在不平的地面放稳椅子

在不平的地面放稳椅子
摘要
针对在不平的地面将椅子放平稳的问题，文章建立了三个模型来解决该问题。

将椅子的四脚连线看作特殊的四边形进行求解。

对于问题1，正方形是最简单也是最特殊的一种情况，我们用连续函数零点存在定理，证明出一定可以使椅子放稳。

对于问题2，我们采用和问题1相同的方法与过程，证明出可以放稳。

对于问题3，等腰梯形和正方形、长方形有一些区别，它更加一般化，旋转的区间范围更大，在]
2,0[ 上进行旋转，也可以找出能放稳的点，方法与问题1、问题2相同。

文章在解决这些特殊化问题后，对一般性结论进行了猜想与论证，并最终得出结论，对一般的四边形，也能使它在不平的地面上放稳。

关键词：椅子；不平地面；放稳；数学模型；连续函数；零点存在
1.问题的重述
在不平的地面上，椅子通常只有三只脚着地，只需稍挪动几次，就能使四只脚同时着地，即放稳了。

问题1：椅子四脚连线呈正方形；
问题2：椅子四脚连线呈长方形；
问题3：椅子四脚连线呈等腰梯形。

2.问题的分析
当椅子放稳时应为椅子的四条腿同时着地（即椅子的四条腿脚与地面的的距离为零），用连续函数的零点存在定理，找出在某一范围内一定存在的点，能让四条腿同时着地。

3．模型的假设与符号说明
3．1 模型的假设
（1）假设一：椅子的四条腿一样长，将椅子与地面的接触看作一个点。

（2）假设二：将不平的地面看作连续的曲面，没有间断点。

（3）假设三：椅子在任何位置至少有三脚着地，才能保证椅子能放平稳。

3．2 符号说明
符号一：D
C
,'D
,'
A为旋转后四边形上四点。

B
B
C
A,
,
,'
,为四边形上四点，'
符号二：O为四边形的中心。

符号三：θ为旋转角度。

4．模型的准备
连续函数零点存在定理：对)(x F ∀，若)(x F 在],[b a 上为连续函数，且0)()(≤⋅b F a F ，则],[b a ∈∃ξ，使得0)(=ξF .
5．模型的建立与求解
5．1 问题1的模型建立与求解
模型建立：1.正方形ABCD 为椅子四脚的连线，
2.椅子中心为O 点，
3.当椅子绕中心O 点旋转θ度后，椅子从正方形ABCD 变为正方 形''''D C B A ，旋转角度为θ.
设椅脚C A ,与地面的距离之和为)(θf ，D B ,两脚与地面距离之和为)(θg ，其中)(θf 、)(θg ≥0。

模型求解：由假设可知，
∵地面为连续曲面,∴g f ,为连续函数.
∵至少三个脚着地,∴g f ,中至少有一个为零，不妨令0)(,0)(>=θθg f ,
当2πθ=时，0)2(,0)2(=>π
πg f . 将此问题转换为证明下列结论：
已知)(θf 和)(θg 为连续函数，
0)0(,0)2(,0)2()0(,0)()(,>>===⋅∀g f g f g f π
πθθθ.证明：,0θ∃使.0)()(00==θθg f 证：令),()()(θθθg f h -=则0)0(>h 和.0)2(<π
h ∵g f ,连续，∴h 也连续，
∴
)2,0(0π
θ∈∃，使0)(0=θh ,即).()(00θθg f = .0)()(,0)()(0000==∴=⋅θθθθg f g f 5．2 问题2的模型建立与求解
模型建立：1.长方形ABCD 为椅子四脚的连线，
2.椅子中心为O 点，
3.当椅子绕中心O 点旋转θ度后，椅子从长方形ABCD 变为长方形
''''D C B A ，旋转角度为θ.
设椅脚C A ,与地面的距离之和为)(θf ，D B ,两脚与地面距离之和为)(θg ，其中)(θf 、)(θg ≥0。

模型求解：由假设可知，
∵地面为连续曲面，∴g f ,为连续函数
∵至少三个脚着地，∴g f ,中至少有一个为零，不妨令0)(,0)(>=θθg f 当πθ=时，0)(,0)(=>ππg f
将此问题转换为证明下列结论：
已知)(θf 和)(θg 为连续函数，
0)0(,0)(,0)()0(,0)()(,>>===⋅∀g f g f g f ππθθθ，证明：,0θ∃使.0)()(00==θθg f
证：令),()()(θθθg f h -=则0)0(>h 和.0)(<πh
∵g f ,连续，∴h 也连续，
∴),0(0πθ∈∃，使0)(0=θh ，即).()(00θθg f =
.0)()(,0)()(0000==∴=⋅θθθθg f g f
5．3 问题3的模型建立与求解
AC 两脚与地面的距离和为BD f ),(θ两脚与地面的距离和为)(θg ，在任何情况下至少三脚着地，即)(),(θθg f 至少有一个为0，并且0)(,0)(≥≥θθg f . 当0=θ时，不妨设0)(,0)(≥=θθf g .
以对角线AC 、BD 的交点O 为中心，旋转α，使AC 与原来的BD 重合，此时不考虑BD 所处的位置，则AC 边所对应的函数值由原来的0)(>θf 变为0)(=θf ，故0)(=αf .
构造辅助函数),()()(θθθg f h -=
则0)()()()(;0)0()0()0()0(<=-=>=-=ααααf g f h f g f h .
有连续函数的零点存在定理可知：),0(α之间一正一负，至少有一个.0)()(,111=-θθθg f
在任何情况下至少三脚着地，即)(),(θθg f 至少有一个为0，故0)()(11==θθg f .
所以，也存在一个适当的角度能使四脚连线呈等腰梯形的椅子在不平的地面放平稳.
6．模型结果的分析与检验
椅子问题虽然是日常生活中一件非常普通的事，但在实际中却有指导意义。

因为我们事先不知道要把椅子放在什么样的地面上，所以也不可能对地面提出任何要求，这对椅子的设计提出了一定的要求。

上述结论不只是对制作椅子有用，对很多四脚物体，如桌子，家用电器，四脚机器或设备等，都有设计方面的应用价值。

用函数的观点来解决问题，引入合适的函数式关键。

本题用变量θ表示椅子的位置，用θ的两个函数表示椅子四脚与地面的竖直距离，较为准确与合适。

7．模型的推广与改进方向
如果将椅子的四脚连线看作一般的四边形而非特殊的，下面我们进行分析与讨论。

分析：首先，椅子绕中心轴旋转一周，显然，椅子与地面的接触点组成了三维空间中的一条封闭曲线，下面考虑这条封闭曲线的性质
其次，选择一个水平面，那么曲线中的每一个点与水平面都有一个距离，并且这个距离是椅子位置变量θ的连续函数。

如图，记封闭曲线上关于中心轴对称的A 、C 两点与水平面的距离之和为)(θf ，而对称的B 、D 两点与水平面的距离之和为)()(αθθ+=f g ，)(),(θθg f 都是连续函数，显然，四只脚同时着地也就是两个距离和相等。

最后，归结为数学问题：
已知)(),(θθg f 是θ的周期为π2的连续函数，对于)()(],2,0[αθθπθ+=∈∀f g ，证明：0θ∃，使得.0)()(00==θθg f
证明：构造函数),()()()()(αθθθθθ+-=-=f f g f h 显然)(θh 连续，
)(θf 是θ的周期为π2的连续函数，那么根据闭区间连续函数最值得性质，21,θθ∃，使]}.2,0[|)(min{)(]},2,0[|)(max{)(21πθπθ∈=∈=x x f f x x f f
那么.0)(,0)(21≤≥θθh h
如果两个不等式有一个等号成立，那么问题得证；否则.0)(,0)(21<>θθh h 根据连续函数的零点定理，0θ∃，使0)(0=θh ，即.0)()(00==θθg f
对于一般的四边形，如图，让A 、C 两点保持定长在封闭曲面上移动，E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数),(y x f ；让B 、D 两点保持定长在封闭曲面上移动，E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数),(y x g .
具体结论：在封闭曲面Ω上，在保持定长的移动过程中，线段AC 中的E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数),(y x f 可以取到最大值M 和最小值m ，线段BD 中的E 点与水平面的距离是一个双变量的连续函数),(y x g 可以取到最大
值'M 和最小值'm .如果m m M M >>>''，那么一定存在一点),(00y x ，使得，即
椅子可以放平。

8．模型的优缺点
优点：该模型较全面的研究了在不平的地面上如何使椅子放平，对椅子四脚连线所称的形状进行了分别讨论，同时也对一般四边形的问题进行了推广。

缺点：在构建模型时，对这种符号以及函数所表达的意义表述不是太清晰，在推广到一般问题时，只是证明了可以放平，但没有更进一步讨论出可以放平的充要条件，即并不是所有四边形都能成立。

参考文献
[1] 姜启源. 数学模型（第三版）[M]. 北京：高等教育出版社，1999.
[2] 韩中庚. 数学建模方法及其应用（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009.
附录
无。