数据结构第六章

Kind of insertion
InitBiTree(&T);
//构造空的二叉树； //结点赋值函数 //建树函数；
Assign(T, &e, value);
CreateBiTree(&T, definition);
InsertChild(T, p, LR, c);
//插入子树操作；
Kind of deletion
ancestors of a node ::= all the nodes along the path from the node up to the root.
descendants of a node ::= all the nodes in its subtrees.
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结点的层次：从根结点到该结点所经过的路径长度 加 1； 树的深度：树中叶子结点具有的最大层次数； 有序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右是 有次序的（即不能互换），则称该树为有序树；
E
§1 Preliminaries A
B
F
C
G H M
D
I J
L
height of ni ::= length of the longest path from ni to a leaf. Height(leaf) = 0, and height(D) = 2. height (depth) of a tree ::= height(root) = depth(deepest leaf).
• Property 2 ： a binary tree of depth k has at
least k and at most 2k-1 element
in it（k≥1）。
证明：
基于上一条性质，深度为 k 的二叉 树上的结点数至多为 20+21+ +2k-1 = 2k-1 。
Example of Tree
Example of Expression tree
【Definition】A tree is a collection of nodes. The collection can be empty; otherwise, a tree consists of (1) a distinguished node r, called the root; (2) and zero or more nonempty (sub)trees T1, , Tk, each of whose roots are connected by a directed edge from r.
children ::= the roots of the subtrees of a parent.
siblings ::= children of the same parent.
leaf ( terminal node ) ::= a node with degree 0 (no children).
Left subtree empty
Left and right subtree not empty
N
L
N R L
N R
三、Operation of binary tree
Kind of location Kind of insertion Kind of deletion
Kind of location
其中：root 被称为根结点 F F 被称为子树森林
root
A
B
E F
C
G H
D
I J
K
L
M
6.2 Binary tree
一、 Definition of binary tree
二叉树是n (n≥0) 个结点的有限集合， 这个集合或是空集，或是由一个根结点以及两 棵互不相交的、被称为根的左子树和右子树所 组成；左子树和右子树分别又是一棵二叉树。 特点： 每个结点至多只有两棵子树， 且二叉树的子树有左右之分，其次 序不能任意颠倒，互不相交。
•
Property 1 ：
the number of elements at level i is at most 2i-1 。(i≥1)
用归纳法证明：
归纳基： i = 1 时，只有一个根结点，显然 2 i-1 = 20 = 1 正确； 归纳假设： 假设对所有的 j，1≤ j i，命题 成立，即第j层上至多有2 j-1个结点。那么可 以证明j=i时命题也成立。 归纳证明： 由归纳假设：第i-1层上至多有2 i2个结点。由于二叉树的每个结点的度至多为 2，故在第i层上的最大结点数为第i-1层上的 最大结点数的2倍，即2*2 i-2=2 i-1
A B E K L F C G H M D I J
max de gree (node) degree of a tree ::= node tree For example, degree of this tree = 3.
parent ::= a node that has subtrees.
由此， n0 = n2 + 1 。
Two special binary tree:
Full binary tree：a binary tree of depth k that contains exactly 2k-1 elements。 特点:
每一层上的结点数都是最大结点数。 1
2
4 5 6
3
7
example:
B E
K
A
C F
L
D H I J
M
G
A( B(E, F(K, L)), C(G), D(H, I, J(M)) ) root
T1
T2
T3
对比树型结构和线性结构的结构特点
线性结构
第一个数据元素 (无前驱) 最后一个数据元素 (无后继) 其它数据元素 (一个前驱、 一个后继)
树型结构
要求学生 掌握：
教学重点 及难点：
按各种次序遍历二叉树的递归和非递 归算法。
§1 Tree Definition
1. Terminology
Pedigree Tree ( binary tree ) Lineal Tree
Example of Tree
Example of Tree
Example of Tree
8 9 10 11 12 13 14 15
Full binary tree
Complete binary tree：树中所含的 n 个结点
和满二叉树中编号为 1 至 n 的结点一一对应。
特点：
⑴ 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现； ⑵ 对任意结点，若其右分支下的子孙的最大层次 为L，则其左分支下的子孙的最大层次必为L或L+1 ；
Normally the root is drawn at the top.
root
A B C D G E F
H
Left subtree
K
Right subtree
二、Five basic forms of binary tree
Empty tree Only root node
N
Right subtree empty
【Definition】A binary tree is a finite collection of nodes. The collection can be empty; otherwise, a binary tree consists of (1) a distinguished node r, called the root; (2) and zero or two nonempty (sub)trees Tl, T2, each of whose roots are connected by a directed edge from r. (3) Tl, T2 is a binary tree, which are called left and right subtree of t . Subtree are ordered and distinguished. Note: Subtrees must not connect together. Therefore every node in the tree is the root of some subtree. There are N 1 edges in a binary tree with N nodes.
第一个孩子：在有序树中，最左边的子树的根称为 第一个孩子； A 最后一个孩子：最右边 的子树的根称为最后一个 B C D 孩子； E F G H I J K L M
森林：是m(m ≥0)棵互不相交的树的集合。对树 中每个结点而言，其子树的集合即为森林。 任何一棵非空树是一个二元组
Tree = （root，F）
Root(T) //求根函数； Value(T, e); //求结点函数； Parent(T, e); //求双亲函数； LeftChild(T, e)或RightChild(T, e); //求孩子结点函数 LeftSibling(T, e)或RightSibling(T, e); //求兄弟函数 BiTreeEmpty(T); //树判空函数； BiTreeDepth(T); //求树深度函数； PreOrderTraverse(T, Visit()); //先序边历操作 InOrderTraverse(T, Visit()); //中序边历操作 PostOrderTraverse(T, Visit()); //后序边历操作 LevelOrderTraverse(T, Visit()); //层序边历操作
ClearBiTree(&T); DestroyBiTree(&T); DeleteChild(T, p, LR);