2019-2020学年上海市嘉定区交分高三年级下学期期中考试数学试卷

上海交通大学附属中学2019-2020学年度第二学期高三数学期中试卷（满分150分，120分钟完成。

答案请写在答题纸上。

）命题： 陈云鹤 审核：杨逸峰一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1.计算矩阵的乘积： ()300c a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭。

【答案】()3aac【解析】由矩阵乘法法则计算可得出结果。

2.计算012393n nn n n n C C C C ++++=。

【答案】4n【解析】由二项式定理基本定义直接得出结果。

3.已知sin cos 223θθ+=，则sin θ= 。

【答案】13【解析】两边同时平方可以直接得出结果。

4、若双曲线2214x y m-=的焦距为6，则该双曲线的虚轴长为 。

【答案】2【解析】由题意得1m =，所以虚轴长为2 5、在首项为21，公比为12的等比数列中，最接近于1的项是第 项。

【答案】5【解析】由等比数列的通项公式可得，1212n n a -=， 345621212121,, 1.31,0.66481632a a a a ∴===≈=≈ 5a ∴最接近6、如图，二面角的大小是3π，线段AB α⊆，B l ∈，AB 与l 所成的角为6π，则AB 与β平面所成的角是 。

（用反三角函数表示）【答案】sin4arc 【解析】过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在β内过C 作l 的垂线，垂足为D ，连接AD ，由三垂线定理可知AD l ⊥，故ADC ∠为l αβ--二面角的平面角，为3π， 又由已知，6ABD π∠=连接CB ，则ABC ∠为AB 与平面β所成角， 设2AD =，则AC =1CD =4sin6AD AB π==sin 4AC ABC AB ∴∠== 则AB 与β平面所成的角为sin4arc 7.已知a 、b 分别为ABC 内角A 、B 的对边，2a =，()()()2sin sin sin b A B c b C +-=- 则ABC 面积的最大值为 .【解析】由正弦定理得：()()()2sin sin sin b A B c b C +-=-()()()2b a b c b c ⇒+-=-2222a b ab b c bc ⇒-+-=-又2a =2221cos 23b c a bc A A π∴+-=⇒=⇒= ABC 的面积:1sin 24S bc A ==222222224424b c a bc b c bc a b c bc bc bc bc +-=⇒+-=⇒+-=⇒≥-⇒≤∴1sin 2S bc A ==≤∴ABC8. 已知函数()()()lg 1,f x x g x =+是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()g x =()f x ，则函数()y g x =[]()1,2x ∈的反函数是y = .【答案】y 310x=-，[]0,lg2x ∈【解析】当[]1,2x ∈时，[]20,1x -∈，()()()()()222lg 3y g x g x g x f x x ∴==-=-=-=-由单调性可知：[]0,lg2y ∈310y x =-∴所求反函数是y 310x =-，[]0,lg2x ∈9. 已知()y f x =是定义在R 上的函数，方程()()201920200f x f x +⋅-=恰好有7个解，则这7个解的和为 . 【答案】72【解析】 设()()()20192020g x f x f x =+⋅- 令：1x x =-则：()()()120202019g x f x f x -=-⋅+ ()()1g x g x ∴=-即()g x 是关于12x =对称的函数，所以这7个根必然是偶数个关于12x =对称，还有一个在12x =上，所以这7个根之和为7210、设...0ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数，其中a 和b 分别为10以内的非负整数，且 a b ≠，0b ≠，若集合..1{|0.,}A n ab n N n *==∈，则A 中所有元素的和为 .【答案】143【解析】...0ab 是一个循环节长度为两位的循环纯小数，即..0.0.0.ab 0.00ab 1991100ab abab =++==-}..11|0.,|,99ab A n ab n n n n n N N **⎧⎧⎫==∈==∈⎨⎨⎬⎩⎭⎩a 和b 分别为10以内的非负整数， 且,0a b b ≠≠，可得a 1,1,99,0,3,33;0,9,11;b n a b n a b n ========= 则A 中所有元素的和为993311143++=11、已知数列{}n a 满足31,n ),2n n n n n a a a N a a *+⎧⎪=∈⎨⎪⎩为奇数（为偶数1.72ka =（K 是一个已知的正整数）。

若存在m N*∈，当n m >且na为奇数时，na恒为常数P ，则P=【答案】1【解析】注意理解题意讨论的是a n 的奇偶，不是n 的奇偶。

设a n的第一个奇数是7，则可以计算后面的值依次是7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1 后面依次为421循环，所以可得P 的值为112.若实数,x y 满足222(1)(1)22cos (1)1x y xyx y x y ++--+-=-+，则xy 的最小值为_______.【答案】14【解析】22222(1)(1)22cos (1)112cos (1)11112cos (1)2,121211x y xyx y x y x y x y x y x y x y orx y x y x y ++--+-=-+∴+-=-++-++-≤-++≥-++≤-+-+cos 1)1,y ∴+-=±（x11x y x y -+=∴=1,12x y k k Z k x ππ∴+-=∈+∴=22min 1()214k xy x xy π+∴==∴=二、选择题（本大题共4题，每题5分，满分20分）13．已知函数(x)y f =是R 上的增函数，则对任意12x ,x R ∈，“12x x <”是“12(x )(x )f f <”的 （ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 非充分非必要条件【答案】C【解析】由增函数的定义可知 14.已知()11211141,(1,11z z bi b R z z z -≠-=∈=-++），则z 对应的点在（ ） A 圆上 B 抛物线 C 双曲线 D 椭圆 【答案】B【解析】由题意可知21121,211bi z z b bi bi bi+==-=----，设,(),z x yi x y R =+∈、 则22x b y b⎧=-⎨=-⎩，消去b 得24y x =-，即抛物线 15、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ==⋅=,则点集{}|,1,,P OP OA OB R R λμλμλμ=++≤∈∈,所表示的区域面积是（） ABC D 【答案】D 【解析】2OA OB OA OB ==⋅=60AOB ∠=,由等和线可知，点P 的轨迹在矩形ABA B ''的上面和内部，因此矩形面积为所求。

所以所求面积为16、已知{}12341234,,,1,2,3,4,N(,,,)a a a a a a a a ∈为1234,,,a a a a 中不同数字的种类，如N(1,1,2,3)3=，N(1,2,2,1)2=，求所有的256个1234(,,,)a a a a 的排列所得N(a 1,a 2,a 3,a 4)的平均值为 （ ）87.32A 11B.4177.64C 175.64D 【答案】D 【解析】 根据题意，1234(,,,)a a a a 的排列共有256中，当1234N(,,,)=1a a a a 时，即排列中只有1个数字，共4种情况，1234N(,,,)=2a a a a 时，排列中有两个不同的数字，若3个数字相同，即有23244248C C P =若2个数字相同，有2244=36C C 种情况，当1234N(,,,)=3a a a a 时，即排列有3个不同的数字，即有3224443=144C C P ⨯种情况当1234N(,,,)=4a a a a 时，即排列中4个不同的数字，有44=24P 种情况，则1234N(,,,)a a a a 的平均值为41+842144324470017525625664⨯⨯+⨯+⨯==三、解答题（本大题共5题，满分76分，12’+14’+16’+16’+18’=76’） 17. （本大题满分14分，第（1）问8分，，第（2）问6分）如图所示，用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒.（1） 求该圆锥的表面积S 和体积V.（2） 求该圆锥被吹倒后，其最高点到桌面的距离d.【答案】（1）()275cm π；（2）53cm【解析】（1）母线长为10厘米，底面周长可求得10π，则可求得底面半径为5，所以底面圆面积为()225S cm π=底,()250S cm π=侧,()275S S S cm π=+=侧底（2）设PAB 为轴截面，过A 作AD PB ⊥，则10AB ππ=，解得10AB =，PAB ∆为等边三角形，3sin 601053AD AB cm ∴=== 18．（本大题满分14分，第（1）问7分，，第（2）问7分） 已知函数(x)=Asin(x )b f ωϕ++ (A 0,0,)2πωϕ>><的图象如下图所示，（1） 求出函数(x)f 的解析式 （2） 若将函数(x)f 的图象向右移动3π个单位长度再把所有点的横坐标变为也原来的14（纵坐标不变）得到函数(x)y g =的图象，求出函数(x)y g =的单调递增区间及对称中心。

【答案】（1）1(x)4sin(x )223f π=++（2）,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，(,2),212k k Z ππ-∈【解析】解（1）由图6422A b A A b b +==⎧⎧⇒⎨⎨-+=-=⎩⎩，且212422T T πππωω=⇒==⇒= 且()=6+=2,362f k k Z πωπϕπ⇒+∈而2πϕ<，故3πϕ=综上1(x)4sin(x )223f π=++（2）显然g(x)4sin(2x )26π=++，由22x 2,262k k k Z πππππ-≤+≤+∈得g(x)的单调递增区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦由2x ,6k k Z ππ+=∈⇒(,2),212k k Z ππ-∈ 19、（本题满分14分，第（1）问6分，第（2）问8分） 若函数()y f x =满足“存在正数，使得对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在2x，使1()f x 2()f x =成立”，则称该函数为“依附函数”。