第一节二次曲线与直线的相关位置0引言-精品文档
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唐山师范学院本科教学大纲数学与应用数学数学与信息科学系目录《几何学》课程教学大纲3《数学分析》课程教学大纲10《高等代数》课程教学大纲31《大学物理》理论课程教学大纲43《概率论》课程教学大纲54《数学建模》课程教学大纲61《近世代数》课程教学大纲67《常微分方程》课程教学大纲71《C++程序设计（上）》课程教学大纲76《C++程序设计（下）》课程教学大纲88《复变函数》课程教学大纲96《微分几何》课程教学大纲103《数理统计》课程教学大纲109《实变函数》课程教学大纲116《泛函分析》课程教学大纲121《高等几何》课程教学大纲126《数学史》课程教学大纲132《组合数学》课程教学大纲136《数学英语》课程教学大纲142《分析方法》课程教学大纲145《代数方法》课程教学大纲154《点集拓扑学》课程教学大纲161《数值分析》课程教学大纲169《模糊数学》课程教学大纲180《数学物理方程》课程教学大纲188《数学实验》课程教学大纲194《运筹学》课程教学大纲199《差分方程》课程教学大纲206《应用随机过程》课程教学大纲212《数据库原理与应用》课程教学大纲219《Flash动画制作》课程教学大纲230《网页制作》课程教学大纲250《Photoshop》课程教学大纲270《C-Sharp程序设计》课程教学大纲279《信息与编码》课程教学大纲284《图形与图像处理》课程教学大纲290《小波分析》课程教学大纲298《密码学》课程教学大纲302《数学教学论》课程教学大纲308《教学指导与教学技能训练》课程教学大纲316数学与信息科学系教育实习教学大纲319《毕业论文》教学大纲 323《几何学》课程教学大纲课程编码：171100020课程性质：学科基础必修课程适用专业：数学与应用数学专业学时学分：60学时4.5学分所需先修课：高中数学编写单位：数信系编写人：杨景飞审定人：樊丽丽编写时间：2014年6月一、课程说明1、课程简介解析几何是大学本科数学与应用数学及信息与计算科学专业的一门重要基础课，它是数学分析、代数等许多数学分支产生和发展的基础和背景。
5.1：二次曲线与直线的相关位置
( X , Y ) t 2 2[ F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y ]t F ( x0 , y0 ) 0,
( X , Y ) (1,1) 0
F1 ( x0 , y0 ) 2 x0 0.5 y0 0.5 0 F ( x0 , y0 ) 0
的交点.
（2）
(x0,y0)
把(2)代入(1)，经过整理得关于 t 的方程
(a11 X 2 2a12 XY a22Y 2 )t 2 2{( a11x 0 a12 y0 a13 ) X (a12 x0 a22 y0 a23 )Y }t (a x 2a12 x0 y0 a y 2a13 x0 2a23 y0 a33 ) 0.
§ 5.1 二次曲线与直线的相关位置
现在我们来讨论二次曲线
F ( x, y) a11 x 2a11 xy a22 y 2a13 x 2a23 y a33 0
2 2
(1)
与过点 ( x0 , y0 ) 且具有方向 X : Y 的直线
x x0 Xt, y y0 Yt
( X , Y ) (1, 1) 2
F1 ( x0 , y0 ) 2 x0 0.5 y0 0.5 1 F ( x0 , y0 ) 4
F2 ( x0 , y0 ) 0.5x0 y0 1 2
即有
2t 2 2t 4 0,
解得:t=1, t=-2
F2 ( x0 , y0 ) 0.5x0 y0 1 0
所以, 直线在曲线上.
思考与练习: 第188页. 1.
2.
作业: 第188页. 3. 4. (2), (4)
关于二阶曲线,二级曲线
1.预备知识一维基本形指点列和线束，一维基本形之间的关系有两种；透视对应和射影对应。
1.1一维基本形的透视对应和射影对应1.1.1一维基本形的透视对应 定义1：如果两个点列与同一线束成透视对应，则这两个点列叫做透视点列，点S 叫透视中心，记以()()(),,,...,,,...S s A B C s A B C ∧''''= 如图（1），（2）对偶地，有定义2：如果两个线束与同一点列成透视对应，则这两个线束透视线束，点列的底s 叫做透视轴，记以()()(),,,...,,,...s S a b c S a b c ∧''''= 如图（3），（4）bcdD ' C 'B 'BsA A 'aD SCs '图(1)SAA 'B ' D 'B CDC ' ab cdss '图(2)由此可知，两个成透视对应的点列，其对应点之连线共点。
两个成透视对应的线束，其对应之交点共线。
1.1.2一维基本形的射影对应定义3：（Poncelet 定义）设有两个一维基本形（点列或线束）[]π与[]π'， 如果存在n 个一维基本形[][][]12,,...,n πππ，使得 [][][][][]12...n πππππ'∧∧∧∧∧则把[]π与[]π'之间的对应叫做射影对应，记以[][]ππ'∧，这1n +次透视对应形成透视链，既有限个透视对应乘积是射影对应，()()()()(),,,...,,,...,,,...S S s A B C s A B C s A B C ''∧∧''''''''''''==()(),,,...,,,...s A B C s A B C ''''''''''''∧ 如图（5）由此可以得到射影对应有以下性质： （1）保持一一对应关系； （2）[][]ππ∧；（3）如果[][]ππ'∧，则[][]ππ'∧；Db ca ' d 'b ' sdc ' aB CAS 'S图(3)CBa 'd 'b 'c 'db c aDSAsS ' 图(4)（4）如果[][]ππ'∧，[][]ππ'''∧，则[][]ππ''∧； （5）如果[][]ππ'∧，则[][]ππ'∧，但反之不成立。
解析几何课件(第五版)精选全文
所求平面方程为
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解
§3.2 平面与点的相关位置
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点到平面距离公式
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在第一个平面内任取一点，比如（0，0，1），
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定义
（通常取锐角）
两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
§3.3 两平面的相关位置
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按照两向量夹角余弦公式有
§1.5 标架与坐标
§1.7 两向量的数性积
§1.9 三向量的混合积
§1.8 两向量的矢性积
第二章 轨迹与方程
§2.1 平面曲线的方程
§2.2 曲面的方程
§2.4 空间曲线的方程
§2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程
第三章 平面与空间直线
注意 空间曲面的参数方程的表达式不是惟一的.
抛物柱面
平面
抛物柱面方程：
平面方程：
三、母线平行与坐标轴的柱面方程
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从柱面方程看柱面的特征：
（其他类推）
实 例
椭圆柱面，
双曲柱面 ，
抛物柱面，
母线// 轴
母线// 轴
母线// 轴
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a
b
椭圆柱面
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y
平面的点法式方程
平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形．
其中法向量
已知点
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解
所求平面方程为
化简得
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二次曲线的定义
a13 a23 a33 u3
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji ,| Aij || aij |2 0.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
AB(B, E, D, A) AB(D, A, B, E).
由二级曲线的射影定义，这两个射影点列的对应点连线以 及点列的底共六条直线属于同一条二级曲线，这六条直线恰好 是已知两个三点形的六条边。结论成立。
注：本题的逆命题成立。
二次曲线的射影定义
六、二阶曲线与二级曲线的统一
定理3(Maclaurin) 一条非
定义3 在射影平面上，称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线。
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象 的不同描述，因此统称为二次曲线。
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。
二次曲线的一般理论
3 F1 ( x 0 , y 0 ) X F2 ( x 0 , y 0 ) Y F ( x 0 , y 0 ) 0
扳摆扳锤(4)罢佰稗︽吵︽彪搬︽斑 邦﹀ 扯爸︽畅罢 (2)底爸邦︽碉︽倡爸邦︽ 罢册邦︽ 伴壁罢︽畅罢 (1)厂爸︽吵︽底拜﹀
佃罢︽捕邦︽便爸
传半︽衬罢︽斑
︽扳
第五章
二次曲线的一般理论
§5.1 二次曲线与直线的相关位置 §5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线
§5.3 二次曲线的切线 §5.4 §5.5 §5.6 二次曲线的直径 二次曲线的主直径和主方向 二次曲线方程的化简与分类
点笛︽布︽斑﹀ 倡爸邦︽罢册邦︽伴壁罢︽畅罢︽编︽雏半︽搬佰爸
︽罢的爸︽碘罢邦﹀
佃罢︽捕邦︽便爸 ︽扳 佃罢︽捕邦︽灯办︽ 扳
传半︽衬罢︽斑
I1 a11 a12
I2 a11 a12 a12 a22 a11 a12 a13
I 3 a12 a13
K1
︽扳
a22 a23
a13 a33
a23 a33
a22 a23 a23 a33
传半︽衬罢︽斑
a11 a13
佃罢︽捕邦︽便爸
§5.1
倡爸邦︽罢册邦︽伴壁罢︽畅罢︽拜爸︽扯爸︽畅罢︽编︽伴蠢办
︽底拜︽便︽邦﹀
倡爸邦︽罢册邦︽伴壁罢︽畅罢
F ( x, y) a11 x 2 2a12 xy a22 y 2 2a13 x 2a23 y a33 （1）
拜爸︽扯爸︽畅 罢
x x0 Xt y y0 Yt
( X , Y ) t 2 2F1 ( x0 , y0 ) X F2 ( x0 , y0 ) Y t F ( x0 , y0 ) 0
用直线方程构造的二次曲线方程
用直线方程构造的二次曲线方程【摘要】本文介绍了如何利用直线方程构造二次曲线方程，首先阐述了直线方程与二次曲线方程的关系，然后详细讲解了利用直线方程的方法来构造二次曲线方程，并通过实例分析展示了具体操作步骤。
接着讨论了直线方程构造二次曲线方程在实际应用领域中的潜力，以及其优势与局限性。
最后总结了直线方程构造二次曲线方程的重要性，展望了未来研究方向，并强调了这一研究的意义。
通过本文的研究，读者将更加深入了解直线方程如何在构造二次曲线方程中发挥作用，为相关领域的进一步研究提供了有益的参考。
【关键词】直线方程、二次曲线方程、构造、关系、方法、实例分析、应用领域、优势、局限性、重要性、发展、研究意义。
1. 引言1.1 介绍直线方程构造二次曲线方程的背景直线方程构造二次曲线方程的背景首先要回顾一下直线方程和二次曲线方程的定义。
直线方程通常表示为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
而二次曲线方程则可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是系数。
直线方程与二次曲线方程之间存在着密切的联系。
实际上，通过直线方程构造二次曲线方程是一种常见的数学方法，可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质。
通过直线方程的研究，我们可以推导出相应的二次曲线方程，从而更深入地探讨曲线的特征和行为。
在数学和工程领域，直线方程构造二次曲线方程的方法被广泛应用。
在图像处理和模式识别中，我们常常需要通过直线方程构造二次曲线方程来拟合数据点，从而实现图像的分析和识别。
直线方程构造二次曲线方程还可以用于解决最优化和拟合等问题。
直线方程构造二次曲线方程是一项重要的数学技术，具有广泛的应用价值。
通过研究直线方程构造二次曲线方程的方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，为解决实际问题提供有力的支持。
1.2 阐明文章的研究目的本文的研究目的是阐明直线方程构造二次曲线方程的方法和原理，探讨这种方法在数学和科学领域中的应用及其重要性。
二次曲线的性质与图像
二次曲线的性质与图像二次曲线在数学中是一类重要的曲线，其性质与图像具有独特的特点。
本文将探讨二次曲线的性质，包括一般形式、焦点、顶点、对称轴以及与轴交点等方面，并通过图像展示这些性质。
一、一般形式一般来说，二次曲线可以通过一般二次方程的形式表示：$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$，其中A、B、C为常数，并且$A$和$C$不能同时为零。
二、焦点焦点是定义二次曲线的一种重要概念。
焦点与直线称为准线，对于椭圆和双曲线，焦点是有两个的，而对于抛物线，焦点只有一个。
焦点与准线之间的距离称为焦距，记作$p$。
三、顶点顶点是指二次曲线的最高点或最低点。
对于椭圆和双曲线来说，顶点通常称为实顶点，而对于抛物线来说，顶点则称为虚顶点。
四、对称轴对称轴是指二次曲线的中心轴线，对称轴上存在一个对称中心，与该中心的距离为焦距的一半。
沿着这条直线对称，可以保证曲线的形状不变。
五、与轴交点与轴交点是二次曲线与直线$x=0$和$y=0$的交点。
对于椭圆和双曲线，分别与$x$轴和$y$轴有两个交点，而对于抛物线，与$x$轴有一个交点。
接下来，通过图像展示二次曲线的性质。
首先是椭圆的图像。
椭圆有两个焦点，且两个焦点与中心之间的距离相等。
顶点位于椭圆的长轴上，并且对称轴即为长轴。
与轴交点位于长轴的两个端点。
接下来是双曲线的图像。
双曲线也有两个焦点，但是焦点与中心之间的距离大于曲线的长轴长度。
顶点位于双曲线的中心处，并且对称轴即为长轴。
与轴交点位于长轴的两个端点。
最后是抛物线的图像。
抛物线只有一个焦点，焦点位于抛物线的顶点处。
对称轴和抛物线的轴是同一条线，与轴交点位于抛物线的焦点。
综上所述，二次曲线的性质与图像包括一般形式、焦点、顶点、对称轴以及与轴交点等。
通过对这些性质的了解，我们可以更好地理解和应用二次曲线。
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关于 t 的一次方程 ,直线 ( 2 ) 与二次曲线 ( 1 ) 有唯一 实交点 . 2 F (x ,y X F (x ,y Y0 .而 1 0 0) 2 0 0)
a11 a12 a13 A a12 a22 a23 a a a 13 23 33
a1 1 a1 2 A a a 12 22
*
I a a 1 11 12
a11 I2 a12
a12 a22
a11 I 3 a1) t 11 12
2 2 2 22 2 11 0 2 22 0
2 ( a x a y a ) X ( a x a y a ) Y t 11 0 12 0 13 12 0 22 0 23
2
（ 3）
( ax 2 a x y a y 2 a x 2 a y a ) 0 12 0 0 13 0 23 0 33
有2.
三、本章内容概要
二次曲线的几何性质
二次曲线方程的化简 二次曲线的分类
四、平面上的虚元素
1.虚点 2.虚向量 3.虚直线
五、二次曲线的有关记号
2 2 F ( x , y ) a x 2 a xy a y 2 a x 2 a y a 11 12 22 13 23 33
《解析几何》 －Chapter 5
0 引言 §1 二次曲线与直线的相关位置
0 引言
一、问题的提出
二、二次曲线的概念
三、本章内容概要
四、平面上的虚元素
五、二次曲线的有关记号
一、问题的提出
平面上的二次曲线有哪些？ 还有没有别的？ 如何从所给的二次方程判别它代表什么二次曲线？ 它的形状和位置如何？ 二次曲线有哪些几何性质？
( 1 ) 无交点 .
3 F ( x ,y ) X F ( x ,y ) Y F ( x ,y ) 0 . 1 0 0 2 0 0 0 0
F (x ,y 0 .( 4 ) 是矛盾方程 ,直线 ( 2 ) 与二次曲 0 0)
此时 ( 4 ) 是恒等式 ,直线 ( 2 ) 全部在二次曲 ( 1 ) 上 .
( X , Y ) t 2 F ( x , y ) X F ( x , y ) Y t 1 0 0 2 0 0
F ( x , y ) 0 0 0
（ 4） 对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论：
1 . ( X , Y ) 0 . 此时 ( 4 ) 是关于 t 的二次方 ,
F ( x , y ) a x a y a 1 11 12 13
F ( x , y ) a x a y a 2 12 22 23
F ( x , y ) a x a y a 3 13 23 33
2 2 ( x , y ) a x 2 a xy a y 11 12 22
二、二次曲线的概念
由二元二次方程
2 2 a xa 2 x y a ya 2 x 2 a y a 0 1 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 3
所表示的曲线叫做二次曲线.
, a13 注：1. a11, a12不全为零；
2.方程中系数的规律:下标“1”代表“x”，
下标“2”代表“y”，下标“3”代表“1”，交叉项前
F ( x ,y ) X F ( x ,y ) Y ( X , Y ) F ( x ,y ) 1 0 0 2 0 0 0 0
2
1 0 .方 程 ( 4 ) 有两个不等 t1 与 的 t2 ， 实 代 根 入
( 2 ) 得直 ( 2 线 ) 与二次 ( 1 曲 ) 的 线 两 个 不 同. 的实
1 二次曲线与直线的相关位置
讨论二次曲线
F ( x , y ) a x 2 a xy a y 2 a x 2 a y a
x x0 Xt 与直线 y y 0 Yt
2 2 （ 1） 11 12 22 13 23 33
（ 2）
的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方 程（1）然后讨论关于t的方程.
a12 a 22 a 23
a13 a 23 a33
a 11 a 13 a 22 a 23 K 1 a 13 a 33 a 23 a 33
例 写出二次曲线的矩阵 A 的11种符号
x2 y2 1 2 2 1 a b
2 2 2 2 xx y y 674 x y 0
2 0 .方程 ( 4 ) 有两个相等的实根 t1 与 t2 ，直线
( 2 ) 与二次曲线 ( 1 ) 有两个相互重合的实 点 .
二次曲线交于 的 两 虚 个 .点 共轭
3 0 .方 程 ( 4 ) 有两个共轭的 线 虚 ( 2 ) 与 根，
2 . (X,Y) 0 ，这时又可分三种情况 ：