全国高考数学复习微专题：存在性问题
高考数学一轮复习突破双变量“存在性或任意性”问题
不必要条件.故选C.
13.已知p：｜x＋a｜＜2，q：x≥a，且p是q的充分不必要条件，则实数a的取值
范围是（
）
A.（－∞，－1]
B.（－∞，－1）
C.[1，＋∞）
D.（1，＋∞）
解析：A p：｜x＋a｜＜2，即p：－a－2＜x＜－a＋2，记为A＝{x｜－a－2＜x
＜－a＋2}.q：x≥a，记为B＝{x｜x≥a}.因为p是q的充分不必要条件，所以
.
解析：当x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝0，当x∈[1，2]时，g（x）max＝g
1
1
1
（1）＝ －m，由f（x）min≥g（x）max，得0≥ －m，所以m≥ .
2
2
2
1
2
答案： , + ∞
1.（2023·开封模拟）命题“∀x∈R，x＋｜x｜≥0”的否定为
A.∀x∈R，x＋｜x｜＜0
3
2−2,2−
2
，并且两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即2－2k＞
3
1
4
1或2－ k＜0，解得k＜ 或k＞ ，所以要使两个值域有公共部分，k的取值范围是
2
2
3
1 4
,
2 3
.
答案：
1 4
,
2 3
三、形如“对任意x1∈A，任意x2∈B，使f（x1）＞g（x2）成立”
【例3】 已知函数f（x）＝x2－2x＋3，g（x）＝log2x＋m，对任意的x1，
C.若2x为偶数，则x∈N
D.π是无理数
解析：B 对于A，∀x∈R，x2＋2x＋1＝（x＋1）2≥0，故A错误；对于B，含有
全称量词“任意”，是全称量词命题且是真命题，故B正确；对于C，当x＝－1
专题5.6存在性问题-2021年高考数学(理)备考之百强校大题狂练系列(解析版)
一、解答题1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且椭圆的短轴恰好是圆的一条直径.(1)求椭圆的方程(2)设分别是椭圆的左，右顶点，点是椭圆上不同于的任意点，是否存在直线，使直线交直线于点，且满足，若存在，求实数的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)【解析】【详解】(1)由题可知,.联立，故椭圆的方程为.(2)由题意知,,设，则直线的方程为.设存在直线满足条件,则当时，，所以.又点在椭圆上,所以，所以，【点睛】解决解析几何中探索性问题的方法存在性问题通常采用“肯定顺推法”．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．学科&网2．已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆上.（1）求椭圆的方程；【答案】(1) (2)不存在直线，使得【详解】（1）因为椭圆的左顶点在圆上，令，得，所以，又离心率为，所以，所以，所以，所以的方程为.（2）设点，，设直线的方程为，与椭圆方程联立得化简得到，因为为方程的一个根，所以，所以，所以.【点睛】对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果.3．设椭圆C：的左、右焦点分别为、，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足为线段的中点，且AB⊥。
（I）求椭圆C的离心率；（II）若过A、B、三点的圆与直线：相切，求椭圆C的方程；【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）。
【解析】分析：（Ⅰ）由题意可得在在直角三角形中有，即，整理可得．（Ⅱ）由题意可得过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(-c，0)，半径r==2c，根据直线与圆相切可得，解得c=1，从而，，可得椭圆的方程．（Ⅲ）由条件可设直线MN的方程为，与椭圆方程联立消元后得到一元二次方程，结合根据系数的关系可得MN的中点Q的坐标为，若以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，则，由此得到，整理得，最后可求得．（II）过A、B、F2三点的圆的圆心为F1(-c，0)，半径r==2c．∵直线：相切，∴，解得c=1．又，∴，∴．∴椭圆C的方程为．（III）由(I)知，F2(1，0)，直线MN的方程为，由消去y整理得∵直线与椭圆C交于M，N两点，∴．设M(，)，N(，)，点睛：（1）存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点或参数)存在，并用待定系数法设出，根据题意列出关于待定系数的方程（方程组），若方程（组）有实数解，则元素(点或参数)存在；否则元素(点或参数)不存在．（2）解析几何中求范围或最值时，首先建立关于某一参数为为变量的目标函数，再根据函数的特征求出范围或最值．4．已知抛物线，过直线：上任一点向抛物线引两条切线（切点为，且点在轴上方）．（1）求证：直线过定点，并求出该定点；（2）抛物线上是否存在点，使得．【答案】(1)证明见解析.(2)当或时，抛物线上存在点B；当时，抛物线上不存在点B．【解析】【分析】(1)先求得直线直线：，再证明直线过定点.(2) 设：，联立直线和抛物线的方程得到，代入得或，即得，所以当或时，抛物线上存在点B；当时，抛物线上不存在点B．（2）因为直线过定点，故设：，由得，所以．设，因为，所以，所以，即，，，．又，所以，所以，所以或．因为点B不在直线ST上，所以．因为，所以当或时，抛物线上存在点B；当时，抛物线上不存在点B．【点睛】（1）本题主要考查直线的定点问题，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2)解答本题的关键是由得到.学科&网5．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上， ABF ∆是边长为4的等边三角形. （1）求p 的值；【答案】（1）2；（2）()2,0N .试题解析：（1）由题知， AF AB =，则AB l ⊥.设准线l 与x 轴交于点D ，则//AB DF .又ABF 是边长为4的等边三角形， 60ABF ︒∠=，所以60BFD ︒∠=， 1cos 422DF BF BFD =⋅∠=⨯=，即2p =.（2）设点(),0N t ，由题意知直线l '的斜率不为零， 设直线l '的方程为x my t =+，点()11,Q x y ， ()22,R x y ，6．已知抛物线()2:20E y px p =>的顶点在坐标原点O ，过抛物线E 的焦点F 的直线l 与该抛物线交于,M N 两点， MON ∆面积的最小值为2．（1）求抛物线E 的标准方程；（2）试问是否存在定点D ，过点D 的直线n 与抛物线E 交于B C 、两点，当,,A B C 三点不共线时，使得以BC 为直径的圆必过点,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭．若存在，求出所有符合条件的点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) 24y x = ；（2）()5,2D -.【解析】试题分析：（1）第（1）问，通过利用函数的思想研究MON ∆面积的最小值得到关于P 方程，解方程即可. (2)第（2）问，根据以BC 为直径的圆必过点,2p A p ⎛⎫⎪⎝⎭得到AB AC ⋅=0， 化简得到m 和k 的关系，看是否满足题意. 试题解析：（1）设直线的方程为2px my =+，设()()1122,,,M x y N x y ， 联立222{ 2022px my y pmy p y px=+∴--==MON ∆面积的最小即12y y -最小， ()2222212121244421y y y y y y p m p p m -=+-=+=+所以当m=0时， 12y y -最小为2p,△MON 面积的最小， 所以21222422pp p y x =⨯⨯∴=∴=点睛：本题的难点在于定点问题的处理，关于直线的定点问题，一般先求出直线的方程，再把变量的关系代入分离参数，求出直线经过的定点.关键是根据已知条件找到变量的关系.。
高考数学《数列中的存在性问题》
高考数学 数列中的存在性问题
解析：(1) 令 n＝1，则 a1＝S1＝1a12－a1＝0. (2) 由 Sn＝nan2－a1，即 Sn＝n2an， ① 得 Sn＋1＝n＋12an＋1. ② ②－①，得(n－1)an＋1＝nan. ③ 于是 nan＋2＝(n＋1)an＋1. ④
高考数学 数列中的存在性问题
高考数学 数列中的存在性问题
例 3 已知数列{an}的奇数项是首项为 1 的等差数列，偶数项是首项为 2 的等比数 列，数列{an}的前 n 项和为 Sn，且满足 S3＝a4，a5＝a2＋a3. (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 若 amam＋1＝am＋2，求正整数 m 的值； (3) 是否存在正整数 m，使得SS2m2m－1恰好为数列{an}中的一项？若存在，求出所有满 足条件的 m 的值；若不存在，请说明理由．
高考数学 数列中的存在性问题
解析：(1) 由条件知 a1＝3. 当 n≥2 时，由 a1＋aλ2＋aλ23＋…＋λan－n1＝n2＋2n， ① 得 a1＋aλ2＋aλ23＋…＋aλnn－－21＝(n－1)2＋2(n－1)． ② ①－②得λan－n1＝2n＋1，所以 an＝(2n＋1)λn－1(n≥2)． 因为 a1＝3，所以 an＝(2n＋1)λn－1(n∈N*)．
高考数学 数列中的存在性问题
不合题意． 综上可知 m＝2. (3) 因为 S2m＝(a1＋a3＋…＋a2m－1)＋(a2＋a4＋…＋a2m) ＝m1＋22m－1＋211－－33m＝3m＋m2－1. S2m－1＝S2m－a2m＝3m＋m2－1－2·3m－1＝3m－1＋m2－1. 所以SS2m2m－1＝33mm－＋1＋mm2－2－11＝3－3m2－1m＋2－m21－ 1≤3.
高考数学 数列中的存在性问题
高考数学复习点拨：存在性问题例析
存在性问题例析山东 刘乃东例1 已知(12)=，a ，(32)b =-，，是否存在实数k ，使得k +a b 与3a b -共线且方向相反？分析:利用共线和方向相反的条件,运用坐标运算解答．解:若存在题设的实数k ，则k +a b =k (12)(32)(322)+-=-+，，，k k ． 3a b -(12)3(32)(104)=--=-，，，．若这两个向量共线，则必有(3)(4)(22)100k k -⨯--+⨯=,解得13k =-． 这时k +a b 10433⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，而k +a b 13=-（3a b -)． 即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k 存在．评注：该题是开放型问题，解答方式是从假设存在k 入手，根据题设其他条件，分析问题是否能成立．若成立，则可找到其值，若不成立，则会得出矛盾结果．可见，该题除考查了向量的坐标运算外，还考查了思维能力．例２已知点(00)(12)(45)O A B ，，，，，，且(R)=+∈OP OA t AB t ，求： (1）t 为何值时，点P 到x 轴上？点P 在二、四象限的角平分线上?（2)四边形OABP 能否成为平行四边形?若能，求出相应的t 值；若不能,请说明理由．分析：（1)对向量OP 的坐标表示()x y ，，只需分别要求0y y x ==-，即可；（2)属于存在性问题，我们可以假设其存在，若能求出相应的t 值，就能成为平行四边形；若t 值无解，则不能成为平行四边形． 解：（1)(1323)OP OA t AB t t =+=++，．若P 在x 轴上,只需230t +=，23t ∴=-; 若P 在第二、四象限的角平分线上，则13(23)t t +=-+,12t ∴=-． （2）(12)(3333)OA PB t t ==--，，，，若OABP 为平行四边形，则OA PB =， 331332t t -=⎧∴⎨-=⎩，，无解．故四边形OABP 不能成为平行四边形．评注：从该例可以看出，坐标表示的向量运算给我们带来很大的方便，其特点是简捷明了，有章可循．。
微专题43 单变量的不等式恒成立与存在性问题
(2018· 镇江期末)已知函数 f (x)＝x －kx＋4 对任意的 x∈[1,3]， 不等 式 f (x)≥0 恒成立，则实数 k 的最大值为
2
4
.
x2＋4 解析： 因为不等式 f (x)≥0 对任意的 x∈[1,3]恒成立， 所以 k≤ x ， x2＋4 4 因为 x ＝x＋x ≥2 4 x· ＝ 4 ，当且仅当 x ＝ 2 时取等号，所以 k ≤ 4. x
1＋ 答案：－∞，－ 2 5 1 ＋ 5 ∪ ，＋∞ 2
2
f (－1)≥0 1＋ 5 解析： 设 f (a)＝(－x)a＋x －1， ， 所以 x≥ 2 或 x≤ f (1)≥0
2 1＋ 5 1 ＋ 5 1 ＋ 5 － 2 ，即实数 x 的取值范围为－∞，－ ，＋∞. ∪ 2 2
3 1 1 取 x0＝e－b，则 0<x0<1.此时 g(x0)＝x0－2sinx0＋blnx0＋1<1＋2＋ 3 1 blne－b＋1＝－2<0.所以存在 x0>0，使 g(x0)<0. 8分
x2 ②依题意， 不妨设 0<x1<x2， 令x ＝ t ， 则 t>1.由(1)知函数 y＝x－sinx 1 单调递增，所以 x2－sinx2>x1－sinx1. 10 分
答案：(0，＋∞)．
1 解法 1 设 f (x)＝x －x＋a，则其对称轴 x＝2，递增，∴f
(0)>0，∴a>0，即实数 a 的取值范围
为[0，＋∞)． 1 解法 2－a<x －x0<x≤2，所以(x2－x)max<0，所以－a<0 所以 a>0，
答案：(1)0<a≤1；(2)略．
专题08 巧辨“任意性问题”与“存在性问题(解析版)
2020高考数学压轴题命题区间探究与突破专题第一篇 函数与导数专题08 巧辨“任意性问题”与“存在性问题”一．方法综述含有参数的方程(或不等式)中的“任意性”与“存在性”问题,历来是高考考查的一个热点，也是高考复习中的一个难点．破解的关键在于将它们等价转化为熟悉的基本初等函数的最值或值域问题，而正确区分“任意性”与“存在性”问题也是解题的关键．本专题举例说明辨别“任意性问题”与“存在性问题”的方法、技巧.二．解题策略类型一 “∀x ，使得f(x)>g(x)”与“∃x ，使得f(x)>g(x)”的辨析(1)∀x ，使得f (x )>g (x )，只需h (x )min ＝[f (x )－g (x )]min >0.如图①.(2)∃x ，使得f (x )>g (x )，只需h (x )max ＝[f (x )－g (x )]max >0.如图②. 【例1】【2020·河南濮阳一中期末】已知函数1()ln (0),()a f x a x a g x x x x=-≠=--. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）当0a >时，若存在0[1,]x e ∈，使得()()00f x g x <成立，求实数a 的取值范围.【解析】（I ）()f x 的定义域为'221(0,),().a a x f x a x x x ++∞=--=- 所以，当0a >时，()'0f x <，()f x 在(0,)+∞上递减；当0a <时，()'0fx >，所以，()f x 在(0,)+∞上递增.（II ）在[]1e ，上存在一点0x 使00()()f xg x <成立， 即函数1()ln a h x a x x x x=-++在[]1,e 上的最小值小于0, ()'222(1)1+1()1x x a a a h x x x x x+-⎡⎤⎣⎦=--+-=.①当1+a e ≥，即1a e ≥-时，()h x 在[]1,e 上单调递减， 所以()h x 在[]1,e 上的最小值为()h e ，由()10ah e e a e+=+-<， 得222111,1,111e e e a e a e e e +++>>-∴>---Q ； ②当11a +≤，即0a ≤时，0a >Q ，不合乎题意；③当11a e <+<，即01a e <<-时，()h x 的最小值为()1h a +，0ln(1)1,0ln(1),a a a a <+<∴<+<Q 故(1)2ln(1)2h a a a a +=+-+>. 此时(1)0h a +<不成立.综上所述，a 的取值范围是211e a >e +-. 【指点迷津】(1)这是较为常见的一类恒成立问题，运用数形结合的思想可知，当x 0≥0时，总有f (x 0)≥g (x 0)，即f (x 0)－g (x 0)≥0(注意不是f (x )min ≥g (x )max )，可以转化为当x ≥0时，h (x )＝f (x )－g (x )≥0恒成立问题．(2)存在x ≥0，使得f (x )≥g (x )，即至少有一个x 0≥0，满足f (x 0)－g (x 0)不是负数，可以转化为当x ≥0时，h (x )＝f (x )－g (x )的函数值至少有一个是非负数． 【举一反三】【2020·江西瑞金一中期中】已知函数()()ln f x x x a b =++，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为210x y --=.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的()1,x ∈+∞，()()1f x m x ≥-恒成立，求正整数m 的最大值. 【解析】（1）由()()ln f x x x a b =++得：()ln 1f x x a '=++ 由切线方程可知：()1211f =-=()112f a '∴=+=，()11f a b =+=，解得：1a =，0b =（2）由（1）知()()ln 1f x x x =+则()1,x ∈+∞时，()()1f x m x ≥-恒成立等价于()1,x ∈+∞时，()ln 11x x m x +≤-恒成立令()()ln 11x x g x x +=-，1x >，则()()2ln 21x x g x x --'=-. 令()ln 2h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=∴当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增()31ln30h =-<Q ，()422ln 20h =-> ()03,4x ∴∃∈，使得()00h x =当()01,x x ∈时，()0g x '<；()0,x x ∈+∞时，()0g x '>()()()000min0ln 11x x g x g x x +∴==-()000ln 20h x x x =--=Q 00ln 2x x ∴=- ()()()()0000min 0213,41x x g x g x x x -+∴===∈-()03,4m x ∴≤∈，即正整数m 的最大值为3类型二 “若1122x D x D ∃∈∃∈，，，使得()()12f x g x ＝”与“1122x D x D ∀∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝”的辨析(1) 1122x D x D ∃∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数f (x )在D 1上的值域A 与g (x )在D 2上的值域B 的交集不是空集，即A ∩B ≠∅，如图③.其等价转化的目标是两个函数有相等的函数值．(2) 1122x D x D ∀∈∃∈，，使得()()12f x g x ＝等价于函数f (x )在D 1上的值域A 是g (x )在D 2上的值域B 的子集，即A ⊆B ，如图④.其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的值域都在函数y ＝g (x )的值域之中． 说明：图③，图④中的条形图表示函数在相应定义域上的值域在y 轴上的投影． 【例2】【2020河北衡水中月考】已知函数()()()11ln 1f x a x x =---+，()1xg x xe -=.（1）求()g x 在区间(]0,e 上的值域；（2）是否存在实数a ，对任意给定的(]00,x e ∈，在[]1,e 存在两个不同的()1,2i x i =使得()()0i f x g x =，若存在，求出a 的范围，若不存在，说出理由. 【解析】（1）()()1'1xg x x e-=-，()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增，(]1,x e ∈时，()'0g x <，()g x 单调递减，()00g =，()11g =，()10e g e e e -=⨯>，∴()g x 在(]0,e 上值域为(]0,1. （2）由已知得1()1f x a x='--，且[]1,x e ∈， 当0a ≤时，()'0f x ≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意． 当11a e≥-时，()'0f x ≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，不合题意． 当101a e <<-时，()0f x '=得011x a=-．当1(1,)1x a∈-时()'0f x <，()f x 单调递减， 当1()1x e a ，∈-时，()'0f x >，()f x 单调递增，∴()min 11f x f a ⎛⎫= ⎪-⎝⎭.由（1）知()g x 在(]0,e 上值域为(]0,1，而()11f =，所以对任意(]00,x e ∈，在区间[]1,e 上总有两个不同的()1,2i x i =，使得()()0i f x g x =.当且仅当()1101fe f a ⎧≥⎪⎨⎛⎫≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩，即()()()()()1111ln 1102a e a a ⎧--≥⎪⎨+-+≤⎪⎩， 由（1）得111a e ≤--. 设()()ln 11h a a a =+-+，10,1a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()1'111a h a a a =-=--， 当10,1a e ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()'0h a <，()h a 单调递减，∴()11110h a h e e⎛⎫>-=-> ⎪⎝⎭. ∴()0h a ≤无解.综上，满足条件的a 不存在. 【指点迷津】本例第(2)问等价转化的基本思想是：函数g (x )的任意一个函数值都与函数f (x )的某两个函数值相等，即f (x )的值域都在g (x )的值域中． 【举一反三】【2020·河南南阳一中期中】已知函数1()ln 1f x x x=+-, 32()324g x x a x a =--+, []0,1x ∈,其中0a ≥.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意[]11,x e ∈,总存在[]20,1x ∈,使得()()12f x g x =成立,求a 的取值范围. 【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞,22111()x f x x x x-'=-+=, 令()0f x '>,解得1x >,令()0f x '<,解得01x <<,∴函数()f x 的减区间为(0,1),增区间为(1,)+∞;（2）依题意,函数()f x 在[]1,e 上的值域包含于函数g x （）在[]0,1上的值域,由（1）可知,函数()f x 在[]1,e 上单调递增,故值域为10,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,由32()324g x x a x a =--+得22()333()()g x x a x a x a '=-=+-, ①当0a =时,()0g x '≥恒成立,故函数g()x 在[]0,1上单调递增,此时值域为[]224,3254,5a a a ⎡⎤-+--+=⎣⎦,故0a =不符合题意;②Q 当0a >时,()0g x '>的解集为(,)a +∞,()0g x '<的解集为(0,)a ,∴ 故函数()g x 在(0,)a 上单调递减,在(,)a +∞上单调递增,且2(0)42,(1)325g a g a a =-=--+,()i 当01a <<时,函数g()x 在(0,)a 上单调递减,在(,1)a 上单调递增,此时值域为{}32224,42,325a a max a a a ⎡⎤--+---+⎣⎦,则此时需要32240a a --+≤,即320a a +-≥,当01a <<时,320a a +-≥不可能成立,故01a <<不符合题意; ()ii 当1a ≥时,()0g x '≤在[]0,1上恒成立,则函数g()x 在[]0,1上单调递减,此时值域为2325,42a a a ⎡⎤--+-⎣⎦,则23250142a a a e ⎧--+≤⎪⎨-≥⎪⎩,解得1122a e ≤≤-; 综上所述,实数a 的取值范围为11,22e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 类型三 f (x )，g (x )是闭区间D 上的连续函数，“∀x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)”与“∃x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)”的辨析(1)f (x )，g (x )是在闭区间D 上的连续函数且∀x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)，等价于f (x )min >g (x )max .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值均大于函数y ＝g (x )的任意一个函数值．如图⑤.(2)存在x 1，x 2∈D ，使得f (x 1)>g (x 2)，等价于f (x )max >g (x )min .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的某一个函数值大于函数y ＝g (x )的某些函数值．如图⑥.【例3】【2020·甘肃天水一中月考】已知函数(1)(1ln )()3x x f x m x++=-，()ln g x mx x =-+(R)m ∈.(1)求函数()g x 的单调区间与极值.(2)当0m >时，是否存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.【解析】（1）1()(0)g x m x x =-+>'， 当0m ≤时，1()0g x m x=-+>'恒成立，即函数()g x 的单调增区间为∞（0，+），无单调减区间，所以不存在极值．当0m >时，令1()0g x m x =-+='，得1x m =,当10x m <<时，()0g x '>，当1x m>时，()0g x '<，故函数()g x 的单调增区间为10m （，），单调减区间为1m+∞（，），此时函数()g x 在1x m =处取得极大值，极大值为111()ln 1ln g m m m m m=-⨯+=--，无极小值．综上，当0m ≤时，函数()g x 的单调增区间为()0+∞，，无单调减区间，不存在极值．当0m >时，函数()g x 的单调增区间为10m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调减区间为1m ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，，极大值为1ln m --，无极小值 （2）当0m >时，假设存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立，则对[]1,2x ∈，满足max min ()()f x g x > 由(1)(1ln )()3x x f x m x++=-[]1,2x ∈（）可得，221(1ln 1)(1)(1ln )ln ()x x x x x x x f x x x +++-++-=='. 令[]()ln 1,2h x x x x =-∈（），则1()10h x x'=-≥，所以()h x 在[]1,2上单调递增，所以()(1)1h x h ≥=，所以()0f x '>，所以()f x 在[]1,2上单调递增，所以max (21)(1ln 2)3(1ln 2)()(2)3322f x f m m +++==-=-由（1）可知，①当101m<≤时，即m 1≥时，函数()g x 在[]1,2上单调递减，所以()g x 的最小值是(2)2ln 2g m =-+．②当12m ≥，即102m <≤时，函数()g x 在[]1,2上单调递增， 所以()g x 的最小值是(1)g m =-．③当112m <<时，即112m <<时，函数()g x 在11,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.又(2)(1)ln 22ln 2g g m m m -=-+=-，所以当1ln 22m <<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(1)g m =-.当ln 21m ≤<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(2)ln 22g m =-所以当0ln 2m <<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(1)g m =-，故3(1ln 2)32m m +->-， 解得3(1ln 2)4m +>,所以ln 20m >>． 当ln 2m ≤时，函数()g x 在[]1,2上的最小值是(2)ln 22g m =-，故3(1ln 2)3ln 222m m +->-， 解得3ln 22m +>，所以3ln 2ln 22m +≤<.故实数m 的取值范围是3ln 20,2+⎛⎫⎪⎝⎭【指点迷津】1.本例第(2)问从形的角度看，问题的本质就是函数f (x )图象的最低点低于g (x )图象的最高点．2.题设中，使得成立可转化为，进而求出参数.【举一反三】【2020·四川石室中学月考】已知函数()22ln f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值； （2）若函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点． ①求实数a 的值；②若对于121,,3x x e ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦（e 为自然对数的底数），不等式()()1211f xg x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）22(1)(1)()2(0)x x f x x x x x+-'=-+=->， 由()0{0f x x >>'得01x <<，由()0{0f x x <>'得1x >，∴()f x 在(0,1)上为增函数，在(1,)+∞上为减函数， ∴函数()f x 的最大值为(1)1f =-； （2）∵()a g x x x=+，∴2()1a g x x =-'，（Ⅰ）由（1）知，1x =是函数()f x 的极值点，又∵函数()f x 与()ag x x x=+有相同极值点， ∴1x =是函数()g x 的极值点，∴(1)10g a =-='，解得1a =， 经检验，当1a =时，函数()g x 取到极小值，符合题意；（ⅱ）∵211()2f ee =--，(1)1f =-，(3)92ln 3f =-+， ∵2192ln 321e -+<--<-， 即1(3)()(1)f f f e <<，∴1[,3]x e∀∈，min max ()(3)92ln 3,()(1)1f x f f x f ==-+==-，由（ⅰ）知1()g x x x =+，∴21()1g x x =-'，当1[,1)x e∈时，()0g x '<，当(1,3]x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1[,1)e 为减函数，在(1,3]上为增函数，∵11110(),(1)2,(3)333g e g g e e =+==+=，而11023e e <+<，∴1(1)()(3)g g g e <<，∴1[,3]x e ∀∈，min max 10()(1)2,()(3)3g x g g x g ====，①当10k ->，即1k >时，对于121,[,3]x x e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-恒成立 12max 1[()()]k f x g x ⇔-≥-12max [()()]1k f x g x ⇔≥-+，∵12()()(1)(1)123f x g x f g -≤-=--=-，∴312k ≥-+=-，又∵1k >，∴1k >， ②当10k -<，即1k <时，对于121,[,]x x e e ∀∈，不等式12()()11f xg x k -≤-，12min 1[()()]k f x g x ⇔-≤-12min [()()]1k f x g x ⇔≤-+，∵121037()()(3)(3)92ln 32ln 333f x g x f g -≥-=-+-=-+，∴342ln 33k ≤-+，又∵1k <， ∴342ln 33k ≤-+．综上，所求的实数k 的取值范围为34(,2ln 3](1,)3-∞-+⋃+∞． 类型四 “∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)>g (x 2)”与“∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)<g (x 2)”的辨析(1)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)>g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最小值大于g (x )在D 2上的最小值，即f (x )min >g (x )min (这里假设f (x )min ，g (x )min 存在)．其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值大于函数y ＝g (x )的某一个函数值．如图⑦.(2)∀x 1∈D 1，∃x 2∈D 2，使f (x 1)<g (x 2)，等价于函数f (x )在D 1上的最大值小于g (x )在D 2上的最大值，即f (x )max <g (x )max .其等价转化的目标是函数y ＝f (x )的任意一个函数值小于函数y ＝g (x )的某一个函数值．如图⑧. 【例4】【2020·江西抚州二中期末】已知函数()42ln af x a x x x-=-++. （1）当4a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()26xg x e mx =+-，当22a e =+时，对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2122f x e g x +≥，求实数m 的取值范围.【解析】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，224()1a a f x x x -'=-++2(2)[(2)]x x a x---=， 由()0f x '=，得2x =或2=-x a .当4a >即22a ->时，由()0f x '<得22x a <<-， 由()0f x '>得02x <<或2x a >-；当4a =即22a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当4a >时，单调减区间是(2,2)a -，单调增区间是(0,2)，(2,)a -+∞；当4a =时，单调增区间是()0,∞+，没有单调减区间.（2）当22a e =+时，由（1）知()f x 在()22,e 上单调递减，在()2,e +∞上单调递增，从而()f x 在[)2,+∞上的最小值为22()6f e e =--.对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21x ∈+∞,，使()g x 的值不超过()22e f x +在区间[)2,+∞上的最小值26e -.由2266xe e mx ≥+--，22e e xm x-∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()22222()x x e x e xh x e x ---'=Q ()232x x e xe e x+-=-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22xxe xe e +-20xx xee >-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减，从而2max ()(1)h x h e e ==-，从而2m e e ≤-. 【指点迷津】“对任意x 1∈(0,2)，总存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)”等价于“f (x )在(0,2)上的最小值大于或等于g (x )在[1,2]上的最小值”． 【举一反三】【2020重庆西南大学附中月考】已知函数()()()11ln x x f x x++=，()()ln g x x mx m R =-∈ .（1）求函数()g x 的单调区间；（2）当0m >时，对任意的[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()123f x m g x ->成立，试确定实数m 的取值范围.【解析】（1）由()()ln 0g x x mx x =->，得()'1g x m x=-.当0m ≤时，()'0g x >，所以()g x 的单调递增区间是()0,∞+，没有减区间.当0m >时，由()'0g x >，解得10x m <<；由()'0g x <，解得1x m>，所以()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当0m ≤时，()g x 的单调递增区间是()0,∞+，无递减区间；当0m >时，()g x 的单调递增区间是10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间是1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当0m >时，对任意[]11,2x ∈，存在[]21,2x ∈，使得()()123f x m g x ->成立，只需()()min min 3f x m g x ->成立.由()()()11ln ln 1ln 1x x x f x x xxx++==+++，得()'2221ln 11ln x x xf x x xx x--=+-=.令()()ln 0h x x x x =->，则()'1x h x x-=.所以当()0,1x ∈时，()'0h x <，当()1,x ∈+∞时，()'0h x >.所以()h x 在()0,1上递减，在()1,+∞上递增，且()11h =，所以()()()min 110h x h x h ≥==>.所以()'0f x >，即()f x 在()0,∞+上递增，所以()f x 在[]1,2上递增，所以()()min 12f x f ==.由（1）知，当0m >时，()g x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递减，①当101m<≤即m 1≥时，()g x 在[]1,2上递减，()()min 2ln22g x g m ==-； ②当112m <<即112m <<时，()g x 在11,m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上递增，在1,2m ⎛⎤⎥⎝⎦上递减，()()(){}min min 1,2g x g g =，由()()()21ln22ln2g g m m m -=---=-， 当1ln22m <≤时，()()21g g ≥，此时()()min 1g x g m ==-， 当ln21m <<时，()()21g g <，此时()()min 2ln22g x g m ==-， ③当12m ≥即102m <≤时，()g x 在[]1,2上递增，()()min 1g x g m ==-， 所以当0ln2m <≤时，()()min 1g x g m ==-， 由0ln223m m m<≤⎧⎨->-⎩，得0ln2.m <≤当ln2m >时，()()min 2ln22g x g m ==-，由ln223ln22m m m>⎧⎨->-⎩，得 ln22ln2m <<-．∴ 02ln2m <<-．综上，所求实数m 的取值范围是()0,2ln2-．三．强化训练1．【2020·江西萍乡一中期中】已知函数ln ()xx af x e+=. （1）当1a =时，求()f x 的极值； （2）设()xg x xe a -=-，对任意12,(0,)x x ∈+∞都有()()11112xx e f x ax g x ->成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，ln 1()xx f x e+=，所以函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以1ln ()xx x xf x xe--'=，且0x xe >， 令()1ln h x x x x =--，所以当01x <<时，10,ln 0x x x -><， 所以()1ln 0h x x x x =-->. 又()2ln h x x '=--，所以当1x >时，()2ln 0h x x '=--<，所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，故()(1)0h x h <=. 同理当01x <<时，()0f x '>； 当1x >时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)是单调递增，在(1,)+∞单调递减， 所以当1x =时，()f x 的极大值为1(1)f e=，无极小值. （2）令()()xm x xe f x ax =-，因为对任意12,(0,)x x ∈+∞都有()()11112xx e f x ax g x ->成立，所以()()12min max m x g x >.因为()()ln xm x xe f x ax x x =-=， 所以()1ln m x x '=+.令()0m x '>，即1ln 0x +>，解得1x e>； 令()0m x '<，即1ln 0x +<，解得10x e<<.所以()m x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增， 所以min 11()m x m e e⎛⎫==- ⎪⎝⎭. 因为()xg x xea -=-，所以()(1)xg x x e -'=-，当0x >时0x e ->，令()0g x '>，即10x ->，解得01x <<；令()0g x '<，即10x -<，解得1x >. 所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以max 1()(1)g x g a e==-， 所以11a e e->-， 所以2a e >，即实数a 的取值范围为2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 2．【2020·河北邯郸期末】已知函数()f x 满足:①定义为R ；②2()2()9xxf x f x e e +-=+-. （1）求()f x 的解析式；（2）若12,[1,1]x x ∀∈-；均有()()21122(2)61x a x x f x -+-+-…成立，求a 的取值范围；（3）设2(),(0)()21,(0)f x xg x x x x >⎧=⎨--+≤⎩，试求方程[()]10g g x -=的解. 【解析】（1）2()2()9xx f x f x e e+-=+-Q ,…① 所以2()2()9xx f x f x ee ---+=+-即1()2()29xx f x f x e e-+=+-…② 由①②联立解得:()3xf x e =-.（2）设2()(2)6x x a x ϕ=-+-+,()()()1333x x x F x x e e xe x =--=+--,依题意知:当11x -≤≤时,min max ()()x F x ϕ≥()()33x x x x F x e e xe xe '+=-+=-+Q又()(1)0xF x x e ''=-+<Q 在(1,1)-上恒成立, 所以()F x '在[1,1]-上单调递减()(1)30min F x F e ∴'='=-> ()F x ∴在[1,1]-上单调递增,max ()(1)0F x F ∴==(1)70(1)30a a ϕϕ-=-≥⎧∴⎨=+≥⎩,解得:37a -≤≤实数a 的取值范围为[3,7]-. （3）()g x 的图象如图所示：令()T g x =,则()1g T =1232,0,ln 4T T T ∴=-==当()2g x =-时有1个解3-,当()0g x =时有2个解：(12)-、ln3,当()ln 4g x =时有3个解:ln(3ln 4)+、12(1ln 2)--. 故方程[()]10g g x -=的解分别为：3-,(12)-、ln3,ln(3ln 4)+、12(1ln 2)--3．【2020·天津滨海新区期末】已知函数()2ln h x ax x =-+.（1）当1a =时，求()h x 在()()2,2h 处的切线方程； （2）令()()22a f x x h x =+，已知函数()f x 有两个极值点12,x x ，且1212x x >，求实数a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在0122x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对任意a （取值范围内的值）恒成立，求实数m 的取值范围. 【解析】()1当1a =时，()()12ln ,'2h x x x h x x=-+=-+2x =时，()()3'2,24ln 22h h =-=-+()h x ∴在()()2,2h 处的切线方程为()34ln 222y x +-=-- 化简得：322ln 220x y +-+=()2对函数求导可得，()()221'0ax ax f x x x-+=>令()'0f x =，可得2210ax ax -+=20440112a a a a ⎧⎪≠⎪∴->⎨⎪⎪>⎩，解得a 的取值范围为()1,2 ()3由2210ax ax -+=，解得121,1x x a a=-=+而()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x +∞上递增12a <<Q2112x a ∴=+<+()f x ∴在122⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增 ∴在12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，()()max 22ln 2f x f a ==-+012x ⎡⎤∴∃∈+⎢⎥⎣⎦，使不等式()()()()20ln 1112ln 2f x a m a a ++>--++对a M ∀∈恒成立等价于不等式2(2ln 2ln 1112))()n (l 2a a m a a -+++>--++恒成立 即不等式2()ln 1ln 210a ma a m +--+-+>对任意的()12a a <<恒成立令()()2ln 1ln 21g a a ma a m =+--+-+，则()()121210,'1ma a m g g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭==+ ①当0m ≥时，()()'0,g a g a <在()1,2上递减()()10g a g <=不合题意②当0m <时，()1212'1ma a m g a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭=+ 12a <<Q若1112m ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，即104m -<<时，则()g a 在()1,2上先递减 ()10g =Q12a ∴<<时，()0g a >不能恒成立若111,2m ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即14m ≤-，则()g a 在()1,2上单调递增 ()()10g a g ∴>=恒成立m ∴的取值范围为1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦4．【2020·全国高三专题练习】已知函数()321(1)32a x x ax f x +=-+.（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）对于任意1x ，2[02]x ∈,，都有122()()3f x f x -≤，求实数a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）当1a =时，因为()3213x x x f x =-+所以()221x x f x =-+'，(0)1f '=.又因为(0)0f =，所以曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为y x =. （Ⅱ）因为()321(1)32a x x ax f x +=-+，所以2()(1)0f x x a x a '=-++=. 令()0f x '=，解得x a =或1x =. 若1a >，当()0f x '>即1x <或x a >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),1,,a -∞+∞；当()0f x '<即1x a <<时，故函数()f x 的单调递减区间为()1,a . 若1a =，则22()21(1)0f x x x x '=-+=-≥，当且仅当1x =时取等号，故函数()f x 在(),-∞+∞上是增函数. 若1a <，当()0f x '>即x a <或1x >时， 故函数()f x 的单调递增区间为()(),,1,a -∞+∞；当()0f x '<即1<<a x 时，故函数()f x 的单调递减区间为(),1a .综上，1a >时，函数()f x 单调递增区间为(1)()a -∞∞,,,+，单调递减区间为(1,)a ； 1a =时，函数()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；1a <时，函数()f x 单调递增区间为()(1)a -∞∞,,,+，单调递减区间为(,1)a .（Ⅲ） 由题设，只要()()max min 23f x f x -≤即可. 令2()(1)0f x x a x a '=-++=，解得x a =或1x =.当0a ≤时，随x 变化，(),()f x f x ' 变化情况如下表：由表可知(0)0(1)f f =>，此时2(2)(1)3f f ->，不符合题意.当01a <<时，随x 变化，()()'f x f x , 变化情况如下表：由表可得3211112(0)0()(1)(2)62263f f a a a f a f ==-+=-=,,,，且(0)()f f a <，(1)(2)f f <，因()()2203f f -=，所以只需()(2)(1)(0)f a f f f ≤⎧⎨≥⎩，即3211262311026a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩ ，解得113a ≤<. 当1a =时，由（Ⅱ）知()f x 在[]0,2为增函数， 此时()()()()max min 2203f x f x f f -=-=，符合题意. 当12a <<时，同理只需(1)(2)()(0)f f f a f ≤⎧⎨≥⎩，即3211226311062a a a ⎧-≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩ ，解得513a <≤. 当2a ≥时，2()(1)32f f >=，()2()0(311)f f f =->，不符合题意. 综上，实数a 的取值范围是15,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.5．【2020·河南安阳期末】已知函数()ln f x x x x =+，()x xg x e=. （1）若不等式()()2f xg x ax ≤对[)1,x ∈+∞恒成立，求a 的最小值； （2）证明：()()1f x x g x +->.（3）设方程()()f x g x x -=的实根为0x .令()()()00,1,,,f x x x x F x g x x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩若存在1x ，()21,x ∈+∞，12x x <，使得()()12F x F x =，证明：()()2012F x F x x <-.【解析】（1）()()2f xg x ax ≥，即()2ln x x x x x ax e +⋅≥，化简可得ln 1x x a e+≤. 令()ln 1xx k x e +=，()()1ln 1xx x k x e -+'=，因为1x ≥，所以11x ≤，ln 11x +≥. 所以()0k x '≤，()k x 在[)1,+∞上单调递减，()()11k x k e≤=.所以a 的最小值为1e.（2）要证()()1f x x g x +->，即()ln 10x xx x x e+>>.两边同除以x 可得11ln x x x e+>.设()1ln t x x x =+，则()22111x t x x x x-'=-=.在()0,1上，()0t x '<，所以()t x 在()0,1上单调递减.在()1,+∞上，()0t x '>，所以()t x 在()1,+∞上单调递增，所以()()11t x t ≥=. 设()1x h x e=，因为()h x 在()0,∞+上是减函数，所以()()01h x h <=. 所以()()t x h x >，即()()1f x x g x +->.（3）证明：方程()()f x g x x -=在区间()1,+∞上的实根为0x ，即001ln x x e=，要证()()2012F x F x x <-，由()()12F x F x =可知，即要证()()1012F x F x x <-.当01x x <<时，()ln F x x x =，()1ln 0F x x '=+>，因而()F x 在()01,x 上单调递增. 当0x x >时，()x x F x e =，()10xxF x e -'=<，因而()F x 在()0,x +∞上单调递减. 因为()101,x x ∈，所以0102x x x ->，要证()()1012F x F x x <-.即要证01011122ln x x x x x x e--<. 记()0022ln x xx xm x x x e--=-，01x x <<. 因为001ln x x e =，所以0000ln x x x x e =，则()00000ln 0x xm x x x e =-=.()0000022212121ln 1ln x x x x x xx x x xm x x x e e e---+--'=++=++-. 设()t t n t e =，()1t tn t e-'=，当()0,1t ∈时，()0n t '>.()1,t ∈+∞时，()0n t '<，故()max 1n t e=.且()0n t >，故()10n t e <<，因为021x x ->，所以002120x x x xe e ---<<.因此()0m x '>，即()m x 在()01,x 上单调递增.所以()()00m x m x <=，即01011122ln x x x x x x e --<.故()()2012F x F x x <-得证.6．【2020·山东邹平一中期末】已知函数()()sin ,ln f x x a x g x x m x =-=+. (1)求证:当1a ≤时,对任意()()0,,0x f x ∈+∞>恒成立; (2)求函数()g x 的极值; (3)当12a =时,若存在()12,0,x x ∈+∞且12x x ≠,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+,求证:12249x x m <. 【解析】(1)()()sin 1cos f x x a x f x a x '=-∴=-，1cos 1x -≤≤Q ,()11cos 0a f x a x '∴≤=-≥，, ()sin f x x a x =-在()0+∞，上为增函数,所以当()0,x ∈+∞时,恒有()()00f x f >=成立; (2)由()()()ln ,10m x mg x x m x g x x x x+'=+∴=+=> 当()00m g x '≥>，()g x 在()0+∞，上为增函数,无极值 当()()0,00;0m x m g x x m g x ''<<<-<>->，，()g x 在()0m -，上为减函数,在(),m -+∞上为增函数,()x m x ∴=-，g 有极小值()ln m m m -+-,无极大值,综上知:当()0m g x ≥，无极值,当()0m g x <，有极小值()ln m m m -+-,无极大值. (3)当()11sin 22a f x x x ==-，在()0+∞，上为增函数, 由(2)知,当0m ≥,()g x 在()0+∞，上为增函数, 这时,()()f x g x +在()0+∞，上为增函数, 所以不可能存在()12,0,x x ∈+∞,满足()()()()1122f x g x f x g x +=+且12x x ≠ 所以有0m <现不防设()()()()1211220x x f x g x f x g x <<+=+，得:111222112sin ln 2sin ln 22x x m x x x m x -+=-+()()()2121211ln ln 2sin sin 2m x x x x x x --=---①1122sin sin x x x x -<-()()212111sin sin 22x x x x -->--② 由①②式可得:()()()2121211ln ln 22m x x x x x x -->--- 即()()21213ln ln 02m x x x x -->-> 又1221ln ln ,ln ln 0x x x x <->2121302ln ln x x m x x -∴->⨯>-③ 又要证12249x x m <，即证21294m x x > 120,0m x x <<<Q即证m ->④所以由③式知,只需证明:2121ln ln x x x x ->-2121ln 1x x x x -> 设211x t x =>,只需证1ln t t->即证()ln 01t t >> 令()()ln 1h t t t =-> 由()()()2101h t t h t '=>>，在()1+∞，上为增函数, ()()10h t h∴>=2121ln ln x x x x -∴>-,所以由③知,0m ->>成立, 所以12249x x m <成立. 7．【2020·陕西西安中学高三期末】已知函数21()ln 1()2f x x a x a R =-+∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若20a -≤＜，对任意[]12,1,2x x ∈，不等式121211()()f x f x m x x -≤-恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】（1）∵依题意可知：函数()f x 的定义域为()0,∞+，∴2()a x af x x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>在()0,∞+恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增. 当0a >时，由()0f x'>得x ()0fx '<得0x <<综上可得当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增； 当0a >时，()f x 在(上单调递减；在)+∞上单调递增.（2）因为20a -≤<，由（1）知，函数()f x 在[]1,2上单调递增，不妨设1212x x ≤≤≤，则121211()()f x f x mx x -≤-， 可化为2121()()m m f x f x x x +≤+， 设21()()ln 12m mh x f x x a x x x=+=-++，则12()()h x h x ≥， 所以()h x 为[]1,2上的减函数， 即2()0a mh x x x x=--≤'在[]1,2上恒成立，等价于3m x ax ≥-在[]1,2上恒成立， 设3()g x x ax =-，所以max ()m g x ≥，因20a -≤＜，所以2()30＞'=-g x x a ，所以函数()g x 在[]1,2上是增函数，所以max ()(2)8212g x g a ==-≤（当且仅当2a =-时等号成立） 所以12m ≥．8．【2020·浙江温州期末】已知函数()()2log ln a f x x x x =+-，1a >. （1）求证：()f x 在()1,+∞上单调递增；（2）若关于x 的方程()1f x t -=在区间()0,∞+上有三个零点，求实数t 的值；（3）若对任意的112,,x x a a -⎡⎤∈⎣⎦，()()121f x f x e -≤-恒成立（e 为自然对数的底数），求实数a 的取值范围.【解析】（1）()()2ln 1'21ln x f x xx a =⋅+-,∵1x >,∴()'0f x >,故()f x 在()1,+∞上单调递增.（2）()()()()2222ln ln ln 'ln x x a a f x x a +-=,令()()()222ln ln ln g x x x a a =+-,()()22'ln 0g x a x=+>,()10g =, 故当()0,1x ∈,()'0g x <,()1,x ∈+∞,()'0g x >,即()f x 在()0,1x ∈上单调递减；在()1,x ∈+∞上单调递增.()11f =, 若()()11f x t f x t -=⇔=±在区间()0,∞+上有三个零点,则11t -=,2t =.（3）()f x 在1,1x a -⎡⎤∈⎣⎦上单调递减；在(]1,x a ∈上单调递增.故()()min 11f x f ==,()()max 1max ,f x f f a a ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 令()()112ln h a f f a a a a a ⎛⎫=-=+-⎪⎝⎭,∴()0h a <, 故()max 1ln f x a a =+-,∴ln 1ln 1a a e a a e -≤-⇒-≤-, 因为1a >,设()ln a a a ϕ=-则1'()10a aϕ=->,故()ln a a a ϕ=-为增函数, 又()ln 1e e e e ϕ=-=-. ∴(]1,a e ∈.9．【2020·浙江台州期末】已知函数()ln f x a x x b =-+，其中,a b ∈R . （1）求函数()f x 的单调区间；（2）使不等式()ln f x kx x x a ≥--对任意[]1,2a ∈，[]1,x e ∈恒成立时最大的k 记为c ，求当[]1,2b ∈时，b c +的取值范围.【解析】（1）因()f x 的定义域为()0,∞+，()()'10af x x x=->， 当0a ≤时，()'0f x <，∴()f x 在()0,∞+上单调递减； 当0a >时，()'f x 在()0,∞+上单调递减，()'0f a =， ∴()f x 在()0,a 上单调递增，在(),a +∞单调递减； （2）()()l ln n f x kx x x f x x x a k x a ++⇒≤≥--()1ln ln a x x x x bx+-++=. ∵[]1,2a ∈，[]1,x e ∈，∴()1ln ln 1ln ln a x x x x b x x x x bx x+-+++-++≥， 令()()21ln ln ln 'x x x x b x x b g g x x x x+-++-+-=⇒=， 由（1）()ln p x x x b ⇒=-+-在()1,+∞上递增；（1）当()10p ≥，即1b =时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≥⇒≥，∴()g x 在[]1,e 上递增；∴()()min 122c g x g b b c b ===⇒+==.（2）当()0p e ≤，即[]1,2b e ∈-时[]1,x e ∈，()()0'0p x g x ≤⇒≤，∴()g x 在[]1,e 上递减； ∴()()min 22b b c g x g e b c b e e ++===⇒+=+14,2e ee ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦.（3）当()()10p p e <时，()ln p x x x b =-+-在上递增； 存在唯一实数()01,x e ∈，使得()00p x =，则当()01,x x ∈时()()0'0p x g x ⇒<⇒<.当()0,x x e ∈时()()0'0p x g x ⇒>⇒>. ∴()()00000mi 000n 1ln ln 1ln x x x x b x x x c g x g x +-++=+===.∴00000011ln ln b c x x x x x x +=++-=+.此时00ln b x x =-. 令()()()11ln '10x h x x x h x h x x x-=-⇒=-=>⇒在[]1,e 上递增， ()()01,11,b e x e ∈-⇒∈，∴12,b c e e ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭.综上所述，42,2b c e ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. 10．【2020·蒙阴实验中学期末】设函数()212ln 222af x ax x x -=+++，a R ∈. （1）当2a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； （2）2x =是函数()f x 的极值点，求函数()f x 的单调区间； （3）在（2）的条件下，()217ln 422g x x x x ⎛⎫=-++-⎪⎝⎭，若[)11,x ∀∈+∞，()20,x ∃∈+∞，使不等式()()1122mf xg x x x -≥+恒成立，求m 的取值范围. 【解析】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，2a =时，()2ln 2f x x x =++，()12f x x x'=+， ()13f '=，()13f =，所以切线方程为()331y x -=-，即30x y -=.（2）()()22221222ax a x a f x ax x x+-+-'=++=， 2x =是函数的极值点，()8422204a a f +-+'==，可得1a =-，所以()2232(0)2x x f x x x-++'=>，令()0f x '>，即22320x x --<，解得1,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，结合定义域可知()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减. （3）令()()()2ln ln 26h x f x g x x x x x =-=+++，[)11,x ∀∈+∞，[)20,x ∃∈+∞， 使得()()1122m f x g x x x -≥+恒成立，等价于()()2min 21mh x x x x ≥+≥⎡⎤⎣⎦， ()12ln 2h x x x x x'=++-，因为1x ≥，所以2ln 0x x ≥，12x x+≥，即()'0h x ≥， 所以()h x 在[)1,+∞上单调递增，()()14h x h ≥=， 即()20,x ∃∈+∞使得函数4mx x+≤，即转化为240x x m -+≤在()0,∞+有解， ()22424x x m x m -+=--+，所以40m -+≤，4m ≤.。
专题17 解决恒成立与存在性问题-2021年高考数学二轮复习核心考点微专题(苏教版)(解析版)
1.存在实数x ∈[－1,1]，使不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a≥0成立，则实数a 的取值范围________． 【答案】a≤3【解析】法一：考虑命题的否定，即为热身第1题，取补集即可．所以a≤3. 法二：直接处理分参或图象，例如图象只要控制两端，f (－1)≥0或f (1)≥0即可．2.若不等式(m 2－m)2x －⎝⎛⎭⎫12x<1对一切实数x ∈(－∞，－1]恒成立，则实数m 的取值范围________． 【答案】－2<m<3.【解析】(m 2－m)＜⎝⎛⎭⎫122x＋⎝⎛⎭⎫12x，x ∈(－∞，－1)恒成立，y ＝⎝⎛⎭⎫122x＋⎝⎛⎭⎫12x，x ∈(－∞，－1)的最小值为6，m 2－m≤6，所以－2<m<3.3.若不等式x 2＋2xy≤a(x 2＋y 2)对于一切正数x ，y 恒成立，则实数a 的最小值为________． 【答案】5＋12.4.存在实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，使得ax 2－x ＋1≤0成立，求实数a 的取值范围． 【答案】a≤－2.【考向分析】恒成立与存在性问题主要涉及到函数的图象和性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考和各地的模考联考中频频出现恒成立与存在性问题，其形式逐渐多样化，但它们大都与函数、导数知识密不可分.（一）单变量问题例1. 不等式x 2－ax －1≥0对a ∈[－1,1]恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】x≥1＋52或x≤－1＋52【解析】设f (a)＝(－x)a ＋x 2－1，⎩⎪⎨⎪⎧f －1≥0f 1≥0，所以x≥1＋52或x≤－1＋52.学#科网变式1 已知函数f(x)＝13x 3＋2x ，对任意的实数t ∈[－3,3]，不等式f(tx －2)＋f(x)<0恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】－1<x<12【解析】易知函数f(x)＝13x 3＋2x 是R 上的奇函数且单调递增，f (tx －2)＋f(x)<0化为f (tx －2)<f (－x)，即tx －2<－x ，问题变为g(t)＝tx －2＋x<0在t ∈[－3,3]上恒成立，故有⎩⎪⎨⎪⎧g －3<0，g3<0，所以－1<x<12.变式2 函数f(x)＝x －1－aln x(a<0)，对于任意x 1，x 2∈(0,1]，且x 1≠x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|<4⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2，求实数a 的取值范围． 【答案】－3≤a<0（二）多变量问题例2. 已知f(x)＝x 2，g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∃x 1∈[2,3]，∀x 2∈[1,2]，f(x 1)＝g(x 2)，求实数m 的取值范围． 【答案】－172≤m≤－154.【解析】g(x 2)的值域是f(x 1)的值域的子集，⎣⎡⎦⎤14－m ，12－m ⊆[4,9]，所以⎩⎨⎧12－m≤914－m≥4.所以－172≤m≤－154.变式1 已知f(x)＝x 2，g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x －m ，若对∃x 1∈[2,3]，∃x 2∈[1,2]，f(x 1)＝g(x 2)，求实数m 的取值范围．【答案】－354≤m≤－72.【解析】g(x 2)的值域与f(x 1)的值域有交集，即⎣⎡⎦⎤14－m ，12－m ∩[4,9]≠∅，可考虑⎣⎡⎦⎤14－m ，12－m ∩[4,9]＝∅，所以12－m<4或14－m>9，所以m>－72或m<－354，补集为－354≤m≤－72.变式2 已知函数f(x)＝x 2，g(x 2)＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∃x 1∈[2,3]，∃x 2∈[1,2]，f(x 1)≥g(x 2)，求实数m 的取值范围．【答案】m≥－354. 【解析】g(x 2)≤f(x 1)max ＝9所以g(x 2)min ＝14－m≤9所以m≥－354.学科*网（三）图象法例3. 若关于x 的不等式(ax －20)lg 2ax ≤0对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合是________．【答案】｛10｝变式1 已知f(x)＝ax －1 980，g(x)＝ln xa (a ∈R)，若在x ∈N *上恒有f(x)g(x)≥0，则实数a 的取值范围是________． 【答案】【解析】两个图象与x 轴的交点在同一个区间内，例如(－∞，1]，[1,2]，[2,3]，…，因为1 980＝44×45，所以最后解得[44,45]．变式2 已知函数f(x)＝(x ＋1)ln x －ax ＋a(a 为正常数)． (1) 若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求a 的取值范围； (2) 若不等式(x －1)f(x)≥0恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）0<a≤2.（2）0<a≤2.【解析】(1) f(x)＝(x ＋1)ln x －ax ＋a ，f′(x)＝ln x ＋x ＋1x －a≥0，a ≤ln x ＋1x ＋1恒成立 令g(x)＝ln x ＋1x ＋1，g′(x)＝x －1x2，易得g min (x)＝g(1)＝2，0<a≤2.1．若存在实数x ∈(1,2)时，使得不等式x 2＋mx ＋4<0成立，则实数m 的取值范围是________． 【答案】m<－4.【解析】－m>x ＋4x存在x ∈(1,2)，⎝⎛⎭⎫x ＋4x min >4，－m>4，所以m<－4. 2．若不等式bx ＋c ＋ 9ln x≤x 2对任意实数x ∈(0，＋∞)，b ∈(0,3)恒成立，则实数c 的取值范围________． 【答案】c≤－9ln 3【解析】g(b)＝bx ＋c ＋9ln x －x 2，利用图象只需g(3)＝3x ＋c ＋9ln x －x 2≤0恒成立x ∈(0，＋∞)，c≤x 2－3x － 9ln x 恒成立x ∈(0，＋∞)，令g(x)＝x 2－3x －9ln x ，g′(x)＝x －32x ＋3x ，易得，c≤－9ln 3.3．设函数f(x)＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f(mx)＋mf(x)<0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】m<－1【解析】2mx －⎝⎛⎭⎫1mx ＋m x <0对任意x ∈[1，＋∞)恒成立，2mx 2－⎝⎛⎭⎫1m ＋m <0恒成立x ∈[1，＋∞)利用图象，设g(x)＝2mx 2－⎝⎛⎭⎫1m ＋m ，只能⎩⎨⎧m<0g 1<0，所以m<－1. 4．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x ，x≤0e x ＋e 2，x>0，若不等式f(x)≥kx 对x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是________．【答案】[－3，e 2]【解析】利用函数f(x)的图象，有2个临界位置，当x≤0时，y ＝2x 2－3x 在x ＝0处切线斜率为－3，当x>0时，y ＝e x ＋e 2与y ＝kx 相切时，设切点y ＝(x 0，kx 0)所以⎩⎪⎨⎪⎧kx 0＝ex 0＋e2ex 0＝k ，消k 可得(x 0－ 1)ex 0＝e 2，猜根x 0＝2，p(x)＝(x 0－1)ex 0，p′(x)＝x 0ex 0>0(x 0>0)，因为单调性，所以根唯一，所以k ∈[－3，e 2]．1．对任意实数x ∈[－1,1]，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a<0恒成立，则实数a 的取值范围________． 【答案】a>3.2．若不等式(m 2－m)2x －⎝⎛⎭⎫12x<1在[－1，＋∞)有解，则实数m 的取值范围________． 【答案】－2<m<3.【解析】首选分离参数法，(m 2－m)＜⎝⎛⎭⎫122x＋⎝⎛⎭⎫12x在[－1，＋∞)有解，y ＝⎝⎛⎭⎫122x＋⎝⎛⎭⎫12x，x ∈[－1，＋∞)的最大值为6，m 2－m<6，所以－2<m<3.3．已知a ，b>0，若不等式m 3a ＋b －3a －1b ≤0恒成立，则实数m 的取值范围________．【答案】m≤16.【解析】首选分离参数法，m≤(3a ＋b)⎝⎛⎭⎫3a ＋1b (a ，b>0)恒成立，(3a ＋b)⎝⎛⎭⎫3a ＋1b ＝9＋3a b ＋3ba ＋1≥16，所以m≤16. 4.已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围是________． 【答案】a≤174.【解析】对于正实数x ，y ，由x ＋y ＋4＝2xy ，得x ＋y ＋4＝2xy≤2·⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，解得x ＋y≥4.不等式x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0可化为(x ＋y)2－a(x ＋y)＋1≥0，令t ＝x ＋y(t≥4)，则该不等式可化为t 2－at ＋1≥0，即a≤t ＋1t 对于任意的t≥4恒成立，所以a≤174.5. 不等式x 2－ax ＋1≥0对一切实数恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】－2≤a≤2.【解析】Δ≤0，所以－2≤a≤2.6. 不等式x 2－ax ＋1≥0对实数x ∈(0，12]恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】a≤52【解析】a≤x ＋1x ⎝⎛⎭⎫0<x ≤12恒成立，所以a≤52.学科.网 7. 已知函数f(x)＝x 2，g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[2,3]，∃x 2∈[1,2]，f(x 1)≥g(x 2)，求实数m 的取值范围． 【答案】m≥－154【解析】g(x 2)≤f(x 1)min ＝4，所以g(x 2)min ＝14－m≤4，所以m≥－154.8. 已知函数f(x)＝x 2，g(x)＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[2,3]，∀x 2∈[1,2]，f(x 1)≥g(x 2)，求实数m 的取值范围．9. 存在实数x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，使得x 2－x ＋a>0成立，求实数a 的取值范围． 【答案】a>010. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x|，x<1ln x ，x≥1若对于t ∈R ，f(t)≤kt 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】1e≤k≤1【解析】①当t≥1时，ln t≤kt 恒成立，所以k≥ln t t ，t ∈[1，＋∞)．令g(t)＝ln tt ，则g′(t)＝1－ln t t 2，当t ∈(1，e)时，g′(t)>0，则g(t)＝ln t t 在t ∈(1，e)时为增函数；当t ∈(e ，＋∞)时，g′(t)<0，则g(t)＝ln tt 在t ∈(e ，＋∞)时为减函数．所以g(t)max ＝g(e)＝1e ，所以k≥1e.②当0<t<1时，f (t)＝－t(t －1)2，即－t(t －1)2≤kt 对于t ∈(0,1)恒成立，所以k≥－(t －1)2，t ∈(0,1)，所以k≥0. ③当t<0时，f (t)＝t(t －1)2，即t(t －1)2≤kt 对于t ∈(－∞，0]恒成立，所以k≤(t －1)2，t ∈(－∞，0]，所以k≤1， ④当t ＝0时，k ∈R.综上1e ≤k≤1.【答案】a≤2.【解析】函数y ＝|x －a|恒在函数y ＝12－1x 的图象的上方(含相切)，因为y ＝12－1x 在x ＝2处切线斜率为14<1，可画图知a≤2. 学科#网12. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x≤0ln x ＋1，x>0，若|f(x)|≥ax －1恒成立，则实数a 的取值范围________．【答案】－4≤a≤0。
专题11 存在性问题(解析版)
专题十一存在性问题一、考情分析圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．二、经验分享探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。
要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。
它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。
它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。
1、条件追溯型这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。
解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。
在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
2、结论探索型这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定。
解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。
在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
3、条件重组型这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。
此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。
一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。
应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
4、存在判断型这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。
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圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。
再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法：①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。
二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为2。
（1）求,a b 的值（2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r成立？若存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由解：（1）::3c e a b c a ==⇒=则,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时:0l y x c x y c =-⇒--=2O l d -∴==解得：1c =a b ∴== 椭圆方程为：22132x y +=（2）设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =-OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r Q 012012x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩联立直线与椭圆方程：()221236y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()2222316x k x +-=，整理可得：()2222326360kx k x k +-+-=2122632k x x k ∴+=+ ()312122264223232k ky y k x x k k k k +=+-=-=-++22264,3232k k P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭因为P 在椭圆上22222642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()2242222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+()2224632k k k ∴=+⇒=当k =):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭当k =):1l y x =-，322P ⎛⎫⎪⎝⎭当斜率不存在时，可知:1l x =，1,,1,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，则()2,0P 不在椭圆上∴综上所述：):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭或):1l y x =-，3,22P ⎛ ⎝⎭ 例2：过椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>的右焦点2F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B V 的周长为8，椭圆的离心率为2（1）求椭圆Γ的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆Γ恒有两个交点,P Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由解：（1）由1AF B V 的周长可得：482a a =⇒=2c e c a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 椭圆22:14x y Γ+= （2）假设满足条件的圆为222x y r +=，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内01r ∴<<若直线PQ 斜率存在，设:PQ y kx m =+，()()1122,,,P x y Q x yPQ Q 与圆相切 ()2221O l d r m r k -∴==⇐=+0OP OQ OP OQ ⊥⇒⋅=u u u r u u u r即12120x x y y +=联立方程：2244y kx m x y =+⎧⇒⎨+=⎩()222148440k x kmx m +++-=2121222844,4141km m x x x x k k -∴+=-=++()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m ∴=++=+++ ()()22121212121x x y y k x x km x x m ∴+=++++()2222244814141m km k km m k k -⎛⎫=⋅++⋅-+ ⎪++⎝⎭22254441m k k --=+225440m k ∴--=对任意的,m k 均成立将()2221m r k =+代入可得：()()22251410r k k +-+=()()225410r k ∴-+= 245r ∴=∴存在符合条件的圆，其方程为：2245x y +=当PQ 斜率不存在时，可知切线PQ 为x =若:PQ x =,5555P Q ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭0OP OQ ∴⋅=u u u r u u u r :PQ x ∴=若:PQ x =综上所述，圆的方程为：2245x y +=例3：已知椭圆()222210x y a b a b +=>>经过点(，离心率为12，左，右焦点分别为()1,0F c -和()2,0F c（1）求椭圆C 的方程（2）设椭圆C 与x 轴负半轴交点为A ，过点()4,0M -作斜率为()0k k ≠的直线l ，交椭圆C 于,B D 两点（B 在,M D 之间），N 为BD 中点，并设直线ON 的斜率为1k ① 证明：1k k ⋅为定值② 是否存在实数k ，使得1F N AD ⊥？如果存在，求直线l 的方程；如果不存在，请说明理由解：（1）依题意可知：12c e a ==可得：::2a b c =∴椭圆方程为：2222143x y c c+=，代入(可得：1c =∴椭圆方程为：22143x y += （2）① 证明：设()()1122,,,B x y D x y ，线段BD 的中点()00,N x y 设直线l 的方程为：()4y k x =+，联立方程：()2243412y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩ 化为：()2222343264120k x k x k +++-= 由0∆>解得：214k < 且22121222326412,4343k k x x x x k k --+==++ 2120216243x x k x k +∴==-+ ()00212443ky k x k =+=+01034y k x k ∴==- 13344k k k k ∴=-⋅=- ② 假设存在实数k ，使得1F N AD ⊥，则11F N AD k k ⋅=-12022021243416114134F Nk y k k k k x k k +∴===+--++ ()2222422AD k x y k x x +==++ ()1222441142F N AD k x kk k k x +⋅=⋅=--+即()222222224164182282k x k k x k x k +=-+-⇒=--<- 因为D 在椭圆上，所以[]22,2x ∈-，矛盾所以不存在符合条件的直线l例4：设F 为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 上，直线0:34100l x y --=与以原点为圆心，以椭圆E 的长半轴长为半径的圆相切（1）求椭圆E 的方程（2）过点F 的直线l 与椭圆相交于,A B 两点，过点P 且平行于AB 的直线与椭圆交于另一点Q ，问是否存在直线l ，使得四边形PABQ 的对角线互相平分？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由 解：（1）0l Q 与圆相切1025O l d r -∴=== 2a ∴= 将31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程22214x y b +=可得：b =∴椭圆方程为：22143x y += （2）由椭圆方程可得：()1,0F 设直线():1l y k x =-，则()3:12PQ y k x -=- 联立直线l 与椭圆方程：()2213412y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得：()22224384120k x k x k +-+-= ()()()2222218443412144144k k k k ∴∆=-+-=+()212212143k AB x k +∴=-==+同理：联立直线PQ 与椭圆方程：()223123412y k x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩消去y 可得：()()22224381241230k x k k x k k +--+--= ()()()222222181244123431444k k k k k k k ⎛⎫⎡⎤∆=----+=++ ⎪⎣⎦⎝⎭PQ ∴==因为四边形PABQ 的对角线互相平分∴四边形PABQ 为平行四边形AB PQ ∴= ()2212143k k +∴=+解得：34k =∴存在直线:3430l x y --=时，四边形PABQ 的对角线互相平分例5：椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，右顶点为A ，P 为椭圆1C 上任意一点，且12PF PF ⋅u u u r u u u r 的最大值的取值范围是22,3c c ⎡⎤⎣⎦，其中c = （1）求椭圆1C 的离心率e 的取值范围（2）设双曲线2C 以椭圆1C 的焦点为顶点，顶点为焦点，B 是双曲线2C 在第一象限上任意一点，当e 取得最小值时，试问是否存在常数()0λλ>，使得11BAF BF A λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由 解：（1）设()()()12,,,0,,0P x y F c F c -()()12,,,PF c x y PF c x y ∴=---=--u u u r u u u r22212PF PF x y c ∴⋅=+-u u u r u u u r由22221x y a b +=可得：22222b y b x a=-代入可得： 2222222222212221b c PF PF x y c x b c x b c a a ⎛⎫⋅=+-=-+-=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r[],x a a ∈-Q ()212maxPF PF b ∴⋅=u u u r u u u r 222222222222334c ac b c c a c c c a ⎧≤⎪∴≤≤⇒≤-≤⇒⎨≥⎪⎩21114222e e ∴≤≤⇒≤≤ （2）当12e =时，可得：2,a c b == ∴双曲线方程为222213x y c c-=，()()12,0,,0A c F c -，设()00,B x y ，000,0x y >>当AB x ⊥轴时，002,3x c y c ==13tan 13c BF A c ∴== 14BF A π∴∠= 因为12BAF π∠= 112BAF BF A ∴∠=∠所以2λ=，下面证明2λ=对任意B 点均使得11BAF BF A λ∠=∠成立 考虑1001100tan ,tan 2AB BF y y BAF k BF A k x c x c∠=-=-∠==-+()()000101222210000222tan tan 21tan 1y y x c BF Ax cBF A BF Ax c yy x c ⋅+∠+∴∠===-∠+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭由双曲线方程222213x y c c-=，可得：2220033y x c =-()()()()2222222000000003322422x c y x c x c x cx c x c c x ∴+-=+-+=-++=+-()()()000110002tan 2tan 222y x c y BF A BAF x c c x c x +∴∠===∠+--112BAF BF A ∴∠=∠结论得证2λ∴=时，11BAF BF A λ∠=∠恒成立例6：如图，椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率是2，过点()0,1P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为（1）求椭圆E 的方程（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得对于任意直线l ，QA PA QBPB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）22c e a == ::2:1:1a b c ∴= ∴椭圆方程为222212x y b b+=由直线l 被椭圆E 截得的线段长为22及椭圆的对称性可得： 点()2,1在椭圆上22221122b b b+=⇒= 24a ∴= ∴椭圆方程为22142x y += （2）当l 与x 轴平行时，由对称性可得：PA PB =1QA PA QBPB∴==即QA QB =Q ∴在AB 的中垂线上，即Q 位于y 轴上，设()00,Q y当l 与x 轴垂直时，则()()0,2,0,2A B -21,21PA PB ∴=-=+ 002,2QA y QB y =-=+ 00221212y QA PA QBPBy --∴=⇒=++可解得01y =或02y = ,P Q Q 不重合 02y ∴=()0,2Q ∴下面判断()0,2Q 能否对任意直线均成立若直线l 的斜率存在，设:1l y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩由QA PA QBPB=可想到角平分线公式，即只需证明QP 平分BQA ∠∴只需证明0QA QB QA QB k k k k =-⇒+=()()1122,,,A x y B x y ∴121222,QA QB y y k k x x --∴== ()()()21122112121212121222222QA QBx y x y x y x y x x y y k k x x x x x x -+-+-+--∴+=+==① 因为()()1122,,,A x y B x y 在直线1y kx =+上，112211y kx y kx =+⎧∴⎨=+⎩代入①可得：()()()()211212121212121122QA QB x kx x kx x x kx x x x k k x x x x +++-+-+∴+==联立方程可得：()222224124201x y k x kx y kx ⎧+=⇒++-=⎨=+⎩12122242,1212k x x x x k k∴+=-=-++ 22224212120212QA QBkk k k k k k ⋅-+++∴+==-+ 0QA QB k k ∴+=成立QP ∴平分BQA ∠ ∴由角平分线公式可得：QA PA QBPB=例7：椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上顶点为A ，4,33b P ⎛⎫⎪⎝⎭是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C 的右焦点F （1）求椭圆C 的方程（2）动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：()()0,,,0A b F cAP Q 为直径的圆经过F FA FP ∴⊥0FA FP ∴⋅=u u u r u u u r ()4,,,33b FA c b FP c ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r Q22244003333b b c c c c ⎛⎫∴--+=⇒-+= ⎪⎝⎭由4,33b P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，代入椭圆方程可得：222211611299b a a b ⋅+⋅=⇒= 22222401332b c c b c b c a ⎧-+=⎪⇒==⎨⎪+==⎩∴椭圆方程为2212x y +=（2）假设存在x 轴上两定点()()1122,0,,0M M λλ，()12λλ< 设直线:l y kx m =+12M l M l d d --∴==所以依题意：()12221212211M l M l k km m d d k λλλλ--+++⋅===+ ①因为直线l 与椭圆相切，∴联立方程：()2222221422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩ 由直线l 与椭圆相切可知()()()2224421220km k m ∆=-+-=化简可得：2221m k =+，代入①可得：()()221212222121222112111k km k k km k k k λλλλλλλλ++++=⇒++++=++()()2121210k km λλλλ∴+++=，依题意可得：无论,k m 为何值，等式均成立121122121101λλλλλλλλ=-⎧=-⎧⎪∴+=⇒⎨⎨=⎩⎪<⎩所以存在两定点：()()121,0,1,0M M -例8：已知椭圆221:41C x y +=的左右焦点分别为12,F F ，点P 是1C 上任意一点，O 是坐标原点，12OQ PF PF =+u u u r u u u r u u u r，设点Q 的轨迹为2C（1）求点Q 的轨迹2C 的方程（2）若点T 满足：2OT MN OM ON =++u u u r u u u u r u u u u r u u u r，其中,M N 是2C 上的点，且直线,OM ON 的斜率之积等于14-，是否存在两定点，使得TA TB +为定值？若存在，求出定点,A B 的坐标；若不存在，请说明理由（1）设点Q 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则220041x y +=由椭圆方程可得：12,22F F ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12OQ PF PF =+u u u r u u u r u u u r Q且100200,,,22PF x y PF x y ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r()002,2Q x y ∴-- 00002222x x x x y y yy ⎧=-⎪=-⎧⎪∴⇒⎨⎨=-⎩⎪=-⎪⎩代入到220041x y +=可得： 2214x y += （2）设点(),T x y ，()()1122,,,M x y N x y2OT MN OM ON =++u u u r u u u u r u u u u r u u u r Q()()()()12121122,,2,,x y x x y y x y x y ∴=--++ 212122x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩设直线,OM ON 的斜率分别为,OM ON k k ，由已知可得：212114OM ON y y k k x x ⋅==- 121240x x y y ∴+=考虑()()222221214242x y x x y y +=+++()()222211221212444416x y x y x x y y =+++++ ,M N Q 是2C 上的点 221122224444x y x y ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩ 22444420x y ∴+=+⨯=即T 的轨迹方程为221205x y +=，由定义可知，T 到椭圆221205x y +=焦点的距离和为定值 ,A B ∴为椭圆的焦点()),A B∴所以存在定点,A B例9：椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的焦点到直线30x y -=，抛物线()2:20G y px p =>的焦点与椭圆E 的焦点重合，斜率为k 的直线l 过G 的焦点与E 交于,A B ，与G 交于,C D （1）求椭圆E 及抛物线G 的方程 （2）是否存在常数λ，使得1AB CDλ+为常数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由解：（1）设,E G 的公共焦点为(),0F c2F l d c -∴==⇒=5c e a a ∴==⇒= 2221b a c ∴=-= 22:15x E y ∴+=28y x ∴=（2）设直线():2l y k x =-，()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y与椭圆联立方程：()()22222225120205055y k x k x k x k x y ⎧=-⎪⇒+-+-=⎨+=⎪⎩ 2212122220205,1515k k x x x x k k -∴+==++()()222121222511415k AB k x x x x k+∴=++-=+直线与抛物线联立方程：()()22222248408y k x k x k x k y x⎧=-⎪⇒-++=⎨=⎪⎩ 234248k x x k +∴+= CD Q 是焦点弦 ()2342814k CD x x k+∴=++= ()()()()22222222242051420581251851851kk k k AB CD k k k k λλλλ++++∴+=+==++++ 若1AB CD λ+为常数，则2054λ+= 165λ∴=- 例10：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为63，直线l 与x 轴交于点E ，与椭圆C 交于,A B 两点，当直线l 垂直于x 轴且点E 为椭圆C 的右焦点时，弦AB 的长为263（1）求椭圆C 的方程（2）是否存在点E ，使得2211EA EB+为定值？若存在，请求出点E 的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：（1）依题意可得：63c e a == ::3:1:2a b c ∴=当l 与x 轴垂直且E 为右焦点时，AB 为通径22b AB a ∴==a b ∴==22162x y ∴+= （2）思路：本题若直接用用字母表示,,A E B 坐标并表示,EA EB ，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E 的坐标。