2.5.2 向量在物理中的应用举例
2.5.2向量在物理中的应用举例1
小结
物理问题 (实际问题）
向量问题 (数学模型)
解释和验证相 关物理现象
数学问题 的解决
答：行驶航程最短时，所用时间是3.1min.
（1）行驶航程最短,是否就是航程时间 最短呢? （2） V1的方向如何才能使航程时间最短?
思考题
已知船在静水中的速度是3km/h,它
要横渡30m的河流,已知水流的速度是 4km/h,思考: 1.这只船可以沿着垂直于河岸的航线 到达正对岸吗?
2.最短多少时间可以过河?
课堂小结
向量解决物理问题的一般步骤: (1)问题的转化：把物理问题转化为数学 问题； (2)模型的建立：建立以向量为主体的数 学模型； (3)参数的获得：求出数学模型的有关解 ——理论参数值； (4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决有相关物理现象.
练习.有两个向量 e1 (1, 0), e2 (0, 1), 今有动点P从P0 ( 1, 2)开始沿着与向量
e1 e2相同的方向做匀速运动 , 速度为 | e1 e2 |, 另有一动点Q , 从Q0 ( 2, 1) 开始沿着与 3e1 2e2相同的方向做匀速 运动, 速度为| 3e1 2e2 |, 设P、Q在时 刻t 0秒时分别在P0、Q0处 , 则当PQ P0Q0时，求 t 的值.
（1） θ为何值时， |F1|最小，最小值是 多少？ （2） |F1|能等于|G|吗？为什么？
例2
如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500m
一膄船从A处出发到河对岸。已知船的速度 v1 = 10km / h , 水流速度 v2 = 2km / h,问行驶航程最短时，所用时间是 多少(精确到0.1 min)?
分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的
2.5.2向量在物理中的应用举例
(1)(a
b)2
2
a
2a
b
2
b;
(2)(a
b)(a
b)
2
a
2
b.
题型探究
类型三 平面向量数量积的运算律
变例变式式3 已已已知知知|||aaa|||===666，，，|||bbb|||===444，，，aaa与与与bbb的的的夹夹夹 角角角θθθ===666000°°°，，，求求求(a(aa·++2bbb。))··((aa-b-3)b。)。
其中，a、b、c是任意三个向量， R
注：
(a
b)
c
a
(b
c)
合作探究：我们知道，对任a意,b R ，恒有
(a b)2 a2 2ab b2, (a b)(a b) a2 b2.
对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论？
答案 返回
师生合作探究
一个物体，在力f的作用下产生位移S，如图． 问题1：力 f 在位移S方向上的分力的数值是多少？ 提示：|f|cos θ.
问题2：功又可以表述为？ 提示：力 f 在位移S方向上的分力大小与位移大小的乘积
问题3：向量b在a方向上的大小是多少？向量a在b方向上的 大小？
提示：|b|cosθ； |a|cos θ
反思与感 解析答案
例4.已知 | a | 3,| b | 4 ，且a 与b 不共线，k为何值时， 向量 a kb 与 a kb 互相垂直。
学习目标
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下 产生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个 向量是否垂直.
2.5.2向量在物理中的应用举例 (3)
D
等边三角形，故 a与OD共线且模相等
所以：OD a,即有：a b c 0
例2：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提
一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上
运动，两臂夹角越小越省力！你能从数学的角度解释
这个现象吗？
F
分析：上述的问题跟如图所示的
是同个问题，抽象为数学模型如
F1
下：
用向量F1，F2，表示两个提力，它们 的合向量为F，物体的重力用向量G 来表示， F1，F2的夹角为θ，如右图 所示，只要分清F，G和θ三者的关系， 就得到了问题得数学解释！
F2 θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2.5.2 向量在物理中的应用举例
向量与物理学的联系
向量是从物理学中抽象出来的数学概念，在物 理中，通常被称为矢量！在物理学，工程技术 中有广泛的应用，因此，我们要明确掌握用向 量研究物理问题的相关知识！
1. 向量既是有大小又有方向的量，物理学中， 力、速度、加速度、位移等都是向量！
2. 力、加速度、位移等的合成和分解就是向量的 加减法，运动的叠加也用到向量的合成！
3. 功的定义即是F与所产生位移S的数量积
例题讲解
例1：同一平面内，互成 1200 的三个大小相等的共点力的
合力为零。
A a
证：如图，用a，b，c表示这3个共点
力，且a，b，c互成120°，模相等
120º O
按照向量的加法运算法则，有：
b
c
a +b +c = a +（b +c）=a +OD B
课件1：2.5.2 向量在物理中的应用举例
高中数学必修4·同步课件
学习要求
1.掌握平面向量的数量积及其几何意义； 2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律； 3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的 问题； 4.掌握向量垂直的条件.
复习回顾
夹角的范围 数量积
0
a b | a || b | cos
证明PC⊥AB.
A
E F
P
B
D
C
要点解析
利用向量法解决平面几何问题的基本思路 （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中 涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距 离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系。
典例剖析
已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角形？
| a || b | 5 | a b || a || b |
探究点2 推断直线位置关系
思考：对于PA⊥BC，PB⊥AC，用向量观点可分别转化为什么结 论？ a·(c－b)＝0，b·(a－c)＝0.
探究点2 推断直线位置关系
思考：如图，设△ABC的两条高AD与BE相交于点P，要说明 AB边上的高CF经过点P，你有哪些办法？
自学导引
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的 许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运 算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一 些问题。
预习测评
在ABC中，C 90，AB （k，1），AC （2，3），那么k的值（）
A. 3
2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；
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抽样方法（3）
教学目的：掌握分层抽样方法，并对简单随机抽样、系统抽样及分层抽样方法进行比较，揭示其相互关系。
教学重点：分层抽样的概念的理解，及三种抽样方法的比较。
教学方法：启发式。
教学过程
一复习导引
提出问题：为什么一个单位老职工多，其投医疗保险的积极性就高，而老年职工少的单位其投医疗保险的积极性低？
一个单位的职工500人，其中不到35岁的有125人，35到49岁的有280人，50岁以上的有95人。
为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本。
由于职工年龄与这项指标有关，试问：应用什么方法抽取？能在500人中任意取100个吗？能将100个份额均分到这三部分中吗？
解：（1）确定样本容量与总体的个体数之比100：500=1：5。
（2）利用抽样比确定各年龄段应抽取的个体数，依次为125
5
，
280
5
，
95
5
，即25，56，
19。
（3）利用简单随机抽样或系统抽样的方法，从各年龄段分别抽取25，56。
19人，然后合在一起，就是所抽取的样本。
——小结
当已知总体由差异明显的几部分组成时，为了使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几个部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做“分层抽样”，其中所分成的各部分叫做“层”。
——强调
（1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的。
用分层抽样从个体为N的总体中抽取一
个容量为n的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于n
N。
（2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此它获取的样本更具代表性，在实用中更为广泛。
二课堂练习
三、补充练习：
1、某学校现有职工140人，其中教师91人，教辅行政人员28人，总务后勤人员21人。
为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，试用简单随机抽样、系统抽样、分层抽样分别叙述抽取的方法。
2、一个工厂有若干个车间，今采用分层抽样的方法从全厂某天的2048件新产品中抽取一个容量为128的样本进行质量检查。
若一车间这一天生产256产品，则从该车间抽取的产品数是多少？
方法1：
四作业、练习：
1．某校共有60个班级，为了调查班级中男女学生所占比例的情况，试抽取8个班级组成一个样本。
2．某学校的高一年级有200名学生，为了调查这些学生的某项身体素质达标状况，请使用随机数表法从总体中抽取一个容量为15的样本。
3．为了了解某市800个企业的管理情况，拟取40个企业作为样本。
这800个企业中有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其它性质企业80家。
如何抽取？
4.一个电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为
此，要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各就抽选多少人。