2021-2022年高考数学二轮复习 第一部分 微专题强化练 专题24 填空题解题技能训练(含解析)
2021-2022年高考数学二轮复习 第一部分 专题七 选修选考专题跟踪训练24 文
2021年高考数学二轮复习第一部分专题七选修选考专题跟踪训练24 文1．(xx·新课标全国卷Ⅰ)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于点E.(1)若D为AC的中点，证明：DE是⊙O的切线；(2)若OA＝3CE，求∠ACB的大小．[解](1)证明：连接AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB.在Rt△AEC中，由已知得，DE＝DC，故∠DEC＝∠DCE.连接OE，则∠OBE＝∠OEB.又∠ACB＋∠ABC＝90°，所以∠DEC＋∠OEB＝90°，故∠OED＝90°，DE是⊙O的切线．(2)设CE＝1，AE＝x，由已知得AB＝23，BE＝12－x2.由射影定理可得，AE2＝CE·BE，所以x2＝12－x2，即x4＋x2－12＝0.可得x＝3，所以∠ACB＝60°.2．(xx·天星教育二次联考)如图，梯形ABCD满足AB∥CD，∠ADC＋∠ABC＝180°，E在AB的延长线上，EC2＝AE·BE.(1)求证：∠ACD＝∠BCE；(2)若AC ＝22，DC ＝EC ＝2，求BE 的长．[解] (1)证明：由∠ADC＋∠ABC＝180°，可知A ，B ，C ，D 四点共圆，记为圆O ， 由EC 2＝AE ·BE 可知CE 是圆O 的切线．由弦切角定理得∠ECB＝∠CAB，又AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB，∴∠ACD＝∠BCE.(2)∵∠ADC＋∠ABC＝180°＝∠DCB＋∠ABC，∴∠ADC＝∠DCB＝∠ACD＋∠ACB，又∠ACD＝∠BCE，∴∠ADC＝∠BCE＋∠ACB＝∠ACE，又∠ACD＝∠CAB，故△ACE∽△CDA，∴AC CD ＝AE AC， ∴AC 2＝CD·AE，又AC ＝22，DC ＝2，∴AE＝4，又EC 2＝AE·BE，EC ＝2，∴BE＝1.3．(xx·辽宁沈阳质量监测一)如图所示，已知AB 为圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的两个点，CE⊥AB 于E ，BD 交AC 于G ，交CE 于F ，CF ＝FG.(1)求证：C 是劣弧BD ︵的中点；(2)求证：BF ＝FG.[证明] (1)∵CF＝FG ，∴∠CGF＝∠FCG.∵AB 是圆O 的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝π2. ∵CE⊥AB，∴∠CEA＝π2. ∵∠CBA＝π2－∠CAB，∠ACE＝π2－∠CAB， ∴∠CBA＝∠ACE.∵∠CGF＝∠DGA，∠DGA＝∠ABC， ∴π2－∠DGA＝π2－∠ABC， ∴∠CAB＝∠DAC，∴C 为劣弧BD ︵的中点． (2)∵∠GBC＝π2－∠CGB，∠FCB＝π2－∠GCF， ∴∠GBC＝∠FCB，∴CF＝FB ，∵CF＝FG ，∴BF＝FG.4．(xx·辽宁大连双基)如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A ，B 两点，P 是⊙O 1上一点，PB 的延长线交⊙O 2于点C ，PA 交⊙O 2于点D ，CD 的延长线交⊙O 1于点N.(1)点E 是AN ︵上异于A ，N 的任意一点，PE 交CN 于点M ，求证：A ，D ，M ，E 四点共圆；(2)求证：PN 2＝PB·PC.[证明] (1)连接AB ，∵A，B ，P ，E 四点共圆，∴∠ABC＝∠E.又∵∠ABC＝∠ADC，∴∠ADC＝∠E，∴A，D ，M ，E 四点共圆．(2)解法一：连接BN ，∵∠PNB＝∠PAB＝∠C，∠BPN＝∠NPC，∴△PNB∽△PCN，PB PN ＝PN PC，∴PN 2＝PB·PC. 解法二：连接AN.由(1)知∠PDN＝∠E，∴∠PDN＝∠E＝∠PNA，又∵∠APN＝∠NPD，∴△PDN∽△PNA，∴PDPN＝PNPA，∴PN2＝PD·PA，PB·PC＝PD·PA，∴PN2＝PB·PC.。
新教材2024届高考英语二轮专项分层特训卷第一部分专题强化练专题四语法填空强化训练二十四“中国元素”
强化训练二十四“中国元素”专题语法填空(二)(A)The Shangsi Festival, also known as the Double Third Festival, is an ancient Chinese festival 1.________ (observe) on the third day of the third lunar month. In 2018, it was set as China Huafu Day 2.________ (advocate) the elegant traditional Chinese clothes. The first event 3.________ (celebrate) on April 18 that year in Xi'an.The Shangsi Festival celebrations have changed with the times. Both the feast 4.________ praying for descendants (后代) by the river were added in the Han Dynasty. It was after the Wei and Jin dynasties 5.________ the event was fixed on the third day of the third lunar month. 6.________ (interesting), the calligrapher Wang Xizhi from the Eastern Jin Dynasty wrote in his LantingXu about how literary men 7.________ (compose) poetry while drinking from cups floating and moving along the winding river. In the Tang Dynasty, people went out to hold ceremonies and appreciate 8.________ (flower) along winding streams. After the Ming and Qing dynasties, the festival developed into a spring outing 9.________ (feature) lively activities like drifting cups, drifting eggs, hiking and eating glutinous rice (糯米). The Shangsi Festival falls so close to the Qingming Festival that many young people today only know about 10.________ latter.[答题区]1．________ 2.________ 3.________ 4.________ 5.________6．________ 7.________ 8.________ 9.________ 10.________(B)Jiang Yufan, 21, was inspired for the original design of the Olympic Winter Games' mascot Shuey Rhon Rhon. She was brought up in a small town with red lanterns hanging everywhere, leaving it bathed 1.________ a strong festive atmosphere.The past four years witnessed the most significant period of her life. It was in 2018 2.________ the then junior student at the Jilin University of Arts presented 3.________ design—a Chinese knot and a dumpling. 4.________ (feel)they didn't go together well, her teacher urged her to revise her design again. Later, she 5.________ (submit) the first draft of her now winning entry, a Chinese knot and a red lantern. Jiang and her teacher travelled between Changchun and Beijing more than 30 times 6.________ (polish) the design. Many former mascots had been 7.________ (animal), so Jiang was required to make hers more lively and dynamic. For 300 days, Jiang and her team worked on the design, but she never thought of giving 8.________ (she) up. Their hard work had 9.________ (eventual) paid off, and Shuey Rhon Rhon was chosen to be the official mascot for the 2022 Beijing Paralympic Winter Games.Jiang said the process helped her grow and she hoped her lantern would bring 10.________ (warm) to the world and light up people's dreams.[答题区]1．________ 2.________ 3.________ 4.________ 5.________6．________ 7.________ 8.________ 9.________ 10.________(C)From ancient times to the present, Qinghai Lake is called “blue sea” because of the natural beauty reflected on it. As to the area, it is the 1.________ (large) inland and salt water lake in China. Shaped like an ellipse (椭圆), Qinghai Lake reaches 28.71m at the deepest point but 2.________ (average) 19m overall. Due to the high altitude, its weather is very cool, 3.________ is why it is often selected as a summer resort.Qinghai Lake presents 4.________ (it) as a really good place for travellers and it offers yearround 5.________ (please). Many prefer when it is a green and lively world. Many birds 6.________ (attract) to this beautiful lake, resulting in this place 7.________ (be) a kingdom for birds' watchers. Every year in July, Qinghai Lake is central to the popular bicycle racing and cycling around it is 8.________ great way to enjoy the scenery.When the cold winter comes, the ice 9.________ (cover) the surface of the lake shines brightly in the sun, adding another degree of beauty. Catching the famous“Icy Fish” is an 10.________ (incredible) wonderful experience at this time when they are trapped by the ice. All things considered, it's an awesome journey for you to explore in full this beautiful spot on the Earth.[答题区]1．________ 2.________ 3.________ 4.________ 5.________6．________ 7.________ 8.________ 9.________ 10.________(D)Pingyao County is located in central Shanxi Province, China. It consists 1.________ five towns and eight villages, covering an area of about 484 square miles. This small county was noted for some 2.________ (impress) architectures in ancient conventional styles.As the birthplace of the Jin Businessmen during the Ming and Qing dynasties, it played 3.________ important role in the economic development of Shanxi during that period. The first Chinese trading shop 4.________ (open) there.Its City Wall is rated the hig hest of the “Three Treasures” of the county together with Zhenguo Temple and Shuanglin Temple. With a total 5.________ (long) of six kilometres, the City Wall covered by bricks and stones is about 12 metres tall and 3 to 6 metres wide on top. From a bird's eye view, the rectangular (长方形的) wall represents a tortoise (龟). A tortoise was 6.________ (traditional) considered a symbol of longevity, conveying the residents' hope 7.________ the ancient city would be permanently secure.Pingyao is no longer very prosperous, but the grand Pingyao Ancient City, 8.________ (construct) a thousand years ago, stands the test of time. 9.________ (wander) along the ancient street inside the old town, you can still sense its former grandeur. Since it was listed as UNESCO World Heritage in 1997, Pingyao 10.________ (become) a hot destination of millions of tourists.[答题区]1．________ 2.________ 3.________ 4.________ 5.________6．________ 7.________ 8.________ 9.________ 10.________强化训练二十四“中国元素”专题语法填空（二）（A）【语篇解读】本文是一篇说明文。
全国高考数学第二轮复习 专题升级训练24 填空题专项训练一 理.docx
2. 某地教育部门为了解学生在数学答卷中的有关信息，从上次考试的10 000名考生的 数学试卷中，用分层抽样的方法抽取500人，并根据这500人的数学成绩画出样本的频率分 布直方图(如图).这10 000人中数学成绩在［140,150］段的约是 频率 "组距数学 成绩 v) — f( — V )3. 设奇函数Rx)在(0, +8)上为增函数，且产(1)=0,则不等式 ~ <0的解集是4.下面的程序框图,如果输入的.是5,那么输出的S 是―5. 若 a= 3 —2),力=@，1)且。
〃灰 则 2*+2一*=.6. 观察：*+却<2如，寸日+寸14. 5<2如,/3+/+/19—*<2如,…对 于任意正实数a, b,试写出使、侣+也W2如成立的一个条件可以是.7. 一个四棱柱的底面是正方形，侧棱和底面垂直，已知该四棱柱的顶点都在同一个球面 上，且该四棱柱的侧棱长为4,体积为16,那么这个球的表面积是.8. 若产(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且是周期为2的周期函数，当xe ［0, 1)时， 心=2'— 1,则 /(log 1 6) =.29. 已知动圆过点(1,0),且与直线x+l = 0相切，则动圆圆心的轨迹方程为・ 10. 执行下边的程序框图，若勿=1.6,则输出的刀=1. 已知f(x)=sin 兀 x, xWO, f(x-l)+l, x>0,的值为一人.01201301401500.0240.020 0.016 0.012 0.008 0.004° 80 901001/输入"/否/输嬴/~rr［结剌H.已知一个玩具的三视图如图所示，其中正视图、侧视图都由半圆和矩形组成.根据 图中标出的尺寸(单位：cm),可得这个几何体的全面积是.俯视图12.下列命题中，是真命题的为.(写出所有真命题的序号)① 命题 F xNO,使 x(x+3)N0"的否定是 “V x<0,使 x(x+3)<0"； ② 函数/V) =lg(ax+l)的定义域是]』x 〉一3 ;③ 函数f(x) = x • e"在x=—2处取得极大值；I I + OT-) a④ 若 sin(。
最新2021-2022年高考数学二轮复习精品资料 含解析 (1)
思想二 分类讨论思想 强化训练一．选择题1. 【河北唐山2021届高三上期期末】已知对数函数 ()log (0a f x x a =>，且1)a ≠在区间[]2,4上的最大值与最小值之积为2，则a = （ ）A ．12 B ．12或 2 C. 22．2 【答案】B【解析】当01a <<时，函数()f x 为减函数，所以在区间[]2,4上max min ()()log 2log 42a a f x f x ⋅=⋅=，解得12a =；当1a >时，函数()f x 为增函数，所以在区间[]2,4上max min ()()log 4log 22a a f x f x ⋅=⋅=，解得2a =，故选B ．2. 【山西运城2021届高三上学期期中】函数()f x 是偶函数，且在(0,)+∞内是增函数，(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为（ ）A ．{}|303x x x -<<>或 B ．{}|303x x x <-<<或 C ．{}|33x x x <->或 D ．{}|303x x x -<<<<或0【答案】B3. 【中原名校豫南九校2021届上学期第四次质量考评】已知函数()2ln ln 01 04x x a x b x f x e x ⎧++>⎪=⎨+≤⎪⎩，，且()()1f e f =，()()21104f e f =+，则函数()f x 的值域是（ ）A ．57 44⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭，， B ．1 4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C.15 44⎛⎫⎡⎫-∞+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭，， D ．157 +444⎛⎤⎡⎫∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，， 【答案】D【解析】由()()1f e f =和()()21104f e f =+可得104213a b a b ++=⎧⎨++=+⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，所以当0x >，()22177ln ln 2ln 244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当0x ≤时，得011154444x e e <+≤+=，所以函数()f x 的值域是157 444⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，，.选D. 4. 【湖南郴州市2021届高三第二次教学质量监测】已知关于x 的方程23ln 02x ax -+=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．20,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．20,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．20,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．20,3e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】设23()ln 2f x x ax =-+，则()f x 为偶函数，函数()f x 有4个零点等价于函数()f x 在区间(0,)+∞有两个零点.当0a <时，0x >时，函数2233()ln ln 22f x x ax x ax =-+=-+在区间(0,)+∞上单调递增，最多只有一个零点，由偶函数性质可知，有两个两个零点，不符合题意；所以0a >，当0x >时，2233()ln ln 22f x x ax x ax =-+=-+，2112()2ax f x ax x x -'=-=，由()0f x '>得102x a <<，由()0f x '<得12x a>，所以函数()f x 在区间1(0,)2a 上单调递增，在区间1(,)2a∞上单调递减，所以函数max 11()()ln 122f x f a a==+，函数()f x 在区间(0,)+∞上有两个零点等价于max1()ln 102f x a=+>，解之得202e a <<，故选A.5. 【广东汕头2021届高三上学期期末】设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且n n a S 2121-=，则=n a （ ）A ．1)21(31-⋅n B ．1)32(21-⋅n C ．31)31(2-⋅n D ．n )31( 【答案】D6. 【2021年高考广西名校第一次摸底考试】已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且)21()23(+=-x f x f 恒成立，当]3,2[∈x 时，x x f =)(，则当)0,2(-∈x 时，=)(x f （ ）A ．12++xB ．13+-xC ．2-xD ．4+x 【答案】B7. 【四川省绵阳市2021届高三第一次诊断性考试】若函数144)(234+-++=x ax x x x f 的图象恒在x 轴上方，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)(2,+∞B ．)(1,+∞C ．),213(+∞-D ．),212(+∞- 【答案】A【解析】4324410x x ax x ++-+>恒成立，当0x =时，a R ∈，当0x ≠时，432222244141(4)(t 42)(2)2x x x a x x t t x x x +-+>-=-+-+=-++=-++ ，其中1t x R x=-∈，因为2(2)22t -++≤，从而2a >，因此实数a 的取值范围是)(2,+∞，选A. 8. 【安徽师范大学附属中学2021届高三上学期期中】若函数,0()ln ,0ax a x f x x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上有且仅有两对点关于原点对称，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．1(0,)e B ．1(0,)(1,)e eC ．(1,)+∞D ．(0,1)(1,)+∞【答案】D【解析】若函数,0()ln ,0ax a x f x x x x +≤⎧=⎨>⎩的图象上有且仅有两对点关于原点对称,则函数,0y ax a x =-+>的图象与函数ln y x x =的图象有且只有两个交点，函数,0y ax a x =-+>的图象与函数ln y x x =的图象均过()1,0点.当01x <<时，函数ln y x x =的导数1y '<，当1x =时，函数ln y x x =的导数1y '=，当1x >时，函数ln y x x =的导数1y '>，故当0a ≤或1a =时，函数,0y ax a x =-+>的图象与函数ln y x x =的图象有且只有一个交点，所以使得,0y ax a x =-+>的图象与函数ln y x x =的图象有且只有两个交点的实数a 的范围是()()0,11,+∞，故选D.9. 【广东汕头2021届高三上学期期末】已知函数)0(212cos )(<-+=x x x f x与)(log cos )(2a x x x g ++=图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）A ．)2,(--∞B ．)22,(--∞ C. )22,2(- D ．)2,(-∞ 【答案】D10. 【广东佛山2021届高三教学质量检测（一）】已知函数()32f x x ax bx c =+++，()232g x x ax b =++（ a b c ，，是常数），若()f x 在()0 1，上单调递减，则下列结论中：①()()010f f ⋅≤； ②()()010g g ⋅≥；③23a b -有最小值.正确结论的个数为（ ）A ．0B ．1 C.2 D ．3 【答案】C【解析】由题意，得()232f x x ax b '=++，若函数()f x 在(0,1)上单调递减，则(0)0(1)0f f '≤⎧⎨'≤⎩，即0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩，所以()()01(32)0g g b a b ⋅=⋅++≥，故②正确；不妨设32()235f x x x x =--+，则()()015(1235)0f f ⋅=⋅--+>，故①错；画出不等式组0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩表示的平面区域，如图所示，令23z a b =-，则2133z b a =-，①当33z ->-，即9z <时，抛物线2133zb a =-与直线230a b ++=有公共点，联立两个方程消去b 得2690a a z ++-=，2(3)0z a =+≥，所以09z ≤<；当33z-≤-，即9z ≥时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，0z ≥，所以23z a b =-有最小值，故③正确，故选C ．二、填空题11. 【云南大理2021届高三上学期第一次统测，9】函数()()ln ,02,0x x f x x x x >⎧=⎨-+≤⎩的零点个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】D【解析】当0>x 时，令()0=x f 可得1=x ，当0≤x 时，令()0=x f 可得()02=+x x ，所以2-=x 或0=x ，函数的零点个数为3，故选D.12. 【山西运城2021届高三上学期期中】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2n n S =，则{}n a 的通项公式为 ．【答案】12,12,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩【解析】当1n =时，112a S ==，当1n >时，112n n n n a S S --=-=，所以通项公式为12,12,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩. 13. 【中原名校豫南九校2021届上学期第四次质量考评，16】已知数列{}{} n n a b ，的通项公式分别是()20161n n a a +=-⋅，()201712n n b n+-=+，若n n a b <，对任意N n +∈恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】32 2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，14．【四川省绵阳市2021届高三第一次诊断性考试】)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，3)(x x f =.若对任意的]32,12[+-∈t t x ，不等式)(8)3(x f t x f ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是 .【答案】3-≤t 或1≥t 或0t =【解析】由题意得0x <时，3()()f x f x x =-=-，即3()||f x x =，因此33(3)8()|3|8|||3|2||f x t f x x t x x t x -≥⇒-≥⇒-≥，当0t =时，x R ∈,满足条件；当0t >时，5tx t x ≥≤-或,要满足条件，需2123150t t t t t t ⎧-≥+≤-⎪⇒≥⎨⎪>⎩或；当0t <时，5t x x t ≥-≤或,要满足条件，需2123350t t t tt t ⎧-≥-+≤⎪⇒≤-⎨⎪<⎩或；综上实数t 的取值范围是3-≤t 或1≥t 或0t =三、解答题15. 【广东佛山2021届高三教学质量检测（一）】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()2*1n n S a n n N =+-∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求证：1211134n S S S +++<…. 【解析】（1）当2n =时，212221a a a +=+-，即13a =.当2n ≥时，21n n S a n =+-，()21111n n S a n --=+--.相减得121n n n a a a n -=-+-，即121n a n -=-，综上，{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）由（1）可得2212n n S a n n n =+-=+.所以()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，所以12111111111123242n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦……11113111122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.又1110212n n ⎛⎫+> ⎪++⎝⎭，所以3111342124n n ⎛⎫-+< ⎪++⎝⎭，即1211134n S S S +++<…. 16. 【贵州遵义2021届高三上学期期中联考】某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[)13,14，第二组[)14,15，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计这50名学生百米测试成绩的平均值；（2）若从第一组、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率． 【解析】（1）由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为13.50.0614.50.1615.50.3816.50.3217.50.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.81 2.32 5.89 5.28 1.415.7=++++=．（2）由频率分布直方图知，成绩在[)13,14的人数为500.063⨯=人，设为x y z 、、；成绩在[)17,18的人数为500.084⨯=人，设为A B C D 、、、．若[),13,14m n ∈时，有,,xy xz yz 3种情况；若[),17,18m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况；若,m n 分别在[)13,14和[)17,18内时，A B C Dx xA xB xC xDy yA yB yC yDz zA zB zC zD共有12种情况．所以基本事件总数为21种，事件“1m n ->”所包含的基本事件个数有12种．∴()1241217P m n ->==． 17. 【广东湛江市2021届高三上学期期中】已知函数()()2ln f x x ax x a R =+-∈. （Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）令()()2g x f x x =-，是否存在实数a ，当(]0,x e ∈时，函数()g x 的最小值是3，若存在，求a 的值；若不存在，说明理由.（Ⅱ）假设存在实数a ，使()()(]()20,g x f x x x e =-∈有最小值，()ln g x ax x =-，∴()11ax g x a x x-=-=′， ()i 当0a ≤时，()()0,g x g x <′在(]0,e 上单调递减，∴()()min 13g x g e ae ==-=，∴4a e=（与0a ≤矛盾，舍去）. ()ii 当10e a <<，即1a e >时，在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上()0g x <′，在1,e a ⎛⎤⎥⎝⎦上，()0g x >′，∴()min 11ln 3g x g a a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭，∴2a e =.()iii 当1e a ≥，即10a e <≤时，()0g x <′，∴()()min 13g x g e ae ==-=，∴4a e =（与10a e<≤矛盾，舍去）.综上所述，存在2a e =，当(]0,x e ∈时，函数()g x 的最小值是3.。
高考数学二轮复习第一部分微专题强化练习题：数列求和及综合应用含解析
第一部分 一 10一、选择题1．(文)(2015·新课标Ⅱ文，5)设S n 是等差数列{}a n 的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( )A ．5B ．7C ．9D ．11[答案] A[解析] 考查等差数列的性质及求和公式．a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5.故选A.(理)(2015·新课标Ⅰ文，7)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192 C ．10 D ．12 [答案] B[解析] 本题主要考查等差数列的通项及求和公式．由题可知：等差数列{a n }的公差d ＝1，因为等差数列S n ＝a 1n ＋n (n －1)d2，且S 8＝4S 4，代入计算可得a 1＝12；等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，则a 10＝12＋(10－1)×1＝192.故本题正确答案为B.[方法点拨] 数列求和的类型及方法技巧(1)公式法：直接应用等差、等比数列的求和公式求和． (2)错位相减法这种方法主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列． (3)倒序相加法这是在推导等差数列前n 项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项或几项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．(5)分组转化求和法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，可先分别求和，然后再合并．2．(文)设{a n }是等比数列，函数y ＝x 2－x －2013的两个零点是a 2、a 3，则a 1a 4＝( ) A ．2013 B ．1 C ．－1 D ．－2013[答案] D[解析] 由条件得，a 1a 4＝a 2a 3＝－2013.(理)已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2.若函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1 [答案] C[解析] 据已知得2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，即数列{a n }为等差数列，又f (x )＝sin2x ＋2×1＋cos x2＝sin2x ＋1＋cos x ，因为a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，故cos a 1＋cos a 9＝cos a 2＋cos a 8＝…＝cos a 5＝0，又2a 1＋2a 9＝2a 2＋2a 8＝…＝4a 5＝2π，故sin2a 1＋sin2a 9＝sin2a 2＋sin2a 8＝…＝sin2a 5＝0，故数列{y n }的前9项之和为9，故选C.3．(2014·辽宁协作联校三模)已知数列{a n }的通项公式a n ＝2014sin n π2，则a 1＋a 2＋…＋a 2014＝( )A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 [答案] C[解析] 数列{a n }的周期为4，且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2014(sin π2＋sinπ＋sin 3π2＋sin2π)＝0，又∵2014＝4×503＋2，∴a 1＋a 2＋…＋a 2014＝a 1＋a 2＝2014sin π2＋2014sinπ＝2014.4．(文)已知函数f (x )满足f (x ＋1)＝32＋f (x )(x ∈R )，且f (1)＝52，则数列{f (n )}(n ∈N *)前20项的和为( )A ．305B ．315C ．325D ．335[答案] D[解析] ∵f (1)＝52，f (2)＝32＋52，f (3)＝32＋32＋52，…，f (n )＝32＋f (n －1)，∴{f (n )}是以52为首项，32为公差的等差数列．∴S 20＝20×52＋20(20－1)2×32＝335.(理)设y ＝f (x )是一次函数，若f (0)＝1，且f (1)，f (4)，f (13)成等比数列，则f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )等于( )A ．n (2n ＋3)B ．n (n ＋4)C ．2n (2n ＋3)D ．2n (n ＋4)[答案] A[解析] 设f (x )＝kx ＋1(k ≠0)，则(4k ＋1)2＝(k ＋1)×(13k ＋1)⇒k ＝2，f (2)＋f (4)＋…＋f (2n )＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋(2×6×1)＋…＋(2×2n ＋1)＝2n 2＋3n . [方法点拨] 解决数列与函数知识结合的题目时，要明确数列是特殊的函数，它的图象是群孤立的点，注意函数的定义域等限制条件，准确的进行条件的转化，数列与三角函数交汇时，数列通常作为条件出现，去除数列外衣后，本质是三角问题．5．(文)已知数列{a n }是等比数列，且每一项都是正数，若a 1、a 49是2x 2－7x ＋6＝0的两个根，则a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为( )A.212 B ．93 C ．±9 3 D ．35[答案] B[解析] ∵{a n }是等比数列，且a 1，a 49是方程2x 2－7x ＋6＝0的两根， ∴a 1·a 49＝a 225＝3.而a n >0，∴a 25＝ 3.∴a 1·a 2·a 25·a 48·a 49＝a 525＝(3)5＝93，故选B.(理)(2015·江西质检)如果数列{a n }中，相邻两项a n 和a n ＋1是二次方程x 2n ＋2nx n ＋c n ＝0(n ＝1,2,3，…)的两个根，当a 1＝2时，c 100的值为( )A ．－9984B ．9984C ．9996D ．－9996[答案] C[解析] 由根与系数关系，a n ＋a n ＋1＝－2n ，则(a n ＋1＋a n ＋2)－(a n ＋a n ＋1)＝－2.即a n ＋2－a n ＝－2，∴a 1，a 3，a 5，…和a 2，a 4，a 6，…都是公差为－2的等差数列，∵a 1＝2，a 1＋a 2＝－2，∴a 2＝－4，即a 2k ＝－2k －2，∴a 100＝－102，a 2k －1＝－2k ＋4，∴a 101＝－98.∴c 100＝a 100·a 101＝9996.6．等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，S n 为其前n 项和，对任意自然数n ，若点(n ，S n )在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线应是( )[答案] C[解析] ∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ，又a 1>0，公差d <0，所以点(n ，S n )所在抛物线开口向下，对称轴在y 轴右侧．[点评] 可取特殊数列验证排除，如a n ＝3－n .7．(2015·南昌市一模)已知无穷数列{a n }，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －A |<ε成立，就称数列{a n }的极限为A ，则四个无穷数列：①{(－1)n ×2}；②{n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1；④{2n ＋1n }，其极限为2的共有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个[答案] C[解析] 对于①，|a n －2|＝|(－1)n ×2－2|＝2×|(－1)n －1|，当n 是偶数时，|a n －2|＝0，当n 是奇数时，|a n －2|＝4，所以不符合数列{a n }的极限的定义，即2不是数列{(－1)n ×2}的极限；对于②，由|a n －2|＝|n －2|<ε，得2－ε<n <2＋ε，所以对于任意给定的正数ε(无论多小)，不存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε，即2不是数列{n }的极限；对于③，由|a n －2|＝|1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1×⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－2＝22n<ε，得n >1－log 2ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1的极限；对于④，由|a n －2|＝⎪⎪⎪⎪2n ＋1n －2＝1n <ε，得n >1ε，即对于任意给定的正数ε(无论多小)，总存在正整数N ，使得n >N 时，恒有|a n －2|<ε成立，所以2是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2n ＋1n 的极限．综上所述，极限为2的共有2个，即③④. 二、填空题8．(文)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知正项数列{1b n}为“调和数列”，且b 1＋b 2＋…＋b 9＝90，则b 4·b 6的最大值是________．[答案] 100[解析] 由调和数列的定义知{b n }为等差数列，由b 1＋b 2＋…＋b 9＝9b 5＝90知b 5＝10， ∵b n >0，∴b 4b 6≤(b 4＋b 62)2＝b 25＝100.(理)(2014·河南十所名校联考)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i (i ＝1,2,3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”，不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件：①b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列；②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”，下面三个数列：①数列{a n }的前n 项和为S n ＝n3(n 2－1)；②数列1,2,3,4,5；③数列1,2,3，…，11.其中具有“P 性质”或“变换P 性质”的有________(填序号)．[答案] ①②[解析] S n ＝n 3(n 2－1)，S n －1＝n －13[(n －1)2－1](n ≥2)，∴a n ＝S n －S n －1＝n3(n －1)(n ＋1)－n －13(n 2－2n )＝n3(n －1)(n ＋1－n ＋2)＝n (n －1)(n ≥2)，又a 1＝S 1＝0，∴a 1＋1＝1＝12，a 2＋2＝4＝22，a 3＋3＝9＝32，…，a n ＋n ＝n 2，∴数列{a n }具有“P 性质”；数列1,2,3,4,5排为3,2,1,5,4，则a 1＋1＝4＝22，a 2＋2＝4＝22，a 3＋3＝4＝22，a 4＋4＝9＝32，a 5＋5＝9＝32，∴数列1,2,3,4,5具有“变换P 性质”，同理可验证数列1,2,3，…，11不具有“P 性质”和“变换P 性质”．[方法点拨] 脱去新定义的外衣，将问题化为基本数学模型，用相应的知识方法解答是解决此类问题的基本方法．9．(2015·安徽文，13)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．[答案] 27[解析] 考查1.等差数列的定义；2.等差数列的前n 项和． ∵n ≥2时，a n ＝a n －1＋12，且a 1＝1，∴{a n }是以1为首项，12为公差的等差数列．∴S 9＝9×1＋9×82×12＝9＋18＝27.10．已知向量a ＝(2，－n )，b ＝(S n ，n ＋1)，n ∈N *，其中S n 是数列{a n }的前n 项和，若a ⊥b ，则数列{a na n ＋1a n ＋4}的最大项的值为________．[答案] 19[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝2S n －n (n ＋1)＝0， ∴S n ＝n (n ＋1)2，∴a n ＝n ，∴a n a n ＋1·a n ＋4＝n(n ＋1)(n ＋4)＝1n ＋4n＋5，当n ＝2时，n ＋4n 取最小值4，此时a na n ＋1a n ＋4取到最大值19.三、解答题11．(文)(2015·云南省检测)已知等比数列{a n }的前n 项和是S n ，S 18S 9＝78. (1)求证：S 3，S 9，S 6依次成等差数列；(2)a 7与a 10的等差中项是否是数列{a n }中的项？如果是，是{a n }中的第几项？如果不是，请说明理由．[解析] (1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 18＝18a 1，S 9＝9a 1， S 18S 9＝21≠78.∴q ≠1.∴S 18＝a 11－q (1－q 18)，S 9＝a 11－q (1－q 9)，S 18S 9＝1＋q 9.∴1＋q 9＝78，解得q ＝－2－13.∴S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝32×a 11－q ，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝34×a 11－q. S 9＝a 11－q(1－q 9)＝98×a 11－q .∵S 9－S 3＝－38×a 11－q ，S 6－S 9＝－38×a 11－q ，∴S 9－S 3＝S 3－S 9.∴S 3，S 9，S 6依次成等差数列．(2)a 7与a 10的等差中项等于a 7＋a 102＝14a 1－18a 12＝a 116.设a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第n 项，则 a 1(－2－13)n －1＝a 116，化简得(－2)－n －13＝(－2)－4，则－n －13＝－4，解得n ＝13.∴a 7与a 10的等差中项是数列{a n }中的第13项．(理)(2015·唐山一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足(1－q )S n ＋qa n ＝1，且q (q －1)≠0. (1)求{a n }的通项公式；(2)若S 3，S 9，S 6成等差数列，求证：a 2，a 8，a 5成等差数列． [解析] (1)当n ＝1时，由(1－q )S 1＋qa 1＝1，∴a 1＝1，当n ≥2时，由(1－q )S n ＋qa n ＝1，得(1－q )S n －1＋qa n －1＝1，两式相减得 (1－q )a n ＋q (a n －a n －1)＝0，∴a n ＝qa n －1，∵a 1＝1，q (q －1)≠0，∴a n ＝q n －1， 综上a n ＝q n －1. (2)由(1)可知a na n －1＝q ，所以{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列． 所以S n ＝1－a n q 1－q ，又S 3＋S 6＝2S 9，得1－a 3q 1－q ＋1－a 6q 1－q ＝2(1－a 9q )1－q ，化简得a 3＋a 6＝2a 9，两边同除以q 得a 2＋a 5＝2a 8. 故a 2，a 8，a 5成等差数列．[方法点拨] 1.在处理数列求和问题时，一定要先读懂题意，分清题型，区分等差数列与等比数列，不是基本数列模型的注意运用转化思想化归为等差、等比数列，在利用分组求和时，要特别注意项数．2．在处理等差与等比数列的综合问题时，先要看所给数列是等差数列还是等比数列，再依据条件建立方程求解．12．(文)已知函数f (x )在(－1,1)上有定义，f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，且满足对任意x 、y ∈(－1，1)，有f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ，数列{x n }中，x 1＝12，x n ＋1＝2x n 1＋x 2n.(1)证明：f (x )在(－1,1)上为奇函数； (2)求数列{f (x n )}的通项公式； (3)求证：1f (x 1)＋1f (x 2)＋…＋1f (x n )>－2n ＋5n ＋2. [分析] (1)要证f (x )为奇函数，只需证明f (－x )＋f (x )＝0，只需在条件式中令y ＝－x ，为了求f (0)，令x ＝y ＝0即可获解．(2)利用f (x )＋f (y )＝f (x ＋y1＋xy)可找出f (x n ＋1)与f (x n )的递推关系，从而求得通项．(3)由f (x n )的通项公式确定数列{1f (x n )}的求和方法，求和后利用放缩法可证明．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，∴2f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0.令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )在(－1,1)上为奇函数． (2)f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1，f (x n ＋1)＝f ⎝⎛⎭⎫2x n 1＋x 2n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x n ＋x n 1＋x n ·x n ＝2f (x n)， ∴f (x n ＋1)f (x n )＝2，即{f (x n )}是以－1为首项，2为公比的等比数列，∴f (x n )＝－2n －1. (3)1f (x 1)＋1f (x 2)＋…＋1f (x n ) ＝－⎝⎛⎭⎫1＋12＋122＋…＋12n －1＝－1－12n1－12＝－⎝⎛⎭⎫2－12n －1＝－2＋12n －1>－2，而－2n ＋5n ＋2＝－⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋2＝－2－1n ＋2<－2. ∴1f (x 1)＋1f (x 2)＋…＋1f (x n )>－2n ＋5n ＋2. (理)在直角坐标平面上有一点列P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )，…，对于每个正整数n ，点P n 均位于一次函数y ＝x ＋54的图象上，且P n 的横坐标构成以－32为首项，－1为公差的等差数列{x n }．(1)求点P n 的坐标；(2)设二次函数f n (x )的图象C n 以P n 为顶点，且过点D n (0，n 2＋1)，若过D n 且斜率为k n 的直线l n 与C n 只有一个公共点，求T n ＝1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n的表达式；(3)设S ＝{x |x ＝2x n ，n 为正整数}，T ＝{y |y ＝12y n ，n 为正整数}，等差数列{a n }中的任一项a n ∈(S ∩T )，且a 1是S ∩T 中最大的数，－225<a 10<－115，求数列{a n }的通项公式．[解析] (1)由题意知x n ＝－32－(n －1)＝－n －12，y n ＝－n －12＋54＝－n ＋34，∴P n ⎝⎛⎭⎫－n －12，－n ＋34.(2)由题意可设二次函数f n (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋n ＋122－n ＋34，因为f n (x )的图象过点D n (0，n 2＋1)， 所以a ⎝⎛⎭⎫n ＋122－n ＋34＝n 2＋1，解得a ＝1， 所以f n (x )＝x 2＋(2n ＋1)x ＋n 2＋1.由题意可知，k n ＝f ′n (0)＝2n ＋1，(n ∈N *)．所以T n ＝1k 1k 2＋1k 2k 3＋…＋1k n －1k n ＝13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)＝1213－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫13－12n ＋1＝16－14n ＋2. (3)由题意得S ＝{x |x ＝－2n －1，n 为正整数}，T ＝{y |y ＝－12n ＋9，n 为正整数}， 所以S ∩T 中的元素组成以－3为首项，－12为公差的等差数列， 所以a 1＝－3，则数列{a n }的公差为－12k (k ∈N *)， 若k ＝1，则a n ＝－12n ＋9，a 10＝－111∉(－225，－115)； 若k ＝2，则a n ＝－24n ＋21，a 10＝－219∈(－225，－115)； 若k ≥3，则a 10≤－327，即a 10∉(－225，－115)．综上所述，数列{a n }的通项公式为a n ＝－24n ＋21(n 为正整数)．[方法点拨] 1.数列与函数的综合性试题通常用到函数与方程、化归与转化、分类与整合等思想．注意数列是特殊的函数、等差、等比数列更是如此，因此求解数列与函数的综合性题目时，注意数列与函数的内在联系，将所给条件向a n 与n 的关系转化．2．数列还常与不等式交汇命题，不等式常作为条件或证明、求解的一问呈现，解答时先将数列的基本问题解决，再集中解决不等式问题，注意放缩法、基本不等式、裂项、累加法的运用．13．(文)(2015·山东文，19)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] 考查1.等差数列的通项公式；2.“错位相减法”求和及运算求解能力． (1)设数列{a n }的公差为d ， 令n ＝1，得1a 1a 2＝13，得到a 1a 2＝3.令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n ，所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋(n －1)·4n ＋n ·4n ＋1， 两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43，所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)·4n ＋19.(理)(2015·河南八市质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对于任意的正整数n ，直线x ＋y ＝2n 总是把圆(x －n )2＋(y －S n )2＝2n 2平均分为两部分，各项均为正数的等比数列{b n }中，b 6＝b 3b 4，且b 3和b 5的等差中项是2a 3.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)由于x ＋y ＝2n 总是把圆(x －n )2＋(y －S n )2＝2n 2平均分为两部分，所以直线过圆心，所以n ＋S n ＝2n ，即S n ＝n 2， 所以a 1＝S 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，经检验n ＝1时也成立，所以a n ＝2n －1.等比数列{b n }中，由于b 6＝b 3b 4，所以b 1q 5＝b 21q 5， 因为b 1>0，q >0，所以b 1＝1，因为b 3和b 5的等差中项是2a 3，且2a 3＝10，所以b 3＋b 5＝20， 所以q 2＋q 4＝20，解得q ＝2，所以b n ＝2n －1. (2)由于c n ＝a n b n ，所以T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n . T n ＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －1)2n －1 ① 2T n ＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)2n ② 所以－T n ＝1＋2(2＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)2n ＝1＋2×2(1－2n －1)1－2－(2n －1)2n＝－3＋2×2n －(2n －1)2n ＝－3＋(3－2n )2n ， T n ＝3＋(2n －3)2n .14．(文)政府决定用“对社会的有效贡献率”对企业进行评价，用a n 表示某企业第n 年投入的治理污染的环保费用，用b n 表示该企业第n 年的产值．设a 1＝a (万元)，且以后治理污染的环保费用每年都比上一年增加2a 万元；又设b 1＝b (万元)，且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10%.用P n ＝a n b n100ab表示企业第n 年“对社会的有效贡献率”．(1)求该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”； (2)试问从第几年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%?[解析] (1)∵a 1＝a ，b 1＝b ，P n ＝a n b n 100ab， ∴P 1＝a 1b 1100ab＝1%， P 2＝a 2b 2100ab ＝3a ×1.1b 100ab＝3.3%. 故该企业第一年和第二年的“对社会的有效贡献率”分别为1%和3.3%.(2)由题意，得数列{a n }是以a 为首项，以2a 为公差的等差数列，数列b n 是以b 为首项，以1.1为公比的等比数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a ＋(n －1)·2a ＝(2n －1)a ，b n ＝b 1(1＋10%)n －1＝1.1n －1b .又∵P n ＝a n b n 100ab， ∴P n ＝(2n －1)a ×1.1n －1b 100ab＝(2n －1)×1.1n －1100. ∵P n ＋1P n ＝2n ＋12n －1×1.1＝⎝⎛⎭⎫1＋22n －1×1.1>1， ∴P n ＋1>P n ，即P n ＝(2n －1)×1.1n －1100单调递增． 又∵P 6＝11×1.15100≈17.72%<20%， P 7＝13×1.16100≈23.03%>20%. 故从第七年起该企业“对社会的有效贡献率”不低于20%.(理)甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额都为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a 2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额多(23)n －1a 万元．(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年．[解析] (1)设甲、乙两超市第n 年销售额分别为a n 、b n ，又设甲超市前n 年总销售额为S n ，则S n ＝a 2(n 2－n ＋2)(n ≥2)，因n ＝1时，a 1＝a ， 则n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 2(n 2－n ＋2)－a 2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝a (n －1)，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n ＝1，(n －1)a ，n ≥2， 又因b 1＝a ，n ≥2时，b n －b n －1＝(23)n －1a ， 故b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝a ＋23a ＋(23)2a ＋…＋(23)n －1a ＝[1＋23＋(23)2＋…＋(23)n －1]a ＝1－(23)n 1－23a ＝[3－2·(23)n －1]a ， 显然n ＝1也适合，故b n ＝[3－2·(23)n －1]a (n ∈N *) (2)当n ＝2时，a 2＝a ，b 2＝53a ，有a 2>12b 2； n ＝3时，a 3＝2a ，b 3＝199a ，有a 3>12b 3； 当n ≥4时，a n ≥3a ，而b n <3a ，故乙超市有可能被收购．当n ≥4时，令12a n >b n ， 则12(n －1)a >[3－2·(23)n －1]a ⇒n －1>6－4·(23)n －1， 即n >7－4·(23)n －1. 又当n ≥7时，0<4·(23)n －1<1， 故当n ∈N *且n ≥7时，必有n >7－4·(23)n －1. 即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．[方法点拨] 1.用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是一个解方程问题，还是解不等式问题，还是一个最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．2．数列的实际应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．3．正确区分等差与等比数列模型，正确区分实际问题中的量是通项还是前n 项和．15．(文)定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方递推数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数．(1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方递推数列”的前n 项之积为T n ，即T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)…(2a n ＋1)，求T n 关于n 的表达式；(3)记b n ＝log2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项之和S n ，并求使S n >2012成立的n 的最小值．[解析] (1)证明：由题意得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，∴2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n＋1)2. 所以数列{2a n ＋1}是“平方递推数列”．令c n ＝2a n ＋1，所以lg c n ＋1＝2lg c n .因为lg(2a 1＋1)＝lg5≠0，所以lg (2a n ＋1＋1)lg (2a n ＋1)＝2. 所以数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列．(2)由(1)知lg(2a n ＋1)＝(lg5)×2n －1，∴2a n ＋1＝10(lg5)×2n －1＝52n －1，∴T n ＝520×521×522×…×52n －1＝520＋21＋…＋2n －1＝52n －1.(3)∵b n ＝log2a n ＋1T n ＝2n －12n －1＝2－(12)n －1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n －1×(1－12n )1－12＝2n －2＋12n －1， 由2n －2＝2012得n ＝1007，∴S 1006＝2×1006－2＋121005∈(2010,2011)，S 1007＝2×1007－2＋121006∈(2012,2013)． 故使S n >2012成立的n 的最小值为1007.(理)已知曲线C ：xy ＝1，过C 上一点A n (x n ，y n )作一斜率为k n ＝－1x n ＋2的直线交曲线C 于另一点A n ＋1(x n ＋1，y n ＋1)，点列{A n }的横坐标构成数列{x n }，其中x 1＝117. (1)求x n 与x n ＋1的关系式；(2)令b n ＝1x n －2＋13，求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝3n －λb n (λ为非零整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n 成立．[分析] (1)由直线方程点斜式建立x n 与y n 关系，而(x n ，y n )在曲线xy ＝1上，有x n y n ＝1，消去y n 得x n 与x n ＋1的关系；(2)由定义证b n ＋1b n为常数；(3)转化为恒成立的问题解决． [解析] (1)过点A n (x n ，y n )的直线方程为y －y n ＝－1x n ＋2(x －x n )， 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ y －y n ＝－1x n ＋2(x －x n )xy ＝1，消去y 得 1x n ＋2x 2－⎝⎛⎭⎫y n ＋x n x n ＋2x ＋1＝0. 解得x ＝x n 或x ＝x n ＋2x n. 由题设条件知x n ＋1＝x n ＋2x n. (2)证明：b n ＋1b n ＝1x n ＋1－2＋131x n －2＋13＝1x n ＋2x n －2＋131x n －2＋13＝x n 2－x n ＋131x n －2＋13＝3x n ＋2－x n 3(2－x n )3＋x n －23(x n －2)＝－2. ∵b 1＝1x 1－2＋13＝－2≠0，∴数列{b n }是等比数列． (3)由(2)知，b n ＝(－2)n ，要使c n ＋1>c n 恒成立，由c n ＋1－c n ＝[3n ＋1－λ(－2)n ＋1]－[3n －λ(－2)n ]＝2·3n ＋3λ(－2)n >0恒成立，即(－1)n λ>－⎝⎛⎭⎫32n －1恒成立．①当n 为奇数时，即λ<⎝⎛⎭⎫32n －1恒成立．又⎝⎛⎭⎫32n －1的最小值为1，∴λ<1.②当n 为偶数时，即λ>－⎝⎛⎭⎫32n －1恒成立，又－⎝⎛⎭⎫32n －1的最大值为－32，∴λ>－32， 即－32<λ<1.又λ为非零整数， ∴λ＝－1，使得对任意n ∈N *，都有c n ＋1>c n .。
山东专用2021新高考数学二轮复习板块1高考专题突破_选择题+填空题命题区间平面向量与复数课件
4．[多选]已知向量a＝(1，－2)，b＝(t,1)，若a＋b与3a－2b共
线，则下列结论正确的是( )
A．t＝12
B．|b|＝
5 2
C．a·b＝－52
D．a∥b
BCD [由已知可得a＋b＝(1，－2)＋(t,1)＝(t＋1，－1)，3a－
2b＝3(1，－2)－2(t,1)＝(3－2t，－8)，因为a＋b与3a－2b共线，所
A．a∥b
B．(a＋b)·a＝－5
C．b⊥(a－b)
D．2|a|＝|b|
ABD [因为1×4＝－2×(－2)，所以a∥b.又a＋b＝(－1,2)，所 以(a＋b)·a＝－5.a－b＝(3，－6)，b·(a－b)≠0，所以C错误．|a|＝
5 6
－
1 3
[法一：设 E→M ＝λ B→D ，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，
CD的中点，所以A→M＝A→B＋B→E＋E→M＝A→B＋12A→D＋λB→D＝A→B＋12A→D＋λ(A→D
－A→B)＝(1－λ)A→B＋12＋λA→D.又A→M＝mA→B＋23A→D，所以1－λ＝m，21＋λ＝
以－8×(t＋1)＋1×(3－2t)＝0，得到t＝－12，则|b|＝ 41＋1＝ 25，
a·b＝－12－2＝－52，a＝－2b，即a∥b，故选BCD．]
5．已知G是△ABC的重心，过点G的直线与边AB，AC分别相交 于点P，Q.若 A→P ＝λ A→B ，则当△ABC与△APQ的面积之比为20∶9 时，实数λ的值为________．
②
联立①②消去μ，得20λ2－27λ＋9＝0，解得λ＝34或35.]
6．[一题两空](2020·烟台模拟)如图，在菱形ABCD中，AB＝2， ∠BAD＝60°，E，F分别是BC，CD的中点，若线段EF上有一点M满 足A→M＝mA→B＋23A→D(m∈R)，则m＝________，A→M·B→D＝________.
2021-2022年高三下学期强化训练第二次模拟考试数学(理)试题 含答案
数学(理科)试题2021年高三下学期强化训练第二次模拟考试数学（理）试题 含答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===，则( ) A. B. C. D.2.若复数，则（ ）A. B. C. D.3.已知椭圆的标准方程为，则椭圆的焦点坐标为（ ） A. B.C. D.4.下列命题正确的是（ ）A. 函数在区间内单调递增；B. 函数的图象关于直线成轴对称图形C. 函数的最小正周期为D.函数的图象是关于点成中心对称的图形5. 已知条件；条件直线与圆相切，则是的（ ）A.充分必要条件B. 既不充分也不必要条件C. 充分不必要条件D.必要不充分条件6.已知向量()()cos ,2,sin ,1a b αα=-=，且，则等于（ ） A. B. C. 3 D.7.已知两条直线()()12:34350,:2680l m x y m l x m y +++-=++-=，且，则直线的一个方向向量是（ ）A. B. C. D.8.已知满足约束条件1,1,1,x yx yx a-≥⎧⎪+≥⎨⎪<≤⎩目标函数的最大值为10，则实数的值是（）A. 4B.C. 2D. 89.设等比数列的前项和为，若成等差数列，则数列的公比的值等于（）A. 或B. 或C.D.110.在边长为4的等边三角形的内部任取一点P，使得的概率为（）A. B. C. D.11.若有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.12.定义R上的函数满足，当时，()23 1212,01,22,12,xx xf xx--⎧-≤<⎪=⎨⎪-≤<⎩函数，若对任意，存在，不等式成立，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答，第2224题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若()62212012121x x a a x a x a x++=+++，则.14.一个无上盖容器的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为.15.如上右图，是一个程序框图，则输出的结果为.16.已知双曲线的左右焦点分别为，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为，则的最小值为.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在三角形ABC中，已知222sin sin sin sin sin,A AB B C++=其中角A,B,C的对边分别是（1）求角C的大小；（2）求的取值范围.18.(本小题满分12分)某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了若干名学生的体检表，并得到如图所示的直方图：（1）若直方图中前三组的频率成等比数列，后四组的频率成等差数列，试估计全年级视力在5.0以下的人数；（2）学习小组成员发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对年级名次在1—50名和951—1000名的学生进行了调查，得到如下数据：年级名次 是否近视1—50 951—1000近视 41 32 不近视918根据表中数据，能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系？ （3）在（2）中调查的100名学生中，在不近视的学生中按照成绩是否在50名分层抽样抽取了9人，进一步调查他们良好的护眼习惯，并且在这9人中任取3人，记名次在1—50名的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)如图，在四棱锥中，底面ABCD 为正方形，AE 底面CDE ，已知AE=DE=2，F 为线段DE 的中点.（1）求证：BE//平面ACF;（2）求平面BCF 与平面BEF 夹角的余弦值.20.(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上的点到其焦点F 的距离等于5. （1）求抛物线C 的方程；（2）若正方形ABCD 的三个顶点()()()()112233123,,,,,0A x y B x y C x y x x x <≤<在抛物线上，可设直线BC 的斜率为，求正方形ABCD 面积的最小值.20.(本小题满分12分)已知函数()()2ln , 2.f x x x g x x ax ==-+-（1）求在上的最小值；（2）若函数有两个不同的极值点，且，求实数的取值范围.请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，在中，AB=BC ，以AB 为直径的交AC 于点D,过点D 作，垂足为E ，连结EA 交于点F. 求证：（1）DE 是的切线； （2）23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线()2:sin 2cos 0C a a ρθθ=>，过点的直线的参数方程为2224x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（为参数），与C分别交于M,N 两点.（1）写出C 的平面直角坐标方程和的普通方程； （2）若成等比数列，求的值.24.(本小题满分10分)不等式选讲 设函数（1）求的最小值，并求出取最小值时的取值范围； （2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.。
2021-2022年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题跟
2021年高考数学二轮复习 第一部分 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数专题跟踪训练6 文1．(xx·安徽卷)已知函数f (x )＝ax x ＋r2(a >0，r >0)．(1)求f (x )的定义域，并讨论f (x )的单调性；(2)若a r＝400，求f (x )在(0，＋∞)内的极值．[解] (1)由题意知x ≠－r ，所求的定义域为(－∞，－r )∪(－r ，＋∞)．f (x )＝ax x ＋r2＝axx 2＋2rx ＋r 2，f ′(x )＝a x 2＋2rx ＋r 2－ax 2x ＋2rx 2＋2rx ＋r 22＝a r －x x ＋rx ＋r 4，所以当x <－r 或x >r 时， f ′(x )<0，当－r <x <r 时， f ′(x )>0，因此， f (x )的单调递减区间为(－∞，－r )，(r ，＋∞); f (x )的单调递增区间为(－r ，r )．(2)由(1)的解答可知f ′(r )＝0，f (x )在(0，r )上单调递增，在(r ，＋∞)上单调递减．因此，x ＝r 是f (x )的极大值点，所以f (x )在(0，＋∞)内的极大值为f (r )＝ar2r2＝a 4r ＝4004＝100. 2．(xx·济南模拟)设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2.[解] (1)f ′(x )＝1＋2ax ＋b x.由已知条件得⎩⎨⎧f 1＝0，f ′1＝2，即⎩⎨⎧1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2.解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明：因为f (x )的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－x －12x ＋3x.当0<x <1时，g ′(x )>0， 当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0， 即f (x )≤2x －2.3．(xx·东北三校联考)设函数f (x )＝x －4x－a ln x (a ∈R )．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴垂直，求函数f (x )的极值； (2)当a ≤4时，若不等式f (x )≥1在区间[1,4]上有解，求实数a 的取值范围．[解] 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．(1)f ′(x )＝1＋4x 2－a x ＝x 2－ax ＋4x 2，所以f ′(1)＝5－a ，故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率等于5－a . 由题意可得5－a ＝0，解得a ＝5.此时，f ′(x )＝x 2－5x ＋4x 2＝x －1x －4x 2.由f ′(x )＝0解得x ＝1或4.f (x )、f ′(x )随x 的变化情况如下表： x (0,1) 1 (1,4) 4 (4，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )单调递增极大值单调递减极小值单调递增极小值为f (4)＝4－4－5ln 4＝3－10ln 2.(2)由不等式f (x )≥1在区间[1,4]上有解可知，f (x )在区间[1,4]上的最大值不小于1.由(1)知f ′(x )＝x 2－ax ＋4x2，对于方程x 2－ax ＋4＝0，Δ＝(－a )2－4×1×4＝a 2－16，①当a ∈[－4,4]时，Δ≤0，故f ′(x )≥0恒成立，f (x )在[1,4]上单调递增，故f (x )在[1,4]上的最大值为f (4)＝4－44－a ln 4＝3－2a ln 2，故由f (4)≥1，得3－2a ln 2≥1，解得a ≤1ln 2.又a ∈[－4,4]，所以a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，1ln 2.②当a <－4时，Δ>0，f ′(x )＝0的两根为x 1＝a －a 2－162，x 2＝a ＋a 2－162.此时x 1<0，x 2<0，故f (x )在[1,4]上单调递增， 故①知，a ≤1ln 2，又a <－4，故a <－4.综上所述，a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1ln 2.4．(xx·新课标全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e 2x －a ln x . (1)讨论f (x )的导函数f ′(x )零点的个数； (2)证明：当a >0时， f (x )≥2a ＋a ln 2a.[解] (1)f (x )的定义域为(0，＋∞), f ′(x )＝2e 2x －a x(x >0)．当a ≤0时， f ′(x )>0, f ′(x )没有零点；当a >0时，因为y ＝e 2x 单调递增，y ＝－ax单调递增，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，又f ′(a )>0，当b 满足0<b <a 4且b <14时，f ′(b )<0，故当a >0时， f ′(x )存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f ′(x )在(0，＋∞)上的唯一零点为x 0，当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时， f ′(x )>0.故f (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，所以当x ＝x 0时， f (x )取得最小值，最小值为f (x 0)．由于2e 2x 0－a x 0＝0，所以f (x 0)＝a 2x 0＋2ax 0＋a ln 2a ≥2a ＋a ln 2a.故当a >0时， f (x )≥2a ＋a ln 2a.。
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2021年高考数学二轮复习第一部分微专题强化练专题24 填空题解题技能训练（含解析）一、填空题1．(文)(xx·石家庄市质检)如下图所示，某几何体的正视图是平行四边形，侧视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为________．[答案]93[解析]由三视图可知，该几何体是斜四棱柱，四棱柱底面是矩形，长3，宽3，四棱柱的高h＝22－12＝3，∴体积V＝3×3×3＝9 3.(理)(xx·商丘市二模)已知△ABC的三个顶点在以O为球心的球面上，且∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，球心O到平面ABC的距离为1，则球O的表面积为________．[答案]12π[解析]由已知得：BC＝22，球O的半径R＝22＋1＝3，故其表面积S ＝4πR2＝4π·(3)2＝12π.[方法点拨] 直接法对于计算型试题，多通过直接计算得出结果、解题时，直接从题设条件出发，利用有关性质和结论等，通过巧妙变形，简化计算过程，灵活运用有关运算规律和技巧合理转化、简捷灵活的求解．用直接法求解填空题，要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果．2．(文)(xx·新课标Ⅰ理，14)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．[答案] (x －32)2＋y 2＝254[解析] 考查椭圆的几何性质；圆的标准方程．∵圆心在x 轴的正半轴上，故设圆心为(a,0)，a >0，则半径为4－a ，∵此圆过椭圆的三个顶点A (0,2)，B (0，－2)，C (4,0)，∴(4－a )2＝a 2＋22，解得a ＝32或a ＝－32(舍去)，故圆的方程为(x －32)2＋y 2＝254.(理)(xx·中原名校联考)已知椭圆x 24＋y 23＝1，A 、C 分别是椭圆的上、下顶点，B 是左顶点，F 为左焦点，直线AB 与FC 相交于点D ，则∠BDF 的余弦值是________．[答案]714[解析] 由条件知A (0，3)，B (－2,0)，C (0，－3)，F (－1,0)，直线AB ：3x －2y ＋23＝0，CF ：3x ＋y ＋3＝0，∴D (－43，33)，DB →＝(－23，－33)，DF →＝(13，－33)，cos ∠BDF ＝DB →·DF →|DB →|·|DF →|＝714. 3．(文)设0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是________(填序号)．①a 1b 1＋a 2b 2 ②a 1a 2＋b 1b 2 ③a 1b 2＋a 2b 1 ④12[答案] ①[解析] 取a 1＝13，b 1＝14，则a 1b 1＋a 2b 2＝112＋12＝712>12，a 1a 2＋b 1b 2＝59144<12，a 1b 2＋a 2b 1＝512<12，故最大的是a 1b 1＋a 2b 2.(理)已知函数y ＝f (x )，对任意的两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，且f (0)≠0，则f (－xx)·f (－xx)·…·f (xx)·f (xx)的值是________．[答案] 1[解析] f (x )为抽象函数，只知满足条件f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)，且f (0)≠0，故可取满足此条件的特殊函数来求解．令f (x )＝2x ，则对任意的两个不相等的实数x 1，x 2，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)成立，f (0)＝20＝1，f (－xx)·f (xx)＝f (0)＝1，f (－xx)·f (xx)＝f (0)＝1，…，所以f (－xx)·f (－xx)·…·f (xx)·f (xx)＝1.[方法点拨] 特殊值法当填空题的已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的某个特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值法，但此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．试一试解答下题：如图，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q ，若AP →＝λAB →，AQ →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.[答案] 2[解析] 由题意可知，1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关，而当直线BC 与直线PQ重合时，有λ＝μ＝1，所以1λ＋1μ＝2.4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高相交于点H ，若OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)，则实数m ＝________.[答案] 1[解析] 如图在Rt △ABC 中，外接圆圆心O 为斜边AB 的中点，垂心H 即为C 点，由已知OH →＝m (OA →＋OB →＋OC →)＝mOC →，则m ＝1.5．(文)(xx·大纲理，15)直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线，若l 1与l 2的交点为(1,3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．[答案] 43[解析] 设l 1、l 2与⊙O 分别相切于B 、C ，则∠OAB ＝∠OAC ，|OA |＝10，圆半径为2，∴|AB |＝OA 2－OB 2＝22，∴tan ∠OAB ＝OB AB ＝12， ∴所夹角的正切值tan ∠CAB ＝2tan ∠OAB1－tan 2∠OAB ＝2×121－14＝43. (理)(xx·辽宁理，15)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A 、B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.[答案] 12 [解析] 如图．设MN 与椭圆的交点为D ，由中位线定理． |AN |＋|BN |＝2(|DF 1|＋|DF 2|) 由椭圆的定义知|DF 1|＋|DF 2|＝2a ＝6. ∴|AN |＋|BN |＝12. [方法点拨] 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．1．数形结合法适用于给出图形的问题，或容易作出图象的函数问题，或表达式具有明显几何意义的解析几何问题等．2．应用时要注意：①作图要尽量准确；②抓准图形与变量间的对应关系． 请练习下题：向量OB →＝(1,0)，OA →＝(3＋cos θ，1＋sin θ)，则OA →与OB →夹角的取值范围是________．[答案] [0，π3][解析] 依题意在坐标系中B (1,0)、A (3＋cos θ，1＋sin θ)，点A 在圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的圆周上运动，如图，当A 点为切点M 时，OA →与OB →的夹角取最大值，容易求得为π3；当A 点为切点N 时，夹角取最小值0，故取值范围是[0，π3]．6．不等式4－x 2－kx ＋1≤0的解集非空，则k 的取值范围为________． [答案] (－∞，－12]∪[12，＋∞)[解析] 由4－x 2－kx ＋1≤0，得4－x 2≤kx －1，设f (x )＝4－x 2，g (x )＝kx －1，显然函数f (x )和g (x )的定义域都为[－2,2]．令y ＝4－x 2，两边平方得x 2＋y 2＝4，故函数f (x )的图象是以原点O 为圆心，2为半径的圆在x 轴上及其上方的部分．而函数g (x )的图象是直线l ：y ＝kx －1在[－2,2]内的部分，该直线过点C (0，－1)，斜率为k .如图，作出函数f (x )，g (x )的图象，不等式的解集非空，即直线l 和半圆有公共点，可知k 的几何意义就是半圆上的点与点C (0，－1)连线的斜率．由图可知A (－2,0)，B (2,0)，故k AC ＝0－－1－2－0＝－12，k BC ＝0－－12－0＝12.要使直线和半圆有公共点，则k ≥12或k ≤－12.所以k 的取值范围为(－∞，－12]∪[12，＋∞)．7．(xx·商丘市二模)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac ＝b 2－a 2，A ＝π6，则B ＝________.[答案]π3[解析] 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2＋ac 2bc ＝a ＋c 2b ＝32，∴a ＋c ＝3b ，由正弦定理得：sin A ＋sin C ＝3sin B ，又C ＝5π6－B ，∴sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－B ＝3sin B ，即12＋12cos B ＋32sin B ＝3sin B ，即12cos B －32sin B ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－12，∴B ＋π3＝2π3，B ＝π3.8．a ＝ln 12012－12012，b ＝ln 12013－12013，c ＝ln 12014－12014，则a 、b 、c 的大小关系为________．[答案] a >b >c[解析] 令f (x )＝ln x －x ，则f ′(x )＝1x －1＝1－xx.当0<x <1时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0,1)上是增函数． ∵1>12012>12013>12014>0，∴a >b >c .[方法点拨] 构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察分析、联想类比的基础之上的．首先应观察已知条件形式上的特点，然后联想、类比已学过的知识及各种数学结论、数学模型，深刻地了解问题及问题的几何背景或代数背景，从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．常见的构造法有：构造函数(如用导数研究函数的性质中经常要构造函数)、构造方程、构造不等式、构造数列、立体几何中的补形构造等等．试一试解答下题：如图，已知球O 的球面上有四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．[答案] 6π[解析] 如图，以DA 、AB 、BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径，所以|CD |＝22＋22＋22＝2R ，所以R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π.9．(文)设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx的最大值为________．[答案] 3＋22[解析] 设y x＝k ，则可转化为直线kx －y ＝0与圆(x －3)2＋(y －3)2＝6有公共点时k 的取值范围，用代数法(Δ≥0)或几何法(d ≤r )解决．(理)已知P (x ，y )是椭圆x 216＋y 29＝1上的一个动点，则x ＋y 的最大值是________．[答案] 5[解析] 令x ＋y ＝t ，则问题转化为直线x ＋y ＝t 与椭圆有公共点时，t 的取值范围问题．由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 29＝1y ＝－x ＋t消去y 得，25x 2－32tx ＋16t 2－144＝0，∴Δ＝(－32t )2－100(16t 2－144)＝－576t 2＋14400≥0， ∴－5≤t ≤5，∴x ＋y 的最大值为5.10．(文)已知a 、b 是正实数，且满足ab ＝a ＋b ＋3，则a ＋b 的取值范围是________．[答案] [6，＋∞)[解析] ∵a 、b 是正实数且ab ＝a ＋b ＋3，故a 、b 可视为一元二次方程x 2－mx ＋m ＋3＝0的两个根，其中a ＋b ＝m ，ab ＝m ＋3，要使方程有两个正根，应有⎩⎨⎧Δ＝m 2－4m －12≥0，m >0，m ＋3>0.解得m ≥6，即a ＋b ≥6，故a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)．[点评] 还可以利用基本不等式将ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22代入条件式中，视a ＋b 为变量构造一元二次不等式解答．(理)已知x >0，比较x 与ln(1＋x )的大小，结果为________． [答案] x >ln(1＋x )[解析] 解法一：令x ＝1，则有1>ln2， ∴x >ln(1＋x )．解法二：令f (x )＝x －ln(x ＋1)． ∵x >0，f ′(x )＝1－11＋x ＝x1＋x >0，又因为函数f (x )在x ＝0处连续， ∴f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 从而当x >0时，f (x )＝x －ln(1＋x )>f (0)＝0.∴x >ln(1＋x )．解法三：在同一坐标系中画出函数y ＝x 与y ＝ln(1＋x )的图象，可见x >0时，x >ln(1＋x )．11．在三棱锥O －ABC 中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 的中点，则OM 与平面ABC 所成角的正切值为________．[答案]2[解析] 将此三棱锥补成正方体，如图所示．连接CM ，过点O 作ON ⊥CM 于N ，则ON ⊥平面ABC ．∴OM 与平面ABC 所成的角是∠OMC ．在Rt △OMC 中，tan ∠OMC ＝OCOM＝OC22OC ＝2，即OM 与平面ABC 所成角的正切值为 2.12．sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α的值等于________． [答案] 12[解析] 问此式的“值”等于多少？隐含此结果与α无关，于是不妨对α进行特殊化处理．不妨取α＝0°，则sin 2(α－30°)＋sin 2(α＋30°)－sin 2α＝14＋14－0＝12.13．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于________．[答案] 1[解析] 依题意，可取一个特殊的等差数列：13,11,9,7,5,3,1，－1，－3，其中a 5＝5，a 3＝9满足条件．可求得S 9＝S 5＝45，故S 9S 5＝1.[点评] 1.取特殊等差数列时，可依据a 5a 3＝59来取a 3＝9，a 5＝5.2．本题也可以直接用等差数列的性质求解：S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1.14．(文)函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x －x 2＋2x x >02x ＋1 x ≤0的零点个数为________个．[答案] 3[解析] 依题意，在x >0时可以画出y ＝ln x 与y ＝x 2－2x 的图象，可知两个函数的图象有两个交点，当x ≤0时，函数f (x )＝2x ＋1与x 轴只有一个交点，所以函数f (x )有3个零点．(理)已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为________．[答案]212[解析] a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[1＋2＋…＋(n －1)]＋33＝n 2－n ＋33.所以a n n ＝33n ＋n －1，设f (x )＝33x＋x －1(x >0)， 令f ′(x )＝－33x2＋1>0，则f (x )在(33，＋∞)上是单调递增的，在(0，33)上是单调递减的，因为n ∈N *，所以当n ＝5或6时f (x )有最小值．又因为a 55＝535，a 66＝636＝212， 所以a n n 的最小值为a 66＝212.[方法点拨] 填空题是高考题中的客观性试题，具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点．因而求解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题，大题的解答思路也可以照搬到填空题上．但由于填空题不用说明理由，不用书写解答过程，跨度大，覆盖面广，形式灵活，突出考查考生准确、严谨、全面灵活地运用所学知识和方法解决问题的能力和计算能力、识图读表能力、逻辑思维能力等．要想又快又准地答好填空题，除直接推理计算外，还要讲究一些解题策略．解答填空题要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——计算、变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不全；活——解题方法灵活，不生搬硬套；细——审题要细，注意细节和特殊情况，不要粗心大意．15．(文)若锐角α、β、γ满足cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1，则tanα·tanβ·tanγ的最小值为________．[答案]22[解析]借助已知条件可构造一个长方体AC1如图所示，使它的三边长度分别为a、b、c，且设相交于同一顶点的三棱与交于此顶点的对角线所成的角分别为α、β、γ则tanα·tanβ·tanγ＝b2＋c2a·c2＋a2b·a2＋b2c≥2bca·2cab·2abc＝2 2.[点评] 此题通过构造一个适合题设条件的长方体，将一个抽象的三角最值问题，转化为一个较易解决的代数不等式的问题．构造几何体利用几何体的直观数形结合，使问题变得容易解决．(理)空间一条直线l1与一个正四棱柱的各个面所成的角都为α，而另一条直线l2与这个正四棱柱的各条棱所成的角都为β，则sin2α＋sin2β＝________.[答案]1[解析]由正四棱柱的对称性知，若直线l1与各面成角都相等，则该直线一定经过或平行于四棱柱的一条体对角线，l2也一样，于是取对角线BD1研究，则α＝∠BD1B1，β＝∠BD1D，∴sin2α＋sin2β＝sin2α＋cos2α＝1.。