直线与圆锥曲线的位置关系一教学设计
直线与圆锥曲线位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系(学案)B一、知识梳理：1.直线与圆锥曲线位置关系问题转化为研究方程组的实数解的问题或利用数形结合方法解决.几何角度: 直线与圆锥曲线位置关系,从几何角度可分为三类:无公共点,.仅有一个公共点及有两个相异公共点.代数角度: 直线与圆锥曲线位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组办法来研究,设直线l的方程为Ax+By+C=0,圆锥曲线C的方程为F(x,y)=0,联立方程组,消去y (或消去x)得到一个关于变量x的一元二次方程:ax2 +bx+x=0(1)当0时,则有下表中的结论(方程的判别式2-4ac)(2)当0时,得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲线相交,且只有一个交点,此时若C为双曲线,则直线与双曲线的渐近线平行,若C 为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴平行或重合,因此直线与抛物线,直线与双曲线有一个公共点是直线与抛物线,双曲线相切的必要条件,但不是充分条件.2.常用方法及公式(1).把研究直线与圆锥曲线的位置关系问题转化为研究方程组的实数解的问题;(2).当根不易求解时一般用韦达定理建立参数与根的关系,同时要注意用判别式检验根存在性;(3).能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题,弦长公式:设A(x),B(,y2),则|AB|==(方程是x的方程); |AB|==(方程是y的方程),当直线斜率不存在时,可求出交点坐标,直线计算弦长,另外,过焦点的弦长还可根据定义求解.(4).处理弦的中点问题时,用点差法较为方便,能直接体现弦的斜率和中点的坐标之间的关系,但不易验证根的存在.二、题型探究[探究一]：直线与圆锥曲线的交点个数问题例1:直线y=kx+1与双曲线的右支有两个不同的公共点,求实数K的取值范围.[探究二]:弦长问题例2: 已知直线y=kx+b与椭圆交于A,B两点,记的面积为S,(1)在k=0,的条件下,求S的最大值.(2).当|AB|=2,S=1时，求直线AB的方程.[探究三]:有关弦的中点问题例3:已知椭圆的左焦点为F,O为坐标原点.设过F的直线交椭圆于A,B两点,且线段AB的中点在直线x+y=0上,求直线AB方程及|AB|.三、方法提升：1、直线与圆锥曲线的公共点问题，实际上是研究由它们的方程组成的方程组的实数解的问题，此时要注意分类讨论与数形结合的思想方法；2、关于直线与圆锥曲线的相交弦问题则结合韦达定理采用设而不求的办法；3、合理引入参数表示点的坐标，减少变量。
直线与圆锥曲线的位置关系
直线与圆锥曲线的位置关系目的：1．掌握直线与圆锥曲线之间的位置关系及其判定方法．2．掌握一元二次方程根的判别式及韦达定理的应用．3．中点问题，弦长问题的求解．4．进一步应用数形结合，方程与转化的数学思想方法．重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判断中点弦，以及弦长的求法难点：数形结合，方程与转化的思想方法。
教学方法：引导式教学过程： 在中学数学教学大纲中，对圆锥曲线的研究要求到涉及直线与圆锥曲线的问题，而不讨论圆锥曲线与圆锥曲线的关系问题．因而有关直线与圆锥曲线的问题就呈现出下述特点：问题综合性强，解析几何的所有知识均涉及，还涉及函数、不等式等很多代数知识，当然还会用到平面几何知识．故要求学生对基本知识要相当熟悉，还要有较高地转化数学思想的运用能力，能将已知条件转化到基本知识的运用．本节课要求每个同学充分运用数形结合的数学思想、方程的数学思想和转化的数学思想来解决较为复杂的综合题．一、知识谋览1 . 判断直线与双曲线位置关系的一般思路2. 求弦长的方法3. 中点弦问题二. 典例谋法1.直线与圆锥曲线的位置关系小试牛刀：变式：. 1)k(x y ：l 线，4y x 线 、双曲1例22公共点的个数讨论直线与双曲线直-==-.____124),1,0()122的位置关系是则它与椭圆过点若直线=+y x l ._________152 22的取值范围是恒有公共点，则轴上的椭圆与焦点在直线m m y x x kx y =+-=.__________4,1,0)22方程为仅有一个公共点的直线且与抛物线）过定点（x y =2.中点弦、弦长问题课堂小结：处理直线与圆锥曲线相关问题是高考中的的重点，难点，热点问题。
在解题中应注意以下几点：1.联立直线与圆锥曲线的方程后，要注意对二次项系数和判别式进行讨论，要注意有一个交点和直线与圆锥曲线相切的区别；2.在判断直线与圆锥曲线的位置关系时，要注意数形结合，以形助数这一技巧的应用；3.解决与焦点有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义，处理涉及中点的问题时，除用韦达定理外，用点差法也较简单，不论应用何种方法都要对结论进行验证。
教案：直线和圆锥曲线的位置关系
课题：直线和圆锥曲线的位置关系【教材分析】本节课是平面解析几何的核心内容之一。
在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆的定义、标准方程，为本节课起着铺垫作用。
本节内容是《直线与圆的位置关系》学习的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。
这为后面解决直线与圆锥曲线的问题打下良好的基础。
这节复习课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。
数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。
因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。
【教学目标】根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征，制定如下教学目标：知识目标：能从“数”和“形”角度判断直线和圆的位置关系。
掌握直线与圆位置关系的判断方法，并会求参数的值或范围。
能力目标：培养学生提出问题和解决问题的能力；培养学生的自主探索精神和创新能力。
情感目标：通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。
【教学重点、难点与关键】本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆的综合问题的基础，更是今后学习直线和圆锥曲线的问题的基础。
对解决问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决问题。
重点：利用“代数”或“几何”的方法解决直线和圆的位置关系。
难点：在开放式教学中让学生自己发现问题，提出问题。
关键点：帮助学生寻找“数”、“形”之间的联系。
【教学方法与手段】教学方法：开放式、探究式教学。
教学手段：利用教学软件几何画板辅助教学。
【教学流程】：【教学过程及说明】：问题引入：一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报；台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长30km的圆形区域。
《直线与圆锥曲线位置关系》教案
《直线与圆锥曲线位置关系》教案
作者：王晓丹
来源：《学校教育研究》2020年第01期
一、教学目标
知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲線、抛物线的位置关系，能利用对方程组解的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系。
过程与方法：在探究过程中，运用数形结合和方程的思想，以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题，进一步提高学生解决问题的能力。
情感与态度：通过师生合作，生生合作学习，感受学习交流带来的成功感，激发学生提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。
二、教学重点与难点
重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与圆锥曲线的公共点问题。
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探索。
三、教学方法
以学生为主体，引导学生探索发现如何用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系，再通过师生合作、生生合作解决直线与圆锥曲线的相关问题。
四、教学过程
（一）复习导入
问题1：直线与圆的位置关系有相交，相切，相离三种，如果把圆换成一般圆锥曲线，又有怎样的位置关系呢？
问题2：判断直线与圆的位置关系有哪些方法？
由此，引出本节课的重点：用代数法判断直线与圆锥曲线的位置关系。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案1 直线与圆锥曲线的位置关系1
第九节 圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题． (2)理解数形结合的思想． (3)了解圆锥曲线的简单应用． 2．定值(定点)与最值问题理解基本几何量，如：斜率、距离、面积等概念，掌握与圆锥曲线有关的定值(定点)、最值问题．3．存在性问题能够合理转化，掌握与圆锥曲线有关的存在性问题．知识点一 直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y ，得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C 相离．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．易误提醒 (1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．[自测练习]1．若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：结合图形(图略)分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x ＝0，过点(0,1)且平行于x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x ＝0)，故选C.答案：C2．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案：A知识点二 弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋1k 2·|y 1－y 2| ＝1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 必备方法 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0；在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝py 0.[自测练习]3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2.则椭圆C 的方程为________．解析：则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案：x 24＋y 22＝14．已知抛物线y ＝ax 2的焦点到准线的距离为2，则直线y ＝x ＋1截抛物线所得的弦长等于________．解析：由题设p ＝12a ＝2，∴a ＝14.抛物线方程为y ＝14x 2，焦点为F (0,1)，准线为y ＝－1.直线过焦点F ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14x 2，y ＝x ＋1，消去x ，整理得y 2－6y ＋1＝0，∴y 1＋y 2＝6， ∴所得弦|AB |＝|AF |＋|BF |＝y 1＋1＋y 2＋1＝8. 答案：8考点一 直线与圆锥曲线的位置关系|1．(2016·兰州检测)若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2C ．1D ．0解析：∵直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4.∴m 29＋n 24<m 29＋4－m 24＝1－536m 2<1，∴点(m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，∴过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点有2个，故选B.答案：B2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－4(1－k 2)×(－10)>0，x 1＋x 2＝4k1－k2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解得－153<k <－1. 答案：D考点二 弦长问题|已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，O 为坐标原点，点P ⎝⎛⎭⎫－1，22在椭圆上，且PF 1→·F 1F 2→＝0，⊙O 是以F 1F 2为直径的圆，直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O 相切，并且与椭圆交于不同的两点A ，B .(1)求椭圆的标准方程；(2)当OA →·OB →＝λ，且满足23≤λ≤34时，求弦长|AB |的取值范围．[解] (1)依题意，可知PF 1⊥F 1F 2，∴c ＝1，1a 2＋12b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1.∴椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与⊙O ：x 2＋y 2＝1相切，则|m |k 2＋1＝1，即m 2＝k 2＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， ∵直线l 与椭圆交于不同的两点A ，B . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∴Δ>0⇒k 2>0⇒k ≠0，x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k 2＝1－k 21＋2k 2，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝1＋k 21＋2k 2＝λ∴23≤1＋k 21＋2k 2≤34，∴12≤k 2≤1， ∴|AB |＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 4＋k 2)4(k 4＋k 2)＋1设u ＝k 4＋k 2⎝⎛⎭⎫12≤k 2≤1， 则34≤u ≤2，|AB |＝22u4u ＋1＝212－12(4u ＋1)，u ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∵|AB |(u )在⎣⎡⎦⎤34，2上单调递增， ∴62≤|AB |≤43. 解决弦长问题的注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．(2)涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，直线y ＝k (x －2)与此抛物线相交于P ，Q 两点，则1|FP |＋1|FQ |＝( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由题意可知， |PF |＝x 1＋2，|QF |＝x 2＋2，则1|FP |＋1|FQ |＝1x 1＋2＋1x 2＋2＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4，联立直线与抛物线方程消去y 得，k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，可知x 1x 2＝4，故1|FP |＋1|FQ |＝x 1＋x 2＋4x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝x 1＋x 2＋42(x 1＋x 2)＋8＝12.故选A.答案：A考点三 中点弦问题|弦的中点问题是考查直线与圆锥曲线位置关系的命题热点．归纳起来常见的探究角度有：1．由中点弦确定直线方程． 2．由中点弦确定曲线方程． 3．由中点弦解决对称问题． 探究一 由中点弦确定直线方程1．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24(y 1＋y 2).又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12，故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.答案：x ＋2y －8＝0探究二 由中点弦确定曲线方程2．过点M (2，－2p )作抛物线x 2＝2py (p >0)的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB 的中点的纵坐标为6，则抛物线方程为________．解析：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，依题意得，y ′＝x p ，切线MA 的方程是y －y 1＝x 1p (x－x 1)，即y ＝x 1p x －x 212p .又点M (2，－2p )位于直线MA 上，于是有－2p ＝x 1p ×2－x 212p，即x 21－4x 1－4p 2＝0；同理有x 22－4x 2－4p 2＝0，因此x 1，x 2是方程x 2－4x －4p 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝－4p 2.由线段AB 的中点的纵坐标是6得，y 1＋y 2＝12，即x 21＋x 222p ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 22p＝12，16＋8p 22p＝12，解得p ＝1或p ＝2.答案：x 2＝2y 或x 2＝4y探究三 由中点弦解决对称问题3．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b >0)上的一点到双曲线的左、右焦点的距离之差为4，若抛物线y ＝ax 2上的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)关于直线y ＝x ＋m 对称，且x 1x 2＝－12，则m 的值为( )A.32 B.52 C ．2D ．3解析：由双曲线的定义知2a ＝4，得a ＝2，所以抛物线的方程为y ＝2x 2.因为点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在抛物线y ＝2x 2上，所以y 1＝2x 21，y 2＝2x 22，两式相减得y 1－y 2＝2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，不妨设x 1<x 2，又A ，B 关于直线y ＝x ＋m 对称，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－1，故x 1＋x 2＝－12，而x 1x 2＝－12，解得x 1＝－1，x 2＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－14，y 0＝y 1＋y 22＝2x 21＋2x 222＝54，因为中点M 在直线y ＝x ＋m 上，所以54＝－14＋m ，解得m＝32，选A. 答案：A对于中点弦问题，常用的解题方法是平方差法．其解题步骤为 ①设点：即设出弦的两端点坐标． ②代入：即代入圆锥曲线方程．③作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展开． ④整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解．28.设而不求整体变换思想在圆锥曲线结合问题中的应用【典例】 (2016·台州模拟)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点与抛物线C ：x 2＝43y 的焦点重合，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，且离心率e ＝12，过椭圆右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若OM →·ON →＝－2，求直线l 的方程；(3)若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，MN ∥AB ，求证：|AB |2|MN |为定值．[思维点拨](1)待定系数法求a ，b .(2)注意判断l 的斜率是否存在．(3)利用弦长公式表示出|AB |，|MN |后整体变形得结论．[解] (1)椭圆的顶点为(0，3)，即b ＝3，e ＝c a ＝12，∴a ＝2，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题可知，直线l 与椭圆必相交． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②当斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)， 且M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝4k 2－123＋4k 2＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2－8k 23＋4k 2＋1＝－5k 2－123＋4k 2＝－2，解得k ＝±2，故直线l 的方程为y ＝2(x －1)或y ＝－2(x －1)． (3)证明：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)， 由(2)可得|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫8k 23＋4k 22－4⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－123＋4k 2＝12(k 2＋1)3＋4k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx 消去y 并整理得x 2＝123＋4k 2，|AB |＝1＋k 2|x 3－x 4|＝43(1＋k 2)3＋4k 2，∴|AB |2|MN |＝48(1＋k 2)3＋4k 212(k 2＋1)3＋4k 2＝4，为定值． [方法点评] 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值.A 组 考点能力演练1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点个数是( )A ．1B ．2C ．1或2D ．0解析：因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝ba x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．答案：A2．(2016·福州质检)抛物线C 的顶点为原点，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A ，B 两点，若P (1,1)为线段AB 的中点，则抛物线C 的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y 2＝2xC ．x 2＝2yD ．y 2＝－2x解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程为y 2＝2px ，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2px 1，y 22＝2px 2，两式相减可得2p ＝y 1－y 2x 1－x 2×(y 1＋y 2)＝k AB ×2＝2，即可得p ＝1，∴抛物线C 的方程为y 2＝2x ，故选B.答案：B3．已知双曲线 x 212－y 24＝1的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B ．(－3，3) C.⎣⎡⎦⎤－33，33 D ．[－3，3]解析：由题意知F (4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y ＝±33x .当过点F 的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图象，数形结合可知应选C.答案：C4．已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22C. 2D ．2解析：如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA →·MB →＝0，知MA ⊥MB ，则|MP |＝12|AB |＝12(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－1k MF＝2. 答案：D5．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1 B. 2 C.32 D. 3解析：由椭圆的方程，可知长半轴长为a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3. 答案：D6．抛物线y 2＝－12x 的准线与双曲线x 29－y 23＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于________．解析：y 2＝－12x 的准线方程为x ＝3，双曲线x 29－y 23＝1的渐近线为y ＝±33x . 设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A ，B ，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝33x ，求得A (3，3)，同理B (3，－3)，所以|AB |＝23，而O 到直线AB 的距离d ＝3，故所求三角形的面积S ＝12|AB |×d ＝12×23×3＝3 3. 答案：3 3 7．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为________．解析：如图，由题知OA ⊥AF ，OB ⊥BF 且∠AOB ＝120°，∴∠AOF ＝60°.又OA ＝a ，OF ＝c ，∴a c ＝OA OF ＝cos 60°＝12， ∴c a＝2. 答案：28．直线l 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，且与椭圆相交于P ，Q 两点，M 为PQ 的中点，O 为原点．若△FMO 是以OF 为底边的等腰三角形，则直线l 的方程为________．解析：法一：由椭圆方程得a ＝2，b ＝c ＝1，则F (－1,0)．在△FMO 中，|MF |＝|MO |，所以M 在线段OF 的中垂线上，即x M ＝－12， 设直线l 的斜率为k ，则其方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，得x 2＋2k 2(x ＋1)2－2＝0， 即(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，∴x P ＋x Q ＝－4k 22k 2＋1，而M 为PQ 的中点， 故x M ＝12(x P ＋x Q )＝－2k 22k 2＋1＝－12， ∴k 2＝12，解得k ＝±22. 故直线l 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，由题意知k PQ ＝－k OM ，由P 、Q 在椭圆上知⎩⎨⎧ x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1，两式相减整理得k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－x 02y 0，而k OM ＝y 0x 0，故x 02y 0＝y 0x 0， 即x 20＝2y 20，所以k PQ ＝±22，直线PQ 的方程为y ＝±22(x ＋1)，即x ±2y ＋1＝0. 答案：x ±2y ＋1＝09．(2016·洛阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点F (3，0)，且椭圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，交直线x ＝m (m >a )于M 点，若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，求实数m 的值．解：(1)由题意，⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－b 2＝3，3a 2＋14b 2＝1，得a 2＝4，b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)设直线l ：y ＝k (x －3)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，y m )．将直线方程代入椭圆方程x 2＋4y 2＝4中，得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 21＋4k 2，x 1·x 2＝12k 2－41＋4k 2. 此时k P A ＝y 1－12x 1－3＝k －12(x 1－3)，k PB ＝y 2－12x 2－3＝k －12(x 2－3). ∴k P A ＋k PB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 1－3)＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12(x 2－3) ＝2k －x 1＋x 2－232[x 1x 2－3(x 1＋x 2)＋3]＝2k －83k 21＋4k 2－232⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2－41＋4k 2－3·83k 21＋4k 2＋3＝2k － 3.又M (m ，y m )在直线l 上，∴y m ＝k (m －3)，则k PM ＝y m －12m －3＝k －12(m －3).若k P A ，k PM ，k PB 成等差数列，则2k PM ＝k P A ＋k PB ，则2k －1m －3＝2k －3，解得m ＝433. 10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点P (x 0，－2)到该抛物线焦点的距离为2，动直线l 与C 交于两点A ，B (A ，B 异于点P )，与x 轴交于点M ，AB 的中点N ，且直线P A ，PB 的斜率之积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)求|AB ||MN |的最大值． 解：(1)因为点P (x 0，－2)在抛物线上，所以2px 0＝4⇒x 0＝2p. 由抛物线的定义知，2p ＋p 2＝2⇒(p －2)2＝0⇒p ＝2， 故抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，x 0＝1，得P (1，－2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，设直线AB 的方程为x ＝my ＋t ，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y 2＝4x ，消去x 得y 2－4my －4t ＝0. Δ＝16m 2＋16t >0⇒m 2＋t >0，①y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4t ，因为k 1＝y 1＋2x 1－1＝y 1＋2y 214－1＝4y 1－2. 同理k 2＝4y 2－2.所以k 1k 2＝4y 1－2·4y 2－2＝1，即y 1y 2－2(y 1＋y 2)－12＝0，即－4t －8m －12＝0⇒t ＝－2m －3.代入①得m 2－2m －3>0⇒m <－1或m >3.因为|AB |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋m 2·16m 2＋16t ＝41＋m 2·m 2－2m －3，又y M ＝0，y N ＝y 1＋y 22＝2m ， 则|MN |＝1＋m 2|y M －y N |＝21＋m 2|m |. 所以|AB ||MN |＝2m 2－2m －3|m |＝21－2m －3m 2 ＝2－3⎝⎛⎭⎫1m ＋132＋43， 故当m ＝－3时，|AB ||MN |取到最大值433. B 组 高考题型专练1．(2015·高考福建卷)已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点，点A (2，m )在抛物线E 上，且|AF |＝3.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G (－1,0)，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．解：(1)由抛物线的定义得|AF |＝2＋p 2. 由已知|AF |＝3，得2＋p 2＝3， 解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：如图，因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2,22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2.又G (－1,0)，所以k GA ＝22－02－(－1)＝223，k GB ＝－2－012－(－1)＝－223， 所以k GA ＋k GB ＝0，从而∠AGF ＝∠BGF ，这表明点F 到直线GA ，GB 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．法二：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r .因为点A (2，m )在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨设A (2，22)．由A (2,22)，F (1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝22(x －1)，y 2＝4x ，得2x 2－5x ＋2＝0， 解得x ＝2或x ＝12，从而B ⎝⎛⎭⎫12，－2. 又G (－1,0)，故直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r ＝|22＋22|8＋9＝4217. 又直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，所以点F 到直线GB 的距离d ＝|22＋22|8＋9＝4217＝r .这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．2．(2015·高考重庆卷)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .解：(1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2 ＝(2＋2)2＋(2－2)2＝23，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1. (2)法一：连接QF 1，如图，设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2，求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c. 由|PF 1|＝|PQ |>|PF 2|得x 0>0，从而|PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ，于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3.法二：连接QF1，如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，则|PF1|＝2(2－2)a，从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a，由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，因此e＝ca ＝|PF1|2＋|PF2|22a＝(2－2)2＋(2－1)2＝9－62＝6－ 3.。
101直线与圆锥曲线的位置关系
主要知识： 圆锥曲线的两类对称问题 （ 1 ） 曲 线 F ( x, y) 0 关 于 点 P( x0 , y0 ) 成 中 心 对 称 的 曲 线 是
教
F (2 x0 -x, 2 y0 y) 0 . （2）曲线 F ( x, y) 0 关于直线 Ax By C 0 成轴对称的曲线 2 A( Ax By C ) 2 B( Ax By C ) F (x ,y )0 2 2 A B A2 B 2
富县高级中学集体备课教案
年级：高三 课题 科目：数学 直线与圆锥曲线的位置关系 授课人： 第 101 课时பைடு நூலகம்
1.能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题. 教学 目标 2.会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个量后，将交点问题（包括公共 点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关 系及判别式解决问题. 重点 难点 教法 教具 直线与圆锥曲线的位置关系、弧长问题 直线与圆锥曲线的位置关系 讨论与讲授法相结合 教材、练习册 课型 学法 常规课 课前预习、 课堂合作探究 课时安排 1 课时 中心发 言人 个人主页
主要方法： 定值问题主要是研究圆锥曲线性质中的共性问题，一是从特殊位置 确定定值，然后给出证明，二是通过研究直线与圆锥曲线位置关系的 基本方法，把所给形式进行化简，从而确定定值. 最值问题是从动态角度去研究解析几何中数学问题的主要内容，一是 在准确把握题意的基础上，建立函数、不等式模型，利用二次函数、 三角函数的有界性、基本不等式解决；二是利用数形结合，考虑相切、 相交的几何意义解决. 例题分析：
学
过
程
例 1：设过原点的直线 l 与抛物线 y2=4(x-1)交于 A，B 两点,且以 AB 为直径的圆恰好过抛物线焦点 F.求: (1)直线 l 的方程;(2)|AB|的长. 巩固练习：教师用书【327】即时巩固：4,5 课后作业：对应课后提升：填空题
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
《直线和圆锥曲线的关系》教学设计方案
小结
1、在直线圆锥曲线相交问题（有关弦长、中点等）中，通常设两交点为 ，若出现 等条件时，常利用违达定理求解。
2、直线与圆锥曲线相交弦的中点问题常用点差法解题(利用点差法要注意结论是否正确)。解题过程中，注意利用中点坐标公式和两点的斜率公式。
3、对称问题的求解要充分利用两点连线和轴垂直，两点的中点在对称轴上着两个条件，将两个条件转化关于两点坐标 的等式进行计算。
信息化教学设计方案：
设计者
学号
专业
时间
一、选自数学学科新人教版高中选修1-1第二章（单元）复习（课），
具体内容如下：(编写成试卷，先发给学生做)
1.直线 被抛物 线截得的线段的中点坐标是（）
A.(2,3) B.(1,3) C.(3,2) D.(3,1)
2.抛物线 与直线 相交所得的弦长为 ，则 的值为_______
[问题1]直线 被抛物 线截得的线段的中点坐标是（）
A.(2,3) B.(1,3) C.(3,2) D.(3,1)
[投影]课件相应内容
练习、回答
由浅入深，为先给学生热热身
[问题2]抛物线 与直线 相交所得的弦长为 ，则 的值为_______
[投影]课件相应内容
思考、回答
激发学生探求新知识的欲望培养学生思考和表达的能力，为重点内容打基础
本设计方案的优缺点及改善意见：
应该先编成练习卷发给学生提前练习，否则可能会因为学生觉得内容较深而难以完成教学内容。
（A） （B） （C） (D)
[投影]课件相应内容
思考、汇报思考过程
培养学生思考和表达的能力，讲解本节课的重点内容
[问题5]抛物线 上的两点 关于直线 对称，且 ，求 的值。
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北京市北纬路中学徐学军《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计一、教材分析及学生情况分析本节课是平面解析几何的核心内容之一。
在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。
本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。
这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。
所以是承上启下的一节课。
这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。
数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。
因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。
学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。
本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。
本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。
二、教学目标根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标：知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系；②会进行位置关系的判断，计算弦长。
过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法，学会解决相关的问题。
情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。
三、教学重点、难点、关键本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。
对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。
如：解决圆锥曲线中常见的弦长问题、中点问题、对称问题等。
所以我制定的教学重点：理解直线与椭圆的位置关系，会判定及应用教学难点：应用代数方法进行判定，相关计算的准确性，理解用方程思想解决直线与圆锥曲线的位置关系关键：感悟方程组的解的个数等于直线与椭圆公共点的个数。
计算准确。
为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我是这样设计教法和学法的。
四、教法数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”。
为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现由特殊到一般，采用循序渐进的启发式教学原则。
我进行了这样的教法设计：问题引导，问题解决，由学生通过知识迁移，类比探究直线与椭圆位置关系的判断，再由教师引导，自然找出直线与椭圆的位置关系判断方法，激发学生的学习兴趣。
在解题过程中体会解决的数学方法。
五、学法我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视学法的指导。
课程改革的目标之一是“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获得新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。
数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。
我以类比归纳理论为指导，采用着重于引导学生探索研究的问题教学方法，结合师生共同讨论、归纳。
在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了：（1）提出问题——引入课题（2）思考交流结论形成：（3）理解应用——巩固方法（4）小结归纳——提高认识，四个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。
接下来，我再具体谈谈这堂课的教学过程：六、教学程序及设想教学过程实录：一、提出问题引入新课：师：我们学习过直线与圆的位置关系及判定，请你回忆相关知识。
学生回答：直线与圆有三种位置关系分别是相离（没有公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共点）。
判定方法有两种：代数法、几何法。
（教师在学生回答的同时在黑板上画出相应图形，并补充纠正。
）师：前面我们学习了圆锥曲线，其中椭圆是最基础的，那么直线与椭圆又有什么样的位置关系呢？有学生立即回答：和圆一样，相离，相切，相交；教师立即追问：如何定义呢？学生回答：类似直线与圆的位置关系的定义。
教师动手画图，并提出问题：如何来判定直线与椭圆的位置关系呢？设计意图：由已有的知识类比迁移到新知识。
师：今天我们就来研究这个问题二、 思考交流结论形成：师：通过画图我们看到，直线与椭圆的位置关系也可以归纳为相离，相切和相交，请你类比直线和圆的相离、相切、相交的定义来对直线和椭圆相离，相切和相交进行定义。
学生交流，自由发言，教师适时引导，得出结论。
直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离；直线与椭圆有一个公共点⇔直线和椭圆相切；直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交。
师：通过公共点的个数可以判断直线和椭圆的位置关系，如何确定公共点的个数呢？你有什么办法呢？ 请大家完成学案的第一题。
1、 判断直线123:1;:3;:3l y x l y x l y =+=-+=+与椭圆2214x y +=的位置关系。
学生完成练习，教师巡视，根据学生的解题情况引入代数方法。
在巡视过程中，大部分学生采用的是 代数的方法，及个别的学生画出了图像，但第三条直线与椭圆的位置关系学生画图的很少，但利用代数方法研究的同学也没有得到结论。
此时，教师及时进行了计算上辅导。
师：请你说说如何利用代数方法来进行直线和椭圆的位置关系的判断？学生：直线与椭圆的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的．联立方程组，消元，得到一个一元二次方程，则0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；0∆< ，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离。
师：方法归纳的很好，但是还要求同学们在解决方程问题时要准确计算。
设计意图：以旧带新，学生易于理解。
三、 理解应用：师：请同学们看学案的练习，完成第二个题。
2、 已知直线:2l y x m =+，椭圆22:142x y C +=，问m 为何值时，直线l 与椭圆C ：（1）有两个不同的公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点学生甲：方程联立，让判别式的值分别大于0，等于0，小于0，然后解不等式和方程即可得解。
师：有没有同学用其他的方法求得？学生乙：可不可以用画图的方法，椭圆方程是给定的，所以是定的，直线的斜率是2，纵截距是M ，所以是一族平行线，找到交点，结论不就有了吗.教师对两位同学及时表扬，并适时进行方法上的总结。
在巡视过程中，对计算上的问题再次进行辅导。
让解题比较快的学生XX 在黑板上进行板演。
设计意图：对知识进行简单应用。
师：下面我们一起来完成第3题和第4题。
3、 已知斜率为2的直线经过椭圆22154x y +=的右焦点2F ，与椭圆交于,A B 两点，求AB 的长。
师：本题的解决需要什么条件？如何由题目所给的条件去求得？前面的学习中遇到过类似的问题吗？当时是怎么解决的，方法能不能拿来一用？学生：前面学习过两点间的距离公式，所以只要有A 、B 两点的坐标，代入公式就行了。
通过题目条件可以求出直线AB 的方程，再把两个方程联立就能求交点坐标了。
这时，课代表说话了：还要解方程太麻烦了，有没有简单点的方法，不求根行吗？师：不错，那你就要好好想想啊！课代表：想不出来。
此时教师及时拉过学生的注意力，把问题进行讲解。
师：那我来说说，。
由此题一般化，得到弦长公式。
12l x =-==。
① （师：当直线与椭圆相交时，求弦长时，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理，就可以直接利用公式①求得弦长。
那如果知道弦长和椭圆的方程，你能否求得直线方程呢？公式①是否适用于直线与其他圆锥曲线的弦长计算呢？请同学们课下思考。
）设计意图：由特殊到一般，让学生体会韦达定理的应用及解析几何中“设而不求，整体代入”的解题思路。
（机动）4、已知(4,2)M 是直线l 被椭圆22436x y +=所截得的线段AB 的中点，求直线AB 的方程。
师：要求直线方程，有什么条件，还需要什么条件，如何来得到这个条件？你有什么想法？给了中点坐标，如何用这个条件呢？学生在教师的引导下，逐步得出求斜率的思路，并进行实施。
师：除了应用韦达定理求斜率外，老师给你们介绍另一种方法来完成本题的求解。
（教师板演点差法的解题过程。
）设计意图：对方法进行直观展示，方便学生理解。
四、课堂小结：由学生总结，然后教师补充。
重视对方法的总结和应用。
设计意图：由学生总结本节课所学习的主要内容，以及收获，通过数学思想方法的小结，使学生更深刻地了解数学思想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质。
七、教学反思：在新课程教育理念中，学生活动是第一位的，强调要在“做数学中学数学”，由于主体自身的智力参与，特别是主体高水平的智力参与，使外部的活动过程内化为主体内部的心理活动过程。
并从中产生出主体的个人体验。
充分体现了新课标的精神，以学生为主体，吸引学生动手实践、自主探索、合作交流。
学生以积极主动、勇于探索的学习方式体验了双曲线的形成过程，学生对所学内容会理解更深更记忆更牢。
用问题做引导，让学生在已学知识的基础上学习新的知识，体现了新课程要求的螺旋式上升的学习方式，并借助熟悉的事物逐步迁移到新事物的认知规律，由学生自主完成相关知识的学习也体现了学生为主体的新课程理念。
学生在认同与体验中建构知识技能的传授和能力的培养主要依靠解题训练，对此，波利亚揭示：“中学数学首要任务就是加强解题训练，掌握数学就是意味着善于解题”。
对于问题设计和例题设计，运用类比归纳、特殊一般的认知规律、逐步递进的方式，意在既巩固所学知识，又给学有余力的学生以更大的发展空间，体现了因材施教的原则，整个教学环节都很完整。
在授课过程中，教师始终把握解析几何的核心-用代数的方法研究几何问题，能画图的地方一定把图像画出来，需要计算的地方也按要求进行计算，随时体现数与形的紧密联系。
重视数学方法的教学渗透。
设计不足：设计之初，就想让学生多动手，所以没有使用多媒体，但实践证明确实耽误了一些时间，第4题（点差法）没有来得及讲。
如果使用多媒体，可以在前面复习引入上节省一些时间。