强化逆向思维训练培养学生数学能力

强化逆向思维训练 培养学生数学能力编码 ： 研究类型：数学思想方法论文 中图分类号：O［摘要］：在数学教学中，我们发现，学生正向思维活跃，而逆向思维相对薄弱，任其发展，则会形成思维定势，不利于学生的智力开发，能力的培养和素质的提高.因此，强化逆向思维训练，有助于提高学生思维的灵活性，克服思维的习惯性; 有助于提高学生分析问题和解决问题的能力；有助于学生形成良好的思维品质；有助于学生的创新开拓精神的培养.［关键词］：逆向思维;正向思维；对立统一规律；开创性思维.对立统一规律是辩证唯物主义的根本规律，而逆向思维就是从对立中认识事物的一种思维方法，说简单些，就是反过来思考的意思.逆向思维要求我们在掌握前人知识的基础上，要从不同的方面去探索客观真理.因此，对一个问题的思考不能只拘泥于正面，也可以从反面去思考.下面，就笔者在进行概念、定义、公式、法则及原理教学时，坚持有意识地对学生进行逆向思维训练的经验，愿和同仁交流.一 定义教学中的逆向思维训练因为对于作为定义的数学命题，其逆命题总是成立的.所以我们在应用定义解题时，不仅可以应用原命题，而且也可以运用逆命题.圆锥曲线是解析几何的主要内容.在学生掌握了圆锥曲线的定义后，为了加强同学们对这个概念的进一步理解，为了能够使同学们自觉地运用定义解题，我就有针对性地布置了这方面的一些题目，其中的一道是：例 1 已知平面内一定点F 到一定直线的距离为αcot ,点P 到定点的距离和它到定直线的距离之比为αtan (0<α<2π),求点P 的轨迹方程，并就α的取值讨论方程表示什么曲线.这道题是仿照圆锥曲线的第二定义编拟的，虽然学生用求轨迹方程的常规方法（建系、设点、列式、化简、证明）能列出原始方程，却在化简中出了错.通过引导学生联想圆锥曲线的第二定义及极坐标方程,学生茅塞顿开，得出点P 的轨迹是圆锥曲线，并按定义较快地写出了点P 的极坐标方程：θαθαααϑρcos .tan 11cos .tan 1cot .tan cos 1---===e ep至于就α的值讨论曲线的类型，只需讨论α即可.教师在概念教学时，应及时设计正、反两方面应用定义的问题，逐步培养学生双向思维的习惯.如教师在讲反函数概念教学时，为了让学生理解反函数是原函数逆映射，提出问题：已知值求)6(),410(754)(124->+-=f x x x x f . 分析:如果学生按正向思维,的求解很麻烦，)(1x f -启发学生应用反函数的定义，)6(1-f 就是原函数6)(=x f 自变量x 的值,即很轻易得)6(1-f =1.二 公式、法则教学中的逆向思维训练一般地，数学公式、法则是从左到右运用的，而有时也会从右到左运用，这样的转换正是由正向思维转到逆向思维能力的体现.因此，当讲授完一个公式、法则后，紧接着举一些公式逆应用的例子，可以给学生一个完整、丰满的印象，开阔思维空间.如两角和与差、倍角的三角函数公式的展开和聚会，由水平放置平面图形的直观图求原图，组合恒等式中的构造法证明等.只有加强了对公式、法则的逆向思维训练，才能使学生在解题中得心应手，左右逢源.例2 过圆外一点P(a,b)，引圆222r y x =+的两条切线，求经过两个切点的直线方程.分析：若先求出两个切点的坐标，固然可以，但其繁难程度非常之大；若设切点已解出，不妨记为（11,y x ）,(22,y x )，再考虑到点p(a,b)在两切线上，可得另一巧妙的解法.解：设切点坐标为（11,y x ）,(22,y x )，则切线方程为211r yy xx =+，222r yy xx =+.又因为点P(a,b)在切线上，故有211r by ax =+和222r by ax =+.上面两式说明点（11,y x ）和(22,y x )满足直线方程2r by ax =+.因为过两点的直线只有一条，故所求的直线方程为2r by ax =+.这种方法叫“设点消元法”.它象列方程解应用题，但不同的是设而不解，而通过（11,y x ）和(22,y x )把a 和b 引出来后，自己却消失了，这是逆向思维的典型例子.同学们这种解法极感兴趣.又如在二项式定理教学时,可设计题目:⑴5121333312211=-+⋅⋅⋅-+----n n n n n n n C C C 已知求n .（二项式定理逆用）⑵求22252423+⋅⋅⋅+++n C C C C 的值.（组合数性质2：11-++=m n m n m n C C C 的逆用）.将原式加上33C 再减去33C 反复逆用公式11-++=m n m n m n C C C 可得133-+n C .三 解题方法中的逆向思维训练在学数学的过程中，经常会遇到这样一些问题，当从正面考虑时会出现很多障碍，或者根本解决不了，而从反面着手，往往可以使问题迎刃而解.再如证明问题的不可能性等,都需要有非常规思路去解决.实施逆向思维的训练常采用的策略有：正难则反，以退求进及反“客”为主等.例 3 设函数1222)(+++=x b ax x x ϕ （),0R b a a ∉≠、.证明：存在两个实数)(,,2121m m m m <满足)1)(1(])1[(22)(+-+-=-x m a x m i i i m x ϕ（i=1,2）.分析：这道题猛一下可把同学们唬住了，尤其对21,m m 是怎么来的更是百思不得一解.其实这是一道关于存在性的证明问题，至于21,m m 的具体值是什么这是无关紧要的，只要证明它存在就行了.引导学生交换“客”变量m 与主变量x 的地位，联想到一元二次方程根的判别式，可得下面解法.证明： )1)(1(])1[(22)(+-+-=-x m a x m m x ϕ （1）（1）可视为关于m 的一元二次方程（x 和a 、b 一样，可视为常数），去分母并化简整理，得0)()1(22=-++-a b m b m （2）这是关于m 的一元二次方程，其判别式=∆)(4)1(22a b b --+=04)1(22>+-a b （因为a ≠0）故方程（2）有两个不等的实数根21,m m （不妨设21m m <），且两根中没有等于1的.否则，1－（b+1）⨯1+b －2a =0,即－2a =0，于是a=0,这与已知a ≠0相矛盾.这说明由方程（1）变为（2）无增根出现，故21,m m 就是方程（1）的两个根.即存在两个21,m m 使得（1）成立.有了上面的例题启发，布置下面强化训练题：已知：方程()222238213150a x a a x a a --+-+=（其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么___a =.学生分析：以x 为主元计算比较困难，应用逆向思维，反客为主，即从反面入手，换a 为主元，然后分类讨论，可简易获解.解：原方程变形为：()()2232813150x x a x a -++-+=即：()()23150x a x a -+-+=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∴3521a a x x =-=---或，∵a 为非负整数，x 为整数根. ∴当0x =时，5a =；当4x =-或1x =-时，1a =；当1x =时，3a =.∴a 的值为1，3，5.例4 已知)1(12)(>+-+=a x x a x f x ，证明方程0)(=x f 没有负数根. 分析:直接证明比较困难,但其反面相对来说较为容易,故采用反证法.证明 ： 假设0x 是0)(=x f 的负数根,则0x <0且,10-≠x ,,12000+--=x x a x 由100<<x a 得, ,112000<+--<x x 解得2210<<x 这与假设00<x 相矛盾,所以假设不成立,故方程没有负数根.当一个题的结论以“至多”、“至少”、“唯一”或“否定”的形式出现时，宜用反证法.反正法被誉为“数学家精良的武器之一”.本题也可以引导学生应用“数形结合”的思想方法，证明两个函数12)()1()(21+-=>-=x x x f a a x f x 与 在y 轴左侧没有交点. 四．探索新问题中的逆向思维训练在数学教学过程中，恰当地运用逆向思维探索新问题,对帮助学生巩固、完备所学知识，激发学生探究新识识的兴趣及培养学生具有开创性思维能力都是十分重要的.例5 在椭圆1204522=+y x 上求一点P ，使与两焦点2F F 、连线相互垂直.X解：设),(γχP ,连结PO,则｜OP ｜=21︱21F F ︱，因此),(γχP 在圆2522=+y x 上，于是),(γχP 满足方程1204522=+y x 及2522=+y x ,解得x =±3，=y ±4，所以P 的坐标是(3,4),(-3,4),(-3,-4),(3,-4).教师针对上述问题引导学生逆向思考，探索新问题：已知)0(12222>>=+b a by a x 上一点P(3,4),如21PF PF ⊥,试求已知椭圆的方程.解：设),(γχP ,由｜OP ｜=21︱21F F ︱ 得，254322222=+==+c y x ,从而得c=5. 在中，21PF F ∆2212221F F PF PF =+, 即2224)()(c ex a ex a =-++.将5,,3222===c ac e x 代入得5,4522==a a （舍去），20222=-=c a b ，故椭圆的方程是1204522=+y x . 五 解答选择题中的逆向思维训练选择题容量大，题型新，覆盖面广，解法灵活，已受到普遍的重视.解答选择题，除了少数部分需要直接计算外，大都采用比较灵活的思维方法，如筛选法、特殊值法、图像法、逆推法等.而逆推法是逆向思维的具体表现.例6 一个凸多边形，除了一个角外，其它各角之和为2570，则这个内角是（ ）A. 72B. 105C. 120D. 130解：因为凸多边形内角之和为（n-2）× 180,它应是9的倍数，根据能被9整除的数的判断方法（各数位数字之和能被9整除）.考虑到2570各位数字之和已是14，于是只需从四个选择支中选择和为4或者13者，故应选D.例7 定义：离心率21-5=e 的椭圆为“黄金分割椭圆”.对于椭圆E:)0(12222>>=+b a by a x ,如果a,b,c 不是等比数列，那么椭圆E( ) A.一定是“黄金分割椭圆” B. 一定不是“黄金分割椭圆”C. 可能是“黄金分割椭圆”D. 可能不是“黄金分割椭圆”解：假设E:)0(12222>>=+b a by a x 是“黄金分割椭圆”则a c e ==21-5, 即21-5=c a,所以2222a c a b =-=–2a 2)21-5(=ac a a c a ==22.21-5.这说明a,b,c 是等比数列与条件a,b,c 不是等比数列相矛盾，所以椭圆E 一定不是“黄金分割椭圆”，故选B.逆向思维属于发散性思维中的重要一类.而发散思维不受传统的约束，敢于标新立异,是一种沿着不同的方向（当然包括逆向）去析取和重组信息，从多方面（也包括反面）寻求答案的思维方式.所以在数学课的教学中，教师要有意识引导学生认识知识间的这种可逆性，不仅可使学生学到的知识更加完备，还会大大提高应用知识解题的灵活性，激励他们去探究新知识，研究新问题.参考文献[1]. 孟凡栋.在数学教学中训练学生的逆向思维出探［J ］数学教学通讯,2003年12月（上半期）总181期.[2] 李元中等.数学教学系统方法概论［M ］，陕西人民教育出版社， 1988年.。