全微分方程的解法
常微分方程的常见解法
实例解析
实例1
求解一阶线性常微分方程 $y' + p(x)y = q(x)$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda y = q(x)$，从而简化求解过程。
实例2
求解二阶常微分方程 $y'' + y' + y = 0$，通过引入参数 $lambda$，可以将方程转化为 $lambda^2 + lambda + 1 = 0$，从而求解出 $lambda$ 的值，进一步得到原方程的解。
当 (M(x)) 和 (N(x)) 均为非零函数时，该方法适用。
实例解析
1. 确定积分因子
选择积分因子为 (e^x)
5. 解出原方程
将 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C) 代入 原方程，解得 (y = frac{1}{3} x^2 + Ce^{-x})
4. 解方程
对两边积分，得到 (e^x y = frac{1}{3} e^{3x} + C)
04 积分因子法
定义与特点
定义
积分因子法是一种通过引入一个因子来简化微分方程的方法。
特点
通过乘以一个适当的因子，可以将微分方程转化为可分离变量的形式，从而简化求解过程。
适用范围
适用于形如 (M(x)y' + N(x)y = f(x)) 的线性微分方程，其中 (M(x)) 和 (N(x)) 是 已知函数，(f(x)) 是给定的函数。
实例2
考虑一阶常微分方程 (dy/dx = xy)，其中 (x > 0) 且 (y > 0)。通过分离变量法， 我们可以得到 (dy/y = xdx)，进一步求解得到 (ln|y| = frac{1}{2}x^2 + C)，其 中 (C) 是积分常数。
各类变系数微分方程的解法
各类变系数微分方程的解法在数学中，微分方程是一类重要的方程，用于描述某一未知函数与它的导数之间的关系。
变系数微分方程是一类特殊的微分方程，其系数在方程中是变量，随着自变量的变化而变化。
本文将介绍几种常见的变系数微分方程的解法。
1. 变量可分离的变系数微分方程的解法变量可分离的变系数微分方程是指方程中的未知函数和自变量可以分开计算导数的方程。
其解法步骤如下：1. 将方程化为标准形式，即将未知函数和自变量分开；2. 对方程两边分别积分，得到两个方程；3. 求解得到的两个方程。
2. 全微分的变系数微分方程的解法全微分的变系数微分方程是指方程可以表示为一个函数的全微分形式的方程。
其解法步骤如下：1. 将方程化为全微分形式，即将方程两边进行整理得到全微分的形式；2. 求解全微分得到的方程。
3. 齐次的变系数微分方程的解法齐次的变系数微分方程是指方程中的函数和其各阶导数的次数相同。
其解法步骤如下：1. 将方程化为齐次形式，即将方程两边进行整理得到齐次的形式；2. 进行变量代换，令齐次形式中的未知函数为新的变量；3. 求解代换后的方程。
4. 可降阶的常系数线性微分方程的解法可降阶的常系数线性微分方程是指方程中的未知函数的导数可通过多次积分得到的方程。
其解法步骤如下：1. 通过多次积分，将方程中的未知函数的导数降阶，得到最低阶数的方程；2. 求解降阶后的方程。
需要注意的是，不同类型的变系数微分方程可能需要不同的解法。
以上仅是几种常见的解法，实际问题中可能还有其他解法。
希望本文对变系数微分方程的解法有所帮助。
参考文献：1. 张全董，高等微积分学教程，北京：高等教育出版社，2005.2. 侯世和，数学分析，北京：高等教育出版社，2004.。
微分方程问题的解法
电磁学研究
02
在电磁学中，微分方程被用来描述电场、磁场的变化以及电磁
波的传播。
热传导问题
Байду номын сангаас
03
微分方程可以用来描述物体的热量传导过程，例如温度随时间
变化的规律。
在经济中的应用
供需关系
微分方程可以用来描述市场的供需关系，例如商品价格随 时间变化的规律。
01
经济增长模型
微分方程可以用来建立经济增长模型， 例如描述一个国家或地区的GDP随时间 变化的规律。
线性稳定性分析
定义
线性稳定性分析是指通过线性化微分方程，来研究系统的稳定性。
方法
将非线性微分方程线性化，然后利用线性系统的性质来分析系统 的稳定性。
应用
线性稳定性分析广泛应用于物理学、化学、生物学等领域。
非线性稳定性分析
定义
非线性稳定性分析是指通过非线性微分方程的性质， 来研究系统的稳定性。
方法
总结词
通过将微分方程转化为代数方程，简化求解过程。
详细描述
将微分方程中的变量分离到等式的两边，然后对等式两边同时进行积分，从而求解微分方程。
变量代换法
总结词
通过引入新的变量替换原微分方程中的复杂表达式，简化微分方程的形式。
详细描述
通过引入新的变量，将微分方程中的复杂表达式替换为新变量的表达式，从而 简化微分方程的形式，方便求解。
有限元素法
总结词
有限元素法是一种将微分方程转化为线性方程组进行求 解的方法。
详细描述
有限元素法的基本思想是将微分方程的求解区域划分为 一系列小的子区域（或元素），然后在每个子区域上定 义一个近似函数，将微分方程转化为线性方程组进行求 解。这种方法在求解一些复杂的微分方程时非常常用。
微分方程的基本解法
微分方程的基本解法及其应用微分方程是数学学科中的一个重要分支，主要研究函数及其导数之间的关系。
通过微分方程，我们可以描述许多自然现象的变化规律，如物体的运动、流体的流动、电路的分析等。
因此，掌握微分方程的解法对于解决实际问题具有重要意义。
一、微分方程的分类微分方程按照其含有的未知函数的最高阶导数的次数可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
线性微分方程中的未知函数及其导数的次数都是一次，而非线性微分方程中至少有一个未知函数或其导数的次数是二次或更高。
二、微分方程的基本解法1. 分离变量法分离变量法是求解一阶线性微分方程的一种常用方法。
其基本思想是通过将方程中的未知函数和其导数分离到方程的两边，然后对方程进行积分，从而求出未知函数。
这种方法的优点是步骤简单，易于操作。
2. 变量代换法对于某些非线性微分方程，我们可以通过变量代换将其转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
变量代换法的关键在于选择合适的代换变量，使得原方程在新的变量下呈现出线性关系。
3. 常数变易法常数变易法是一种求解一阶非齐次线性微分方程的方法。
其基本思想是将非齐次项看作一个已知的函数，然后将原方程转化为一个关于未知函数的线性微分方程。
这种方法的关键在于利用线性微分方程的叠加原理，将非齐次项的影响分离出来。
4. 积分因子法积分因子法是一种求解一阶线性微分方程的方法，特别适用于当方程中的系数不是常数而是关于x的函数时的情况。
其基本思想是通过引入一个积分因子，使得原方程的系数变为常数，从而简化求解过程。
积分因子的选择依赖于原方程的系数。
5. 特征线法（对于一阶偏微分方程）特征线法是一种求解一阶偏微分方程的方法。
它基于物理直觉，将偏微分方程视为描述某种物理过程的数学模型。
通过找到这些过程的“特征线”，即满足方程的一组曲线，我们可以简化问题并找到解。
6.幂级数法（对于高阶微分方程）幂级数法是一种求解高阶微分方程的方法，特别适用于当方程的解在某一点附近可以表示为一个幂级数时的情况。
高等数学 第七章 常微分方程
例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M 成 正比,已知 M
t 0
M 0 ,求衰变过程中铀含量 M ( t )
随时间t 变化的规律.
解 衰变速度 , 由题设条件 dt dM M ( 0衰变系数) dt
dM M dt ,
dM
dM dt M
ln M t ln c , 即M ce t ,
衰变规律
代入M t 0 M0 得 M 0 ce 0 C ,
M M 0 e t
例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中 含有 0.1%的 CO 2 , 为了降低车间内空气中 CO 2 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机 通入含 0.03%的 CO 2的新鲜空气, 同时以同样的 风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分 钟后, 车间内 CO 2的百分比降低到多少? 解 设鼓风机开动后 t 时刻 CO2的含量为 x( t )% 在 [t , t dt ]内,
dy 2x dx
y 2 xdx
其中 x 1时, y 2
即 y x2 C,
求得C 1,
所求曲线方程为 y x 2 1 .
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶, 2 当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？
CO2 的通入量 2000 dt 0.03, CO2 的排出量 2000 dt x( t ),
CO2 的改变量 CO2 的通入量 CO2 的排出量
12000dx 2000 dt 0.03 2000 dt x( t ),
dx 1 ( x 0.03), x 0.03 Ce dt 6
微分方程分类及解法
微分方程分类及解法微分方程是数学中重要的一类方程，广泛应用于自然科学、工程、社会科学等领域中的各种问题。
在掌握微分方程的基本概念和解法后，我们可以更好地理解实际问题中的潜在规律和机理。
本文将介绍微分方程的分类及解法。
一、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两类。
常微分方程是只有一个自变量的函数的微分方程，即只与时间、位置、速度等单一变量有关。
常微分方程按阶次可分为一阶常微分方程和高阶常微分方程两类。
一阶常微分方程的一般形式为：$$\frac{dy}{dx} = f(x,y)$$其中y是自变量x的函数，f(x,y)是给定的函数。
高阶常微分方程可表示为：$$F(x,y,y',y'',...y^{(n)})=0$$其中，y是自变量x的函数，n代表微分方程的阶数，y', y'' ,..., y^{(n)}分别表示y的一阶、二阶、n阶导数。
偏微分方程是包含多个自变量的函数的微分方程，通常是用来描述物理现象中的区域上的行为和变化。
偏微分方程按类型可分为椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程和双曲型偏微分方程。
椭圆型偏微分方程形式为：$$A\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+B\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}+C\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0$$该方程描述的是各方向的扩散速度都一样的过程，比如稳态情况下的热传导方程。
抛物型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是运动物体的一维热流方程、空气粘弹性和海浪向上传播等。
双曲型偏微分方程形式为：$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=a\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+b\frac{\partial u}{\partial x}+cu$$该方程描述的是颤动或波动过程，比如振动问题或波动方程等。
微分方程的基本概念与解法
微分方程的基本概念与解法微分方程是数学中的一个重要分支，旨在描述自然界中的各种变化和变化规律。
在数学和其它领域中，微分方程的表述方式和求解方法应用广泛，是研究数学和自然科学必备的基础知识之一。
本文结合一些例子，介绍微分方程的基本概念、分类和解法。
一、微分方程的定义和表示微分方程简单来说是一个含有未知函数及其导数的方程。
我们假设所要研究的函数是y=f(x)，f(x)的n阶导数为y^(n)，则微分方程可表示成以下形式：F(x, y, y', y'',..., y^n)=0，其中y'=dy/dx，y''=d^2 y/dx^2，y^n=d^n y/dx^n。
例如，一阶常微分方程dy/dx=f(x)，则可表示成F(x, y, y')=y'-f(x)=0。
二、微分方程的分类微分方程可分为常微分方程和偏微分方程。
1、常微分方程常微分方程只涉及一个自变量，例如dy/dx=f(x)或y''+p(x)y'+q(x)y=0。
一些常见的常微分方程类型包括：一阶线性方程：dy/dx+p(x)y=q(x)，可用一阶常系数线性微分方程的方法求解；二阶线性齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=0，可用常系数线性微分方程的方法求解；二阶非齐次方程：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可用常系数非齐次线性微分方程的方法求解。
2、偏微分方程偏微分方程涉及多个自变量，例如p(x,y)∂u/∂x+q(x,y)∂u/∂y=r(x,y)。
该方程式中，u是自变量x和y的函数，偏导数∂u/∂x和∂u/∂y亦为u的函数。
三、微分方程的解法解微分方程可以使用以下方法：1、分离变量法对于一类形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，可以通过将方程中的变量分离并进行积分得到其解，即∫(1/g(y))dy = ∫f(x)dx + C，其中C为常数。
全微分方程的解法
中连续且有连续的一阶偏导数，则 是全微分方程
证明：（1）证明必要性 因为
是全微分方程，
则存在原函数 (x,，y)使得
d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
所以 P(x, y), Q(x, y)
x
y
将以上二式分别对 x, y 求偏导数，得到
2 P , 2 Q xy y yx x
x
y
x
由第一个等式，应有 (x, y) P(x, y)dx (y) x0
代入第二个等式，应有
x P(x, y) dx (y)
y x0 y
x Q(x, y) dx (y)
x0 x
x Q(x, y) dx (y)
x0 x
这里由于 P Q ，故曲线积分与路径无关。因此 y x
(x,y)
(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ( x0 , y0 )
二、全微分方程的解法
(1) 线积分法:
x
y
(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
(x,y)
或 (x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ( x0 , y0 )
11 1 1 x2 , y2 , x2 y2 , xy
xdx ydy 可选用的积分因子有
1 1, x2 y2
一般可选用的积分因子有
1, x y
1, x2
1, x2 y2
1, x2 y2
x, y2
y x2
等。
例2 求微分方程 (3x3 y)dx (2x2 y x)dy 0的通解.
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一、概念 二、全微分方程的解法
接下来，我们探讨另外一类可用初等解法求解的方程 类型。为此，将一阶正规形微分方程 dy f ( x, y)改写成
dx f ( x, y)dx dy 0，或更一般地，P( x, y)dx Q( x, y)dy 0 的形式。
由前面的例子可以看到，把微分方程写成这种形式的优点在 于：既可以把y看成未知函数，x看成自变量；也可以把x看 成未知函数，y看成自变量。即变量x与变量y在方程中的地位 是对称的，因此也常称形式为P( x, y)dx Q( x, y)dy 0的方程 为对称形式的微分方程。
解： x(2 y 4x2 )dx x2dy 0 是全微分方程。
方程通解为 x2 y x4 C
二、积分因子的求法
1.公式法:
(mP) (mQ) ,
y
x
m P P m m Q Q m
y y x x
Q
m
x
P
m
y
m
P y
Q x
Q 1 m P 1 m P Q m x m y y x
代入第二个等式求 ( y) ，即可得 (x, y)
(3)凑微分法
直接凑微分得 (x, y)
例2：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于
所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法:
故通解为
(2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为
,则有
代入可得 因此 从而 即
(3) 凑微分法: 由于
根据二元函数微分的经验,原方程可写为 方程的通解为：
因此可以取
x
y
(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
此时 d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
这里由于 P Q ，故曲线积分与路径无关。因此 y x
(x,y)
(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ( x0 , y0 )
二、全微分方程的解法
例3：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 解：由于
所以方程为全微分方程。 (1) 线积分法:
故通解为
(2) 偏积分法: 假设所求全微分函数为
,则有
所以 从而
即
(3) 凑微分法: 根据二元函数微分的经验,原方程可写为
方程的通解为： 练习：验证方程
是全微分方程，并求它的通解。 方程的通解为：
积分因子法
一、概念 定义:若有全微分形式
d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
则 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0 称为全微分方程。
通解则为 (x, y) C （C为任意常数）。
例1：方程 xdx ydy 0是否为全微分方程？
解：令u(x, y) 1 (x2 y2 ),du(x, y) xdx ydy,
一、概念 二、积分因子的求法
一、定义: m( x, y) 0 连续可微函数，使方程
m( x, y)P( x, y)dx m( x, y)Q( x, y)dy 0成为全
微分方程.则称m ( x, y)为方程的积分因子.
例1 验证 x 是方程 (2 y 4x2 )dx xdy 0 的积分因子，并求方程的通解。
所以
2 2
xy yx
，即
P Q y x
（2）证明充分性
设 P Q，求一个二元函数 (x, y)使它满足 y x
d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy 这里
即 P(x, y), Q(x, y) (x0, y0) R
x
y
x
由第一个等式，应有 (x, y) P(x, y)dx (y) x0
(1) 线积分法:
x
y
(x, y)
P(x, y)dx
x0
y0 Q(x0, y)dy
(x,y)
或 (x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy ( x0 , y0 )
(2) 偏积分法
P(x, y), Q(x, y)
x
y
第一个等式对 x 积分 (x, y) P(x, y)dx (y)
2
所以是全微分方程.
例：求方程ydx xdy 0的通解。
解：因为d( xy) ydx xdy,所以ydx xdy 0为恰当方程， 且通解为xy C.
问题: （1）如何判断全微分方程？ （2）如何求解全微分方程？ （3）如何转化为全微分方程？
பைடு நூலகம்
定理1 设函数
和
在一个矩形区域
中连续且有连续的一阶偏导数，则 是全微分方程
(两边同除 m,)
Q ln m P ln m P Q
x
y y x
求解不容易 特殊地:
a. 当 m 只与 x 有关时，my 0,
m dm ,
x dx
d ln m 1 (P Q) f ( x)
dx Q y x
m ( x) e f ( x)dx .
b. 当 u 只与 y有关时， m 0,
证明：（1）证明必要性 因为
是全微分方程，
则存在原函数 (x,，y)使得
d(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy
所以 P(x, y), Q(x, y)
x
y
将以上二式分别对 x, y 求偏导数，得到
2 P , 2 Q xy y yx x
又因为 P(x, y),Q(x, y) 偏导数连续，
代入第二个等式，应有
x P(x, y) dx (y)
y x0 y
x Q(x, y) dx (y) x0 x
x Q(x, y) dx (y) x0 x
Q(x, y) Q(x0, y) (y)
y
因此 (y) Q(x0, y) ，则 ( y) y0 Q(x0, y)dy C
xy
x
ydx xdy d(xy)
xdy ydx
x
y2
d( ) y
xdy x2
ydx y2
d
(arctan
y x
)
xdx x2
ydy y2
d (ln
x2 y2)
xdy ydx 可选用的积分因子有
11 1 1 x2 , y2 , x2 y2 , xy
xdx ydy 可选用的积分因子有
x
d ln m 1 (Q P ) g( y)
dy P x y
m dm ,
y dy
m( y) e g( y)dy .
2.观察法: 凭观察凑微分得到 m( x, y)
常见的全微分表达式
xdx ydy d( x2 y2 ) 2
xdy
x2
ydx
d
(
y x
)
xdy ydx d(ln y)