2第二章归纳法shangchuan

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数学必修2第二章复习总结知识点PPT课件

简记为:线线垂直，则线面垂直。
3．直线与平面垂直的另一种判定方法
两条平行直线中的一条垂直一个平面,则另
一202条1/7/2直4 线也垂直这个平面.
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直线和平面垂直的判定与性质
4.直线与平面所成的角定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. 直线与平面所成的角的范围α: 00≤α ≤900
若两个平面平行,则一个平面内的所有
直2021线/7/24都平行于另一个平面.
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直线和平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直的概念
如果直线 l 与平面内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面互相垂直，
2．直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．
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简记为:线面平行，则线线平行。
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平面和平面平行的判定与性质
1.判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.
简记为:线面平行,则面面平行.
2.性质定理:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
简记为:面面平行,则线线平行.
3.两个平面平行的一个性质:
6.平面与平面垂直的性质定理
定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.
简记为:面面垂直，则线面垂直
7.另一个性质:两个平面垂直,过一个平面的一点
作202另1/7/2一4 个平面的垂线,必在第一个平面内.
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一些常用结论 1.三条两两相交的直线可确定1个或3个平面. 2.不共面的四点可确定4个平面. 3.三个平面两两相交,交线有1条或3条. 4.正方体各面所在平面将空间分成27个部分.

人教版选修2-2第二章 3数学归纳法(上)-广东省肇庆市肇庆学院附属中学高二数学2020春(共25张

........ 10个圆片的时候: 210 1 问题3：n个圆片的时候是 ? 次
an 2n 1
二、数学归纳法类比多米诺骨牌效应探究一：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？
二、数学归纳法雏形：多米诺骨牌效应（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.
条件（1）的作用是什么？
基础自测2.用数学归纳法证明 3nn3(n3,nN)，第一步应验证（ C ）
A.n 1
B.n 2
C.n 3
D.n 1
注意：有些问题中验证的初始值不一定是1.
基础自测3.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线有第一步检证n等于（ C ）
1 2
n(n
3)
条时，
A.n 1
B.n 2
C.n 3
D.n 1
注意：当n<3时构不成多边形，且由
1 n(n 3) 2
可知 n 3
.
技能2：能弄清两端项的情况
例2 .用数学归纳法证明等式 1+2+3+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1) 当n＝1时，左边所得项是 1_+_2_+__3___ ；左边=6，右边= (1 1 )(2 1 ) 2 3 6 当n＝2时，左边所得项是 1_+_2_+__3_+_4_+_5__ ；左边=15，右边= (2 1 )(4 1 ) 3 5 1 5 当n＝k时，左边所得项是 1_+_2_+_3_+_…_+_(_2_k_+_1_)_=_左__边，；右边= (k1)(2k1)
左边=右边，当 n 1 时，等式成立 .

最新人教版高中数学选修2-2第二章《数学归纳法》示范教案(第2课时)

第2课时教学目标1．知识与技能目标(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(2)进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．(3)掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．2．过程与方法目标(1)利用“归纳—猜想—证明”模式解决问题，培养学生自觉运用数学归纳法的意识．(2)培养学生综合运用知识的能力及解题时的目标意识．(3)培养学生思维的严谨性，培养学生观察、归纳、发现的能力，并能以递推的思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，使学生的抽象思维和概括能力进一步提升．3．情感、态度与价值观通过对数学归纳法的学习，培养学生勇于探索、创新的个性品质，培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，进一步培养学生思维的严密性．通过学生之间的交流和讨论，增强学生之间的团结合作意识，提高学生的语言交流能力．重点难点重点：(1)由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时项的确定．(2)处理P(k ＋1)时“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用．难点：(1)初步形成“观察—归纳—猜想—证明”的思维模式．(2)处理P(k ＋1)时“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用．(3)运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现递推关系．教学过程复习巩固让学生独立完成下列练习题1．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k(k ∈N )时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题成立，那么可推导出( )A ．当n ＝6时命题不成立B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立2．某个命题与正整数有关，如果当n ＝k(k ∈N )时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时，该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立．．．，那么可推导出( ) A ．当n ＝6时命题不成立 B ．当n ＝6时命题成立C ．当n ＝4时命题不成立D ．当n ＝4时命题成立3．已知f(n)＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则下列说法正确的是( ) A ．f(n)中共有n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13B ．f(n)中共有n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋14C ．f(n)中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13D ．f(n)中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f(2)＝12＋13＋144．设f(n)＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N )，那么f(k ＋1)－f(k)等于…( ) A.12k ＋1 B.12k ＋2C.12k ＋1＋12k ＋2D.12k ＋1－12k ＋2活动结果：1.B 2.C 3.D 4.D设计意图练习中4个题难度不大，但题目小巧灵活，用来复习旧知，为师生共同探讨下面的例题作准备．5．用数学归纳法证明12＋22＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6(n ∈N )．思路分析：注意数学归纳法的两步一结论，特别是归纳假设的利用．证明：(学生板演)(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝1×(1＋1)×(2×1＋1)6＝1等式成立． (2)假设当n ＝k(k ∈N )时等式成立，即12＋22＋…＋k 2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6，那么，当n ＝k ＋1时左边＝12＋22＋…＋k 2＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)6＋(k ＋1)2＝k (k ＋1)(2k ＋1)＋6(k ＋1)26＝(k ＋1)(2k 2＋7k ＋6)6＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)6＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋1]6＝右边，即当n ＝k ＋1时等式成立．根据(1)和(2)可知等式对任何n ∈N 都成立．点评：应用归纳假设的过程中要注意变形的目的性，否则由n ＝k 到n ＝k ＋1的变形不易完成．设计意图通过本题复习数学归纳法的证明步骤，体会由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时归纳假设的应用及在证明过程中强化“目标意识”．典型示例类型一：用数学归纳法证明“等式”例1设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ∈N *.求a 2，a 3，a 4，由此猜想a n 的一个通项公式，并证明你的结论．思路分析：在“推理与证明”一节课中已经熟悉了这种模式，由于这是一个与正整数有关的命题，可以考虑用数学归纳法证明．由于上节课刚学完数学归纳法，此题学生想到用数学归纳法证明很容易．证明：由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5.由此猜想a n ＝n ＋1，下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，a 1＝1＋1，猜想成立．(2)假设当n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝k ＋1，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a 2k －ka k ＋1＝(k＋1)2－k(k ＋1)＋1＝k ＋2＝(k ＋1)＋1.所以，当n ＝k ＋1时，猜想也成立．由(1)(2)知，对于任意n ∈N *都有a n ＝n ＋1成立．点评：此例属于用数学归纳法证明“等式”．以数列为背景，培养学生“观察→分析→归纳→猜想→证明”这种从特殊到一般的数学思维，体会数学归纳法在数列中的应用．巩固练习是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c)对一切正整数成立？并证明你的结论．解：假设存在a 、b 、c 使上式对n ∈N 均成立，则当n ＝1,2,3时上式显然也成立，此时可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1×22＝16(a ＋b ＋c )，1×22＋2×32＝12(4a ＋2b ＋c )，1×22＋2×32＋3×42＝9a ＋3b ＋c ，解此方程组可得a ＝3，b ＝11，c ＝10，下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)对一切正整数均成立．(1)当n ＝1时，命题显然成立．(2)假设n ＝k 时，命题成立．即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k ＋1)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1×22＋2×32＋3×42＋…＋k(k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k ＋112[k(3k 2＋11k ＋10)＋12(k ＋2)2]＝(k ＋1)(k ＋2)12(3k 2＋17k ＋24)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]12[3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10]．所以，当n ＝k ＋1时，命题也成立．综上所述，存在常数a ＝3，b ＝11，c ＝10，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n(n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn ＋c)对一切正整数均成立．类型二：用数学归纳法证明“不等式”例2(2009山东高考理20题改编)已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N ，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立．思路分析：没有要求用哪种方法来证明，首先要综合分析是选用分析法？综合法、反证法、还是数学归纳法来证明．此题与正整数有关可以考虑数学归纳法，当然也不能把学生试图用其他方法证明的想法一棍子打死．证明方法的选用体现了新学知识与旧知识的融合，而不能仅停留在刚学完什么方法就用什么方法证明的思维误区中，以至于在复习考试时非常被动．证明：由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n. 下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n >n ＋1成立． ①当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立． ②假设当n ＝k(k ≥1且k ∈N )时不等式成立，即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k >k ＋1成立．则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋12k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1) >4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1) ＝k ＋2 ＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①、②可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N 都成立．点评：本题属高考改编题，与高考题相比，删去了与数学归纳法无关的某些内容，一方面提高了课堂效率，突出了本节课的重点，同时也体现了数学归纳法在证明不等式中的应用，结合了分析法、放缩法等其他方法证明不等式．用数学归纳法证明不等式要有目标意识，考虑到n ＝k ＋1时不等式的左边为分式右边为根式，所以一般先将要证明的不等式两端都化成同一种形式(同为分式或根式)，再根据目标进行合理放缩．本题证法的关键是“4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)”这一步的放缩．巩固练习证明不等式1＋12＋13＋…＋1n <2n(n ∈N )．证明：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2.左边<右边，不等式成立．②假设n ＝k 时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k. 那么当n ＝k ＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1＝右边，这就是说，当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意正整数都成立．类型三：用数学归纳法证明整除性问题例3对于n ∈N *，求证：(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1可被(x 2＋3x ＋3)整除．思路分析：此题既不是证明等式也不是证明不等式，代数式的整除性是第一次遇到，用以前学过的方法不好处理，又由于此命题与正整数有关，故考虑用数学归纳法来证明．证明：(1)当n ＝1时，(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1＝(x ＋1)2＋(x ＋2)1＝x 2＋3x ＋3可被(x 2＋3x＋3)整除，命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2k －1＝(x 2＋3x ＋3)·f(x)．当n ＝k ＋1时，(x ＋1)k ＋2＋(x ＋2)2k ＋1＝(x ＋1)(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2(x ＋2)2k －1＝(x ＋1)(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2(x ＋2)2k －1＋(x ＋1)(x ＋2)2k －1－(x ＋1)(x ＋2)2k －1＝(x ＋1)[(x ＋1)k ＋1＋(x ＋2)2k －1]＋[(x ＋2)2－(x ＋1)](x ＋2)2k －1＝(x ＋1)(x 2＋3x ＋3)·f(x)＋(x 2＋3x ＋3)(x ＋2)2k －1＝(x 2＋3x ＋3)·[(x ＋1)f(x)＋(x ＋2)2k －1]，∴当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知对一切n ∈N *，(x ＋1)n ＋1＋(x ＋2)2n －1可被(x 2＋3x ＋3)整除．点评：整除问题一般要面临因式分解，所以在证明n ＝k ＋1时，要对式子进行合理的添加项使得既能提取公因式进行因式分解又能利用归纳假设，一般添加项的项是从两项中各取一个因式然后相乘得到．本题中添加的项是(x ＋1)(x ＋2)2k －1，也可以是(x ＋1)k ＋1(x ＋2)2.巩固练习求证：对于任意n ∈N ，3×52n －1＋23n －2可被17整除．证明：(1)当n ＝1时，即3×5＋2＝15＋2＝17命题成立．(2)假设n ＝k 时命题成立，即3×52k －1＋23k －2＝17M ，M ∈N ．则当n ＝k ＋1时，3×52k ＋1＋23k ＋1＝25×3×52k －1＋8×23k －2＝25×3×52k －1＋8×23k －2＋25×23k －2－25×23k －2＝25(3×52k －1＋23k －2)－17×23k －2＝25×17M －17×23k －2＝17(25M －23k －2)，∴n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知对于任意n ∈N ，3×52n －1＋23n －2可被17整除．类型四：用数学归纳法证明相关问题例4平面上有n(n ∈N *，n ≥2)条直线，任意两条不平行，任意三条不共点，求证：(1)共有交点a n ＝12n(n －1)个； (2)构成线段或射线b n ＝n 2条．思路分析：用数学归纳法证明平面几何中与自然数有关的证明题的时候，关键是分析好由n ＝k 到n ＝k ＋1时的证明思路，而要找到证明思路就要通过分析当直线的条数由n ＝2增加到n ＝3时交点(线段或射线)增加的数目以及为什么增加，这样由特殊到一般就容易找到由n ＝k 到n ＝k ＋1时交点(线段或射线)增加的数目以及为什么增加，从而找到证明思路．证明：(1)①当n ＝2时，a 2＝1，结论成立，②假设n ＝k 时结论成立，即a k ＝12k(k －1)，则当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线与前k 条有k 个交点，∴a k ＋1＝a k ＋k ＝12k(k －1)＋k ＝12k(k ＋1)．∴结论成立．由①②知，结论共有交点a n ＝12n(n －1)(n ≥2)个成立．(2)①n ＝2时，b 2＝4，结论成立．②假设n ＝k 时结论成立，即b k ＝k 2，则当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线上有k 个交点，将第k ＋1条直线分成k ＋1部分，k 个交点在原k 条线上，每一点将所在线段或射线分成两部分，增加了k 部分．∴b k ＋1＝b k ＋(k ＋1)＋k ＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.∴结论成立．由①②知，对一切n ∈N ，n ≥2，b n ＝n 2成立．巩固练习平面上有n(n ∈N *，n ≥2)条直线，任意两条不平行，任意三条不共点，求证：将平面分成c n ＝12n(n ＋1)＋1部分．证明：①n ＝2时，两条相交直线将平面分成4部分，c 2＝12·2·(2＋1)＋1＝4，结论成立． ②假设n ＝k 时结论成立，即c k ＝12k(k ＋1)＋1，当n ＝k ＋1时，第k ＋1条直线被分成k ＋1段，每一段将原来那一部分分成两部分，即增加了k ＋1部分．∴c k ＋1＝c k ＋(k ＋1)＝12k(k ＋1)＋(k ＋1)＋1＝12(k ＋1)(k ＋2)＋1，即n ＝k ＋1时结论成立．由①②知对一切n ∈N ，n ≥2，c n ＝12n(n ＋1)＋1成立．变练演编用数学归纳法证明(n ＋1)(n ＋2)(n ＋3)…(n ＋n)＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N )时，从“n ＝k →n ＝k ＋1”两边需同乘以一个代数式，它是( )A ．2k ＋2B ．(2k ＋1)(2k ＋2)C.2k ＋2k ＋1D.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1解析：当n ＝k 时，(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k)＝2k ·1·3·…·(2k －1)，当n ＝k ＋1时，(k ＋1＋1)(k ＋1＋2)…(k ＋1＋k ＋1)＝2k ＋1·1·3·…·[2(k ＋1)－1]．通过对比等式左边可知，增加了两个因式(2k ＋1)(2k ＋2)，减少了一个因式k ＋1.故答案选D.答案：D达标检测1．如果命题P(n)对于n ＝k(k ∈N *)时成立，则它对n ＝k ＋2也成立，若P(n)对于n ＝2时成立，则P(n)对所有的________都成立．①正整数 ②正偶数 ③正奇数 ④大于1的正整数2．如果命题p(n)对n ＝k 成立，则它对n ＝k ＋1也成立，现知p(n)对n ＝4不成立，则下列结论正确的是( )A ．p(n)对n ∈N 成立B ．p(n)对n>4且n ∈N 成立C ．p(n)对n<4且n ∈N 成立D ．p(n)对n ≤4且n ∈N 不成立3．利用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1n ＋n >1324时，由k 递推到k ＋1不等式左边应添加的项是( )A.12(k ＋1)B.12k ＋1＋12(k ＋1)C.12k ＋1－12(k ＋1)D.12k ＋1答案：1.② 2.D 3.C反考老师已知m 为正整数，用数学归纳法证明当x>－1时，(1＋x)m ≥1＋mx.证明：(ⅰ)当m ＝1时，原不等式成立；当m ＝2时，左边＝1＋2x ＋x 2，右边＝1＋2x ， ∵x 2≥0，所以左边≥右边，原不等式成立；(ⅱ)假设当m ＝k 时，不等式成立，即(1＋x)k ≥1＋kx ，则当m ＝k ＋1时，∵x>－1，∴1＋x>0，于是在不等式(1＋x)k ≥1＋kx 两边同乘以1＋x 得(1＋x)k ·(1＋x)≥(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k ＋1)x ＋kx 2≥1＋(k ＋1)x ，所以(1＋x)k ＋1≥1＋(k ＋1)x ，即当m ＝k ＋1时，不等式也成立．综合(ⅰ)(ⅱ)知，对一切正整数m ，不等式都成立．课堂小结1．知识收获：(1)数学归纳法的证明步骤．(2)用数学归纳法证明等式、不等式、整除等问题的主要思路．2．方法收获：目标意识，用数学归纳法证明时有一个技巧，即当n ＝k ＋1时，代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”．3．思维收获：体会数学的严谨性，提高思维的深刻性和批判性，养成严谨缜密的思维习惯．布置作业教材习题2.3 A 组第2题，B 组第1,2题．补充练习基础练习1．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1，则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1. 所以，当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．上述证明的错误．．是__________． 2．对于n ∈N *，n ≥2，求证：1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n. 答案：1.没有用上归纳递推2．证明：(1)当n ＝2时，左边＝1＋14＝54<32＝2－12＝右边，所以不等式成立． (2)假设n ＝k 时不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k，当n ＝k ＋1时，左＝1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1k (k ＋1)＝2－(k ＋1)－1k (k ＋1)＝2－1k ＋1，即n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)知对一切n ∈N *，n ≥2不等式成立．拓展练习3．首项为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝14(a 2n ＋3)，n ∈N *. 证明若a 1为奇数，则对一切n ≥2，a n 都是奇数．证明：已知a 1是奇数，可假设a k ＝2m －1，其中m 为正整数，则由递推关系得a k ＋1＝a 2k ＋34＝m(m －1)＋1是奇数．根据数学归纳法，对任何n ∈N ，a n 都是奇数．设计说明第1课时已经理解了数学归纳法的原理及步骤，本节课主要熟悉用数学归纳法证明各种题型，进一步加深对数学归纳法的理解，特别是证明当n ＝k ＋1时有一个技巧：即代入假设后再写出结论，然后往中间”凑”．对于教学中学生可能遇到的障碍也通过例题得到清除．常见障碍：1．由“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”时项的确定(产生此障碍的原因：没弄清计数规律，这类问题，通常按“找规律，定项数”的方法来处理)．2．若命题中n 为正奇数(或正偶数)，在第二步假设“n ＝k 时命题成立”，误认为需证明“n ＝k ＋1时命题也成立”(错因：忽略相邻的正奇数相差2)．3．处理P(k ＋1)时不善于“拆、分、并、补”等配凑技巧的应用(原因：缺乏目标意识)．4．不能灵活运用其他证明不等式的方法，如比较法、分析法、综合法、放缩法(原因：对“数学归纳法”缺乏认识，忽略了应用数学归纳法证题时可以结合其他数学方法)．备课资料例1：(2009陕西卷理)已知数列{x n }满足，x 1＝12，x n ＋1＝11＋x n，n ∈N *. 猜想数列{x 2n }的单调性，并证明你的结论．思路分析：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n ＝k ＋1时，等式两边的式子与n ＝k 时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，或减少了哪些项，问题就容易解决．解：由x 1＝12及x n ＋1＝11＋x n得x 2＝23，x 4＝58，x 6＝1321. 由x 2>x 4>x 6猜想：数列{x 2n }是递减数列．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，x 2>x 4，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即x 2k >x 2k ＋2.易知x 2k >0，那么x 2k ＋2－x 2k ＋4＝11＋x 2k ＋1－11＋x 2k ＋3＝x 2k ＋3－x 2k ＋1(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋3) ＝x 2k －x 2k ＋2(1＋x 2k )(1＋x 2k ＋1)(1＋x 2k ＋2)(1＋x 2k ＋3)>0，即x 2(k ＋1)>x 2(k ＋1)＋2.也就是说，当n ＝k ＋1时命题也成立，结合(1)和(2)知，命题成立．例2：求证：(1＋1)(1＋13)…(1＋12n －1)>2n ＋1，n ∈N *. 思路分析：与正整数有关的不等式证明可以考虑数学归纳法，关键在于由假设n ＝k 时不等式成立推出当n ＝k ＋1时不等式成立，在这个过程中可以应用分析法或者是放缩法．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1＋1＝2＝4>3＝右边，所以不等式成立．(2)假设n ＝k 时不等式成立，即(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)>2k ＋1，当n ＝k ＋1时，左＝(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)(1＋12k ＋1)>2k ＋1(1＋12k ＋1)＝2k ＋22k ＋1，欲证：左边>2(k ＋1)＋1＝右边，只需证(2k ＋22k ＋1)2－(2k ＋3)2＝(2k ＋2)2－(2k ＋1)(2k ＋3)2k ＋1＝12k ＋1>0. ∴2k ＋22k ＋1>2k ＋3.∴n ＝k ＋1时不等式成立．由(1)(2)知对一切n ∈N *不等式成立．点评：由假设n ＝k 时不等式成立推出当n ＝k ＋1时不等式成立的过程中也可以应用放缩法：左边＝(1＋1)(1＋13)…(1＋12k －1)＋(1＋12k ＋1)>2k ＋1(1＋12k ＋1) ＝2k ＋22k ＋1＝(2k ＋2)22k ＋1＝4k 2＋8k ＋42k ＋1>4k 2＋8k ＋32k ＋1＝(2k ＋1)(2k ＋3)2k ＋1 ＝2k ＋3＝2(k ＋1)＋1＝右边．(设计者：张建霞)。

步步高选修2-2第二章习题课数学归纳法

学习目标 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题的方法.2.掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．知识点一归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明．知识点二数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步归纳递推时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．类型一求参数问题例1 是否存在常数a ，b ，c ，使等式1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？并证明你的结论．解分别将1,2,3代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－14，c ＝0.下面用数学归纳法证明：1·(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2) ＝14n 4－14n 2(n ∈N *)． (1)当n ＝1时，左边＝1·(12－12)＝0，右边＝14－14＋0＝0，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝1·[(k ＋1)2－12]＋2·[(k ＋1)2－22]＋…＋k ·[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝1·(k 2－12)＋2·(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋1·(2k ＋1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1) ＝14k 4－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2 ＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2. 由(1)(2)知，等式对一切正整数都成立．反思与感悟这类猜测存在性问题的思路：若存在a ，b ，c 使等式成立，首先在n ＝1,2,3时，等式应成立，因此由n ＝1,2,3，先把a ，b ，c 求出，再代回等式，最后用数学归纳法证明存在常数a ，b ，c ，使等式成立．跟踪训练1 是否存在常数a ，b ，使得等式121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)·(2n ＋1)＝an 2＋n bn ＋2对一切正整数n 都成立？并证明你的结论. 解令n ＝1，得3a －b ＝－1，令n ＝2，得10a －3b ＝－2，联立⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －b ＝－1，10a －3b ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.以下用数学归纳法证明：121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n 2＋n 4n ＋2(n ∈N *)． (1)当n ＝1时，易知结论成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，则 121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＝k 2＋k 4k ＋2. 则当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k 2＋k 4k ＋2＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k (k ＋1)(2k ＋3)＋2(k ＋1)22(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(2k 2＋3k ＋2k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(2k ＋1)(k ＋2)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝k 2＋3k ＋24k ＋6＝(k ＋1)2＋(k ＋1)4(k ＋1)＋2.故当n ＝k ＋1时，结论也成立．根据(1)(2)知，对一切正整数n ，结论成立．类型二整除问题例2 求证：当n ∈N *时，a n ＋1＋(a ＋1)2n－1能被a 2＋a ＋1整除．证明 (1)当n ＝1时，a 1＋1＋(a ＋1)2×1－1＝a 2＋a ＋1，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，a k ＋1＋(a ＋1)2k－1能被a 2＋a ＋1整除，则当n ＝k ＋1时，a k ＋2＋(a ＋1)2k ＋1＝a ·a k ＋1＋(a ＋1)2·(a ＋1)2k －1 ＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a ＋1)2(a ＋1)2k －1－a (a ＋1)2k －1＝a [a k ＋1＋(a ＋1)2k －1]＋(a 2＋a ＋1)(a ＋1)2k －1.由归纳假设，上式中的两项均能被a 2＋a ＋1整除，故当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N *，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成当n ＝k 时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2 用数学归纳法证明(3n ＋1)·7n －1(n ∈N *)能被9整除．证明 (1)当n ＝1时，4×7－1＝27，能被9整除． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即(3k ＋1)·7k －1能被9整除，则当n ＝k ＋1时，(3k ＋4)·7k ＋1－1＝7·(3k ＋1)·7k ＋21·7k －1＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋6·7k ＋21·7k＝[(3k ＋1)·7k －1]＋18k ·7k ＋27·7k ，由假设知，(3k ＋1)·7k －1能被9整除，又因为18k ·7k ＋27·7k 能被9整除，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知，对一切n ∈N *，(3n ＋1)·7n －1都能被9整除．类型三有关几何问题例3 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数为f (n )＝n (n －1)2.证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n ＝2时，命题成立．(2)假设n ＝k (k >2，k ∈N *)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线交点个数为 f (k )＝12k (k －1)，那么当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线交点个数为f (k )＝12k (k －1)，l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k＝12k (k －1＋2) ＝12k (k ＋1)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n ∈N *，n ≥2，命题都成立．反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 平面内有n (n ∈N *)个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2部分．证明 (1)当n ＝1时，分为2块，f (1)＝2，命题成立； (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，被分成f (k )＝k 2－k ＋2部分，那么当n ＝k ＋1时，依题意，第k ＋1个圆与前k 个圆产生2k 个交点，第k ＋1个圆被截为2k 段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k 个区域．所以f (k ＋1)＝f (k )＋2k ＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2，即当n ＝k ＋1时，命题成立．由(1)(2)知命题成立．1．用数学归纳法证明n 边形的内角和为(n －2)·180°时，其初始值n 0为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C2．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，那么a ，b ，c 的值为( ) A ．a ＝12，b ＝c ＝14B ．a ＝b ＝c ＝14C ．a ＝0，b ＝c ＝14D ．a ，b ，c 不存在答案 A解析令n 等于1,2,3，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝3(a －b )＋c ，1＋2×3＝9(2a －b )＋c ，1＋2×3＋3×32＝27(3a －b )＋c ，解得a ＝12，b ＝c ＝14.3．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *且n >1)时，假设当n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是________________________．答案 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1<k ＋14．用数学归纳法证明“n 3＋5n 能被6整除”的过程中，当n ＝k ＋1时，对式子(k ＋1)3＋5(k ＋1)应变形为________________________．答案 (k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6解析采取配凑法，凑出归纳假设k 3＋5k 来，(k ＋1)3＋5(k ＋1)＝k 3＋3k 2＋3k ＋1＋5k ＋5＝(k 3＋5k )＋3k (k ＋1)＋6.5．用数学归纳法证明：当n 是非负整数时，34n ＋2＋52n＋1能被14整除．证明 (1)当n ＝0时，34n ＋2＋52n ＋1＝14，能被14整除． (2)假设当n ＝k (k ≥0，k ∈N )时，34k ＋2＋52k＋1能被14整除，则当n ＝k ＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1＝34k ＋6＋52k ＋3＝81×34k ＋2＋25×52k ＋1＝25×(34k ＋2＋52k ＋1)＋56×34k ＋2.显然25×(34k ＋2＋52k ＋1)是14的倍数，56×34k＋2也是14的倍数，故34k ＋6＋52k＋3是14的倍数，即当n ＝k ＋1时，34(k＋1)＋2＋52(k＋1)＋1能被14整除．综合(1)(2)知，当n 是非负整数时，34n ＋2＋52n＋1能被14整除．1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n 0不一定为1，可根据题目要求和问题实际确定n 0.3．从n ＝k 到n ＝k ＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设．课时作业一、选择题1．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．6答案 C解析当n 取1、2、3、4时，2n >n 2＋1不成立，当n ＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n >n 2＋1的n 值为5，故选C.2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( )A ．1＋12<2B ．1＋12＋13<2C ．1＋12＋13<3D ．1＋12＋13＋14<3答案 B解析 ∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值为n 0＝2. ∴第一步应验证1＋12＋13<2，故选B.3．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析凸n 边形边数最小时是三角形，故第一步检验n ＝3.4．设n 为正整数，f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72.观察上述结果，可推测出一般结论( ) A ．f (2n )>2n ＋12B ．f (n 2)>n ＋22C ．f (2n )≥n ＋22D ．以上都不正确答案 C解析由f (2)＝32，f (22)＝42，f (23)＝52，f (24)＝62，f (25)＝72，可推测出f (2n )≥n ＋22.5．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.6．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥2)，而a 1＝1，通过计算a 2，a 3，a 4，猜想a n 等于( ) A.2(n ＋1)2B.2n (n ＋1)C.22n －1D.22n －1 答案 B解析 a 2＝13，a 3＝16，a 4＝110，猜想a n ＝2n (n ＋1).二、填空题7．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，在第二步证明从n ＝k 到n ＝k＋1不等式成立时，左边增加的项数为________．答案 2k解析项数为2k ＋1－2k ＝2k .8．用数学归纳法证明x n －y n 能被x ＋y 整除(n 为正奇数)时，假设n ＝k (k 为正奇数)时，命题成立，再证n ＝______时，命题也成立．答案 k ＋29．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )＝______________.答案13n ＋13n ＋1＋13n ＋210．用数学归纳法证明“凸n (n ≥3，n ∈N )边形的内角和公式”时，由n ＝k 到n ＝k ＋1时增加了________．答案 180°解析凸n 边形内角和为180°×(n －2)，则180°×(k ＋1－2)－180°×(k －2)＝180°. 三、解答题11．已知f (n )＝(2n ＋7)×3n ＋9(n ∈N *)，用数学归纳法证明f (n )能被36整除．证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝(2＋7)×3＋9＝36，能被36整除． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，f (k )＝(2k ＋7)×3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ＋1＋2×3k ＋1＋9＝(2k ＋7)×3k ×3＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k ＋9]－27＋2×3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)×3k ＋9]＋18(3k －1－1)．由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除，即当n ＝k ＋1时，f (n )也能被36整除．根据(1)和(2)，可知对一切正整数n ，都有f (n )＝(2n ＋7)×3n ＋9能被36整除．12．是否存在常数a 、b 、c ，使得等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(an 2＋bn＋c )对一切正整数成立？并证明你的结论．解假设存在a 、b 、c ，使题中等式对一切正整数成立，则当n ＝1,2,3时，上式显然也成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1×22＝16(a ＋b ＋c )，1×22＋2×32＝12(4a ＋2b ＋c )，1×22＋2×32＋3×42＝9a ＋3b ＋c ，解得a ＝3，b ＝11，c ＝10.下面用数学归纳法证明等式1×22＋2×32＋3×42＋…＋n (n ＋1)2＝n (n ＋1)12(3n 2＋11n ＋10)对一切正整数均成立．(1)当n ＝1时，命题显然成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即1×22＋2×32＋3×42＋…＋k (k ＋1)2 ＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)，则当n ＝k ＋1时，有1×22＋2×32＋…＋k (k ＋1)2＋(k ＋1)(k ＋2)2 ＝k (k ＋1)12(3k 2＋11k ＋10)＋(k ＋1)(k ＋2)2＝k(k＋1)12(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2＝(k＋1)(k＋2)12(3k2＋5k＋12k＋24)＝(k＋1)(k＋2)12[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．即当n＝k＋1时，等式也成立．由(1)(2)可知，对任何正整数n，等式都成立．13．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．解当n＝1时，21＋2＝4>12，当n＝2时，22＋2＝6>22，当n＝3时，23＋2＝10>32，当n＝4时，24＋2＝18>42，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立．下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n＝k(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2，那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2k2－2.要证当n＝k＋1时结论成立，只需证2k2－2≥(k＋1)2，即证k2－2k－3≥0，即证(k＋1)(k－3)≥0.又因为k＋1>0，k－3≥0，所以(k＋1)(k－3)≥0.所以当n＝k＋1时，结论成立．由①②可知，n∈N*时，2n＋2>n2.四、探究与拓展14．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证明当n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．15．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m2a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }的公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n . (2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1，当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358；而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．下面用数学归纳法证明：证明：①当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立．②假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立，则当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2，只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤322k ＋3，只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2，只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。

高中数学第三册_选修Ⅱ_第二章第一节数学归纳法课件数学归纳法

教学设计
教学目标：根据大纲的要求，贯穿以创新精神为内核的素质教育为宗旨，本着教材特点和学生认知思维特征确定本目标：⑴知识目标：理解.归纳法和数学归纳法含义和本质，掌握其证题原理，会用数学归纳法证明简单的恒等式。

⑵能力目标：培养由特殊到一般的思、维能力，通过特殊事例探究、引导学生观察、归纳、猜想等推理方法，提高分析、综合、抽象概括逻辑思维能力。

⑶.情感目标：既教猜想、又教证明，鼓励学生大胆参与探究，培养学生感悟数学内在美和良好文化素养。

3、重、难点的确定
重点：使学生理解数学归纳法的实质，掌握其证题2个步骤和一个结论（特别注意递推步骤中归纳假设运用和恒等变换的运用。

）
难点：如何理解数学归纳法的递推性即从有限的步骤完成无限的命题的证明？递推步骤归纳假设如何充分利用？不突破以上难点，学生会怀疑数学归纳法的可靠性，只知形式上模仿而不会知其所以然，对进一步学习造成极大阻碍。

附：板书设计。

选修2-2第二章《数学归纳法》

学科教师辅导讲义讲义编号学员编号：年级：课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题数学归纳法授课日期及时段教学目的1、了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理解数学归纳法原理。

2、能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论。

3、初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式。

4、进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。

教学内容一、课前检测1用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3,n ∈N )第一步应验证( )A.n =1B.n =2C.n =3D.n =4 答案：C2用数学归纳法说明：1+111(1)2321n n n ++⋅⋅⋅+<>-，在第二步证明从n=k 到n=k+1成立时，左边增加的项数是( )。

【2】(A)k 2个 (B) 12-k 个 (C) 12-k 个 (D) 12+k 个答案：A3已知f (n )=(2n +7)·3n +9,存在自然数m ,使得对任意n ∈N ,都能使m 整除f (n )，则最大的m 的值为( )A.30B.26C.36D.6 答案：C 4已知a 1=21,a n +1=33+n na a ,则a 2,a 3,a 4,a 5的值分别为_________，由此猜想a n =_________. 答案：73、83、93、103 53=n5楼梯共有n 级，每步只能跨上1级或2级，走完该n 级楼梯共有)(n f 种不同的走法，则)(n f 、)1(-n f 、)2(-n f 的关系为。

答案：)2()1()(-+-=n f n f n f 6观察下列式子：222543=+,222221413121110+=++,222222227262524232221++=+++,222222222444342414039383736+++=++++，…，则第n 个式子是。

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第二部分基于递归的技术
基于递归的技术
• 归纳法 • 无重叠子问题 • 重叠子问题
Ch5 归纳法
• 5.1引言 5.1引言
• 如果我们知道如何求解规模为n-1的问题，如果我们知道如何求解规模为n 的问题，求解规模为那么我们的任务就化为如何把解法扩展那么我们的任务就化为如何把解法扩展到规模为n 到规模为n的问题
5.6 生成排列
• 先讲一个故事，三个小孩玩“毛毛虫游戏”，为先讲一个故事，三个小孩玩“毛毛虫游戏” 了公平，她们要不停的换次序，了公平，她们要不停的换次序，要尝试完所有的排列，有多少种排列，四个人呢？五个人呢？排列，有多少种排列，四个人呢？五个人呢？
方法一:指定排头法
问题：对于数问题：对于数1,2,...,n生成所有的排列生成所有的排列分析：可用数组存储这n个元素个元素。分析：可用数组存储这个元素。 1 2 3 初始状态下,a[i]=i, i=1…n 初始状态下若n=3,则有则有为排头的所有排列：（1）1为排头的所有排列：1 2 3、1 3 2 ）为排头的所有排列、 • （2）2为排头：2 1 3、2 3 1 为排头：）为排头、 • （3）3为排头：2 1 3、2 3 1 为排头：）为排头、 • • • •
• 算法算法5.4 Permutation (int n) {for(i=1;i<=n;i++) P[i]=i; Perm(1,n); //生成到n的所有排列生成1到的所有排列生成 }
• Perm(int m,int n) //生成生成P[m]到P[n]的全排列生成到的全排列 {如果如果m==n，输出递归到叶子结点，如果，输出P[1...n]; //递归到叶子结点，递归到叶子结点得到一个排列，得到一个排列，返回上一层否则 { for j=m to n {互换互换P[j]和P[m]；//让P[j]当排头互换和；让当排头 //生成生成P[m+1...n]的所有排列生成的所有排列 Perml(m+1,n); 互换P[j]和P[m]； //让P[j]回到原位互换和；让回到原位 } } }
13=2*6+ 1
2 13 2 2 2 6 3 1 0 1 0 1 1
高低
=2*(2*3+ 0)+ 1 = 2*(2*(2*1+ 1)+ 0)+ 1 =2*(2*(2*(2*0+ 1)+ 1)+ 0)+ 1
13=(1 1 0 1) 2 d3= 1, d2= 1 , d1= 0 , d0= 1 13= 1 ×23+ 1 × 22+ 0 × 21 + 1 13=x23 × x22 × x1 （需8次乘法） X 次乘法）次乘法 2 x)2 ) 2x =(((x) 次乘法）（需5次乘法）次乘法
• 用归纳法分析： • 假设已经知道如何求xn/2 令
m =
如果n 是偶数，那么xn=(xm)2; 否则 xn=(xm)2x
n 2
算法5.3 算法 n Exp(float x, int n) //求 x 求 {Power(x,n);} Power(float x,int m) { 则返回y=1; （1）如果）如果m==0 则返回否则（2）y=Power(x,m/2) ） (3) y=y*y; (4) 如果为奇数，则y=xy; 如果m为奇数为奇数，（5）返回）返回y;}
算法5.3a 算法 power(float x,int m) {if(m==0) return 1; else {y=power(x,m/2) y=y*y; if(m%2!=0)y=xy; return y; }}
讨论（2）
算法5.3b和算法和算法5.3c哪个是错误的，如何改写？哪个是错误的，算法和算法哪个是错误的如何改写？
X=6 2 4 86 10
• 用归纳法思想：假设我们已经知道如何对用归纳法思想： n-1个元素排序，则个元素排序，个元素排序要对a[1…n]排序要对排序 1） a[1...n-1]排序排序；（1）对a[1...n-1]排序；插入a[1...n-1]的适当位置（2）将a[n]插入）插入的适当位置使其仍然有序。上，使其仍然有序。
算法5.1 算法 selectionSort (int a[ ],int n) {sort(a,1,n);//对a[1...n]排序排序} 对排序 sort(int a[ ],int i,int n) {（1）j=min(a,i,n); //求a[i…n]中最小（）求中最小值的下标j; 值的下标 (2) a[i] a[j]; (3) if(i+1<n)sort( a, i+1, n); }
5.2 选择排序
• 对数组对数组a[1…n]按从小到大顺序排序按从小到大顺序排序 • 用归纳法：假设我们已经知道如何对n-1 用归纳法：假设我们已经知道如何对个数排序，个数排序，则：要对a[1…n]排序要对排序的最小值a[j]; （1）求a[1…n]的最小值）的最小值 (2) a[1] a[j]; (3) 对a[2…n]排序排序
5.3 插入排序
• 问题：如何在一个已有序的序列a[1...n]中问题：如何在一个已有序的序列中插入一个新元素x，使其仍然有序？插入一个新元素，使其仍然有序？ • 简单！简单！首先检查是否有足够空间，然后，首先检查是否有足够空间，然后，用一个 for循环实现新元素的插入，....... 循环实现新元素的插入
讨论（1）
算法5.1a 算法 Sort(int i) {（1）j=min(a,i,n); //求a[i…n]中最小（）求中最小值的下标j; 值的下标 (2) a[i] a[j]; (3) if(i+1<n)Sort( i+1); } • 以上程序有什么问题？
• 以上函数中，数组a的首地址，和数组元以上函数中，数组的首地址的首地址，素个数n，从何而来？素个数，从何而来？ • 方法一：用参数传递，如算法方法一：用参数传递，如算法5.1 Sort(int a[],int i,int n) • 方法二：把数组和n定义为全局变量，方法二：把数组a和定义为全局变量定义为全局变量，则在函数Sort(int i)中可以使用。中可以使用。则在函数中可以使用 • 方法三：定义类，把a和n作为类的成员方法三：定义类，和作为类的成员变量，函数Sort(int i)做为类的成员函数。做为类的成员函数。变量，函数做为类的成员函数
13=(1 1 0 1) 2 d3= 1, d2= 1 , d1= 0 , d0= 1 , 13= 1 ×23+ 1 × 22+ 0 × 21 + 1 × 20 13=((x2 x)2 ) 2x X 次乘法）（需5次乘法）次乘法
(2)y赋初值，赋初值1，赋初值 (3)从左到右扫描二进从左到右扫描二进制数字: 制数字如果当前的二进制数字为0，字为，则y=y*y; 否则，否则，y=y*y*x
要对a[1…i]排序排序要对排序；（1）对a[1...i-1]排序；）排序插入a[1...i-1]的适当位置（2）将a[i]插入）插入的适当位置使其仍然有序。上，使其仍然有序。
算法5.2 • sort(int a[], int i) { //本函数对本函数对a[1...i]排序本函数对排序 if(i>1) {sort(a, i-1); //对a[1...i-1]排序对排序 insert(a, i-1, a[i]); );//将a[i]插入已排将插入已排好序的a[1...i-1]中好序的中 } } 如果不要”if(i>1)“这个递归进行的条件这个递归进行的条件
Perm(1,4) : for j=1 to 4 j=1: P[1]与P[1]互换 • 生成1,2,3,4的所有排列 1 2 3 4Perm(3,4) Perm(2,4) : for j=2 to 4 j=2: P[2]与P[2]互换 1 2 3 4 Perm(2,4) for to Perm(1,4) Perm(3,4)： for j=3 j=3 4to 4 {互换P[j]和 j=3： for j=2 to 4 P[3]与P[3]互换 1 2 3 4 for j=1 to 4 P[3]； {互换P[j]和 Perml(4,4)：输出1 2 3 4 Perml(4,4); {互换P[j]和[1]； P[3]与P[3]互换 P[2]； Perm(2,4); j=4：互换P[j]和 Perml(3,4); P[4]与P[3]互换： 1 2 4 3 Perml(4,4)：输出1 2 4 3 互换P[j]和P[1]； P[3]；} 互换P[j]和 P[4]与P[3]互换： 1 2 3 4 } P[2]；} j=3: P[3]与P[2]互换 1 3 2 4 Perm(3,4)： for j=3 to 4 Perm(4,4) 1 2 3 4 j=3： P[3]与P[3]互换 1 3 2 4 P: Perml(4,4)：输出1 3 2 4； If(m=n) P[3]回位； P[3]与P[3]互换：输出P[1...n] j=4： P[4]与P[3]互换 1 3 4 2 Perml(4,4)：输出1 3 4 2 ；请写出其前6个排列 P[4]回位； P[4]与P[3]互换： j=4:输出：1 4 3 2 、 1 4 2 3
d3= 1：y=1*1*x=x; d2= 1 ：y=x*x*x=x3; d1= 0 ：y=x3*x3=x6; d0= 1 ：y=x6*x6 *x =x13;
算法5.4 算法 Exp(float x,int n) {y=1; 用二进制数d 表示。将n 用二进制数 kdk-1...d0表示。 for( j=k ; j>= 0;j--) {y=y*y; if(dj==1) y=y*x; } return y; }

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