椅子放稳模型

数学建模试题(带答案)四

数学建模部分课后习题解答1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？解：模型假设（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况），即从数学角度来看，地面是连续曲面。

这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。

为了保证这一点，要求对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。

因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。

模型建立在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。

首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。

生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。

然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。

于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。

把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。

为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。

设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。

椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。

其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。

当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。

生活中的若干建模实例3

p1 p2 这时不公平程度可用来衡量。 n1 n2 如 p1 120, p2 100, n1 n2 10 p1 p2 则 2 n1 n2
又如 p1 1020, p2 1000, n1 n2 10
pபைடு நூலகம் p2 不妨设 > n1 n2
p1 p2 则 2 n1 n2
显然 p1 - p2 只是衡量的不公平的绝对程度，但是
Q1最大，于是这1席应分给甲系.
Q3最大，于是这1席应分给丙系.
评注
1.席位的分配应对各方都要公平 2.解决问题的关键在于建立衡量公平程度既合理又简明的数量指标。这个模型提出的相对不公平值它是确定分配方案的前提.
rA , rB
§3 双层玻璃窗的功效问题
我们注意到北方有些建筑物的窗户是双层的，即窗户装两层玻璃且中间留有一定空隙，如图所示墙墙
当总席位增加1席时,计算
Qi p i2 ni ( ni 1) , i =1,2，，m
则增加的一席应分配给Q值大的一方. 这种席位分配的方法称为Q值法. 下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系分配21个席位的问题.
先按照比例将整数部分的19 席分配完毕,有
n1 10，n2 6，n3 3
由假设（3），任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ， f ( ), g( ) 至少有一个为0.
当θ=0时，不妨设
g(0) 0, f (0) 0
这样改变椅子的位置使四只脚同时着地就归结为证明如下的数学命题：
已知f ( )和g ( )都是的连续函数，对任意， f ( ) g ( ) 0且g ( 0) 0，f ( 0) 0，则存在 0使 f ( 0 ) g ( 0 ) 0

数学建模椅子平衡问题蜗牛爬行问题船渡河问题

1 椅子能在不平的地面上放稳得问题的拓展.模型假设对椅子和地面应该作一些必要的假设:1.椅子的四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一个点。

四脚的连线呈长方形。

2.地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断，即地面可视为数学上连续曲面。

3.对于脚的间距和椅腿的长度而言，地面时相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三个脚同时着地。

模型构成中心问题是用数学语言把椅子的四只脚同时着地的条件和结论表示出来。

首先要用变量把椅子的位置，注意到椅脚连线呈长方形。

以中心为对称点，长方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是因此可以用旋转角度这一变量表示椅子的位置。

在图中椅线B’D’与X轴重合，椅子绕中心点O轴旋转角度θ后。

长方形A’B’C’D’转至ABCD位置。

用θ(对角线与x 轴的夹角)表示椅子位置，椅脚与地面距离为θ的函数.A,C 两脚与地面距离之和 ~ f (θ,),B,D 两脚与地面距离之和 ~ g (θ)地面为连续曲面 F (θ) , g (θ)是连续数.椅子在任意位置至少三只脚着地.对任意θ, f (θ ),g (θ )至少一个为0.已知： f (θ ) , g (θ )是连续函数 ;对任意θ， f (θ)• g (θ )=0 ;且g (0)=0， f(0) > 0.证明：存在θ0，使 f (θ0) = g (θ0) = 0.模型求解证明；设长方形的长为a ,宽为b。

将椅子旋转θ=2arctanb/a，对角线AC取代BD的位置。

由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0.或,g（2arctanb/a )=0（1）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )=0,桌子能放平衡。

（2）f(2arctanb/a)=0 ,g（2arctanb/a )>0令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(2arctanb/a)<0.由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在θ0 , 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .因为f(θ) • g(θ)=0, 所以f(θ0) = g(θ0) = 0.第一题一根1米长的水平弹性绳子，存在A端和B端。

椅子放稳问题另解

ｏｈｈｉａｄｔｅｆｏｄｅｗｈｔｅｈｇｆｈｈｉｔｕｈｄｔｅｆｏ．Ｉｉｐｐｒａｏｈｒｗｙｉｕｅｏｐｏｅｔａｈｈｉｆｅｃａｒｎｈｌｒｔｊｇｅｈｒｅｌｓｏｅｃａｃｅｈｌｒｎｔｓａｅ，ｎｔｅａｓｓｄｔｒｖｈｔｅｃａｒｔｏｏｕｔｅｔｒｏｏｈｔｓａｄｔａｉｙｍｏｉｇａｉｌ，ｗｉｈｉｔｓｅｎｌｅｗｅｎｔｅｌｓｆｈｈｉａｄｔｅｐｒｉｅｔｉｏａｔｄｅｗｈｔｅｈｇｔｎｓｓｅｄｌｂｖｔｅｈｃｏｕｅｈｇｅｂｔｅｈｇｅａｒｎｈｅｔｎａｎｌｏｊｇｅｈｒｔｅｌｓｙｎｌｔｓｔａｅｏｔｃｎｄｇｕｅ
ＣＨＥＸｕ．ｉＮｅ１
（ｅＭａｔｔｆＲｏｍ，ＺｈＪａｇｅｈｉａＨｅ，ＰｏｔａｌｃｍｍｕｉａｉｎＴｈｈＳａｏｅｉｎＴｃｎｃｌＣｏｇｅＤｓｎｄＴｅｅｏｎｃｔｏｓ。Ｓａｘｎ３２１Ｃｈｎａｈｏｉｇ１０６，ｉ）
ｏｈｈｉｏｃｈｌｏ．ｆｔｅｃａｒｔｕｈｔｅｆｏｒＫｅｒｓｈｉ；ｔｕｈｔｅｆｏｒｙｗｏｄ：ｃａｒｏｃｈｌｏ；ｍｏｅ；ｐｒｌｌｇａ；ｃｎｉｕｕｕｃｉｎｄｌａａｌｏｒｍｅｏｔｎｏｓｆｎｔｏ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｔｈｅｔｉｗｈｔｅｈｉｓｐｎｔｅｆｏｔａｉｆｅｅｔｌｅｂｕ．Ｐｅｌｓｄｔｅｓｒｈｉｔｎｅｂｔｅｈｅｓｏｐｃｅｈｒａｃａｒｉｕｔｈｌｒｓｅｄｌｉｏｔｎｂａｋｄａｏｔｏｏｙｓｏｐｅｕｅｏｍａｕｅｔｅｄｓａｃｅｗｅｎｔｅｌｇ

椅子在不平的地面放平模型

… 。
文章编号：０３２４（ＯＯＯ．３２０１０－８３２）３０９．Ｌ２
椅子在不平的地面放平模型
王文武
（商丘师范学院数学系，河南商丘４６０）７００
摘
要：对于椅子能否在地面上放平的问题，我们从封闭曲线或者平面的性质入手，得出了结论．并且针对一般的情况，
ｆｘ，０＝ｇｘ，ｏ，即椅子可以放平．（０Ｙ）（０Ｙ）
参考文献：
［】姜启源，谢金星，叶俊．１数学模型［．Ｍ】北京：高等教育出版社，０３２０．
［】张筑生．数学分析新讲［．２Ｍ】北京：北京大学出版社，９０１９．【】陈雪梨．椅子放稳问题另解［．湖州职业技术学院学报，０８３：４２．３Ｊ］２０（）２－７
作者简介：＿ｑ￣
（９２）男，山东青岛人，１８－，商丘师范学院数学系助教，研究方向为概率统计．ｍｉｅｇｗｈｉ．ｒＥａｌｎｅｓ＠ｓａｏ：ｗｎｃｎ
基金项目：河南自然科学基金资助项目（９１２０２）０２２１１１．
第３期
王文武：椅子在不平的地面放平模型
３３９
使得（０＝ｇＯ）．Ｏ）（ｏ＝０
证明构造函数ｈｏ＝厂（）（）（）Ｏ＋，（）一ｇ＝一ｆ（）显然（）连续．
厂是的周期为２连续函数，那么根据闭区间连续函数最值的性质，存在、（）万，使
存在，使（），＝０即（）（ｏ＝０＝ｇＯ）．

椅子能在不平的地面上放稳吗 2

12110224135 12物本张威明
椅子能在不平的地面上放稳吗？
问题分析：三只脚着地，放稳四只脚着地
模型假设：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

模型改造：四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈长方形;地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。

模型求解：
设A ，B 与地面的距离之和为)(x f ，C,D 与地面的距离之和为)(x g 。

设0)0(=f ，则)(x g =b>0.
设)()()(x g x f x F -=。

当x=0时，)()()0(x g x f F -=<0;
当A,B,C,D 旋转π时，0)0()(>==b g f π，0)(=πg 。

当x=π时，0)()()(>-=πππg f F 。

所以，)(x F 在（0，π）内，必存在δ，使得)(x F =0.，即)()(δδg f =
又因为任意时刻，必有3只脚着地，所以)(x f 或)(x g 在任意时刻，总有一个为0。

所以存在)()(δδg f ==0，使得椅子的四只脚同时着地，使得椅子平衡。

椅子能在不平的地面上放稳吗

对任意模型构成地面为连续曲面椅子在任意位置至少三只脚着地存在椅子放稳模型求解给出一种简单粗造的证明方法将椅子旋转90g的连续性知h为连续函数据连续函数的基本性质必存在评注和思考建模的关键假设条件哪些是本质的哪些是非本质的
1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗问题
通常我们在不太平的地面上放一把椅子时，如果没有放稳，转一转就可以了，能通过建模解释吗？
评注和思考建模的关键 ~ 和 f(), g()的确定
假设条件哪些是本质的,哪些是非本质的?
考察四脚连线呈长方形的椅子 (习题4)
分析
这里涉及的事物有地面和椅子。首先对地面的状况和椅子的形状应该进行合理的假设：象台阶那样的地面是绝对不能放稳的，所以地面不能在局部起伏过大；椅子应该是标准的，不能少腿，一般是四条腿儿；
放置的状况通常 ~ 三只脚着地放稳 ~ 四只脚着地
模型假设
此假设是为了满足我们后面要利用连续函数的性质建模 • 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚的数学上要求。连线呈正方形; 椅子的要求
数学问题
证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.
模型求解给出一种简单、粗造的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换.
由g(0)=0， f(0) > 0 ，知f(/2)=0 , g(/2)>0.
令h()= f()–g(), 则h(0)>0和h(/2)<0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() • g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.
• 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; 地面的要求

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗？模型假设为了明确问题，对上述现象中的有关因素在符合日常生活的前提下，作出如下假设：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形．（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断．（3）椅子在任何位置至少有三只脚同时着地．建立模型椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地．把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置．为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题．如下图所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系．椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD转至A1B1C1D1 的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤π）表示出椅子绕点O旋转θ后的位置．设A、C两脚与地面竖直距离之和为f（θ），B、D两脚与地面竖直距离之和为g（θ），其中θ∈[0，π]，从而将原问题数学化。

数学模型：已知f（θ）和g（θ）是θ的非负连续函数，对任意θ，f （θ）•g(θ)＝0，证明：存在θ0∈[0，π]，使得f（θ0）＝g（θ0）＝0成立。

求解模型如果f（0）＝g（0）＝0，那么结论成立。

如果f（0）与g（0）不同时为零，不妨设f（0）＞0，g（0）＝0。

这时，将长方形ABCD绕点O逆时针旋转角度π后，点A，B分别与C，D互换，但长方形ABCD在地面上所处的位置不变，由此可知，f（π）＝g（0），g（π）＝f （0）.而由f（0）＞0，g（0）＝0，得g（π）＞0， f（π）＝0。

令h（θ）＝f(θ)－g（θ），由f(θ)和g(θ)的连续性知h(θ)也是连续函数。

又h（0）＝f(0)－g（0）＞0，h（π）＝f(π)－g（π）＜0，,根据连续函数介值定理，必存在θ0∈（0，π）使得h（θ0）＝0，即f（θ0）＝g（θ0）；又因为f（θ0）•g（θ0）＝0，所以f（θ0）＝g（θ0）＝0。