有
tf
t
dt
由此可得
sb 2 r 2 ( t t f ) ( ) 2 e r sb r P (t ) 2 sb 2 r 2 ( t t f ) b 1 2 e sb r
式中
qb2 2 a r
维向量 函数）下的条件、极值问题等价 于下述泛函 t
f
F 的无条件极值问题，即在满足 x, x, t 0 , t t0 , t f 且极小化泛函 J x t 的 x t
t0
, t T F x, x, t dt x, x
J 的定义域。
例8.1.1 设 y( x) 为定义在 0,1 上的具有连 续导数的函数的全体，则 J y( x) 1 1 y 2 dx
0
为一个泛函。
泛函的一些基本概念
1.泛函J y( x )的变量 y x 的变分：
泛函 J y( x )的变量 y x 的增量称为变分， 记为： ，指两个函数间的差，即： y
T
称为Hamilton函数。
8.2 有限时间状态调节器问题 8.2.1 问题的描述 问题8.2.1 [有限时间的线性二次型最优状态
调节问题] 在满足受控对象状态方程： xt At xt Bt ut , xt 0 x0
的约束条件下，在容许控制的范围内求取
及边界条件
P tf S
且最优性能值为
1 T J x t 0 x t 0 P t 0 x t 0 2
说明8.2.1 方程
P T t AT t P T t P T t At P
T
t Bt R 1 t B T t P T t Q t
则称泛函 J y( x )在 y0 ( x ) 上达到一个相对 的极大值。如果上述关系对于泛函 J y( x ) 的定义域中所有的 y( x ) 均成立，则称泛函 J y( x ) 在 y0 ( x )上达到其定义域上的一个 绝对极大值。如果上式中的不等号反向， 则称泛函 J y( x ) 在 y0 ( x )上达到极小值。
2 b x a P ( t ) x( t ), x(0) x0 r
闭环系统的状态方程为
它是一个一阶时变系统，其解就是最优轨线
t b2 x ( t ) exp a P ( x )d x(0) r 0
y y x y1 x 2.泛函 J y( x )的连续性： 对于任意给定的正数 ，如果存在正 数 ，当 y x y0 x , y x y0 x ,,
0
性能指标： x, u, t dt xt f 达极小。 J t
u t 为上 定理8.1.4 （基本定理） 设 述最优控制的解， t 为系统 x f x, u, t x
在 u t 驱动下的运动，则存在一个对应的 n 维向量函数 t ，它们满足下述正则方程
则 M t 在 t 0 , t f 上恒为零。
tf
t0
y T t M t dt 0
J x t 在 x t 定理8.1.2 泛函
处取得极值的必要条件是下述Euler方程
d 0 x dt x 和边界条件
x 0, x 0
例8.2.1给定系统x (t ) ax (t ) bu (t ), x (0) x0 1 tf 1 2 2 和性能指标J qx (t ) ru (t ) dt sx 2 (t f ) 2 t0 2 其中，q 0; r 0; s 0求最优控制u (t )。 解 从式u (t ) R 1 (t ) B T (t ) P (t ) x (t )知 1 u (t ) bP (t ) x (t ) 其中，P (t )应满足 r 方程 P t P t A t AT t P t
T
下的二次型最优状态调节器为
ut K t xt , K t R
1
t B t Pt
其中，P t 为一
n n
Hale Waihona Puke 阶矩阵，且满足下述矩阵微分方程
t P t A t AT t P t P P t B t R 1 t BT t P t Q t
最优控制
u t
，使得在该控制律的作用下
上述系统的状态在限定时间 t 0 , t f
内由给定的 x t 0 出发转移到某个 xt f
且同时使得式
1 tf T 1 T T J x Qt x u Rt u dt x t f Sx t f 2 t0 2
例8.2.2 给定系统 x1 x2 , x2 u 及性能指标
1 x12 (3) 2 x2 2 (3) J 2 1 3 2 1 2 2 2 x1 ( t ) 4 x2 ( t ) 2 x1 ( t ) x2 ( t ) u ( t ) dt 2 0 2
的性能指标 J 取得极小值。
8.2.2 有限时间最优状态调节器 定理8.2.1 线性系统 T H x, u, , t x, u, t f x, u, t
在性能指标
1 tf T 1 T T J x Qt x u Rt u dt x t f Sx t f 2 t0 2
J y1 x y2 x J y1 ( x) J y2 ( x) 则称 J y( x )为线性泛函，常记为 L y( x )
4. 泛函 J y( x )的增量： 由变量 y x 的变分导致的泛函增 量，记为 J ，即 J J y x y J y( x ) 5. 泛函 J y( x ) 的变分 泛函 J y( x ) 的变分记为 ：J ，其定 义为
上泛函 J 的Euler方程成立。
8.1.3
最优控制问题
问题OC 已知一个动态系统：
x f x, u, t 其中， R n为状态向量，u R r 为控制向 x
量，f 为一个关于所有变量连续可微的向量 函数； t0 , t f , xt0 x0 , xt f 自由。目的是 t 要寻找系统的一个控制 u t ，使下述泛函
第八章
线性二次型最优控制
8.1
变分法简介
最优控制理论是变分法,也是泛函极 值理论的一个分支。 定义8.1.1 设y( x ) 为已给的某类函数。如 果对于这类函数中的每一个函数，有某数 J 与之对应，则称 J 为这类函数的泛函， 记为 J J y( x )。函数类 y( x ) 称为泛函
0 1 0 解 在本系统中，易知 A 0 0 , B 1
求最优控制 u ( t )
2 1 1 0 1 Q , R 2 ; S 0 2 , t0 0, t f 3 1 4
P (t )
是 2 2 对称阵，设为
k
时有 J y x J y0 x 则称泛函 J y( x ) 为在 y0 x 处具有 k 阶 接近度的连续泛函。 3.线性泛函：设 J y( x ) 为一连续泛函。如 果对于任意常数 , , J 之定义域中的任 何变量 y1 x , y2 x ，有
或 ut R1 t BT t P t xt 作用下的最 优轨线有系统
t At Bt R1 t BT t Pt x t , x t0 x0 x
决定。 说明8.2.4 在上述最优控制问题中，我们并 没有要求系统是可稳的。 说明8.2.5 最优控制系统的结构如下图所 示。
当 maxy 0 时， y x , y 0
8.1.2 泛函的极值 定义8.1.2 给定泛函 J [ y( x)] 及其定义域中 一变量 y0 ( x ) 。如果对于任何一个与 y0 ( x ) 接近的变量 y( x ) ，都有 J y0 x J y( x ) 0
J y x y J L y x , y
L y( x ),y 为 J 的线性主部，即
J L y x y y x y maxy
其中， L y( x ),y 相对于 J 为线性泛函
H x, u , , t x
H x , u, , t u
x x
0
u u
状态方程 和边界条件 及横截条件
x f x ,u ,t
x t 0 x0
t f
x
t t f
其中
H x, u, , t x, u, t f x, u, t
P t B t R 1 t B T t P t Q t (t ) 2aP (t ) 1 b 2 P 2 (t ) q及边界条件 即P r P (t f ) s求解上述微分方程有
s
P (t )
b
2
dP (t ) 2 rP (t ) 2aP (t ) q
定理8.1.1 如果具有变分的泛函 J y( x ) 在 y y0 ( x )上达到极值，则 J y( x ) 沿着 y0 ( x ) 的变分 J 为零。
引理8.1.1 设 M t 是 t 0 , t f 上的 r 维连续 向量函数。如果对于任意的、在 t 0 , t f 上连续，且满足 yt 0 y t f 0 的 r 维向量函数 yt 有
tf
t
dt
由此可得
sb 2 r 2 ( t t f ) ( ) 2 e r sb r P (t ) 2 sb 2 r 2 ( t t f ) b 1 2 e sb r
式中
qb2 2 a r
维向量 函数）下的条件、极值问题等价 于下述泛函 t
f
F 的无条件极值问题，即在满足 x, x, t 0 , t t0 , t f 且极小化泛函 J x t 的 x t
t0
, t T F x, x, t dt x, x
J 的定义域。
例8.1.1 设 y( x) 为定义在 0,1 上的具有连 续导数的函数的全体，则 J y( x) 1 1 y 2 dx
0
为一个泛函。
泛函的一些基本概念
1.泛函J y( x )的变量 y x 的变分：
泛函 J y( x )的变量 y x 的增量称为变分， 记为： ，指两个函数间的差，即： y
T
称为Hamilton函数。
8.2 有限时间状态调节器问题 8.2.1 问题的描述 问题8.2.1 [有限时间的线性二次型最优状态
调节问题] 在满足受控对象状态方程： xt At xt Bt ut , xt 0 x0
的约束条件下，在容许控制的范围内求取
及边界条件
P tf S
且最优性能值为
1 T J x t 0 x t 0 P t 0 x t 0 2
说明8.2.1 方程
P T t AT t P T t P T t At P
T
t Bt R 1 t B T t P T t Q t
则称泛函 J y( x )在 y0 ( x ) 上达到一个相对 的极大值。如果上述关系对于泛函 J y( x ) 的定义域中所有的 y( x ) 均成立，则称泛函 J y( x ) 在 y0 ( x )上达到其定义域上的一个 绝对极大值。如果上式中的不等号反向， 则称泛函 J y( x ) 在 y0 ( x )上达到极小值。
2 b x a P ( t ) x( t ), x(0) x0 r
闭环系统的状态方程为
它是一个一阶时变系统，其解就是最优轨线
t b2 x ( t ) exp a P ( x )d x(0) r 0
y y x y1 x 2.泛函 J y( x )的连续性： 对于任意给定的正数 ，如果存在正 数 ，当 y x y0 x , y x y0 x ,,