专题空间中平行与垂直

第2讲 空间中的平行与垂直自主学习导引真题感悟1．(2012·浙江)设l 是直线，α、β是两个不同的平面A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β解析 利用线与面、面与面的关系定理判定，用特例法．设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故A 错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以B 正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此C 错误；已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此D 错误．答案 B2．(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D 、E 分别是棱BC 、CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A 1F ∥平面ADE .证明 (1)因为ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，所以C C 1⊥平面ABC .又AD ⊂平面ABC ，所以C C 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，C C 1，DE ⊂平面BC C 1 B 1，C C 1∩DE ＝E ，所以AD⊥平面BC C1 B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BC C1 B1.(2)因为A1 B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为C C1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以C C1⊥A1F.又因为C C1，B1C1⊂平面BC C1B1，C C1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BC C1B1.由(1)知AD⊥平面BC C1 B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE考题分析空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点，多以选择题与解答题的形式出现，难度中等，解答高考题时，推理过程不完整是失分的重要原因，需引起特别注意．网络构建高频考点突破考点一：线线、线面的平行与垂直【例1】如图，在平行四边形ABCD中，CD＝1，∠BCD＝60°，且BD⊥CD，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD垂直，G、H分别是DF、BE的中点．(1)求证：BD⊥平面CDE；(2)求证：GH∥平面CDE；(3)求三棱锥D－CEF的体积．[审题导引](1)先证BD⊥ED，BD⊥CD，可证BD⊥平面CDE；(2)由GH∥CD可证GH∥平面CDE；.(3)变换顶点，求VC－DEF[规范解答](1)证明∵四边形ADEF是正方形，∴ED⊥AD，又平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD.∴ED⊥平面ABCD，∴ED⊥BD.又BD⊥CD，且ED∩DC＝D，∴BD ⊥平面CDE .(2)证明 ∵G 是DF 的中点，又易知H 是FC 的中点，∴在△FCD 中，GH ∥CD ，又∵CD ⊂平面CDE ，GH ⊄平面CDE ，∴GH ∥平面CDE .(3)设Rt △BCD 中，BC 边上的高为h ，∵CD ＝1，∠BCD ＝60°，BD ⊥CD ，∴BC ＝2，BD ＝3，∴12×2×h ＝12×1×3，∴h ＝32，即点C 到平面DEF 的距离是32，∴V D －CEF ＝V C －DEF ＝13×12×2×2×32＝33.【规律总结】线线、线面位置关系证法归纳(1)证线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．(2)证线面平行常用的两种方法：一是利用线面平行的判定定理，把证线面平行转化为证线线平行；二是利用面面平行的性质，把证线面平行转化为证面面平行．(3)证线面垂直常用的方法：一是利用线面垂直的判定定理，把证线面垂直转化为证线线垂直；二是利用面面垂直的性质定理，把证面面垂直转化为证线面垂直；另外还要注意利用教材中的一些结论，如：两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．【变式训练】1．(2012·山东实验中学一诊)如图，在几何体ABCDEP 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，P A ⊥平面ABCD ，P A ∥EB ，且P A ＝2BE ＝4 2.(1)证明：BD ∥平面PEC ；(2)若G 为BC 上的动点，求证：AE ⊥PG .证明 (1)连接AC 交BD 于点O ，取PC 的中点F ，连接OF ，EF ，∵EB ∥P A ，且EB ＝12P A ，又OF ∥P A ，且OF ＝12P A ， ∴EB ∥OF ，且EB ＝OF ，∴四边形EBOF 为平行四边形，∴EF ∥BD .又∵EF ⊂平面PEC ，BD ⊄平面PEC ，∴BD ∥平面PEC .(2)连接BP ，∵EB AB ＝BA P A ＝12， ∠EBA ＝∠BAP ＝90°，∴△EBA ∽△BAP ，∴∠PBA ＝∠BEA ，∴∠PBA ＋∠BAE ＝∠BEA ＋∠BAE ＝90°，∴PB ⊥AE .∵P A ⊥平面ABCD ，P A ⊂平面APEB ，∴平面ABCD ⊥平面APEB ，∵BC ⊥AB ，平面ABCD ∩平面APEB ＝AB ，∴BC ⊥平面APEB ，∴BC ⊥AE ，∴AE ⊥平面PBC ，∵G 为BC 上的动点，∴PG ⊂平面PBC ，∴AE ⊥PG .考点二：面面平行与垂直【例2】如图所示，已知在三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．[审题导引] (1)只要证明MD ∥AP 即可，根据三角形中位线定理可证；(2)证明AP ⊥BC ；(3)根据锥体体积公式进行计算．[规范解答] (1)证明 由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP .又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC .(2)证明 因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC .又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC .(3)由题意，可知MD ⊥平面PBC ，所以MD 是三棱锥D －BCM 的一条高，所以V M －DBC ＝13×S △BCD ×MD ＝13×221×53＝107.【规律总结】面面平行与垂直的证明技巧在立体几何的平行关系问题中，“中点”是经常使用的一个特殊点，无论是试题本身的已知条件，还是在具体的解题中，通过找“中点”，连“中点”，即可出现平行线，而线线平行是平行关系的根本．在垂直关系的证明中，线线垂直是问题的核心，可以根据已知的平面图形通过计算的方式证明线线垂直，也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视两个平面垂直的性质定理，这个定理已知的是两个平面垂直，结论是线面垂直．【变式训练】2．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．求证：(1)直线EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面P AD.证明(1)在△P AD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)如图，连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，BF⊂平面ABCD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.考点三：平面图形的折叠问题【例3】(2012·南京模拟)在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝1，D为线段BC的中点，E、F为线段AC的三等分点(如图1)．将△ABD沿着AD折起到△AB′D的位置，连接B′C(如图2)．图1图2(1)若平面AB′D⊥平面ADC，求三棱锥B′－ADC的体积；(2)记线段B′C的中点为H，平面B′ED与平面HFD的交线为l，求证HF∥l；(3)求证：AD⊥B′E.[审题导引](1)解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得B′到平面ADC的距离，可利用线面垂直求得；(2)线面平行⇒线线平行；(3)线面垂直⇒线线垂直．[规范解答](1)在直角△ABC中，D为BC的中点，所以AD＝BD＝CD.又∠B＝60°，所以△ABD是等边三角形．取AD中点O，连接B′O，所以B′O⊥AD.因为平面AB′D⊥平面ADC，平面AB′D∩平面ADC＝AD，B′O⊂平面AB′D，所以B ′O ⊥平面ADC .在△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝60°，AB ＝1，D 为BC 的中点，所以AC ＝3，B ′O ＝32.所以S △ADC ＝12×12×1×3＝34.所以三棱锥B ′－ADC 的体积为V ＝13×S △ADC ×B ′O ＝18.(2)证明 因为H 为B ′C 的中点，F 为CE 的中点，所以HF ∥B ′E .又HF ⊄平面B ′ED ，B ′E ⊂平面B ′ED ，所以HF ∥平面B ′ED .因为HF ⊂平面HFD ，平面B ′ED ∩平面HFD ＝l ，所以HF ∥l .(3)证明 由(1)知，B ′O ⊥AD .因为AE ＝33，AO ＝12，∠DAC ＝30°，所以EO ＝AE 2＋AO 2－2AE ·AO cos 30°＝36.所以AO 2＋EO 2＝AE 2.所以AD ⊥EO .又B ′O ⊂平面B ′EO ，EO ⊂平面B ′EO ，B ′O ∩EO ＝O ，所以AD⊥平面B′EO.又B′E⊂平面B′EO，所以AD⊥B′E.【规律总结】解决翻折问题的注意事项(1)解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变、哪些量不变，抓住翻折前后不变的量，充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口．(2)把平面图形翻折后，经过恰当连线就能得到三棱锥、四棱锥，从而把问题转化到我们熟悉的几何体中去解决．【变式训练】3．如图1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，E、F分别为AD和BC上的点，且EF∥AB，AD＝2AE＝2AB＝4FC＝4.将四边形EFCD沿EF折起成如图2的形状，使AD＝AE.(1)求证：BC∥平面DAE；(2)求四棱锥D－AEFB的体积．解析(1)证明∵BF∥AE，CF∥DE，BF∩CF＝F，AE∩DE＝E，∴平面CBF∥平面DAE.又BC⊂平面CBF，∴BC∥平面DAE.(2)取AE的中点H，连接DH.∵EF⊥DE，EF⊥EA，∴EF⊥平面DAE.又DH⊂平面DAE，∴EF⊥DH.∵AE＝DE＝AD＝2，∴DH⊥AE，DH＝ 3.∴DH⊥平面AEFB.则四棱锥D－AEFB的体积V＝13×3×2×2＝433.名师押题高考【押题1】已知直线a、b与平面α、β，且b⊥α，则下列命题中正确的是①若a∥α，则a⊥b；②若a⊥b，则a∥α；③若b∥β，则α⊥β；④若α⊥β，则b∥β.A．①③B．②④C．①④D．②③解析命题①，若a∥α，过直线a作一平面γ，使得α∩γ＝c，则由线面平行的性质定理可得a∥c，又因为b⊥α，c⊂α，所以b⊥c，故有a⊥b，所以该命题为真；命题②，若a⊥b，b⊥α，则直线α与平面α的位置关系有两种：a⊂α或a∥α，故该命题为假；命题③，若b∥β，则过直线b作一平面δ，使得δ∩β＝d，则由线面平行的性质定理可得b∥d，又b⊥α，所以d⊥α，因为d⊂β，所以由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故该命题为真；命题④，若α⊥β，b⊥α，则直线b与平面β的位置关系有两种：b⊂β或b∥β，故该命题为假．综上，①③为真命题，故选A.答案 A[押题依据]线面的平行与垂直，是立体几何的主体内容，在高考试题中通常会有一道解答题和一道选择题或填空题，主要考查线面位置关系的判定与性质，一般难度不大．【押题2】如图，在三棱锥A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝π6，AB＝AC＝2，BC＝2，D、E分别为AB、OB的中点．(1)求证：CO⊥平面AOB.(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC？若存在，试确定F的位置；若不存在，请说明理由．解析 (1)证明 因为AO ⊥平面COB ，所以AO ⊥CO ，AO ⊥BO ，即△AOC 与△AOB 为直角三角形．又因为∠OAB ＝∠OAC ＝π6，AB ＝AC ＝2，所以OB ＝OC ＝1.由OB 2＋OC 2＝1＋1＝2＝BC 2，可知△BOC 为直角三角形．所以CO ⊥BO ，又因为AO ∩BO ＝O ，所以CO ⊥平面AOB .(2)在线段CB 上存在一点F ，使得平面DEF ∥平面AOC ，此时F 为线段CB 的中点．如图，连接DF ，EF ，因为D 、E 分别为AB 、OB 的中点，所以DE ∥OA .又DE ⊄平面AOC ，所以DE ∥平面AOC .因为E 、F 分别为OB 、BC 的中点，所以EF ∥OC .又EF ⊄平面AOC ，所以EF ∥平面AOC ，又EF ∩DE ＝E ，EF ⊂平面DEF ，DE ⊂平面DEF ，所以平面DEF ∥平面AOC .[押题依据]线面的平行与垂直是立体几何的必考内容，通常要考一个解答题，本题不仅突出考查了线面的平行与垂直，而且以立体几何为背景．考查了探索性问题，题目新颖灵活、重点突出、难度适中，故押此题．。