预处理后新分裂下的SOR迭代法收敛性讨论
预条件SOR方法收敛性比较
[3] 引理 7 令 T Ε 0, 如果存在 T Ε 0 x > 0和 α > 0, 使 Tx Φ αx, 则 ρ( T ) Φ α 。 进一步 , 如果使 Tx < αx, 则 ρ( T ) < α 。 [3] -1 -1 引理 8 令 A = M ∃ N 为弱正则分裂 , 则 ρ(M N ) < 1 Ζ A Ε 0 。 [5] -1 -1 引理 9 令 A 为不可约矩阵 ,若 A =M - N 为 M - 分裂 ,则存在一个正向量 x,使得 ρ(M N ) x =M N x 。
在解线性方程组
Ax = b ( 1)
时 ,一般采用迭代法 。这里 A 为一个 n 阶方阵 , x, b为 n 维向量 1 常见的迭代法有 AOR、 SOR、 Gauss Seidel等经典的迭代法 , 为了加快迭代法的收敛速度 , 许多学者采用预条件方法 。在 2001 年 , Evans等 人在文献 [ 1 ]中给出了一个新的预条件子 P = ( I + C ) , 其中 - a1 n i = 1, j = n ( 2) C = ( aij ) = , 0 其他 并证明了预条件 AOR 法加快了一般 AOR 方法的收敛速度 。 本文给出一种新预条件子 P = ( I + S ) , 其中 - ain i = 1 …n - 1, j = n ( 3) S = ( aij ) = 1 0 其他 我们将证明 , 在这种预条件子作用下的预条件 SOR 方法加快了经典的 SOR 方法的收敛速度 。 对于线性方程组 ( 1 ) ,不失一般性 ,令 A = I - L - U, 其中 I为单位矩阵 , L 和 U 分别为 A 的严格下 三角和严格上三角矩阵 。则对应于 ( 1 ) 的 Gauss - Seidel和 SOR 迭代阵分别为 -1 -1 ( 4) TG - S = M N = ( I - L ) U; -1 ( 5) TSOR = ( I - ωL ) ( ( 1 - ω) I +ωU ) , 0 < ω Φ 11 对应于 ( 2 ) 的 Gauss - Seidel 迭代矩阵为
新的预条件USSOR迭代方法及收敛性的比较
．
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第 ２期
王 卫 芳 等 ： 的 预条 件 ＵＳ ＯＲ迭 代 方 法 及 收 敛 性 的 比较 新 Ｓ
・１９ ・ ５
对 方程 （ ） 用 ＵＳ ＯＲ迭代 法 ， 得 的迭代 矩 阵为 １运 Ｓ 所
Ｓ ， ＝ （ 一 【） （ 一 ∞ Ｌ ［ １ Ｊ ， Ｉ ｌ ） （ 一 ） ＋ Ｌ ［ １ １ Ｉ ∞ 【］ Ｊ ］ （ 一∞ ） ＋ １， ，
Ａ 一 （ Ｊ＋ Ｓ ） — Ｉ Ｌ — Ｕ ＋ Ｓｌ Ｓ — Ｓ Ｕ — Ｄｌ Ｌｌ Ｕｌ １Ａ — — ｌ Ｌ ｌ — — ， ＡＲ一 （ Ｊ＋ Ｒ） — Ｉ Ｌ 一 【 ＋ Ｒ — ＲＬ — ＲＵ ＝ ＤＲ— ＬＲ— ＵＲ Ａ — ， ．
则在 Ｐ 下新 的 ＵＳ ＯＲ迭 代法 的迭代 矩 阵为 Ｓ
好 地 说 明选 择 适 当 的 预 条 件矩 阵 能加 快 收 敛 速 度 ． 数 值 例 子验 证 了所 得 结 论 的正 确 性 ． 用 关 键 词 ：收敛 性 ； 半径 ； 条 件 ； Ｓ Ｒ 迭 代 方 法 谱 预 ＵＳ ｏ
中 圈 分类 号 ： ２ １ ６ Ｏ ． ４ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１ ０ － ７ ５ ２ Ｏ ） ２ Ｏ ５ 一 ４ ０ １ ８ ３ （ Ｏ ８ Ｏ一 ｌ８ Ｏ
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讨 论 了该 预条件 矩阵 下 Ｇａ ｓ — ｅｄ ｌ 法 的收敛 性和 比较定 理． ｕ ｓ ｓｉｅ 方 本文 在 Ｐ 及 Ｐ一 卜卜 下提 出新 的 ＵＳ ＯＲ方法 ， 中 。 Ｒ Ｓ 其
对称超松弛迭代法 -回复
对称超松弛迭代法-回复对称超松弛迭代法（Symmetric Successive Over-Relaxation, SSOR）是一种用于求解线性方程组的迭代解法。
它是对超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation, SOR）的改进和扩展，适用于具有对称正定系数矩阵的方程组。
本文将详细介绍SSOR的原理、算法步骤和收敛性分析。
一、SSOR原理：1. 对称正定系数矩阵：对称正定系数矩阵是指一个n阶实对称矩阵A，满足以下两个条件：(1) 矩阵A的所有特征值大于零；(2) 对于任意非零列向量x，都有x^T * A * x > 0，其中x^T表示向量x的转置。
2. SSOR分解：对称正定系数矩阵A可以进行SSOR分解，即将A分解为A = D - L - U，其中D、L、U分别为A的对角线元素、下三角和上三角元素组成的矩阵。
3. 迭代格式：SSOR迭代格式为：x(k+1) = (D - ωL)^(-1) * [ωU * x(k) + (1-ω) * b]，其中x(k)表示第k次迭代的解向量，ω为松弛因子，b为常数向量。
4. SSOR与SOR：SSOR是对SOR方法的改进和拓展，当松弛因子ω=1时，SSOR退化为SOR方法。
SSOR方法在SOR方法的基础上引入了前向迭代和后向迭代，使得收敛速度更快。
二、SSOR算法步骤：1. 初始化：给出初始近似解向量x(0)，选择松弛因子ω的初值。
2. 迭代过程：(1) 前向迭代：根据迭代格式，计算x(k+1/2) = (D - ωL)^(-1) * [ωU * x(k) + (1-ω) * b]。
(2) 后向迭代：继续根据迭代格式，计算x(k+1) = (D - ωU)^(-1) * [ωL * x(k+1/2) + (1-ω) * b]。
(3) 重复步骤(1)和(2)，直到满足收敛准则（如迭代次数达到指定值或解的误差小于给定阈值）为止。
3. 输出结果：输出近似解向量x(k+1)。
预处理后关于IMGS和SOR迭代法的一个比较定理
贵州大学学报 （ 自然科学版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ｕｚｏ ｎｖｒｉ Ｎ ｔｒ ｃ ｎｅ ） ｏ ｒｌ ｆ ｉ ｕＵ ｉ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃｓ ｎ Ｇ ｈ ｅ ｔ ｕｌ ｅ
Ｖｏ ． ２ ． １ １ ９ Ｎｏ
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综 上 所 述 ，利 用 引 理 ［ ］ 知 Ｐ 一） ≤ １ （ Ｐ Ｔ。）． 和文 ［ ］ Ｐ Ｔ。） ＜ １， 而 结 论 成 （ｓ 结 ４有 （ｓ 从
其 中 Ｐ ∈ Ｒ 是 预条 件 矩 阵 ， 文采 用 文 ［ ］ 到 本 １提 的一类 预 条件 Ｐ ＝ （ ，＋ｃ ）， 速 Ｇ ｕｓＳｉｅ 迭 加 ａｓ—ｅｄｌ 代 法 的收 敛 速度 ， 就 预 条 件 后 Ｇ ｕｓＳｉｅ 迭 代 并 ａｓ—ｅ ｌ ｄ 法 的收敛 速度 与通 常 的 Ｓ Ｒ迭 代 法 的 收敛 速度 进 Ｏ
１ １
（） Ａ ２ 若 ｘ≤ 对某 一 个正 向量 成 立 ， 么 那
就 有 ｐ ａ）≤ ， （ 进一 步 ， 如果 Ａ不 可 约且有 ０≠ ≤ Ａ ，Ｘ≠ Ａ ，ｘ≠ ｘ≤ Ｏ， ｘ Ａ 对某 一个 非负 向量 Ｌ 成立 ， Ｏ 则 Ｌ＜ｏ ａ）＜ ． （
又 由于
收 稿 日期 ： ０ ｌ—ｌ ２ ２１ ２— ５
基金项 目： 国家 自 然科学基金 资助项 目（ ０ ７０ ８ ； １ １４ ） 宝鸡文理学院重点项 目 ０ 基金资助 （ Ｋ １ １ ） Ｚ １０ ５ 作者简介 ： 雷
预处理P=(I+C)后双分裂下的SOR迭代法收敛性
预处理 Ｐ＝（ Ｉ ＋ Ｃ ）后双分裂下的 Ｓ Ｏ Ｒ迭代法收敛性
王 慧 勤 ，雷 刚
（ 宝鸡 文理 学院数 学 系，陕 西 宝鸡 ７ ２ １ ０ １ ３ ）
摘 要 ：针对预处理方法求解大型稀疏线性方程组 Ａ ｘ＝ｂ ，在以往选择预处理因子的基础上，结合矩阵分析、
Ｐ Ａ ｘ ＝Ｐ ｂ （ １ ）
其中 ， 为 阶单位 矩阵 ， Ｃ为方 阵 ，满 足
８ ０ ％ 以上 的计算 量 ，是整个 问题计 算 的瓶颈 。大 量 的数 据 和资料 显示 ，线性方 程组 的求 解时 间在整个 问题 的总计算 时 间中 占有 非 常大 的比重 ，近年来 许
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｆｏ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｖ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｌ ｉ ｎ ｅ ａ ｒ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ Ａｘ＝ｂ ｉ ｎ ｔ ｈｅ ｐ ｒ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｄ，ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｂ ａ ｓ ｉ ｓ ｏ ｆ ｓ ｅ ｌ ｅ ｃ ｔ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｅ ｃ ｏ ｎ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ｅ ｄ ｆ ａ ｃ ｔ ｏ ｒ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｐ ａ ｓ ｔ ｂ ｙ ｕ ｓ ｉ ｎ ｇ ｍａ ｔ ｉｘ ｒ ｉ ｔ ｅ ｒ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ａ ｎ ｄ ｃ ｏ ｍｐ ａ ｒ ｉ ｓ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ ｏ — ｒ ｅ ｍｓ，ｔ ｗｏ ｔ ｙ ｐ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔ ｈｅ ｓ ｐ ｌ ｉ ｔ ｆ ｏ ｒ ｍ ｗｉ ｔ ｈ ｐ ａ ｒ ａ ｍｅ ｔ ｅ ｒ ｓ ａ ｒ ｅ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ ．Ｔｈ ｅ ｎ ｅ ｗ ｓ ｐ ｌ ｉ ｔ ｔ ｉ ｎ ｇ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｓ ｎ ｏ ｔ ｏ ｎ ｌ ｙ ｃ ａ ｎ ｍａ ｋ ｅ
数值分析PPT55迭代法收敛与SOR法
|| A || || D 1 P 1 APD ||1 max ( | i | ) ( A) 易证：
1 i r
是由 || x ||v || ( PD) 1 x ||1 导出的算子范数。 Bk 0 迭代从任意向量出发收敛
所以只要取 < ，就有|| A || < (A) 。
( k 1 ) (k ) ( k 1 ) (k ) 1 x (1 ) x D [ Lx Ux b ] ( k 1 ) (k ) 1 1 x ( D L) [(1 ) D U ] x ( D L) b H f 松弛迭代阵 定理 设 A 可逆，且 aii 0，松弛法从任意 x ( 0) 出发对 某个 收敛 ( H ) < 1。
(k ) (1) ( 0 ) qk ② || x * x || || x x || 1 q
证明： ① x * x ( k ) B( x * x ( k 1) ) B ( x * x ( k ) x ( k ) x ( k 1 ) ) (k ) (k ) ( k ) ( k 1) || x * x || q(|| x * x || || x x ||)
充分条件: ||B|| < 1
e (k ) 必要条件:
|| B ||k 0 as k ( k )等价于对 ||任何算子范数有 e || 0 || 0 as k Ak || 0 as kk A B ？
( Ak (aijk ) ) nn R nn .
ri( k 1) (1 ) xi( k ) [ aij x (jk 1) aij x (jk ) bi ] xi( k ) aii a ii j<i j i
不同分裂形式的SOR与AOR迭代法收敛性比较
不同分裂形式的SOR与AOR迭代法收敛性比较雷刚【摘要】讨论预条件后用迭代法求解的线性方程组Ax=b.在预条件的基础上引入参数,给出一种含参数形式的非负分裂.证明这种分裂形式可以加速SOR迭代法的收敛性,而且收敛效果超过AOR迭代法的收敛性,说明这种分裂形式更好.%The iterative method to solve the linear system Ax=b in preconditioned is discussed. A kind of nonnegative split with parameter is given on the base of the preconditioned. This new splitting form is proved to accelerate SOR iterative method convergence not only better than the general iterative method, but also convergence rate surpass the AOR iterative method.【期刊名称】《西安工程大学学报》【年(卷),期】2012(026)003【总页数】4页(P384-386,396)【关键词】收敛性;SOR迭代法;AOR迭代法;M-矩阵【作者】雷刚【作者单位】宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013【正文语种】中文【中图分类】O241.6在求解大型线性方程组Ax＝b时（其中A＝（aij）n×n∈Rn×n，x，b∈Rn），通常有直接法求解和迭代法求解两种方法，随着并行计算机的快速发展，特别是当系数矩阵具有某种特点时，迭代法的优势不断的体现出来，而数学、物理中的许多问题求解归结为线性方程组时系数矩阵大多为M-矩阵.为加速和改善收敛性，许多学者采用预条件方法来处理［1－4］，也就是对方程两边左乘以非奇异矩阵P，转化为PAx＝Pb.通常设矩阵A＝I－L－U，I单位矩阵，L和U分别是严格下三角矩阵和严格上三角矩阵.那么求解方程组Ax＝b的SOR迭代法时将系数矩阵分解为相应的SOR迭代矩阵为如果将系数矩阵A分解为A＝（1／ω）｛（I－γL）－［（1－ω）I＋（ω－γ）L ＋ωU］｝，相应的AOR迭代矩阵为现考虑常用的预条件矩阵P＝（I＋S），其中a12，a23，…，an－1，n是系数矩阵A＝（aij）n×n对应位置上的元素.那么DP，－LP和－UP分别是系数矩阵PA的对角线部分、严格下三角部分和严格上三角部分组成的矩阵.为使得预条件后的矩阵分裂更具有一般性，引入参数α，将系数矩阵PA分解为可知当α＝1时，式（4）即为一般预条件后的矩阵分裂形式.相应的SOR迭代法的迭代矩阵为一般的预条件后SOR迭代法的迭代矩阵为定义1［5－6］设n×n实矩阵A＝（aij），如果对任意i＝j，有aij≥0，且任意i≠j，有aij≤0，那么称矩阵A为L-矩阵，如果矩阵A能表示为A＝sI－B，B≥0，当s≥ρ（B）时，称A为M-矩阵，特别当s＞ρ（B）时，称A为非奇异的M-矩阵；当s＝ρ（B）时，称A为奇异M-矩阵.其中ρ（B）为B的谱半径.定义2［7］设A为实矩阵，那么对A＝M－N，（1）如果M－1≥0且N≥0，称A＝M－N为正规分裂；（2）如果M－1≥0且M－1 N≥0，称A＝M－N为弱正规分裂；引理1［7］设A－1≥0，并且A＝M－N＝M′－N′是弱正规分裂.如果M－1≤M′－1，且N≥0，则ρ（M′－1 N′）≤ρ（M－1 N）.引理2［7］设A是H-矩阵，当0≤γ≤ω≤1 （ω≠0）时，ρ（TSOR）＜1，ρ（TAOR）＜1，其中TSOR，TAOR分别是SOR迭代矩阵和AOR迭代矩阵.引理3［7］设A为非负矩阵，则（1）若αx≤Ax对某一个非负向量x且x≠0成立，那么就有α≤ρ（A）；（2）若Ax≤βx对某一个正向量x成立，那么就有ρ（A）≤β，进一步，如果A不可约且有0≠αx≤Ax≤βx，αx≠Ax，Ax≠βx对某一个非负向量x成立，则α＜ρ（A）＜β.定理1 设线性方程组Ax＝b的系数矩阵A是不可约非奇异M-矩阵，且0＜ai，i＋1ai＋1，i＜1，i＝1，2，…，n－1，ω∈（0，1）时，TP和TPA分别由式（6）和（5）给出的一般预条件SOR迭代法和含参数形式的SOR迭代法的迭代矩阵，则∀ω≤α≤1，有ρ（TPA）≤ρ（TP）≤ρ（TSOR）＜1.证明预条件后的系数矩阵的分解可知由于ω≤α≤1，［DP－ωLP］和［αDP－ωLP］都是非负三角矩阵，且0≤［αDP －ωLP］≤［DP－ωLP］，所以［αDP－ωLP］－1≥［DP－ωLP］－1≥0.结合文献［1］的结论3，TP非负矩阵，从而迭代矩阵的谱半径是它特征值，且有与之相对应的非负特征向量x＝（x1，x2，…，xn）T，使得TPx＝ρ（TP）x.λ是通常形式的SOR迭代矩阵的谱半径，那么由引理2及其M-矩阵必是H-矩阵可知λ＜1，所以TPAx－ρ（TP）x≤0，利用引理3以及文献［8-9］得ρ（TPA）≤ρ（TP）≤ρ（TSOR）＜1.注1 从定理1可以看出，随着α的不断减小，迭代法的谱半径也在不断的减小，从而可以得到当α＝ω时，新分裂下的迭代法的谱半径达到最小.定理2 设线性方程组Ax＝b的系数矩阵A是不可约非奇异M-矩阵，且0＜ai，i＋1ai＋1，i＜1，i＝1，2，…，n－1，0≤γ≤ω≤1 （ω≠0）时，TPA是由式（5）给出的含参数形式的SOR迭代法的迭代矩阵，TAOR是由式（2）给出的AOR迭代法的迭代矩阵，那么∀ω≤α≤1，有ρ（TPA）≤ρ（TAOR）＜1.证明令预条件后PA＝（1／ω）｛（αDP－ωLP）－［（α－ω）DP＋ωUP］｝＝EP－FP.其中（1）证明E－1P≥0，FP≥0.假设SL＋SU＝D1＋L1＋U1；D1，L1，U1分别是矩阵SL＋SU的对角线部分、严格下三角部分和严格上三角部分.那么DP＝（I－D1），LP＝（L＋L1），UP＝（U－S＋U1），由于0＜ai，i＋1ai＋1，i＜1，所以DP≥0，LP≥0，UP≥0，结合0＜ω≤α≤1，可知EP－1≥0，FP≥0.又由于P＝（I＋S）是非奇异的非负矩阵，且对角线元素都为1，那么令MP＝（I ＋S）－1 EP，NP＝（I＋S）－1 FP可知，MP－1＝EP－1（I＋S）≥0，M1PNP ＝EP－1（I＋S）（I＋S）－1 FP＝EP－1FP≥0，从而A＝P－1 PA＝（I＋S）－1（EP－FP）＝MP－NP是矩阵A的一个弱正规分裂.另一方面，对于AOR迭代法，令A＝（1／ω）｛（I－γL）－［（1－ω）I＋（ω－γ）L＋ωU］｝＝M－N，那么M＝（1／ω）（I－γL），N＝（1／ω）［（1－ω）I＋（ω－γ）L＋ωU］.结合0≤γ≤ω≤1 （ω≠0）可知M－1≥0，N≥0，所以A＝M－N是一个正规分裂.（2）证明MP－1≥M－1.首先说明MP不可能等于M，如果MP＝（I＋S）－1 EP＝M，那么也就是（I＋S）MP＝（1／ω）（αDP－ωLP）＝（I＋S）（1／ω）（I－γL）＝（I＋S）M，那么可得这样，左边是下三角矩阵，右边是上三角含有非零元的矩阵，所以MP≠M.结合0＜ω≤α≤1，0≤γ≤ω≤1 （ω≠0），还可得到α（I－D1）－ω（L＋L1）≤I＋S－γL－γSL.也就是MP≤M，且它们都是非负的，所以MP－1≥M－1.综上，利用引理1及文献［10］有ρ（TPA）≤ρ（TAOR）＜1.例1 如果矩阵当ω＝0.6时，可以得到SOR迭代法的谱半径为ρ（TSOR）＝0.926 5，在预条件P＝（I＋S）后，SOR迭代法的谱半径ρ（TP）＝0.902 1，引入参数α＝1，0.8，0.6以后，可以得到新分裂下的SOR迭代法的谱半径为ρ（TPA）＝0.902 1，0.890 3，0.884 2，取γ＝0.5时，可以得到相应的AOR迭代法的谱半径为ρ（TAOR）＝0.912 8，符合定理2的结论.从理论上的分析和证明可以看出，预条件后含参数的分裂形式更一般，而且加速SOR迭代法的收敛效果要优于一般的SOR迭代法和一般的预条件SOR迭代法，并找到新分裂形式下参数的最优选择，然后将所得的结论与近年来常用的AOR迭代法的收敛性进行比较，证明这种新分裂的形式的收敛性更好，为运用计算机处理数值计算中的大型稀疏线性方程组的求解提供理论分析和算法设计.【相关文献】［1］ WAMG Xuezhong，HUANG Tingzhu，FU parison results on preconditioned SOR-type iterative method for Z-matrices linear systems［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，206：726-732.［2］张拴红，畅大为.矩阵双分裂下的收敛定理与比较定理［J］.纺织高校基础科学学报，2011，24（3）：322-325.［3］刘娟宁，畅大为.预条件I＋S＋R下的AOR迭代方法［J］.纺织高校基础科学学报，2010，23（4）：396-400；438.［4］ HUNAG Tingzhu，CHENG Guanghui，CHENG Xiaoyu.Modified SOR-type iterative method for Z-matrices［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，175：258-268.［5］ YUN Jaeheon.A note on the modified SOR method for Z-matrices［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，194：572-576.［6］高树玲，畅大为.相容次序矩阵AOR迭代收敛的充要条件［J］.纺织高校基础科学学报，2009，22（2）：229-231.［7］张谋成，黎稳.非负矩阵论［M］.广州：广东高等教育出版社，1995.［8］康锋艳，畅大为.奇异p－循环阵块AOR迭代的半收敛性［J］.纺织高校基础科学学报，2010，23（4）：389-392.［9］雷刚.预条件（I＋S）后改进矩阵分裂的SOR迭代法收敛性分析［J］.宝鸡文理学院学报，2010，31（3）：13-17.［10］刘晓光，畅大为.（1，2）相容次序矩阵SOR迭代法的敛散性［J］.纺织高校基础科学学报，2010，23（3）：303-308.。
两类预条件后SOR迭代法收敛性的比较
元 方法求 解 问题 之 中 ， 程 具 有 重 要 的 特 征 ， 是 方 一 多为 大 型 稀 疏 矩 阵 ， 是 满 足 一 些 条 件 如 对 称 正 二 定、 对角 占优 等 ， 使迭 代 法得 到 了广 泛 的应 用 。 这 另
Ｃｏ ｖｅ ｇ ｎｃ ｓ ｕｓ ｉ ｎ ｆｔ ｎ ｒ ｅ ｅ Ｄｉｃ ｓｏ ｏ ｈｅ ＳＯ Ｒ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｈｏ ｎ Ｔｗｏ Ｐｒ ｃ ｎｄｉｉ ｎｅ Ｉｅ ａ ｉｅＭ ｔ ｄ ｉ ｅｏ ｔｏ ｄ
Ｌ ｎｇ ＥＩＧａ
（ ｅａｔ ｅ ｔ ｆ ａｈ ｍ ｔ ｓ，Ｂ ｏｉ ｎｖｒ ｔ ｏ ｒ ｎ ｃｅ ｃ ， ａ ｉ ２０ ３ ｈｎ ） Ｄ ｐ ｒ ｎ ｔｅ ａｉ ｍ ｏＭ ｃ ａｊ Ｕ ｉｅｓｙ ｆ ｔ ａｄＳｉｎ ｅ Ｂ ｌ １ １ ，Ｃ ｉａ ｉ Ａ ｓ ７
ｔ ｅ ｔ ｒ ｃ ｎ ｔ０ ｅ ｈ ｗｏ ｐ ｅ ０ ｄｉｉ ｎ ｄ，ｔ ａ ｒ ｍａ ｓ ｔ ｅ ｎ ｈｅ ｐ ｐｅ ｋｅ ｈ ｕｍｅ ｉ ａ ｘ ｍｐｌ ｏ ｅ ｐ ａ ａ ｉ ｎ ｒｃ ｌｅ ａ ｅ ｔ ｘ ｌ ｎ ｔｏ ．
Ｋ ｅ ｏ ｄｓ：ｐ ｅ ｏ ｙｗ ｒ ｒ ｃ ｎｄｉｉｎ， ｃ ｎｖ ｒ ｅ ｃ ｔｏ ｏ ｅ ｇ ｎ ｅ， Ｓ ＯＲ ｔ ｒ ｔｖ ｔ ｄ ｉｅ ａ ｉ ｅ ｍｅ ｈｏ
下 ， 用矩 阵分 析及 矩 阵分裂理 论 ， 出两类预 条件 后 Ｓ Ｒ迭代 法收 敛速度 的一个 比较 定理 ， 用 运 给 Ｏ 并
数 值 例 子 加 以说 明 。
关键 词 ：预 条件 ；收敛性 ；Ｓ Ｒ迭 代 法 Ｏ
中图分 类号 ： ４ ． 文 献标 识码 ： 文章编 号 ：６ １—７ ４ （０ １ ０ Ｏ ２ １６ Ａ １７ １ ７ ２ １ ） ２—０ ３ ２ ７—０ ４
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关键词 ： 预处理 ； 收敛 性 ；Ｏ Ｓ Ｒ迭 代法 ； 谱半径
中 图分 类 号 ：２ １６ Ｏ ４ ． 文献标志码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０ ０—２ ６ （０ ０ ０ ０ ３ ０ １０ １２ ２ １ ）４— ０９— ５
Ｔｈ ｏ ｅ ｇ ｎ ｅ ｄｉｃ ｓｏ ｆ ｔ ｅ ｃ ｎｖ ｒ ｅ ｃ ｓ ｕｓ ｉ ｎ ｏ ｈｅ ＳＯＲ ｔ ｒ ｔｖ ｅ ｈｏ ｉｅ ａ ｉ ｅ ｍ ｔ ｄ ｉ ｒ ｃ ｎｄ ｔ０ ｄ ｆ ｒ ｔ ｅ ｎ ｗ ｐｌ ｔｎｇ ｎ ｐ ｅ ０ ｉｉ ｎｅ ｏ ｈ ｅ ｓ ｉ ｉ ｔ
法， 此方 法不 仅 能加速 Ｓ Ｒ迭 代法 的收 敛性 ， ０ 而且 优 于一 般 的 预处 理 方 法 ． 后 用数 值 例 子 加 以验 证 ． 最 其 中 ：为单位 矩阵 ， Ｊ Ｃ为如下形式 的方 阵（ 所有列全 为零 向量 ， 第一列 是 （ ， ： －， ））： 其 只有 ０ 一ａ － 一ａ
ｉ ｗａ ｅ ｏ ｓｎ ｕ ａ ｔｉ ｔ ｕ ｔｔ ｅ ｌｎ ａ ｙ ｔｍ ｓ Ｔ ｓｐａ ｅ ｙ ｕ ｉ ｇ ｍ ａｒｘ ｉｅａ ｉｅ ａ ａ ｙ ｉ ｎ ｔ ｓ ｌｔｎ ｎ ｉｇ ｌ ｒｍａ ｒｘ Ｐ ｏ ｍｏ ｎ ｈ ｉ ｅ ｒ ｓ ｓｅ ． ｈｉ ｐ ｒｂ ｓｎ ｔ ｔ ｒ ｔｖ ｎ ｌ ｓｓ ａ ｄ ｉ
ｍｅｈ ｄ ｎ ｔｏ ｌ ｏ ａ ｃ ｌ ｒ ｔ ｈ ｔ ｏ ｏ ｎ ｙ ｔ ｃ ｅｅ ａ ｅ ｔ ｅ ＳＯＲ ｔｒ ｔｖ ｔ ｏ ｉｅ ａｉ ｅ ｍｅｈ ｄ，ｂ ｔ ａｓ ｏ ｅ ｃ ｌｅ ｈ ｅ ｅ ａ ｒ ｃ ｎｄ ｔ ｎ ｄ Ｓ ｕ ｌｏ ｔ ｘ ｅｌ ｄ ｔ ｅ ｇ ｎ ｒ ｌｐ ｅ ｏ ｉ ｏ ｅ ＯＲ ｉ
ｍ ｅｈ ｄ． Ｌａ ｔｔ ｅ ｎ ｍ ｅ ｃ ｌｅ ａ ｔｏ ｓ ｈ ｕ ｒ ａ ｘ ｍｐｌ ｓｇ ｖ ｎ． ｉ ｅ ｗａ ｉｅ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｐ ｅ ｏ ｄ ｔ ｎ；ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ；ｔ ＯＲ ｔ ｒ ｔ ｎ ｍｅ ｈ ｄ；ｓ ｃ ｒ ｌｒ ｄｉｓ ｙ ｗｏ ｄ ｒ ｃ ｎ ｉｉ ｏ ｏ ｖ ｒｅ ｃ ｈｅ Ｓ ｉ ａｉ ｔｏ ｅ ｏ ｐｅ ｔａ ａ ｕ
非 奇 异 矩 阵 Ｐ再 求 解 ． 用 矩 阵 分 裂 理 论 及 比较 定 理 ， 出一 种 预处 理 后 改 进 的 Ｓ Ｒ 迭 代 方 法 ， 现 有 运 给 Ｏ 与
的方法进行 比较 ， 明这种方法不仅能加速 Ｓ Ｒ迭代法 的收敛性 ， 证 Ｏ 而且优 于一般 的预处理方 法． 最后 给
第３ ４卷 第 ４期
预 处理 后 新 分 裂 下 的 Ｓ Ｒ迭 代 法 收 敛 性 讨 论 Ｏ
王 慧勤 ， 雷 刚
（ 鸡 文理 学 院 数 学 系 ， 西 宝 鸡 宝 陕 ７１１ ） ２ ０ ３
摘
要： 在求解大型线性方程组 Ａ ｂ时 ， ｘ： 常采用预处理 方法求解 ， 也就 是对方程 组两边 同时乘 以
Ｗ ＡＮＧ ｉｑ ｎ，ＬＥＩＧａ ｇ Ｈｕ — ｉ ｎ
（Ｄ ｐｒ ｅ ｔ ｆ ｔｅ ａｃ ，Ｂ ｌ ｎｖｒｉ ｆ ｒ ｎ ｃ ｎ ｅ，Ｂ ｌ ７ １ １ ，Ｃ ｉ ） ｅａｔ ｎ ｏ ｈ ｍ ｔ ｓ ａ ｉ ｉ ｓｙｏ ｔ ａｄＳｉ ｃｓ ａ ｉ ２ ０３ ｈｎ ｍ Ｍａ ｉ Ｕ ｅ ｔ Ａｓ ｅ ａ
２１ ０ ０年 ７月
安 徽 大 学 学 报 （自然 科 学 版 ）
Ｊｕ ｎ ｌ ｆ ｎ ｕ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ ｒａ ｏ Ａ ｈ ｉ ｎｖ ｓ ｙ（ ａ ｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｅ ｔ ｕ ｉ
Ｊ ｌ ０１ ｕｙ ２ ０
Ｖｏ ． １ ３４ Ｎｏ． ４
Ａｂｓｒ ｃ ｔ ａ ｔ：Ｗ ｈ ｎ ｓ ｌｉ ｇ ｔ ｅ ｌ ｒｅ ｌｎ ａ ｙ ｔ ｍｓＡｘ＝ｂ，ｔｅ ｐ ｅ ｏ ｄｉ ｏ ｅ ｔ ｏ ｓｕｓ ｄ ｇ ｎ ｒ ｌ ｅ ｏ ｖｎ ｈ ａ ｇ ｉ ｅ ｒｓ ｓｅ ｈ ｒ ｃ ｎ ｔ ｎ ｄ ｍｅｈ ｄ ｗａ ｅ ｅ ｅ ａ ｌ ｉ ｙ，
善迭代 法 的收敛 性 和收敛 速度 ， 多学 者 Ｈ 选 用 预处理 方 法加 速迭 代法 的收 敛性 ， 许 即利 用 非奇 异 矩 阵
Ｐ（ 为预 处理 因子 ） 将 （ ） 转化 为 ： 称 ， １式
Ｐ ｘ ＝Ｐ ． Ａ ｂ （） ２
作者 用文 献 ［ ］ １ 中提 到 的预处 理 因子 Ｐ ＝（ Ｉ＋Ｃ） 对 采用 一种 新 的分 裂 ， 到 改进 的 Ｓ Ｒ迭代 ， 得 Ｏ
收 稿 日期 ：０ ０— ３— ６ ２１ ０ ０
基金项 目： 国家 自然科 学基 金资助项 目（０ ７ ０ ８ ； １０ １ ） 宝鸡文理 学院科研 基金资助项 目（ Ｋ ９ ２ ） ４ Ｚ ０ １７ 作者简介 ： 王慧勤 （９ ９ ） 女 ， １７ 一 ， 陕西榆林人 ， 宝鸡 文理学院讲师 ， 硕士． 引文格 式 ： 王慧 勤 ， 雷刚 ． 预处 理后 新分 裂下 的 Ｓ Ｒ迭代 法收敛 性讨 论 ［ ］ 安 徽大 学学报 ： Ｏ Ｊ． 自然科 学 版 ，００，４ ２ １ ３
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｃ ｍｐ ｒ ｏ ｈ ｏ ｅ ，ｍａ ｅ ａ ｍｐ ｏ ｅ Ｏ ｉ ｒ ｔ ｅ ｍｅｈ ｄ ｉ ｒ ｃ ｎ ｉ ｏ ｅ ｏ ａ ｓ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍｓ ｉ ｄ ｎ ｉ ｒ ｖ ｄ Ｓ Ｒ ｔ ａｉ ｔ ｏ ｎ ｐ ｅ ｏ ｄ ｔ ｎ ｄ，ｔ ｅ ｒ ｖ ｄ ｔ ｅ ｉ ｒ ｖ ｄ ｅ ｖ ｉ ｈ ｎ ｐ ｏ ｅ ｈ ｍｐ ｏ ｅ
在 求解 大型 线性方 程 组 ：
Ａ ＝ｂ ｘ （） １
时， 经常 都是 与计算 机结 合 ， 采用 迭代 法来 求解 ， 中 ： ＝ （ ∈Ｒ ， ｂ ∈Ｒ ． 其 Ａ ａ） ｘ， 常见 的迭代 法有 Ｊｃｂ 迭代 法 、 ａｓ—ｅｄｌ ａｏｉ Ｇ ｕｓ ｉｅ 迭代 法 、 次 超 松 弛迭 代 法 （ 称 Ｓ Ｒ迭 代 法 ） 为 改 Ｓ 逐 简 Ｏ ．