单片机原理与应用第一章第二章

简称为m n [型]矩阵.
1 2 4 3 A 9 8 5 2 4 2 1 0
３×４矩阵
这个３×４矩阵，有 a21 = 15， a33 = 14 在叙述普遍规律或从前后文容易明确时，一 般就不特别指所涉及矩阵的维，而在必要时常用
Amn 或 A
表明 A 是 m n 矩阵
在实际问题中常要对同时出现的若干个线性
方程作为一个整体来考虑，需求出满足所有方程
的未知数，这就是解线性代数方程组。例如将
x y3 2 x 3 y 4
（1-2） （1-3）
这两个方程作为整体来讨论，就成一线性方程组 （system of linear equation）, （1-2）是方程组的第 一个方程，而（1-3）是第2个方程， 对于线性方
第2个未知数 y 列的位置成
x 1 因原方程组与表四代表的方程组 y 2
1 2
同解，
故这就是方程组的解，或者说此时常数列位置 成为方程组的解
这样求方程组解的方法称为消元法
(elimination)或一般称为高斯-若尔当(GaussJordan)消元法。
通过以上各例可看出, 与 2×2方程组一样，对
程组，其重要的求解方法是消元法， 即通过对方
程组做同解变形（或称等价运算或变形），使各
个方程变成分别各含一个未知数（也称变量），
并能求出其值，从而得到整个方程“组”的解，
这个解当然地应该也是由数组表示的。
方程组的等价变形有一下三类：
1.交换组内任意两个方程的次序（编号）；(交换) 2.任意一方程乘一非零常数；（数乘） 3.任意一方程经数量倍（即在两端乘同一常数） 后加到另一方程去。（倍加）
(2) 行矩阵和列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量). 如 A = ( a11 a12 … a1n ).
只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量).
如
a11 a21 B . a m1
(3)
上三角阵与下三角阵 对于方阵，若其非零元只出现在对角线及其
上（或右）方，就称为上三角[形矩]阵（upper triangular matrix）, 有时用 U 或 R ( right ) 表示。 如：
5 0 U 0 0 2 1 4 7 0 3 0 13 2 0 0 0
是 4 阶上三角阵。
值得注意的是，对角线下（或左）方的元必为零， 而其他元可以是零也可以不是零。
相反，非零元只出现在对角线及其下（或左）
方的方阵为下三角[形矩]阵(lower triangular matrix)
记作 L ( left ).
如
1 L 2 3 0 1 1 5 0 0 1
是个 3 阶下三角阵
一般而言，对n阶矩阵A=[aij]，当且仅当 i>j 且
m n
纵称列）的矩型阵列（表）
a11 a12 a1n 二、一些特殊的矩阵
a a a 21 22 2n 从矩阵的形状看，遇到最多的是在(2-1) 中 n 阶矩阵。 m=n 的情形，此时称之为 n 阶方阵或 a m 1 a m 2 a mn
aij =0时A为上三角阵； 而当且仅当 i< j 且aij = 0 时
A为下三角阵；
(4) 对角阵
一个既是上三角又是下三角的矩阵称为对角 [矩]阵（diagonal matrix）, 亦即对角阵是非零元 只能在主对角线上出现的方阵. 如
12 0 0 D 0 3 0 0 0 4
a22 a2.n 简称为 m [型 ]矩阵 a 21 n A . a a a nn n1 n 2
称为维 是 ma n 的矩阵 a1n (matrix) a 11 12
另外，只有一列（即 n = 1）或一行（即
m = 1）的矩阵也常碰到.
是个 3 阶的对角阵.
显然，由对角线元就足以确定对角阵本身， 故常将这对角阵记作 D = diag ( 12 , 3 , 4 ) .
而 diag (δ1 ,δ2 ,· · · · · ,δn ) 表示一组对角元分
别为δ1 ,δ2 ,· · · · · ,δn的 n 阶对角阵，
d 1 def 0 diag (d 1 , d 2 , , d n ) 0 0
-4x+6y= 8 x
(a)一对相交直线有
唯一公共点
(b)一对平行直线无
(c)一对重合直线每一 点都是公共点
公共点
图
1-2
二、高斯-若尔当消元法
将未知数个数相等的多个线性方程看成一个
整体，称为线性方程组。
若一个方程组含有m个方程、n个未知数， 常简称为 m ×n方程组。 m ×n方程组的解应是 n 维数组，将解数组各个分量依序代未知数时能 使 m 个方程全部成立。 回顾上一段，用三类等价运算解2×2方程组 的过程，这里是依照这样的目标进行的：
必要时在其下角标明阶数， 如
1 0 0 I3 0 1 0 0 0 1
（2-4´）
三、矩阵问题的例
在对许多实际问题作数学描述时，都要用到 矩阵的概念， 这里讨论几个简单的例子。
例1 （通路矩阵） a 省两个城市 a1 , a2 和 b 省
三个城市 b1, b2, b3 的交通联结情况如图2-1所示， 每条线上的数字表示联结该两城市的不同通路 总数。由该图提供的通路信息，可用矩阵形式 表示（称之为通路矩阵），以便存贮、计算与 利用这些信息。
第一章 线性代数方程组（消元法）
历史上，线性代数的第一个问题是关于解线性 代数方程组（1-1）的问题
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
经等价运算r1×（-2）+r2，得
x
r1 r2 ´ r1 r2 ˝ 1 0
y
1 -5
常数列
3 -10 表2
经运算r2´×（-1/5）得
1 0 1 1 3 2
表3
经运算r2˝ ×（-1）+ r1 得 r1 ´ 1 0 1 r2 ˝ 0 1 2
表4
第1个未知数 x 列的位置成
1 0 0 1
在将他的两个解
4 0
及
0 8
在坐标平面上用点表
示后，连线既得此方程的图像（图1-1）。
图
1-1
事实上，此直线上任意一点的坐标正是该方 程的一个解， 反之，以方程的任意一个解作为坐

这样从几何上也 标，也正是这直线上的一个点。 看出一个二元线性方程有无限多解的事实。
(2-1)
称为维是 m n 的矩阵 (matrix) 简称为m n [型]矩阵.
矩阵概念
如A 、B、C， · · · · · 记之， m n常用大写黑斜体字母 个元，排成 m 行 n 列（ 横称行， 必要时也可以以下标来区别不同的矩阵， 纵称列 ）的矩型阵列（表） 如A1，A2， · · · · ·
详细写出就是
0 0 （2-4） dn
d2
0
当然允许某些δ 等于零。
(5) 标量阵
当一对角阵的对角线元全相等，等于某个常 量δ 时称为标量[矩]阵(scalar matrix) ,
特别称
δ=1 的标量矩阵为单位[矩]阵, 或称幺[矩]阵
(identity matrix), 以 I 或 E 来记。
3.任意一方程经数量倍（即在两端乘同
可将 例1
后加到另一方程去。 的计算重现于下： 试用方程组等价变形法，解方程组
y 3 x例 （1-2） r1是第1行 表1给出的 的原始方程组， 1 试用方程组等价变形法，解方 2 x 3 y 4 （ 1-3 ） x y 3 （ 1-2） r 是第 2 行是 （ row ）是方程 的系数， x y 3 （ 1-2 ） 2 y3 （1-2） 2 x 3 y1-2 4 解 做第三类变形，将（ ）乘（ -2 ）后加到 （ 1-3 ） （ 1-3 ） 2 x 3 y 4 而常数列（ column ）由 y 4 方程（1-3） 的系数， （1-3）去，得到方程 解 做第三类变形，将（1-2）乘（ 方程作为整体来讨论，就成一线性方程组 为整体来讨论，就成一线性方程组 方程右端的常数组成。 （1-2） x y 3 （ 1-2 ）是方程组的第 of linear equation ） , （1-3）去，得到方程 equation）, （1-2）是方程组的第 5 y 10 （1-3´） 常数列 x y （1 x y 3 程，而（ 1-3 ）是第 2 个方程，对于线性方 1 （1-3）是第2个方程，对于线性方 ´）两端乘（ ）， 这与原方程同解。 在（1-3 5 y1 10 5 （1 r 1 1 3 表 1 即通过对方 （1-2） 其重要的求解方法是消元法， 即通过对方 的求解方法是消元法， x y 3 在（1-3´）两端乘 r2 2 这与原方程同解。 -3 -4 y2 （1-3˝） 同解变形（或称等价运算或变形），使各 形（或称等价运算或变形），使各 （1 x y 3 再做第3类变形，将（1-3 -12 ）后加到 ˝）乘（ 变成分别各含一个未知数（也称变量）， y （1 别各含一个未知数（也称变量），
（1-1）
我们就从消元法解最简单的二元线性代数方程 开始讨论这一应用非常广泛的课题，从而看出研 究矩阵的必然性
第一节
解线性代数方程组的消元法
二元线性代数方程组
高斯–若尔当消元法
一、二元线性代数方程组