第四讲椅子放稳模型.pdf

合集下载

椅子放平稳问题-数学建模

椅子放平稳问题所谓数学模型是指对于一个实际问题，为了特定目的，作出必要的简化假设，根据问题的内在规律，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构 . 建立及求解数学模型的过程就是数学建模. 下面例子是一个简单的数学建模问题.问题：四条腿一样长的椅子一定能在不平的地面上放平稳吗？1.模型假设 (文字转化为数学语言)(1) 椅子四条腿一样长，椅子脚与地面的接触处视为一个点，四脚连线呈正方形；(2) 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有台阶那样的情况），即视地面为数学上的连续曲面；(3) 地面起伏不是很大，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地.2.模型建立（运用数学语言把条件和结论表现出来）设椅脚的连线为正方形 ABCD ，对角线 AC 与 x 轴重合，坐标原点 O 在椅子中心，当椅子绕 O 点旋转后，对角线 AC 变为 A'C'，A'C'与 x 轴的夹角为θ.由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了，记 A 、C 两脚与地面距离之和为 )(θf ，B 、D 两脚与地面距离之和为 )(θg .显然0)(≥θf 、0)(≥θg 。

因此椅子和地面的距离之和可令)()()(θθθg f h +=。

由假设（2），)(x f 、)(x g 为连续函数，因此)(θh 也是连续函数；由假设（3），得：0)()(=θθg f 。

则该问题归结为：已知连续函数0)(≥θf 、0)(≥θg 且0)()(=θθg f ，至少存在一个0θ，使得：0)()(00==θθg f3.模型求解（找出0θ）证明：不妨设,0)0(>f 则0)0(=g 令2πθ=（即旋转o 90，对角线AC 和BD 互换）。

则有0)2(,0)2(>=ππg f定义：)()()(θθθg f H -=，所以0)]2()0([)2()0(<-=ππg f H H 根据连续函数解的存在性定理，得：存在)2,0(0πθ∈使得：0)()()(000=-=θθθg f H ；又 0)()(00=θθg f 所以0)()(00==θθg f 即当0θθ=时，四点均在同一平面上。

§1.3.1 椅子的摆放问题

1.3 一些基本的数学建模示例1.3.1椅子的摆放问题椅子能在不平的地面上放稳吗？下面用数学建模的方法解决此问题。

模型准备仔细分析本问题的实质，发现本问题与椅子腿、地面及椅子腿和地面是否接触有关。

如果把椅子腿看成平面上的点，并引入椅子腿和地面距离的函数关系就可以将问题1与平面几何和连续函数联系起来，从而可以用几何知识和连续函数知识来进行数学建模。

为讨论问题方便，我们对问题进行简化，先做出如下3个假设：模型假设1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形（对椅子的假设）2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。

（对地面的假设）3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关系的假设）根据上述假设做本问题的模型构成：模型构成Array用变量表示椅子的位置，引入平面图形及坐标系如图1-1。

图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为椅子的四只脚的对角线。

于是由假设2，椅子的移动位置可以由正方形沿坐标原点旋转的角度θ来唯一表示，而且椅子脚与地面的垂直距离就成为θ的函数。

注意到正方形的中心对称性，可以用椅子的相对两个脚与地面的距离之和来表示这对应两个脚与地面的距离关系，这样，用一个函数就可以描述椅子两个脚是否着地情况。

本题引入两个函数即可以描述椅子四个脚是否着地情况。

记函数f(θ)为椅脚A和C与地面的垂直距离之和。

函数g(θ)为椅脚B 和D与地面的垂直距离之和。

则显然有f(θ)≥0、g(θ)≥0，且它们都是θ的连续函数（假设2）。

由假设3，对任意的θ，有f(θ)、g(θ)至少有一个为0，不妨设当θ=0时，f(0)>0、g(0)=0，故问题1可以归为证明如下数学命题：数学命题（问题1的数学模型）已知f(θ)、g(θ)都是θ的非负连续函数，对任意的θ，有f(θ) g(θ)=0，且f(0) >0、g(0)=0 ，则有存在θ0，使f(θ0)= g(θ0)=0。

生活中的若干建模实例3

p1 p2 这时不公平程度可用来衡量。 n1 n2 如 p1 120, p2 100, n1 n2 10 p1 p2 则 2 n1 n2
又如 p1 1020, p2 1000, n1 n2 10
pபைடு நூலகம் p2 不妨设 > n1 n2
p1 p2 则 2 n1 n2
显然 p1 - p2 只是衡量的不公平的绝对程度，但是
Q1最大，于是这1席应分给甲系.
Q3最大，于是这1席应分给丙系.
评注
1.席位的分配应对各方都要公平 2.解决问题的关键在于建立衡量公平程度既合理又简明的数量指标。这个模型提出的相对不公平值它是确定分配方案的前提.
rA , rB
§3 双层玻璃窗的功效问题
我们注意到北方有些建筑物的窗户是双层的，即窗户装两层玻璃且中间留有一定空隙，如图所示墙墙
当总席位增加1席时,计算
Qi p i2 ni ( ni 1) , i =1,2，，m
则增加的一席应分配给Q值大的一方. 这种席位分配的方法称为Q值法. 下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系分配21个席位的问题.
先按照比例将整数部分的19 席分配完毕,有
n1 10，n2 6，n3 3
由假设（3），任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的θ， f ( ), g( ) 至少有一个为0.
当θ=0时，不妨设
g(0) 0, f (0) 0
这样改变椅子的位置使四只脚同时着地就归结为证明如下的数学命题：
已知f ( )和g ( )都是的连续函数，对任意， f ( ) g ( ) 0且g ( 0) 0，f ( 0) 0，则存在 0使 f ( 0 ) g ( 0 ) 0

椅子能在不平的地面放稳的数学模型

椅子能在不平的地面放稳的数学模型下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢！本店铺为大家提供各种类型的实用资料，如教育随笔、日记赏析、句子摘抄、古诗大全、经典美文、话题作文、工作总结、词语解析、文案摘录、其他资料等等，想了解不同资料格式和写法，敬请关注！Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this shop provides you with various types of practical materials, such as educational essays, diary appreciation, sentence excerpts, ancient poems, classic articles, topic composition, work summary, word parsing, copy excerpts, other materials and so on, want to know different data formats and writing methods, please pay attention!椅子在不平的地面上放稳是一个常见但又非常重要的问题。

长方形椅子能否在不平的地面上放稳吗(谷风经验)

长方形椅子能否在不平的地面上放稳？一、问题提出在日常生活中有这样的现象：把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地，课本上已经证明了四条腿正方形连线的椅子能放平，现在建模说明长方形椅子的情况。

二、模型假设首先对椅子和地面做一些必要的假设（同正方形椅子一致）：（1）椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形；（2）地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断(没有像台阶那样的情况)，即从数学的角度看，地面是连续曲面；（3）地面相对平坦，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地；三、模型构成首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。

生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。

然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的，于是可将椅子就地旋转，并在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。

椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，把长方形绕它的对称中心O旋转，这可以表示椅子位置的改变。

于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置，所以可以在平面上建立直角坐标系来解决问题。

如下图1所示，设椅脚连线为长方形ABCD，以对角线AC所在的直线为x轴，对称中心O为原点，建立平面直角坐标系。

椅子绕O点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角θ（0≤θ≤2π）表示出椅子绕点O旋转θ后的椅子的位置。

图1 变量θ表示椅子的位置其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。

由上述假设可知，当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。

由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。

由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数。

而由假设(3)可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。

2.2椅子放稳

f ( ) > 0, g ( ) = 0 ，从而 h(0) = f (0) g (0) < 0, h( ) = f ( ) g ( ) > 0 。 2 2 2 2 2
π
π
π
π
π
由介值定理，有
θ 0 ∈ (0, ) ，使 f (θ 0 ) = g (θ 0 ) 2
π
（1）
又对 θ , f (θ ) g (θ ) = 0, 且 f (θ ) 、 g (θ ) 至少一个为 0。故 f (θ 0 ) = g (θ 0 ) = 0 ，即经转动 θ 0 角度后椅子放稳了。问题 1、对四只脚为长方形的椅子，结论是否成立？ 2、某人早 8 时从山下上山，于晚 5：00 到达山顶，次日上午 8 时又从山顶下山，于晚 5：00 又回到山下，是否可认为他在两天的同一时刻位于山上同一地点。
椅子放稳
一张正方形椅子，它的四任何位置都至少有三只脚同时着地。是否可以经过稍挪动几下，就能四只脚同时着地？假设以椅子中心为原点 o ，椅子的挪动绕 o 旋转，则对角线 AC 与 x 轴夹角 θ 表示了椅子的位置。记： B B＇ A＇ f (θ ) ——A、C 两脚与地面距离之和， f (θ ) ≥ 0 。 θ C A g (θ ) ——B、D 两脚与地面距离之和， g (θ ) ≥ 0 。 C＇由于 θ 的连续变化， f (θ ) 、 g (θ ) 均为 θ 的连续 D＇ D h (θ ) = f (θ ) g (θ ) 。函数，记考虑 θ 从 0 → π 2 ，对角线 AC 与 BD 互换，不妨假设 f (0) = 0 ， g (0) > 0 ，则且

椅子放稳问题另解

ｏｈｈｉａｄｔｅｆｏｄｅｗｈｔｅｈｇｆｈｈｉｔｕｈｄｔｅｆｏ．Ｉｉｐｐｒａｏｈｒｗｙｉｕｅｏｐｏｅｔａｈｈｉｆｅｃａｒｎｈｌｒｔｊｇｅｈｒｅｌｓｏｅｃａｃｅｈｌｒｎｔｓａｅ，ｎｔｅａｓｓｄｔｒｖｈｔｅｃａｒｔｏｏｕｔｅｔｒｏｏｈｔｓａｄｔａｉｙｍｏｉｇａｉｌ，ｗｉｈｉｔｓｅｎｌｅｗｅｎｔｅｌｓｆｈｈｉａｄｔｅｐｒｉｅｔｉｏａｔｄｅｗｈｔｅｈｇｔｎｓｓｅｄｌｂｖｔｅｈｃｏｕｅｈｇｅｂｔｅｈｇｅａｒｎｈｅｔｎａｎｌｏｊｇｅｈｒｔｅｌｓｙｎｌｔｓｔａｅｏｔｃｎｄｇｕｅ
ＣＨＥＸｕ．ｉＮｅ１
（ｅＭａｔｔｆＲｏｍ，ＺｈＪａｇｅｈｉａＨｅ，ＰｏｔａｌｃｍｍｕｉａｉｎＴｈｈＳａｏｅｉｎＴｃｎｃｌＣｏｇｅＤｓｎｄＴｅｅｏｎｃｔｏｓ。Ｓａｘｎ３２１Ｃｈｎａｈｏｉｇ１０６，ｉ）
ｏｈｈｉｏｃｈｌｏ．ｆｔｅｃａｒｔｕｈｔｅｆｏｒＫｅｒｓｈｉ；ｔｕｈｔｅｆｏｒｙｗｏｄ：ｃａｒｏｃｈｌｏ；ｍｏｅ；ｐｒｌｌｇａ；ｃｎｉｕｕｕｃｉｎｄｌａａｌｏｒｍｅｏｔｎｏｓｆｎｔｏ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｔｈｅｔｉｗｈｔｅｈｉｓｐｎｔｅｆｏｔａｉｆｅｅｔｌｅｂｕ．Ｐｅｌｓｄｔｅｓｒｈｉｔｎｅｂｔｅｈｅｓｏｐｃｅｈｒａｃａｒｉｕｔｈｌｒｓｅｄｌｉｏｔｎｂａｋｄａｏｔｏｏｙｓｏｐｅｕｅｏｍａｕｅｔｅｄｓａｃｅｗｅｎｔｅｌｇ

00.3-方桌椅能在不平的地面上放稳吗

g f 0
综上论述，可知对于正方形桌椅只要旋转0º到 90º之间的一个角度就可以将其放稳。
2.长方形顺时针转
4 3 2 1
4
D B′ C
2 4
3 2 1
A′
A
-4
-2 -1 -2 -3 -4
-4
-2 -1 -2
2
4
D′
B
C ′ -4
-3
0 0 时：设对角点A，C
顺时针转
4 3 2 1
D C
2 4
4
B′ 3
2 1 -4 -2 -1 -2
A′
A
-4
-2 -1 -2 -3 -4
2
4
B
C′
-3 -4
D′
0 0 时：设对角点，D的位与地面距离大于零；对角点B，D与地面置；对角点B，D旋距离等于零。转到新的位置。即即g 0 0, f 0 0 0 F 0 g 0 f 0 0 g 1 f 0 0, f 1 0
这样方桌椅放不稳和放稳两种情形可以转换为至有一对对顶点与地面距离之和大于零和两对对顶点与地面距离之和等于零两个系统状态
方桌椅能在不平的地面上放稳吗？
不稳的方桌椅
生活中常碰到，一个方形桌子或椅子无法在地面上放稳的情况，但是经过旋转或移动位置，多次重复后，桌子或椅子就能放稳。这是个生活中的小事，那么它有没有数学背景？数学在这个小事中能不能起到作用？旋转的角度是多少？需要旋转多少次？回答这些问题的过程就是一个运用数学知识解决实际问题的建模过程。将数学知识运用于这样一些小事中是学习和掌握数学建模思想的一个途径，经常这样的训练可以逐步学会 “用数学”。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

数学建模
第四讲椅子放稳模型在日常生活中，将一张
四条腿一样长的椅子放在不
平的地面上，通常只有三只
脚着地,而使椅子不平稳。

但
我们的祖先为什么把都把椅
子做成四脚连线呈正方形，
矩形或等腰梯形。

请你通过
建立模型解释这一现象。

在日常生活中，将一张四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，而使椅子不平稳。

我们通过建立模型分别解决以下问题：
1．解释只需适当将椅子“挪动”几次就可使椅子放稳这一现象；
2．如果椅子的四只脚构成一个平行四边形，通过适当的“挪动”能够放稳吗？
3．椅子的四只脚满足什么条件通过挪动就可使椅子放稳？最后对模型进行了分析和推广。

1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面的接触部分相对椅子所占的地面面积可视为一个点，四脚的连线呈正方形；
2．地面凹凸坡面是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（如没有象台阶那样的情况），即地面可看作数学上的连续曲面；
3．相对椅脚的间距和椅子腿的长度而言，地面是相对平坦的，即使椅子在任何位置至少有三条腿同时着地；
4．挪动仅只是绕一个定点的旋转。

稳。

假设2相当于给出了椅子能
够放稳的必要条件，因为如果地
面高度不连续（比如在有台阶或
裂缝的地方）是无法使椅子四只
脚同时着地。

假设3是要排除地面上与椅脚间距和椅子腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰（即使连续变
化的），将使椅子三只脚也无法同时着地。

子位置的改变，于是可以用旋转角x
O。