第二讲 三角函数专题2(文)
高考数学一轮复习第三章第二讲同角三角函数的基本关系与诱导公式课件
所以 sin α＝2 5 5，cos α＝－ 55，tan α＝－2，
所以 sin (2α－3π)＋tan π2－α＝－2sin αcos α＋tan1 α＝
－2×2
5
5×－
55－12＝45－12＝130.故选
D.
答案：D
2.(考向 2)已知 sinα－1π2＝13，则 cosα＋1172π的值为(
3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sinθcos sin2θ＋cos2θ
θ＝
3tan2θ－ta1n＋2θ1)＝2
3＋1 5.
故选 B.
答案：B
⊙sin x＋cos x，sin x－cos x，sin x cos x 之间的关系 [例 4]已知 sin θ＋cos θ＝173，θ∈(0，π)，则 tan θ 的值为_______.
(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－ cos2α，cos2α＝1－sin2α.
考点二 诱导公式及其应用 考向 1 利用诱导公式化简三角函数式 [例 1](1)化简：sinc－osαπ2－－32απcsoins π232＋π－ααsitnan(2π(＋2πα－) α)＝________.
2.三角函数的诱导公式
序号
一
二
三
四
五六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α
正弦 sin α
－sin α
－α －sin α
π－α sin α
π2－α π2＋α cos α cos α
余弦 cos α
－cos α cos α －cos α sin α －sin α
正切 口诀
tan α
tan α －tan α －tan α — —
高考一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式
第二讲 同角三角函数的基本关系式与诱导公式知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系： sin 2x ＋cos 2x ＝1 . (2)商数关系： sin xcos x ＝tan x .知识点二 三角函数的诱导公式重要结论1．同角三角函数基本关系式的变形应用：如sin x ＝tan x·cos x，tan 2x ＋1＝1cos 2x，(sinx ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x 等．2．诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”．“奇”与“偶”指的是诱导公式k·π2＋α(k∈Z)中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k·π2＋α(k∈Z)中，将α看成锐角时k·π2＋α(k∈Z)所在的象限．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × )(2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × ) (4)若sin (kπ－α)＝13(k ∈Z)，则sin α＝13.( × )[解析] (1)根据同角三角函数的基本关系式知当α，β为同角时才正确．(2)cos α≠0时才成立．(3)根据诱导公式知α为任意角．(4)当k 为奇数和偶数时，sin α的值不同．题组二 走进教材2．(必修4P 22B 组T3改编)已知tan α＝12，则sin α－cos α3sin α＋2cos α＝( A )A ．－17B ．17C ．－7D ．7[解析] sin α－cos α3sin α＋2cos α＝tan α－13tan α＋2＝12－13×12＋2＝－17.故选A.3．(必修4P 22B 组T2改编)化简cos α1－sin α1＋sin α＋sin α1－co s α1＋cos α⎝⎛⎭⎪⎫π<α<3π2得( A )A ．sin α＋cos α－2B ．2－sin α－cos αC ．sin α－cos αD ．cos α－sin α[解析] 原式＝cos α1－sin α2cos 2α＋sin α1－cos α2sin 2α，∵π<α<32π，∴cos α<0，sin α<0.∴原式＝－(1－sin α)－(1－cos α)＝sin α＋cos α－2.4．(必修4P 29B 组T2改编)若sin(π＋α)＝－12，则sin(7π－α)＝ 12 ，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝ 12 . [解析] 由sin(π＋α)＝－12，得sin α＝12，则sin(7π－α)＝sin(π－α)＝sin α＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2－2π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α＝12.题组三 走向高考5．(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°＝( D )A ．－2－ 3B ．－2＋ 3C ．2－ 3D ．2＋ 3[解析] 由正切函数的周期性可知，tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝33＋11－33＝2＋3，故选D.另：tan 225°＝tan 75°>tan 60°＝3，∴选D.6．(2015·福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B ．－125C ．512D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( A )A ．－79B ．－29C ．29D ．79[解析] 将sin α－cos α＝43的两边进行平方，得sin 2α－2sin αcos α＋cos 2α＝169，即sin 2α＝－79，故选A.考点突破·互动探究考点一 同角三角函数的基本关系式——师生共研 例1 (1)已知α为第三象限角，cos α＝－817，则tan α＝( D )A ．－815B ．815C ．－158D ．158(2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为 －5 .(3)若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 －3 .[解析] (1)因为α是第三象限角，cos α＝－817，所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－8172＝－1517，故tan α＝sin αcos α＝158.选D.(2)由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. (3)由角α的终边落在第三象限， 得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－c os α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.名师点拨(1)已知一个角的三角函数值求这个角的其他三角函数值时，主要是利用公式sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α求解，解题时，要注意角所在的象限．并由此确定根号前的正、负号，若不能确定角所在象限要分类讨论．(2)遇sin α，cos α的齐次式常“弦化切”，如：asin α＋bcos αcsin α＋dcos α＝atan α＋b ctan α＋d ；sin αcos α＝sin αcos α1＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α； sin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝sin 2α＋sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α＋tan α－21＋tan 2α. 〔变式训练1〕(1)若α是第二象限角，tan α＝－512，则sin α＝( C )A.15 B ．－15C ．513D ．－513(2)已知α是第二象限角，化简1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α＝ 23. (3)(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 31010 .[解析] (1)∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512.∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－125sin α2＝1，∴sin α＝±513.又α为第二象限角，∴sin α＝513，故选C.(2)解法一：原式＝1－cos 2α1＋cos 2α－sin 4α1－cos 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 6α ＝sin 2α1＋cos 2α－sin 2αsin 2α1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α ＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α ＝2cos 2α3cos 2α＝23. 解法二：∵1－cos 4α－sin 4α＝1－(cos 2α＋sin 2α)2＋2sin 2αcos 2α＝2sin 2αcos 2α， ∴原式＝2sin 2αcos 2α1－cos 2α＋sin 2αcos 4α－cos 2αsin 2α＋sin 4α ＝2sin 2αcos 2α1－cos 4α－sin 4α＋cos 2αsin 2α ＝2sin 2αcos 2α3sin 2αcos 2α＝23. (3)由tan α＝2得sin α＝2cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝55，sin α＝255.因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝55×22＋255×22＝31010. 考点二 诱导公式及其应用——多维探究 角度1 利用诱导公式化简三角函数式例2 (1)化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝ －1sin α .(2)化简1－2sin 10°sin 100°cos 80°－1－sin 2170°＝ －1 . [解析] (1)原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－cos 2α·sin 2αcos 2αsin 3α＝－1sin α. (2)∵cos 10°>sin10°，∴原式＝1－2sin 10°cos 10°sin 10°－cos 10°＝sin 210°－2sin 10°cos 10°＋cos 210°sin 10°－cos 10°＝|sin 10°－cos 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°－cos 10°－sin 10°＝－1.角度2 “换元法”的应用例3 已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是 0 .[解析] 因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0. 名师点拨(1)诱导公式的两个应用方向与原则：①求值：化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了． ②化简：化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了．(2)注意已知中角与所求式子中角隐含的互余、互补关系、巧用诱导公式解题，常见的互余关系有π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等，互补关系有π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．〔变式训练2〕(1)(角度1)已知f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.①化简f(α)；②若α是第三象限的角，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π2＝15，求f(α)的值． (2)(角度2)(2021·唐山模拟)已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ －74 ，cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝ 34 .[解析] (1)①f(α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α·cos α·－cos α－cos α·sin α＝－cos α.②因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π2＝－sin α，所以sin α＝－15. 又α是第三角限的角， 所以cos α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－152＝－265.所以f(α)＝265.(2)sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α， 因为α为钝角， 所以34π<π4＋α<54π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α<0.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－74.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34.名师讲坛·素养提升sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系例4 (2021·北京东城模拟)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝ －125. [解析] 解法一：因为sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝49169，sin θcos θ＝－60169.由根与系数的关系，知sin θ，cos θ是方程x 2－713x －60169＝0的两根，所以x 1＝1213，x 2＝－513.因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0.所以sin θ＝1213，cos θ＝－513，tan θ＝sin θcos θ＝－125.解法二：同解法一，得sin θcos θ＝－60169，所以sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝－60169，弦化切，得 tan θtan 2θ＋1＝－60169，解得tan θ＝－125或tan θ＝－512. 又θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝713>0，sin θcos θ＝－60169<0.∴θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin θ>|cos θ|，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin θcos θ＝|tan θ|>1，∴tan θ＝－125.解法三：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin 2θ＋cos 2θ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－513，cos θ＝1213.(舍去)故tan θ＝－125.名师点拨sin x ＋cos x 、sin x －cos x 、sin xcos x 之间的关系为(sin x ＋cos x)2＝1＋2sin xcos x ，(sin x －cos x)2＝1－2sin xcos x ，(sin x ＋cos x)2＋(sin x －cos x)2＝2.因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值． 〔变式训练3〕(1)(2021·山东师大附中模拟)已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则1cos 2α－sin 2α的值为( C ) A.75 B ．725 C ．257D ．2425(2)若1sin α＋1cos α＝3，则s in αcos α＝( A )A ．－13B ．13C ．－13或1D ．13或－1 [解析] (1)解法一：∵sin α＋cos α＝15，∴(sin α＋cos α)2＝125，∴sin αcos α＝－1225，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝75.∴1cos 2α－sin 2α＝1cos α－sin αcos α＋sin α＝257，故选C. 解法二：由解法一知⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝－75，得⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝45，sin α＝－35.∴tan α＝sin αcos α＝－34.∴1cos 2α－sin 2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α－sin 2α＝1＋tan 2α1－tan 2α ＝1＋9161－916＝257，故选C.(2)由1sin α＋1cos α＝3，可得sin α＋cos α＝3sin αcos α，两边平方，得1＋2sin αcosα＝3sin 2αcos 2α，解得sin αcos α＝－13或sin αcos α＝1.由题意，知－1<sin α<1，－1<cos α<1，且sin α≠0，cos α≠0，所以sin αcos α≠1，故选A.。
1.2.1 第2课时三角函数
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
通技法·互动讲练
提知能·高效测评
【点评】 用三角函数线证明三角函数的不等式，体现了数形结合数学思想 的应用，解决问题的关键在于将所证问题转化为相应的几何解释，在坐标系的单 位圆中，画出三角函数线，最后利用这些图形之间的关系解决问题.有时在解题时 还要进行分类讨论.
数学 必修4
第一章 三角函数
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2.正确认识三角函数线 (1)正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的几何表示，三角 函数线的长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负，凡与 x 轴 或 y 轴同向的为正值，反向的为负值. (2)三角函数线的画法 定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正切线，同时也给出了角 α 的三 角函数线的画法，即先找到 P，M，T 点，再画出 MP，OM，AT. (3)三角函数线的作用 三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较同角异名三角函数值的大小， 同时它也是以后学习三角函数的图象与性质的基础.
数学 必修4
第一章 三角函数
抓基础·新知探究
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解析： 如图，过点 A(1，0)作单位圆 O 的切线，在切线上沿 y 轴正方向取一 点 T，使 AT＝ 33，过点 O，T 作直线，则当角 α 的终边落在阴影
区域内(包含所作直线，不包含 y 轴)时，tan α≥ 33.由三角函数线 可知，在[0°，360°)内，tan α≥ 33，有 30°≤α＜90°或 210°≤α＜270°， 故满足 tan α≥ 33，有
第二讲：两角和与差及二倍角公式
第二讲：两角和与差及二倍角公式（一） 主要知识：1.两角和与差的三角函数公式；二倍角公式；2.降次公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．3.三角函数求值问题的基本类型：（1）给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；（2）给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值； （3）给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角． 4.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．5.三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等.（二）主要方法：1.寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式；2.三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面；3.三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化． 4.应注意的几点:()1熟悉公式的正用、逆用，还要熟练掌握公式的变形应用.()2注意拆角、凑角技巧，如()ααββ=+-，()()2ααβαβ=++-等.()3注意倍角的相对性，如3α是23α的倍角.()4要时时注意角的范围的讨论.5.三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）典型例题：例1．()1（07江西文）若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于.A 3- .B 13-.C 3()2(06重庆)3,,4παβπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()3sin 5αβ+=-,12sin 413πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭例2．（07四川）已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，02πβα<<<，(Ⅰ)求α2tan 的值.（Ⅱ）求β例3．求值： ()1cos 20cos 40cos 60cos80︒︒︒︒()2（06江苏）cot 20cos10tan702cos40︒︒︒-︒ 2 例4．已知1sin sin αβ+=，1cos cos 3αβ+=，求值：()1()cos αβ-；()2（选作）()tan αβ+例5．已知tan 24πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，求212sin cos cos ααα+例6．求证：()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=；例7．已知()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，且(),0,αβπ∈，求2αβ-的值（四）巩固练习：1.（05重庆文）=+-)12sin12)(cos12sin12(cosππππ.A 23-.B 21- .C 212.（05江西文）已知tan32α=，则cos α= .A 54.C 154 .D 35- 4. 若α为锐角，且1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则cos α=.A .C .D5.（05江苏）1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭.B 13- .C 13 .D 796.（07陕西）已知sin 5α=，则44sin cos αα-的值为 .A 15- .C 15 .D 357.（07江苏）若1cos()5αβ+=，3cos()5αβ-=，则tan tan αβ⋅8.（07浙江）已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos 2θ9.（06福建）已知3(,),sin 25παπα∈=则tan(4πα+=.B 7 .C 7- .D 7-10. (06湖北)已知2sin 23A =，()0,A π∈，则sin cos A A +=.B .C 53 .D 53-11.（06重庆文）若,(0,)2παβ∈，cos()2βα-=,1sin()22αβ-=-，则cos()αβ+=.A .C 12 .D12.（06陕西）cos 43cos77sin 43cos167︒︒+︒︒=13. 在ABC △中，(1cot )(1cot )2A B ++=，则14. 已知sin 2cos 0αα+=，则sin 2cos 2αα+=15.（06安徽文）已知40,sin 25παα<<=求值：()12sin sin 2cos cos 2αααα++；()25tan(4πα-16.（06天津文）已知5tan cot ,(,242ππααα+=∈求cos 2α和sin(2)4πα+的值17. 化简1tan151tan15+︒-︒等于.B .C 3 .D 118.（06萍乡模拟）tan tan tan6666ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.B3.C.D319.已知1tan7α=，1tan3β=，已知,αβ均为锐角，则2αβ+=.B54π.C4π或54π.Dπ20.(05全国Ⅲ文)22sin2cos1cos2cos2αααα⋅=+.A tanα；.B tan2α；.C1；.D1221.222cos12tan()sin()44αππαα--+22.(04全国)已知α为锐角，且21tan=α，求ααααα2cos2sinsincos2sin-的值23.（06安徽）已知34παπ<<，10tan cot3αα+=-（Ⅰ）求tanα的值；（Ⅱ）求225sin8sin cos11cos822222αααπα++-⎛⎫-⎪⎝⎭的值24.（05福建文）已知51cossin,02=+<<-xxxπ.（Ⅰ）求xx cossin-的值；（Ⅱ）求xxxtan1sin22sin2-+的值25.（05全国Ⅱ文）已知α为第二象限的角，3sin5α=，β为第一象限的角，5cos13β=．求tan(2)αβ-的值．26.（05杭州二模）已知关于x的一元二次方程2(23)(2)0mx m x m+-+-=的两个实数根分别为tanα和tan.β（Ⅰ）求实数m 的取值范围；（Ⅱ）求tan()αβ+ 27.（选作）已知：22tan 2tan 1θϕ=+，求证：cos 212cos 2ϕθ=+。
高中数学讲义三角函数的图像和性质
第二讲 三角函数的图像和性质【知识要点】1.函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ωϕ=+的图象的两种主要途径2.熟悉函数sin()y A x ωϕ=+的性质【典型例题】1．已知函数2()2cos sin()3sin sin cos 23f x x x x x x π=+-++（x R ∈），该函数的图象可由sin y x =（x R ∈）的图象经过怎样的变换得到？2．如图为函数sin()y A x ωϕ=+（||2πϕ<，x R ∈）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。
3.已知函数cos()y A x ωϕ=+（0A >，0ω>，0ϕπ<<）的最小值是5-， 图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差4π，且图象经过点5(0,)2-，求这个函数的解析式。
xy O––––5121-2-134.若函数)0,0)(sin(>>+=ωϕϕωx A y 的图像的一个最高点为2,2(),它到其相邻最低点之间的图像与x 轴交于点（6，0），求这个函数的解析式，并求该图像关于直线x=8对称的图形的解析式5.（2003年高考江苏卷）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.6．已知函数())cos()f x x x ωϕωϕ+-+（0πϕ<<，0ω>）为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为π2． （Ⅰ）求π8f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间．7.已知函数x x x x x x f cos sin sin 3)3sin(cos 2)(2+-+=π。
(完整word版)三角函数专题讲义
三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。
正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。
专题二 第2讲
第2讲 三角恒等变换与解三角形高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟A.6425B.4825C.1D.1625解析 tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋2sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425. 答案 AA.34πB.π3C.π4D.π6解析 因为b ＝c ，a 2＝2b 2(1－sin A )，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝2b 2－2b 2（1－sin A ）2b 2，则cos A ＝sin A . 在△ABC 中，A ＝π4.答案 CA.π12B.π6C.π4D.π3解析 由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0，∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0，则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0， 因为sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0， 又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得2sin 3π4＝2sin C ， 则sin C ＝12，得C ＝π6.答案 B解析 依题意作出图形，如图所示，则sin ∠DBC ＝sin ∠ABC .由题意知AB ＝AC ＝4，BC ＝BD ＝2，则sin ∠ABC ＝154，cos ∠ABC ＝14.因为cos ∠DBC ＝－cos ∠ABC ＝－14＝BD 2＋BC 2－CD 22BD ·BC＝8－CD 28，所以CD ＝10. 由余弦定理，得cos ∠BDC ＝4＋10－42×2×10＝104. 答案152 104考 点 整 合1.三角函数公式(1)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.(2)诱导公式：对于“k π2±α，k ∈Z 的三角函数值”与“α角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆：奇变偶不变，符号看象限.(3)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. (4)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.(5)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a . 2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R (R 为△ABC 的外接圆半径)；变形：a ＝2R sin A ，sin A ＝a 2R ，a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C 等.(2)余弦定理在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；变形：b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc . (3)三角形面积公式S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B .热点一 三角恒等变换及应用A.1B.2C.3D.4解析 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5 ＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtan π5－1＝2＋12－1＝3. (2)由题意得|OC |＝|OB |＝|BC |＝1，从而△OBC 为等边三角形，所以sin ∠AOB ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513， 又因为3cos 2α2－sin α2cos α2－32 ＝－12sin α＋32cos α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝513. 答案 (1)C (2)513探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.解析 (1)α与β的终边关于y 轴对称，则α＋β＝π＋2k π，k ∈Z ，∴β＝π－α＋2kπ，k ∈Z .∴cos(α－β)＝cos(α－π＋α－2k π)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2×19＝－79. (2)因为cos(2α－β)＝－1114且π4<2α－β<π，所以sin(2α－β)＝5314.因为sin(α－2β)＝437且－π4<α－2β<π2，所以cos(α－2β)＝17.所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]＝－1114×17＋5314×437＝12.因为π4<α＋β<3π4，所以α＋β＝π3. 答案 (1)－79 (2)π3热点二 正弦定理与余弦定理命题角度1 利用正(余)弦定理进行边角计算(1)求B 的大小；(2)若a ＋c ＝332，b ＝3，求△ABC 的面积.解 (1)由2cos A cos C (tan A tan C －1)＝1，得2(sin A sin C －cos A cos C )＝1，即cos(A ＋C )＝－12，∴cos B ＝－cos(A ＋C )＝12，又0<B <π，∴B ＝π3.(2)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，∴（a ＋c ）2－2ac －b 22ac ＝12，又a ＋c ＝332，b ＝3，∴274－2ac －3＝ac ，即ac ＝54，∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×54×32＝5316.【迁移探究1】 若本题第(2)问条件变为“若b ＝3，S △ABC ＝332”，试求a ＋c的值.解 由已知S △ABC ＝12ac sin B ＝332，∴12ac ×32＝332，则ac ＝6.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ，所以(a ＋c )2＝b 2＋3ac ＝21，所以a ＋c ＝21.【迁移探究2】 在本例条件下，若b ＝3，求△ABC 面积的最大值. 解 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，则3＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ，所以ac ≤3(当且仅当a ＝c ＝3时取等号).所以S △ABC ＝12ac sin B ≤12×3×sin π3＝334.故△ABC 面积的最大值为334. 探究提高 1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 面积为2，求b .解 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，得sin B ＝8sin 2B 2， 故sin B ＝4(1－cos B ).上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0，解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517. (2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1517＝4. 所以b ＝2.命题角度2 应用正、余弦定理解决实际问题A.210(6＋2)米B.1406米C.2102米D.20(6－2)米即(x －40)2＝x 2＋10 000－100x ，解得x ＝420米.在△ACH 中，AC ＝420米，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°，由正弦定理：CH sin ∠CAH ＝AC sin ∠AHC .答案 B探究提高 1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上，行驶600 m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD ＝________m.解析 由题意，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，故∠ACB ＝45°.又AB ＝600 m ，故由正弦定理得600sin 45°＝BC sin 30°， 解得BC ＝3002(m).答案 100 6热点三 解三角形与三角函数的交汇问题(1)求函数f (x )的最小正周期和最小值；(2)在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值.解 (1)f (x )＝3sin 2x －2cos 2x －1 ＝3sin 2x －(cos 2x ＋1)－1＝3sin 2x －cos 2x －2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－2， 所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，最小值为－4.(2)因为f (C )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6－2＝0， 所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又C ∈(0，π)， 知－π6<2C －π6<116π，所以2C －π6＝π2，得C ＝π3.因为sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋4a 2－2a 2＝3a 2，又c ＝3，所以a ＝1，b ＝2.探究提高 1.解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理.2.求解该类问题，易忽视C 为三角形内角，未注明C 的限制条件导致产生错解.(1)求实数m 的值；(2)在△ABC 中，已知f (C )＝1，AC ＝4，延长AB 至D ，使BD ＝BC ，且AD ＝5，求△ACD 的面积.解 (1)∵f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋m ＝4cos x ⎝⎛⎭⎪⎫sin x cos π6＋cos x sin π6＋m ＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋m ＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＋m＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋m ＋1. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， 得2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6min ＝－1， ∴f (x )min ＝－1＝－1＋m ＋1，解得m ＝－1.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，且f (C )＝1， ∴2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2C ＋π6＝1， ∵C ∈(0，π)，得2C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6， ∴2C ＋π6＝5π6，解得C ＝π3.如图，设BD ＝BC ＝x ，则AB ＝5－x ，在△ACB 中，由余弦定理，得cos C ＝12＝42＋x 2－（5－x ）22×4×x，解得x ＝32.∴cos A ＝42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5－322－⎝ ⎛⎭⎪⎫3222×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5－32＝1314，得sin A ＝1－cos 2 A ＝3314.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择S ＝12ab sin C 来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题A.31010B.1010C.－1010D.－31010解析 设BC 边上的高AD 交BC 于点D ，由题意B ＝π4，BD ＝13BC ，DC ＝23BC ，tan ∠BAD ＝1，tan ∠CAD ＝2，tan ∠BAC ＝1＋21－1×2＝－3，所以cos ∠BAC ＝－1010. 答案 CA.π12B.π6C.π4D.π3 解析 由cos α＝35，0<α<π2，得sin α＝45，又cos ()α－β＝7210，0<β<α<π2，即0<α－β<π2，得sin(α－β)＝210， 则cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝35×7210＋45×210＝22， 由0<β<π2，得β＝π4.答案 C3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332D.3 3解析 c 2＝(a －b )2＋6，即c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6①.∵C ＝π3，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－ab ②，由①和②得ab ＝6，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 CA.－19B.19C.53D.－53解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π3＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3 ＝2－3cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝53. 答案 CA.a ＝2bB.b ＝2aC.A ＝2BD.B ＝2A解析 等式右边＝2sin A cos C ＋cos A sin C ＝sin A cos C ＋sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sin B .等式左边＝2sin B cos C ＋sin B ，则2sin B cos C ＋sin B ＝sin A cos C ＋sin B ，因为角C 为锐角三角形的内角，所以cos C 不为0.所以2sin B ＝sin A ，根据正弦定理，得a ＝2b .答案 A二、填空题解析 由正弦定理得2sin B cos B ＝sin A cos C ＋sin C cos A ＝sin(A ＋C )＝sin B . ∴2sin B cos B ＝sin B ，又sin B ≠0，∴cos B ＝12，故B ＝π3.答案 π3解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝13； 又0<α<π2，∴π6<π6＋α<2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223. 答案223解析 由c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C 及正弦定理， 得c －b2c －a ＝a b ＋c，则a 2＋c 2－b 2＝2ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝22，从而B ＝π4.答案 π4三、解答题(1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值. 解 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13， 所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以，b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 10.设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意知f (x )＝sin 2x 2－1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12.由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z,可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z,可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，且当b ＝c 时等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34.(1)求角A ；(2)当sin B ＋sin C 取得最大值时，判断△ABC 的形状. 解 (1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R ， 可得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R .代入(a －c )sin A －b sin B ＋(a ＋b －c )sin C ＝0化简整理得： b 2＋c 2－a 2＝bc ，则b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以cos A ＝12. 又因为A 为三角形内角，所以A ＝π3.(2)由(1)，得B ＋C ＝23π，所以sin B ＋sin C ＝sin B ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π－B ＝sin B ＋sin 23πcos B －cos 23πsin B＝32sin B ＋32cos B ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6. 因为0<B <23π，所以π6<B ＋π6<56π，所以当B ＝π3时，B ＋π6＝π2，sin B ＋sin C 取得最大值3，因此C ＝π－(A ＋B )＝π3，所以△ABC 为等边三角形.。
第二讲 任意角的三角函数
第二讲 任意角的三角函数二、任意角的三角函数(一)【学习目标】1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等． 知识点一 任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r .思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x. 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？答案 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x. 梳理 (1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么：①y 叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ；③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝y x(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x(x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．梳理 诱导公式一类型一 三角函数定义的应用命题角度1 已知角α终边上一点的坐标求三角函数值例1 已知θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ. 考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝x x 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x . ∵x ≠0，∴x ＝±1.当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3. 当x ＝－1时，P (－1,3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 反思与感悟 (1)已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝x r.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |.①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限，sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1. ②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35， ∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1. 综上所述，2sin α＋cos α＝±1.命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值例2 已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，求10sin α＋3cos α的值． 考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值解 由题意知，cos α≠0.设角α的终边上任一点为P (k ，－3k )(k ≠0)，则x ＝k ，y ＝－3k ，r ＝k 2＋(－3k )2＝10|k |.(1)当k >0时，r ＝10k ，α是第四象限角，sin α＝y r ＝－3k 10k＝－31010，1cos α＝r x ＝10k k ＝10， ∴10sin α＋3cos α＝10×⎝⎛⎭⎫－31010＋310 ＝－310＋310＝0. (2)当k <0时，r ＝－10k ，α是第二象限角，sin α＝y r ＝－3k －10k ＝31010， 1cos α＝r x ＝－10k k＝－10， ∴10sin α＋3cos α＝10×31010＋3×(－10) ＝310－310＝0.综上所述，10sin α＋3cos α＝0. 反思与感悟 在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标为(a ，b )，则对应角的三角函数值分别为sin α＝b a 2＋b 2，cos α＝a a 2＋b2，tan α＝b a. 跟踪训练2 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值． 考点 任意角的三角函数题点 用定义求三角函数的值 解 当角α的终边在射线y ＝－34x (x >0)上时，取终边上一点P (4，－3)， 所以点P 到坐标原点的距离r ＝|OP |＝5，所以sin α＝y r ＝－35＝－35，cos α＝x r ＝45，tan α＝y x ＝－34. 所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154. 当角α的终边在射线y ＝－34x (x <0)上时，取终边上一点P ′(－4,3)， 所以点P ′到坐标原点的距离r ＝|OP ′|＝5，所以sin α＝y r ＝35，cos α＝x r ＝－45， tan α＝y x ＝3－4＝－34. 所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×⎝⎛⎭⎫－45－34＝35＋125－34＝94. 综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.类型二 三角函数值符号的判断例3 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号解 (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0.∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.(2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.反思与感悟 角的三角函数值的符号由角的终边所在位置确定，解题的关键是准确确定角的终边所在的象限，同时牢记各三角函数值在各象限的符号，记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．跟踪训练3 已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则α是第________象限角．考点 三角函数值在各象限的符号题点 三角函数值在各象限的符号答案 二解析 由题意知tan α<0，cos α<0，∴α是第二象限角．类型三 诱导公式一的应用例4 求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π. 考点 诱导公式一题点 诱导公式一解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思与感悟 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0到2π间的三角函数，也可把大于2π的角的三角函数化为0到2π间的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．跟踪训练4 求下列各式的值：(1)cos 25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4；(2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°.考点 诱导公式一题点 诱导公式一解 (1)原式＝cos ⎝⎛⎭⎫8π＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－4π＋π4 ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. (2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1.二、任意角的三角函数(二)学习目标1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域.2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．知识点一 三角函数的定义域思考 正切函数y ＝tan x 为什么规定x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z? 答案 当x ＝k π＋π2，k ∈Z 时，角x 的终边在y 轴上，此时任取终边上一点P (0，y P )，因为y P 0无意义，因而x 的正切值不存在．所以对正切函数y ＝tan x ，必须要求x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . 梳理 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . 知识点二 三角函数线思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴，过点A (1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T ，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP ，OM ，AT 的关系吗？答案sin α＝MP，cos α＝OM，tan α＝AT.思考2三角函数线的方向是如何规定的？答案方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值．思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？答案长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负．梳理角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM垂直于x轴，有向线类型一 三角函数线例1 作出－5π8的正弦线、余弦线和正切线． 考点 单位圆与三角函数线题点 三角函数线的作法解 如图所示，sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ， cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT . 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．(2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT .跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合． 考点 单位圆与三角函数线题点 三角函数线的作法解 已知角α的正弦值，可知P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12，过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .类型二 利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较sin2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小． 考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线比较大小解 如图，sin 2π3＝MP ，cos 2π3＝OM ，tan 2π3＝AT ，sin 4π5＝M ′P ′，cos 4π5＝OM ′，tan 4π5＝AT ′.显然|MP |>|M ′P ′|，符号皆正，∴sin 2π3>sin 4π5； |OM |<|OM ′|，符号皆负，∴cos 2π3>cos 4π5； |AT |>|AT ′|，符号皆负，∴tan 2π3<tan 4π5. 反思与感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”；(2)比较三角函数线的长度；(3)确定有向线段的正负．跟踪训练2 比较sin 1 155°与sin(－1 654°)的大小．考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线比较大小解 sin 1 155°＝sin(3×360°＋75°)＝sin 75°，sin(－1 654°)＝sin(－5×360°＋146°)＝sin 146°.如图，在单位圆中，分别作出sin 75°和sin 146°的正弦线M 1P 1，M 2P 2.∵|M 1P 1|>|M 2P 2|，且符号皆正，∴sin 1 155°>sin(－1 654°)．类型三 利用三角函数线解不等式(组)命题角度1 利用三角函数线解不等式(组)例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12. 考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式解 (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足要求的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z . (2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z . 反思与感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角不等式，应注意以下两点：(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周期；(2)注意区间是开区间还是闭区间．跟踪训练3 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围． 考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式解 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域例4 求函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫sin x －22＋1－2cos x 的定义域．考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式解 由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧ cos x ≤12，sin x >22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π＋π3≤x <2k π＋3π4，k ∈Z . 反思与感悟 (1)求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，一般通过解不等式或不等式组求得，对于三角函数的定义域问题，还要考虑三角函数自身定义域的限制．(2)要特别注意求一个固定集合与一个含有无限多段的集合的交集时，可以取特殊值把不固定的集合写成若干个固定集合再求交集．跟踪训练4 求函数f (x )＝2sin x －1的定义域．考点 单位圆与三角函数线题点 利用三角函数线解不等式解 要使函数f (x )有意义，必须使2sin x －1≥0，则sin x ≥12.如图，画出单位圆，作x 轴的平行直线y ＝12，交单位圆于点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2，分别过点P 1，P 2作x 轴的垂线，画出如图所示的两条正弦线，易知这两条正弦线的长度都等于12. 在[0,2π)内，sin π6＝sin 5π6＝12. 因为sin x ≥12，所以满足条件的角x 的终边在图中阴影部分内(包括边界)， 所以函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ π6＋2k π≤x ≤5π6＋2k π，k ∈Z .。
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第二讲 三角函数专题2（文）
（1）“απ+k 2”型 （2）“α-”型 （3）“απ+”型 （4）“απ-”型
（5）“απ
-2”型 （6）“απ
+2”型 （7）“απ
-23”型 （8）“απ
+23”型
※注意：（1
（2）记忆：奇变偶不变，符号看象限．．．．．．．．．．．．应用时，不论．．α．取什么值，我们始终视．．．．．．．．．．α．为锐角．．．．．
（3）若2
πβα=+，则βαcos sin =，βαsin cos =
2
※注意：
系；常用
3
※注意：以上公式变式的逆用
① 升幂公式（缩角，降次）
② 降幂公式（扩角，降次）
4
特别要熟记：
若
5（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4
类型一： 熟悉三角函数诱导和变换公式，善于正用、逆用、变用公式
※例1设212tan13sin 50cos66,,,221tan 132cos 25
a b c =-==+
则有（ ） A .a b c >> B .a b c << C .a c b << D .b c a <<
【归纳】要能善于正用、逆用、变用公式。
例如：sin αcos α=
α2sin 21，cos α=αα2sin sin2， 2
)cos (sin cos sin 21αααα±=±，αα2cos 22cos 1=+，αα2sin 22cos 1=-，2
2cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α，tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)等。
另外，三角函
数式基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为
)x sin(b a 22φ++即
tan b a
ϕ=
）是常用转化手段。
特别是与特殊角有关的sin ±cosx ，±sinx ±3cosx ，要熟练掌握其变形结论。
类型二：明确三角恒等变换目的，数学思想方法上寻找突破口
※例2． 已知2π＜β＜α＜
4π3，cos （α－β）=1312，sin （α+β）=－5
3，求sin2α的值．
【归纳】注意拆拼角，将2α表示为2α=（α－β）+（α+β）。
※例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+3tan10°）］．
【归纳】化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。
※例4：已知sin （α+β）=
32，sin （α－β）=43，求2tan()tan tan tan tan()
αβαββαβ+--⋅+的值．。
【归纳】对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件运用方程思想达到求值的目的。
型三：ωϕ把下列式子化为Asin(x+)+B 结构
2.sin x
(sinx-cosx).sin2x ※例5（1）（2）;（3）2cos x+sin2x
T 1、点P ()︒︒2008cos ,2008tan 位于 （ ）
A ．第二象限
B ．第一象限
C ．第四象限
D ．第三象限
T 2．sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）
A ．23
B ．21
C ．2
3 D ．21- T 3. 下列各式中，值为12
的是（ ）
A 、1515sin cos
B 、221212cos sin ππ
- C 、22251225tan .tan .- D T 4.已知)43,4(,135)4sin(πππ∈=+x x ，则x
x tan 1tan 1-+的值为__________ T 5．cos 20°cos 40°cos 80°等于 .
T 6．tan 20tan 4020tan 40+
的值是 .
T 7．sin 12π—3cos 12
π的值是 （ ） A ．0 B ． —2 C ．
2 D ． 2 sin 125π T 8．化简：)2cos()2sin(21-∙--ππ得（ ）
A.sin2+cos2
B.cos2-sin2
C.sin2-cos2
D.± (cos2-sin2) T 9、若锐角βα,满足4)tan 31()tan 31(=+⋅+βα，则=+βα_______________
T 10．已知sin(4π+α)=2
3，则sin(43π-α)值为（ ） A. 21 B. —21 C. 23 D. —2
3 T 11、已知,41)4tan(,52)tan(=-=+πββα则)4
tan(πα+的值等于（ ） （A ）1813 （B ）223 （C ）2213 （D ）18
3 T 12、已知313sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πa ，则⎪⎭
⎫ ⎝⎛+a 6cos π的值为 （ ）
A 、31
B 、－31
C 、332
D 、－3
32 T 13．化简2sin （4π
－x ）·sin （4
π+x ），其结果是（ ） Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x
T 14、已知,3
1cos cos ,21sin sin =+=
+βαβα则)cos(βα-值等于（ ） （A ）12
7- （B ）1817- （C ）7259- （D ）72109- T 15、若51)sin(,53)sin(=-=+βαβα，则=β
αtan tan ____________. T 16、已知在△ABC 中，4
3cos ,32)sin(-==+B B A ，求A cos 的值。
T 4ωϕ417.把下列式子cos x-sin x-2sinxcosx 化为Asin(x+)+B 结构。
T 18、已知32)2sin(,91)2cos(=--=-
βαβα，且20,2πβπαπ<<<<，求2cos βα+。