高考数学大一轮复习不等式选讲第2节不等式的证明课件理选修4_5
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高考数学一轮复习 不等式选讲 2 证明不等式的基本方法课件 理选修45
a
b)2
,开方即得
( c d)2
a b c d.
(2)本小题可借助第一问的结论来证明,但要分必要性
与充分性来证明.
【规范解答】(1)因为 (
【加固训练】 1.求证:a2+b2≥ab+a+b-1. 【证明】因为(a2+b2)-(ab+a+b-1) =a2+b2-ab-a-b+1 = (2a2+2b2-2ab-2a-2b+2)
1 2
= 1 [(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)] 2
= 1 [(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0. 所2以a2+b2≥ab+a+b-1.
第二节 证明不等式的基本方法
【知识梳理】 1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法 和作商比较法两种.
名称
理论 依据
作差比较法
a>b⇔_a_-_b_>0__ a<b⇔_a_-_b_<0__ a=b⇔_a_-_b_=0__
作商比较法
b>0,
a b
>1⇒a>b
b<0, a >1⇒a<b
定义
定理
性质等,经过一系列的_____、_____而得出命题成立,
推理 论证 这种证明方法叫做综合法.综合法又叫_________或由
因导果法.
顺推证法
3.分析法
证明命题时,从___________出发,逐步寻求使它成立的 要证的结论
_________,直至所需条件为_________或_____________
高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第2讲不等式的证明课件理北师大版
分析法与综合法常常结合起来使用，称为分析综合法，其实 质是既充分利用已知条件，又时刻瞄准解题目标，即不仅要 搞清已知什么，还要明确干什么，通常用分析法找到解题思 路，用综合法书写证题过程．
2.设 a>0，b>0，若 3是 3a 与 3b 的等比中项，
求证1＋1≥ ab
4.
证明： 由 3是 3a 与 3b 的等比中项得 3a·3b＝3，
[证明] 因为 a，b，c 为正实数，由基本不等式可得a13＋b13＋c13 ≥3 3 a13·b13·c13， 即a13＋b13＋c13≥a3bc，
当且仅当a13＝b13＝c13，即 a＝b＝c 时，等号成立，所以a13＋b13
＋c13
＋
abc≥ 3 ＋ abc
abc.
而a3bc＋abc≥2 a3bc·abc＝2 3， 当且仅当a3bc＝abc，即 abc＝ 3时，等号成立， 所以a13＋b13＋c13＋abc≥2 3.
选修4-5 不等式选讲
第2讲 不等式的证明
1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立． 定理 2：如果 a、b 为正数，则a＋b≥ ab，当且仅当 a＝b
2 时，等号成立．
定理 3：如果 a、b、c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅 当 a＝b＝c 时，等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…， an 为 n 个正数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
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2．不等式的证明方法 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法 等．
2020高考数学大一轮复习不等式选讲2第2讲不等式的证明课件理(选修4_5)
a＋b
2．已知 a，b∈(0，＋∞)，求证：abba≤(ab) 2 .
证明：
a－b
abbaa＋b＝ab－
a+b 2
ba－
a+b 2
＝ba
2
.
（ab） 2
a－b
当 a＝b 时，ba 2 ＝1；
当 a>b>0 时，0<ba<1，
a－2 b>0，ba
a－b 2
<1.
放缩法证明不等式(师生共研) 若 a，b∈R，求证：1＋|a＋|a＋b|b|≤1＋|a||a|＋1＋|b||b|.
【证明】 当|a＋b|＝0 时，不等式显然成立． 当|a＋b|≠0 时， 由 0＜|a＋b|≤|a|＋|b| ⇒|a＋1 b|≥|a|＋1 |b|，
所以1＋|a＋|a＋b|b|＝|a＋1 b1|＋1≤1＋|a1|＋1 |b| ＝1＋|a||＋a|＋|b||b| ＝1＋|a|a|＋| |b|＋1＋|a|b|＋| |b|≤1＋|a||a|＋1＋|b||b|. 综上，原不等式成立．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
若 a>b>1，x＝a＋1a，y＝b＋1b，则 x 与 y 的大小关系是( )
A．x>y
B．x<y
C．x≥y
D．x≤y
解析：选
A.x
－
y
＝
a
＋
1 a
－
b＋1b
＝
a
－
b
＋
b－a ab
＝
（a－b）（ab－1） ab
.
由
a>b>1
得
ab>1 ， a － b>0 ， 所 以
高考数学一轮总复习 第2节 不等式的证明课件(选修45)
• (2)分析法：从______推__理___出发，逐步寻求使它成立的 _____条件，直至所要需证条的件结为论已知条件或一个明显成立的事
充实分(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的 命题成立．
• 3．反证法与放缩法
• (1)反证法
• 证合明__命__题__时__先__假，设应要用证公的理命、题定义__、__不定__成理__立、，性以质此等为，出进发行点正，确结 的推已理知，条得件到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显 成立的事实等) _____的结论，以说明假设不正确，从而得出 原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法． 矛盾
• 3．能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决 最大(小)值问题．
• 1．比较法 方法 作差法 作商法
【考点自主回扣】 • [要点梳理]
原理 a－b＞0⇔a＞b ab>1⇔a＞b(a＞0，b＞0)
• ．综合法与分析法
• (1)综合法：从___已__知__条__件出发，利用定义、公理、定理、性 质等，经过一系列的_____、论证而得出命题成立．
(2) aaab＋b b＝aa－2 bbb－2 a＝aba－2 b， ab 2
当 a＝b 时，aba－2 b＝1； 当 a＞b＞0 时，ab＞1，a－2 b＞0，(ab)a－2 b＞1； 当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1，a－2 b＜0，(ab)a－2 b＞1. 所以 aabb≥(ab)a＋2 b.
• (2)放缩法 • 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值___放__大_或 缩_法小__称__为，放简缩化法不．等式，从而达到证明的目的，我们把这种方
4．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果 a，b，c 均为正数，那么a＋3b＋c_≥_3 abc， 当 且 仅 当 _a_＝__b_＝__c__ 时 ， 等 号 成 立 ． 即 三 个 正 数 的 算 术 平 均 _不__小__于__它们的几何平均．
充实分(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的 命题成立．
• 3．反证法与放缩法
• (1)反证法
• 证合明__命__题__时__先__假，设应要用证公的理命、题定义__、__不定__成理__立、，性以质此等为，出进发行点正，确结 的推已理知，条得件到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显 成立的事实等) _____的结论，以说明假设不正确，从而得出 原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法． 矛盾
• 3．能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决 最大(小)值问题．
• 1．比较法 方法 作差法 作商法
【考点自主回扣】 • [要点梳理]
原理 a－b＞0⇔a＞b ab>1⇔a＞b(a＞0，b＞0)
• ．综合法与分析法
• (1)综合法：从___已__知__条__件出发，利用定义、公理、定理、性 质等，经过一系列的_____、论证而得出命题成立．
(2) aaab＋b b＝aa－2 bbb－2 a＝aba－2 b， ab 2
当 a＝b 时，aba－2 b＝1； 当 a＞b＞0 时，ab＞1，a－2 b＞0，(ab)a－2 b＞1； 当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1，a－2 b＜0，(ab)a－2 b＞1. 所以 aabb≥(ab)a＋2 b.
• (2)放缩法 • 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值___放__大_或 缩_法小__称__为，放简缩化法不．等式，从而达到证明的目的，我们把这种方
4．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果 a，b，c 均为正数，那么a＋3b＋c_≥_3 abc， 当 且 仅 当 _a_＝__b_＝__c__ 时 ， 等 号 成 立 ． 即 三 个 正 数 的 算 术 平 均 _不__小__于__它们的几何平均．
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 选修4—5 不等式选讲 第2节 不等式的证明
a=1,c=2时,不等式+4
1
所以
+4
·(a+4c)
1
1
+
≥
≥
×
1
0<a+4c≤3,即
+4
≥
1
.
3
=9,
1
a=b=1,c= .
2
1
中的等号成立,
3
9
1
,即
3
1
+ ≥3,当且仅当
1
a=1,c= 时,等号成立.
2
规律方法 1.利用柯西不等式证明不等式的技巧:利用柯西不等式证明不等
分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;
(3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等
词语.
对点训练3已知a+b+c=1,
证明:(a+2) +(b+2) +(c+2)
2
2
49
≥3.
2
证明: 因为a+b+c=1,
所以(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2=a2+b2+c2+4(a+b+c)+12=a2+b2+c2+16,
∴abc≤
1
,当且仅当
9
a=b=c 时,等号成立.
(2)∵a>0,b>0,c>0,∴b+c≥2 ,a+c≥2 ,a+b≥2 ,
∴+
+
1
所以
+4
·(a+4c)
1
1
+
≥
≥
×
1
0<a+4c≤3,即
+4
≥
1
.
3
=9,
1
a=b=1,c= .
2
1
中的等号成立,
3
9
1
,即
3
1
+ ≥3,当且仅当
1
a=1,c= 时,等号成立.
2
规律方法 1.利用柯西不等式证明不等式的技巧:利用柯西不等式证明不等
分条件,最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式;
(3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当地用好“要证”“只需证”“即证”等
词语.
对点训练3已知a+b+c=1,
证明:(a+2) +(b+2) +(c+2)
2
2
49
≥3.
2
证明: 因为a+b+c=1,
所以(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2=a2+b2+c2+4(a+b+c)+12=a2+b2+c2+16,
∴abc≤
1
,当且仅当
9
a=b=c 时,等号成立.
(2)∵a>0,b>0,c>0,∴b+c≥2 ,a+c≥2 ,a+b≥2 ,
∴+
+
旧教材适用2023高考数学一轮总复习选修4_5不等式选讲第2讲不等式的证明课件
比较法证明不等式的一般步骤 作差—变形—判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变 形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形 为几个因式的积的形式，以判断其正负．常用的变形技巧有因式分解、配方、 拆项、拼项等方法．
1.已知函数 f(x)＝|2x＋1|＋|x－2|，集合 A＝{x|f(x)<3}． (1)求 A；
(2)若 s，t∈A，求证：1－st<t－1s. 解 (2)证明：因为 s，t∈A，由(1)知 s，t∈－23，0， 所以 s2<1，t2<1. 因为1－st 2－t－1s 2＝1＋st22－t2－s12＝s12(1－t2)(s2－1)<0， 所以1－st 2<t－1s 2， 所以1－st <t－1s .
∴y＋x z＋x＋y z＋x＋z y<3， 又y＋x z＋x＋y z＋x＋z y>x＋xy＋z＋x＋yy＋z＋x＋yz＋z＝1， ∴1<y＋x z＋x＋y z＋x＋z y<3.
2
PART TWO
核心考向突破
考向一 比较法证明不等式 例 1 (2021·陕西榆林三模)已知函数 f(x)＝|x－3|. (1)解不等式 f(2x＋4)≥4；
第2讲 不等式的证明
1
PART ONE
基础知识整合
1．比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两 种．
名称
作差比较法
作商比较法
a>b⇔ □01 a－b>0
理论依据 a<b⇔ □02 a－b<0 a＝b⇔ □03 a－b＝0
b>0，ab>1⇒ a>b b<0，ab>1⇒ a<b
高考数学大一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明课件理
[方法技巧] 综合法证明时常用的不等式
(1)a2≥0. (2)|a|≥0. (3)a2＋b2≥2ab，它的变形形式有： a2＋b2≥2|ab|；a2＋b2≥－2ab；(a＋b)2≥4ab； a2＋b2≥12(a＋b)2；a2＋2 b2≥a＋2 b2.
[方法技巧] (4)a＋2 b≥ ab，它的变形形式有： a＋1a≥2(a>0)；ab＋ba≥2(ab>0)； ab＋ba≤－2(ab<0)．
而 a bc＝ ab·ac≤ab＋2 ac，
b ac≤ab＋2 bc，c ab≤bc＋2 ac. 所以a bc＋b ac＋c ab≤ab＋bc＋ca (当且仅当a＝b＝c＝ 33时等号成立)．所以原不等式成立．
[方法技巧]
分析法的应用
当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等
式(a2＋b2≥2ab)、基本不等式
所以a3＋b3的最小值为4 2.
(2)由(1)知，2a＋3b≥2 6 ab≥4 3.
由于4 3>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.
4．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设 a，b，c 均为正数，且 a＋b＋c＝
1.证明： (1) ab＋bc＋ac≤13；
(2) ab2＋bc2＋ca2≥1.
证明：(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，
得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，
当且仅当 a＝b＝c＝13时取等号．由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，
即 ab＋bc＋ca≤13.
(2) ab2＋bc2＋ca2≥1. 证明：因为ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c， 故ab2＋bc2＋ca2＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c， 当且仅当 a＝b＝c＝13时取等号． 所以ab2＋bc2＋ca2≥1.
高考数学大一轮复习 第2节 不等式的证明(选修4-5)
＝
a＋ ba－ ab a＋
abb＋b＝a＋abb－1≥2
aabb－1＝1.
又 a＞0，b＞0，
ab＞0.∴
a＋ b
b≥ a
a＋
b.
精品课件
规律方法 1 1.在法一中，采用局部通分，优化了解题过 程；在法二中，利用不等式的性质，把证明 a＞b 转化为证明 ab＞1(b＞0)．
2．作差(商)证明不等式，关键是对差(商)式进行合理的 变形，特别注意作商证明不等式，不等式的两边应同号．
第二节 不等式的证明
精品课件
[考情展望] 1.通过一些简单问题了解证明不等式的基 本方法：比较法、综合法、分析法.2.(供部分省选用)了解柯西 不等式的几种不同形式，理解其几何意义，能够利用均值不 等式、柯西不等式求一些特定函数的极值．
精品课件
1．基本不等式 定理 1：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥_2_a_b___，当且仅当 _a_＝__b__时，等号成立． 定理 2：如果 a，b>0，那么a＋2 b≥ ab ，当且仅当_a_＝__b__ 时，等号成立，即两个正数的算术平均值不小于(即大于或等 于)它们的几何平均值．
精品课件
对点训练 求证：(1)当 x∈R 时，1＋2x4≥2x3＋x2； (2)当 a，b∈(0，＋∞)时，aabb≥(ab) .
精品课件
【证明】 (1)(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1 ＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，∴1＋2x4≥2x3＋x2.
精品课件
【证明】 因为 x>0，y>0，所以 1＋x＋y2≥33 xy2>0,1 ＋x2＋y≥33 x2y>0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33 xy2·33 x2y＝9xy.
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n)时等号成立．
3．柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向 量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当 α，β 共线时等号成立．
4．(2015·湖北卷)设 a1，a2，…，an∈R，n≥3.若 p：a1， a2，…，an 成等比数列；q：(a21＋a22＋…＋a2n－1)(a22＋a23＋… ＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…an－1an)2，则( )
(或已证明过的定理，或明显成立的事实)矛盾的结论， 以此说明假设的结论________，从而原来的结论正确．
4．放缩法：将所需证明的不等式的值适当____(或 ______)使它由繁到简，达到证明目的．如果所要证明的不 等式中含有分式，把分母放大，则相应分式的值______，反 之，把分母缩小，则分式的值______．
解：(1)由|2x－1|<1，得－1<2x－1<1， 解得 0<x<1， 所以 M＝{x|0<x<1}． (2)由(1)和 a，b∈M 可知 0<a<1，0<b<1.所以(ab＋1)－ (a＋b)＝(a－1)(b－1)>0，故 ab＋1>a＋b.
分析法、综合法证明不等式
【例 2】 (2015·课标全国卷Ⅱ)设 a，b，c，d 均为正数， 且 a＋b＝c＋d，证明：
(2)①若|a－b|<|c－d|，则(a－b)2<(c－d)2， 即(a＋b)2－4ab<(c＋d)2－4cd. 因为 a＋b＝c＋d，所以 ab>cd. 由(1)得 a＋ b> c＋ d. ②若 a＋ b> c＋ d，则( a＋ b)2>( c＋ d)2， 即 a＋b＋2 ab>c＋d＋2 cd.
(1)若 ab>cd，则 a＋ b> c＋ d； (2) a＋ b> c＋ d是|a－b|<|c－d|的充要条件． 【证明】 (1)因为( a＋ b)2＝a＋b＋2 ab，( c＋ d)2 ＝c＋d＋2 cd， 由题设 a＋b＝c＋d，ab>cd 得( a＋ b)2>( c＋ d)2. 因此 a＋ b> c＋ d
热点命题·突破 02
课堂升华 强技提能
比较法证明不等式
【例 1】 已知 a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
【证明】 2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．
∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即 2a3－b3≥2ab2－a2b.
∴(a＋b)1a＋4b＝5＋ba＋4ba≥5＋2 ∴1a＋4b≥a＋9 b.
ba×4ba＝9.
柯西不等式
1．设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋ bd)2，当且仅当 ad＝bc 时等号成立．
2．若 ai，bi(i∈N*)为实数，则
，
当且仅当ba11＝ba22＝…＝bann(当 ai＝0 时，约定 bi＝0，i＝1，2，…，
5．若 a，b，c∈(0，＋∞)，且 a＋b＋c＝1，则 a＋ b ＋ c的最大值为________．
解析：( a＋ b＋ c)2＝(1× a＋1× b＋1× c)2≤(12 ＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
当且仅当 a＝b＝c＝13时，等号成立． ∴( a＋ b＋ c)2≤3.故 a＋ b＋ c的最大值为 3. 答案： 3
2．分析法：从需要证明的结论出发，分析使这个命题 成立的________，利用已知的一些______，逐步探索，最后 达到命题所给出的条件(或者一个已证明过的定理或 ______________)．
3．反证法：首先假设要证明的命题是________，然后 利用______，已有的______、______，逐步分析，得到和 __________
答案：M<N
2．设 a＝ 3－ 2，b＝ 6－ 5，c＝ 7－ 6，则 a，b，
c 的大小关系为________．
解析：分子有理化得
a＝
1 3＋
， 2
b＝
1 6＋
5，c＝
1 7＋
， 6
∴a>b>c.
答案：a>b>c
3．已知 a，b 为正数，求证：1a＋4b≥a＋9 b. 证明：∵a>0，b>0，
答案 1．公理 定义 定理 2．充分条件 定理 一个明显的事实 3．不正确的 公理 定义 定理 命题的条件 不成 立 4．放大 缩小 缩小 放大
1．已知 a、b、m 均为正数，且 a<b，M＝ab，N＝ba＋＋mm， 则 M、N 的大小关系是________．
解析：M－N＝ab－ab＋ ＋mm＝bm（（ba＋－mb））<0，即 M<N.
A．p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件 B．p 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件 C．p 是 q 的充分必要条件 D．p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件
解析：对命题 p，a1，a2，…，an 成等比数列，则公比 q ＝aan－n 1(n≥2)且 an≠0，对命题 q，①当 an＝0 时，(a21＋a22 ＋…a2n－1)(a22＋a23＋…＋a2n)＝(a1a2＋a2a3＋…an－1an)2 成立；② 当 an≠0 时，由柯西不等式知识知，命题 q 等价于aa12＝aa23＝… ＝aan－n1，因此若 p 成立，则 q 一定成立；而 q 成立时，有可 能 a1＝a2＝…＝an＝0，则 a1，a2…，an 不一定成等比数列， 故 p 是 q 的充分不必要条件． 答案：A
【小结归纳】 比较法证明不等式的一般步骤：
(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结 论．其中“变形”的关键，通常将差变形成 因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合 不等式的性质判断出差的正负.
设不等式|2x－1|<1 的解集为 M. (1)求集合 M； (2)若 a，b∈M，试比较 ab＋1 与 a＋b 的大小．
选修部分
选修4－5
不等式选讲
第二节 不等式ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ证明
[考纲考情] 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综 合法、分析法、放缩法、数学归纳法．
2．了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．
主干知识·整合 热点命题·突破
课时作业
主干知识·整合 01
课前热身 稳固根基
不等式证明的常见方法
1．综合法：从命题的已知条件出发，利用________、 已知的______及______，逐步推导，从而最后导出要证明的 命题．