辽宁省2020年三年级上学期数学期末考试试卷(I)卷(测试)

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2024-2025学年辽宁省三校高三数学上学期10月联考试卷及答案解析

2024—2025学年度上学期高三10月联合教学质量检测高三数学试卷本试卷共5页满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+，若{}15A B x x ⋃=<<，则a =（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据并集得出参数的值.【详解】因为()1,3A =,()1,5A B ⋃=，又因为(),3B a a =+，所以35,a +=即a =2.故选：C.2. 如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD = ，则用向量AB ，AC表示BG 为（）A. 2133BG AB AC=-+u u u u r uu r u u u r B. 1233BG AB AC=-+u u u r u uu r u u u r C. 2133BG AB AC=-u u u r u u u r u u u r D. 2133BG AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】3AD GD =，故23AG AD = ，则()2212133233B C G BA BA BA AG AD AB A AB AC =+=+=+⨯+=-+.故选：A3. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则84S S 的值为（）A. 2 B. 17 C. 2或8D. 2或17【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得21112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，1841824S a S a ==；当2q =-时，()()814844184111117111a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以84S S 的值为2或17．故选：D ．4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（）A. 5% B. 10%C. 15%D. 45%【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%20%35%10%+-=.故选:B5. 若直线:3l y kx k =+-与曲线:C y =恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（）A. 4,+3∞⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32⎛⎤⎥⎝⎦C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先得到直线过定点()1,3P ，作出直线l 与曲线C ，由图求出直线l 过点()1,0A -时的斜率和直线l 与曲线C 相切时的斜率即可树形结合得解.【详解】由()313y kx k k x =+-=-+可知直线l 过定点()1,3P ，曲线:C y =两边平方得()2210x y y +=≥，所以曲线C 是以()0,0为圆心，半径为1且位于直线x 轴上方的半圆，当直线l 过点()1,0A -时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点，此时3032k k k =-+-⇒=，当直线l 与曲线C 相切时，直线和圆有一个交点，圆心()0,0到直线l的距离1d ，两边平方解得43k =，所以结合图形可知直线l 与曲线C 恰有两个交点，则4332k <≤.故选：B.6. 已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论不正确的A. π6ϕ=B. 若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C. 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2【答案】D 【解析】【分析】先根据()f x 是偶函数求ϕ判断A 选项；根据最小正周期公式计算可以判断B 选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C 选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D 选项.【详解】()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则πππππ,Z,,,3226k k ϕϕϕ+=+∈<∴=∣∣A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，由()sin()g x x ωϕ=+则2π23π,3T ωω==∴=，B 选项正确；πππ(0,π),(,π)666x x ωω∈+∈+ 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7π710π,26233ωω<+≤<≤,C 选项正确；若π()sin(6g x x ω=+ πππsin +446g ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ+2π463k ω=+或ππ2π+2π463k ω=+，Z k ∈，则 283k ω=+或28,Z k k ω=+∈，又因为0ω>，则ω的最小值为23，D 选项错误.故选:D.7. 已知()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1280-，则a =（）A. ―2B. 2C. D. 1【解析】【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.【详解】由题意，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()6662166C 2C 2rr r r r rr r a T x a x x ---+-⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，令620r -=，则3r =，令621r -=-，则72r =不符合题意，所以()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()3336C 21280a --=-，解得2a =-．故选：A .8. 已知函数22()log f x x mx x =-+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围是（）A. 23log 33,89+⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 23log 33,94+⎛⎫⎪⎝⎭C. 23log 33,94+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 23log 33,89+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】不等式()0f x >可化为2log 1xmx x-<，利用导数分析函数()2log x g x x =的单调性，作函数()1h x mx =-，()2log xg x x=的图象，由条件结合图象列不等式求m 的取值范围.【详解】函数22()log f x x mx x =-+的定义域为(0,+∞)，不等式()0f x >化为：2log 1xmx x-<．令()1h x mx =-，()2log x g x x=，()2222221log e log log e log x xx x g x x x --='=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减．当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，()0g x <，当x →+∞时，()0g x →，当0x >，且0x →时，()g x ∞→-，画出()g x 及()h x 的大致图象如下，因为不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2．故()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log 2212log 3313m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得23log 3943m +≤<.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知复数232023i i i i 1iz ++++=+ ，则下列结论正确的是（）A. 1i 2z -=-B. 1i 2z -=C. 1i 2z +=-D. z =【答案】ACD 【解析】【分析】利用234i+i +i +i 0=对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果.【详解】因为i,411,42i ,i,431,4nn k n k k n k n k=+⎧⎪-=+⎪=∈⎨-=+⎪⎪=⎩Z ，所以234i+i +i +i 0=，所以()()()()2342323202323505i+i +i +i i i i 1i i i i i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 22z +++--++++++-======-++++++- ，所以A 正确，B 错误，111i i=222z +=---，C 准确，所以z ==D 正确.故选：ACD10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC V 的三个内角均小于120°时，使得120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=的点O 即为费马点；当 ABC V 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（）A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心B. 若P 为ABC V 的费马点, 且 0PA PB PC ++=u u r u u r u u u r r，则ABC V 一定为正三角形C. 若ABC V 三边长分别为2D. ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， π22A ,bc ∠==，若点P 为ABC V 的费马点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=.【答案】ABC 【解析】【分析】对A ，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B ，取AB 的中点D ，由0PA PB PC ++=可得点P 是ABC V 的重心，再结合条件可得点P 是ABC V 的中心，得证；对C ，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D ，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解.【详解】对于A ，如图O 是正三角形ABC 的中心，根据正三角形的性质易得o 120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以点O 是正三角形ABC 的费马点，故A 正确；对于B ，如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD += ，因为0PA PB PC ++=，所以2PC PD =-u u u r u u u r，所以,,C P D 三点共线，且点P 是ABC V 的重心，又点P 是ABC V 费马点，则o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，则o 60APD BPD ∠=∠=，又AD BD =，易得PA PB =，同理可得PC PB =，所以PA PB PC ==所以点P 是ABC V 的外心，所以点P 是ABC V 的中心，即ABC V 是正三角形.故B 正确；对于C ，如图，在Rt ABC △中，1AB =，BC =，2AC =，o 30ACB ∠=，点O 是Rt ABC △的费马点，将COA 绕点C 顺时针旋转o 60，得到CED △，易证COE ，ACD 是正三角形，则OC OE =，OA DE =，CD AC =，且点,,,B O E D 共线，所以o90BCD ∠=，所以BD ===又OA OB OC DE OE OB DB ++=++==，的.故C 正确；对于D ，由费马点定义可得o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，设PA x =，PB y =，PC z =，,,0x y z >，由ABC PAB PAB PAB S S S S =++V V V V，可得111122222xy xz yz ++=⨯，整理得xy yz xz ++=，所以111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1122xy yz xz =-++=-=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D 选项的关键在于利用三角形等面积法求出xy yz xz ++=.11. 在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4，AB BD ⊥，CD BD ⊥，2BD CD ==，若该四面体的体积为）A. 异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3B. AC的长可以为C. 点D 到平面ABCD. 当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin CDE ∠=A ，根据余弦定理即可求解B ，根据等体积法即可求解C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面ABD 内过D 作DE AB ∥，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，CD BD ⊥，DE BD ⊥，BD DE C = ，CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，故11233C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===⋅=⨯=，11sin 24sin 4sin 22CDE S CD DE CDE CDE CDE=⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠故1124sin 233C ABD CDE V S CDE -=⨯=⨯∠⨯=，因此sin CDE ∠=由于()0,CDE π∠∈，所以3CDE π∠=或23π，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π，A 正确，当23CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时AC ==当3CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时4AC ==,故B 错误，由于BC ==,4AB =,当AC =cos BAC ∠==sin BAC ∠=，11sin 422ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= ,当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠==⨯⨯，故sin BAC ∠=，1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= ,故点D 到平面ABC的距离为d ===,C 正确，当4AC =时，4AB AC ==,2CD BD ==,取BC 中点为O ，连接OA ,OD ,则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===,AO ==所以22cos 0AOD ∠===<,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD∠∠==∠，当4AC =，由于2DBCS =，点A 到平面BDC距离为d ===,设A 在平面BDC 的投影为H ,则AH =,故HD==HC ==,因此点O 为以D ,C为圆心，以半径为,显然交点位于BC ,同D 的一侧，故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】的【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1913. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π．我们把平面四边形ABCD 外的点P 连接顶点A 、B 、C 、D 构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．【答案】4π【解析】【分析】根据曲率的定义求解即可.【详解】由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()2π5π42π14π⨯-⨯+⨯=.故答案为：4π.14. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点1F ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H ，直线1F H 与双曲线的上､下两支分别交于,M N ，若3NH HM =，则双曲线的离心率e =__________.【解析】【分析】设双曲线右焦点为2F ，HM t =，3NH t =，由题意结合双曲线定义可依次求出1F H 、1OF 、1F M 、1F N 、2F N 和2F M ，接着分别在1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △中结合余弦定理求出1cos OF M ∠，进而建立等量关系式求出t ，从而求得2b a =，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为2F ，由题()10,F c ，双曲线的一条渐近线方程为ay x b=-即0ax by +=，过该渐近线作垂线，则由题1F H b =，1OF c =，设HM t =，则由题3NH t =，1F M b t =-，13F N b t =+，所以232F N b t a =+-，22F M b t a =-+，所以在1Rt F OH 中，111cos F H bOF M OF c∠==①，在12F MF △中，()()()()()22222211221112||||22cos 222F M F F F M b t c b t a OF M b t c F M F F +--+--+∠==-⋅②，在12F NF △中，()()()()()22222211221112||||3232cos 2322F N F F F N b t c b t a OF M b t c F N F F +-++-+-∠==+⋅③，由①②得()()()()()2222222b t c b t a bb tc c-+--+=-，化简解得ab t a b =+，由①③得()()()()()2223232232b t c b t a b b t c c++-+-=+，化简解得()3ab t b a =-，所以()23ab abb a a b b a =⇒=+-，故双曲线的离心率c e a====.【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为2F ，HM t =，则结合双曲线定义可得1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角1OF M ∠的余弦值1cos OF M ∠，从而可建立等量关系式依次求出t 和2b a =，进而由离心率公式得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()*1N n n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212n n T S S S =+++ ，求n T .【答案】（1）1()2n n a = （2）1235111((3232n nn n T --=+-⋅【解析】【分析】（1）应用1n n n S S a --=，再结合等比数列定义及通项公式计算即可；（2）先化简得出21111()()24n n n S --+=，再应用分组求和及等比数列前n 项和公式计算.小问1详解】因为数列{a n }的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112a =，所以数列{a n }构成首项为12，公比为12的等比数列，所以{a n }的通项公式为1111()(222n nn a -=⋅=.【小问2详解】由（1）知1(2nn a =，可得11(2nn S =-，所以222111111()]12()()1((22224[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，【则222121111()[1()]244(111)111124n n n n T S S S -⋅-=+++=+++-+-- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16. 如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN 与侧面.（1）求点A 到平面MHG 的距离；（2）求二面角E HM G --的余弦值.【答案】（1（2）23-【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案；（2）求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】由题意，易知,,MN MA MB 两两垂直，分别以,,MA MB MN 为,,x y z 轴建立直角坐标系，如下图：则()()()()1,0,0,0,0,0,0,2,1,2,0,1A M H G --，取()()0,2,1,2,0,1MH MG =-=-，设平面MHG 的法向量(),,n x y z = ，则2020n MH y z n MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1x y ==，所以平面MHG 的一个法向量()1,1,2n =，取()1,0,0MA = ，点A 到平面MHG的距离MA n d n ⋅===.【小问2详解】由（1）可知()()()()2,0,1,0,2,1,0,0,0,2,0,1E H M G --，取()()()()2,2,0,2,0,1,2,2,0,2,0,1HE ME HG MG ===-=-，设平面EHM 的法向量()1111,,m x y z = ，则11111122020m HE x y m ME x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =-，则221,2y z ==，所以平面EHM 的一个法向量()11,1,2m =-，设平面HMG 的法向量()2222,,m x y z = ，则22222222020m HG x y m MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则111,2y z ==，所以平面EHG 的一个法向量()21,1,2m =，设二面角E HM G --的大小为θ，则12121142cos 1143m m m m θ⋅-++=-=-=-++⋅ .17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，5960P P >【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862P X -<<=+=.（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111,222n n n n n n n P P P P P P P -----=+-=--，1221111131,,222244P P P P ==⨯+=-=.∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以14为首项，12-为公比的等比数列，2111(259)42n n n P P n --⎛⎫-=⋅-≤≤ ⎪⎝⎭.22132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.累加得：115816058111422111111,(259),1362236212n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.∴158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩∵58585960111111033232P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58596059592112111,13623622P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪⎝⎭.18. 已知函数()1e xx f x +=.（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()e ln 1xf x a x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知直线l 是曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线，求证：当1t >时，直线l 与曲线()y f x =相交于点()(),s f s ，其中s t <.【答案】（1）极大值为1，没有极小值（2）[]e,0- （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；（2）根据题意可得ln 0x a x +≥恒成立，构建()ln ,0g x x a x x =+>，分类讨论a 的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；（3）根据导数的几何意义可得当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，构建()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >，利用导数研究函数零点分析证明.小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()ex xf x '-=，令()0f x '=时，0x =，则x ，f ′(x )，()f x 的关系为x(),0∞-0(0,+∞)f ′(x )+0-()f x 单调递增极大值单调递减所以，当0x =时，()f x 取到极大值为1，没有极小值.【小问2详解】若()e ln 1xf x a x +≥，即ln 0x a x +≥恒成立，设()ln ,0g x x a x x =+>，则()1a x a g x x x'+=+=，①当0a =时，则()0g x x =>恒成立，符合题意；②当0a >时，则()0g x '≥，可知()g x 在(0,+∞)上单调递增，因为11e e 10a a g --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以ln 0x a x +≥不恒成立；③当0a <时，x ，()g x '，()g x 的关系为x()0,a -a-(),a ∞-+()g x '-+【()g x 单调递减极小值单调递增可知()g x 的最小值为()()min ln g x a a a =-+-，则()ln 0a a a -+-≥，因为0a <，则()1ln 0a --≥，解得e 0a ≤-<；综上所述：实数a 的取值范围是[]e,0-.【小问3详解】因为()1e x x f x +=，()e x x f x '-=，则()1e t tf t +=，e t t k -=即切点坐标为1,e t t t +⎛⎫⎪⎝⎭，切线l 斜率为e tt k -=，可得l 的方程为()1e e t t t t y x t +--=-，即21e et tt t t y x -++=+，联立方程21e e 1e t txt t t y x x y ⎧-++=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得2110e e e x t tx tx t t ++++-=，由题可知：当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，设()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >且()0h t =，则()e e x t x t h x '-=+，设()()F x h x ='，则()1e xx F x '-=，因为1t >，x ，()F x '，F (x )的关系为x(),1∞-1()1,t ()F x '-+F (x )单调递减1e et t -+，单调递增可知F (x )的最小值()()()min 10F x F F t =<=，且()1e 0e ttF -=+>，可知()01,1x ∃∈-，使()00F x =，当()0,x x ∞∈-时，()0F x >，即h ′(x )>0；当()0,x x t ∈时，()0F x <，即h ′(x )<0；可知h (x )在()0,x ∞-内单调递增；在()0,x t 内单调递减，可知h (x )的最大值()()()0max 0h x h x h t '=>=，且()()2110e t t h -+-=<，可知h (x )存在小于t 的零点，所以当1t >时，直线l 与曲线y =f (x )相交于点()(),s f s ，其中s t <，得证.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q ．（1）当0b =，r =，12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；（2）①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想|OP |和|OQ |的大小关系，并证明．【答案】（1）53OP OQ == （2）①证明见解析；②猜测OP OQ =，证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF 和ED 的方程，并求它们与x 轴的交点坐标，可得问题答案.（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.②分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.【小问1详解】当0b =，r =，12m =-，2n =时，圆M ：225x y +=，直线CD ：12x y =-，由22512x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，故()1,2C -，()1,2D -；直线EF ：2x y =，由2252x y x y⎧+=⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，故()2,1E ，()2,1F --.所以直线CF :122112y x ++=+-+，令0y =得53x =-，即5,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ED :122112y x --=---，令0y =得53x =，即5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以：53OP OQ ==.【小问2详解】①由题意：22b r <.由()222x y b r x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩⇒()()222my y b r +-=⇒()2222120m y by b r +-+-=，则1y ，2y 是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b y y m b r y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以1222122y y b y y b r +=⋅-.同理可得：3422342y y b y y b r +=⋅-，所以34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅.②猜测OP OQ =，证明如下：设点(),0P p ，(),0Q q .因为,,C P F 三点共线，所以：414100y y x p x p --=--⇒411414x y x y p y y -=-，又因为点C 在直线x my =上，所以11x my =；点F 在直线x ny =上，所以44x ny =.所以()1441141414y y n m ny y my y p y y y y --==--；同理因为,,E Q D 三点共线，可得：()2323y y n m q y y -=-.由①可知：34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅⇒12341111y y y y +=+⇒14321111y y y y -=-⇒23411423y y y y y y y y --=⋅⋅⇒231414230y y y y y y y y ⋅⋅+=--，所以()()14231423y y n m y y n m p q y y y y --+=+--()23141423y y y y n m y y y y ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭0=.即p q =-，所以OP OQ =成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.。

辽宁省五大名校(辽宁实验中学等)2020-2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷

2020—2021学年度上学期期末考试高三年级数学科试卷命题学校：辽宁省实验中学命题人：高三数学组校对人：高三数学组一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合AA ={xx |xx 2≤4}，BB ={xx ||xx |>1}，则AA ∩BB =( )AA . {xx |1<xx ≤2} BB . {xx |−2<xx <−1或1<xx <2} CC . {xx |−2≤xx <−1} DD . {xx |−2≤xx <−1或1<xx ≤2} 2.复数zz 满足：zz (1+ii )=1−ii ，则zz 的虚部等于（） AA . −ii BB . −1 CC .0 DD . 13. 某公司为了解用户对其产品的满意度，从甲、乙两地区分别随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，分别得到甲地区和乙地区用户满意度评分的频率分布直方图．若甲地区和乙地区用户满意度评分的中位数分别为1m ，2m ；标准差分别为1s ，2s ，则下面正确的是( )AA . 12m m >，12s s > BB . 12m m >，12s s < CC . 12m m <，12s s <DD . 12m m <，12s s >4.设0.45a =，0.4log 0.5b =，5log 0.4c =，则,,a b c 的大小关系是（） AA . a b c << BB . c a b <<CC .c b a << DD . b c a <<5. 已知α是第二象限角，54sin =α，则=α2sin （） AA . 2524− BB . 2524 CC .2512− DD . 25126. 四个人排一个五天的值班表，每天一人值班，并且每个人至少值班一次，则有（）种不同的排班方式.AA . 240 BB . 480 CC .420 DD . 360 7.已知抛物线CC ：yy 2=2ppxx (pp >0)，过焦点FF 的直线ll 交抛物线CC 于PP 、QQ 两点，交yy 轴于点AA ，若点PP 为线段FFAA 的中点，且|FFQQ |=2，则pp 的值为( )AA .32 BB . 34CC . 2 DD . 3 8.在底面边长为1的正四棱柱1111ABCD A B C D −中，侧棱长等于2，则（）AA . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有一个BB . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有两个CC . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有三个DD . 在正四棱柱的棱上到异面直线AA 1BB 和CC 1CC 距离相等的点有且只有四个二、选择题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对得3分. 9.已知等比数列{aa nn }的前nn 项和为SS nn ，公比qq >1，nn ∈NN +，则（）AA . {aa nn }一定是递增数列 BB . {aa nn }可能是递增数列也可能是递减数列CC . aa 3、aa 7、aa 11仍成等比 DD . ∀nn ∈NN +,SS nn ≠010.定义在实数集RR 上的函数ff (xx )满足ff (1+xx )=−ff (1−xx )，且xx ≥1 时函数ff (xx )单调递增则（）AA . ff (1)=0 BB .ff (xx )是周期函数CC .方程ff (xx )=0有唯一实数解 DD .函数ff (xx )在(−∞,0)内单调递减11.为了得到)32sin(2π−=x y 的图像只需把函数)62cos(2π+=x y 的图像（） AA .向右平移2πBB .向左平移2πCC .关于直线xx =4π轴对称 DD .关于直线xx =6π轴对称12.方程ee xx +xx −2=0的根为xx 1，ln xx +xx −2=0的根为xx 2，则（） AA . xx 1xx 2>12BB .xx 1ln xx 2+xx 2ln xx 1<0CC .ee xx 1+ee xx 2<2ee DD . xx 1xx 2<√ee 2三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知21,F F 为双曲线191622=−y x 的左、右焦点，则||21F F =14.已知正实数aa 、bb 满足aa +2bb =1，则2aa +1bb的最小值为15.某校为了丰富学生的课余生活，组建了足球、篮球、排球、羽毛球四个兴趣小组，要求每一名学生选择其中的两个小组参加.现有D C B A ,,,四位同学，已知AA 与BB 没有选择相同的兴趣小组，CC 与DD 没有选择相同的兴趣小组，BB 与CC 选择的兴趣小组恰有一个相同，且BB 选择了足球兴趣小组.给出如下四个判断：①CC 可能没有选择足球兴趣小组；②AA 、DD 选择的两个兴趣小组可能都相同； ③DD 可能没有选择篮球兴趣小组；④这四人中恰有两人选择足球兴趣小组；其中正确判断是16.已知c b a ,,是平面向量，c a ,是单位向量，且3,π>=<c a ，若02092=+⋅−c b b ，则最大值是四、解答题：本题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分10分)在①74=ac ②sin BB =2sin AA ③csin AA =√3这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的三角形存在，求c 值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在∆AABBCC ，它的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且bb cos AA +aa cos BB +2cc cos CC =0，∆AABBCC 的面积是32，？18.(本小题满分12分)某公司在联欢活动中设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同．游戏参与者可以选择有放回或者不放回的方式从中依次随机摸出3个球，规定至少摸到两个红球为中奖．现有一位员工参加此摸奖游戏．（1）如果该员工选择有放回的方式（即每摸出一球记录后将球放回袋中再摸下一个）摸球，求他能中奖的概率；（2）如果该员工选择不放回的方式摸球，设在他摸出的3个球中红球的个数为XX ，求XX 的分布列和数学期望；（3）该员工选择哪种方式摸球中奖的可能性更大？请说明理由．19. (本小题满分12分)在四棱锥PP −AABBCCDD 中，PPDD ⊥底面AABBCCDD ，底面AABBCCDD 是菱形，PPDD =AADD =4， 60=∠BAD ，点FF 在棱PPDD 上. （1）若PD PF 21=，在棱BBCC 上是否存在一点EE ，使得CCFF //平面PPAAEE ，并说明理由；（2）若直线AAFF 与平面BBCCFF 所成的角的正弦值是1015，求二面角AA −FFBB −CC 的余弦值.20. (本小题满分12分)已知数列{}n a 前n 项和为n S ，且，31=a11−=+n n a S ，数列{}n b 为等差数列，42b a =，且752b b b =+，（Ⅰ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若()12++=n nn nb n b ac ，求{}n c 的前n 项和n T .21. (本小题满分12分)已知椭圆Γ中心在坐标原点，焦点FF 1、FF 2在x 轴上，离心率21=e ，经过点)3,(−c M (cc 为椭圆的半焦距).(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)21MF F ∠的平分线l 与椭圆的另一个交点为N ，O 为坐标原点，求直线OOOO 与直线OONN 斜率的比值.22. (本小题满分12分)设函数x e ax x f 2)1()(−+=，曲线)(x f y =在))0(,0(f 处的切线方程为1+−=x y . （1）求实数a 的值.（2）求证：当[]1,0∈x 时，)6cos 4(2)(22−+≥−x x x x f .。

人教版2022——2023学年小学三年级上册期末数学调研试卷AB卷(含答案)

第1页/总36页【人教版】2022-2023学年小学三年级上册期末数学调研试卷（A 卷）第I 卷（选一选）评卷人得分一、选一选1．下面的运动哪个没有是旋转？（）A．B ．C ．2．，像这样一一间隔排成一行，如果有45根，有（）个。

A ．44B ．45C ．463．比较下面三个图形的周长。

（）A ．图1的周长要长一些B ．图3的周长要长一些C ．三个图形的周长是相等的4．下面哪个分数可以表示图中的涂色部分？（）A ．12B ．38C ．145．三年级有510人去参观博物馆，要求每组有多少人，可以补充哪个条件？（）A ．每组有170人B ．平均分成3组C ．四年级有400人去参观博物馆6．用48根彩带做纸花，每3根做一朵，可以做多少朵？小华用竖式计算出了结果。

竖式中箭试卷第2页，共5页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※没有※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※头所指的数表示的是（）。

A ．已经用去3根B ．还剩下30根C ．已经用去了30根7．看线段图，要求篮球有多少个，正确的列式是哪一个？（）A ．18＋32＋11B ．18＋32－11C ．18×2＋118．将下面的分数条铺在白色直条中（分数条使用次数没有限），哪一种铺法刚好将白色直条铺满。

（）A ．12；14；14B ．12；14；18；116C ．12；14；18第II 卷（非选一选）评卷人得分二、填空题9．军军很喜欢写数学日记，下面这段话是他在学习了“克与千克”后，写的一篇日记，你能帮他补充完整吗？我叫军军，今年8岁了。

我喜欢运动，所以身体很健壮，体重已经有28()了，身高135()。

为了补充营养，我每天早上要吃一个重约50()的鸡蛋，吃一袋250()的面包。

上学时我背着一个重约3()的书包。

10．400×6可以看作4个()乘6，结果是()。

2023-2024学年小学三年级下册数学期末质量检测试卷AB卷(含答案)

2023-2024学年小学三年级下册数学期末调研试卷（A 卷）第I 卷（选一选）评卷人得分一、选一选1．估计一下，一个小学生每天吃的食物大约有（）。

A ．10gB ．100gC ．1KgD ．5000g2．三年级6个班排队做核酸，平均每班有40人。

如果每4个人一组，请问三年级共有多少组？下面（）算式没有能解决这个问题。

A ．6×40÷4B ．40÷4×6C ．40×4×6D ．6×（40÷4）3．5千克的棉花与5000克的铁相比，（）。

A ．棉花重B ．铁块重C ．同样重D ．无法比较4．甲、乙两根铁丝一样长，甲用去，乙用去后，谁剩下的长？（）1334A ．甲B ．乙C ．一样长D ．无法确定5．下面计算432÷4的方法中，（）是错误的。

A ．B ．C ．D ．6．一个长方形，宽是4分米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是（）。

A．8平方分米B．32平方分米C．24平方分米7．请你数一数下图中有（）个正方形。

A．9B．13C．14D．108．一串气球按“两个粉色三个黄色”的顺序排列，问第142个气球是（）色的。

A．黄B．粉C．无法确定9．与27×500的计算结果没有同的算式是（）。

A．500×270B．50×270C．270×50D．500×2710．将1个长方形的长增加2厘米，宽减少2厘米。

长方形的周长（），长方形的面积（）。

A．没有变；没有变B．没有变；变小了C．变小了；没有变D．无法确定11．一把铅笔没有满20支，平均分给6个同学后还多2支。

这把铅笔可能有（）支。

A．8支B．16支C．22支D．12枝12．小明带20元去买水果。

已知香蕉每千克2元，苹果每千克3元。

他用去了全部的钱，没有可能是下面的（）种买法。

A．香蕉4千克，苹果4千克；B．香蕉10千克；C．香蕉7千克，苹果2千克；D．香蕉2千克，苹果5千克。

2023届辽宁省协作校高三上学期期末考试数学试题(解析版)

2023届辽宁省协作校高三上学期期末考试数学试题一、单选题1．设集合{}230A x x x =-≤，142B x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B =（）A ．102x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭B ．132x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭C ．{}34x x ≤<D ．{}04x x ≤<【答案】B【分析】解不等式求得A ，再根据交集的定义可得结果．【详解】集合2{|30}{|03}A x x x x x =-≤=≤≤，1{|4}2B x x =<<， 1{|3}2A B x x ∴=<≤．故选：B ．2．已知复数z 满足()1243z i i +=- (其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（） A ．2- B ．2i -C ．1D ．i【答案】A【分析】由题目条件可得()12435z i i +=-=，即512z i=+，然后利用复数的运算法则化简. 【详解】因为435i -=，所以()12435z i i +=-=，则()()()5125510121212125i i z i i i i --====-++- 故复数z 的虚部为2-. 故选：A.【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单. 3．下表是某校在2022年高考中各班的最高分，则这组数据从小到大的第80百分位数是（）5班681 11班673 6班66612班638A ．694B ．681C ．689D ．691【答案】D【分析】将数据由小到大进行排列，利用百分位数的定义可求得结果.【详解】将数据由小到大进行排列为：638、642、656、658、666、673、677、681、689、691、694、701，因为120.89.6⨯=，因此，该组数据的第80百分位数是691. 故选：D.4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，设正六棱锥的侧面等腰三角形的顶角为2θ，则侧棱与底面内切圆半径的比为（）A 3B 3C ．12sin θD ．12cos θ【答案】A【解析】首先画出正六棱锥的底面和侧面，利用几何图形中边长的关系，求侧棱与底面内切圆半径的比.【详解】如图，正六边形时正六棱锥的底面，等腰三角形是正六棱在的侧面，设侧棱SA SB b ==，底面边长AB a ，底面内切圆半径OC r =，2ASB θ∠=, 则OAB 是等边三角形，3sin 602r a ==，侧面SAB △中，2sin a b θ=， 3sin r b θ∴=，即33sin b r θ==故选：A5．对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是 A ．a b a b ⋅≤ B ．||a b a b -≤- C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B【详解】因为cos ,a b a b a b a b ⋅=〈〉≤，所以选项A 正确；当a 与b 方向相反时，a b a b-≤-不成立，所以选项B 错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C 正确；()()22a b a b a b +-=-，所以选项D 正确．故选B ．【考点定位】1、向量的模；2、向量的数量积．6．P 为双曲线2222:1x y C a b-=（0a >，0b >）上一点，1F ，2F 分别为其左、右焦点，O 为坐标原点.若OP b =，且2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，则C 的离心率为（） A 2B 3C ．2D 6【答案】B【分析】结合正弦定理、余弦定理以及双曲线的定义，求得3c a =，由此求得双曲线的离心率. 【详解】由2112sin 3sin PF F PF F ∠∠＝，以及正弦定理可得213PF PF =，因为122PF PF a -=，所以13PF a =，2PF a =，因为2OF c =，OP b =，所以22OPF π∠=，所以2cos a OF Pc，在12F F P 中，22212223cos cos 22a caa F F POF Pa cc.化简可得c =，所以C 的离心率=ce a故选：B7．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（） A ．lg lg b a a b < B ．lg lg b a a b = C ．lg lg b a a b > D ．不确定【答案】C【分析】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b == 考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<， b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg b aa b >，即lg lg b a a b > 故选：C8．已知)(111,P a b 与)(222,P a b 是直线2y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于111:20l a x b y +-=和222:20l a x b y +-=的交点情况是（） A ．无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一交点 B ．存在k ，1P ，2P 使之有无穷多个交点 C ．无论k ，1P ，2P 如何，总是无交点 D ．存在k ，1P ，2P 使之无交点【答案】A【分析】根据1,P 2P 在直线2y kx =+可得()21,2i i b ka i =+=，从而可得12,l l 有唯一交点，从而可得正确的选项.【详解】因为)(111,P a b 与)(222,Pa b 是直线2y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，所以()21,2i i b ka i =+=即()()1201,2i i a k b i ⨯-+⨯-==，故(),1k -既在直线1l 上，也在直线2l 上.因为)(111,P a b 与)(222,P a b 是两个不同的点，故1l 、2l 不重合，故无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一交点(),1k -. 故选：A.二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．“0x ∀>，e 1x x >+”的否定形式是“0x ∃≤，e 1≤+x x ”B ．“1sin 2x =”的一个充分不必要条件是“5π6x =” C ．两个非零向量a ，b ，“a b =，且a b ∥”是“a b =”的充分不必要条件D ．若随机变量()23,X N σ-，且()50.2P X ≥=，则()15P X ≤≤等于0.6【答案】BD【分析】根据全称量词命题的否定判断A ；结合三角函数知识以及向量相等的概念，根据命题间的逻辑推理关系，判断B,D ；根据正态分布曲线的对称性求得概率，判断D.【详解】对于A ，“0x ∀>，e 1x x >+”的否定形式是“0x ∃>，e 1≤+x x ”，A 错误；对于B,当5π6x =时，1sin 2x =成立；当1sin 2x =时，π2π,Z 6x k k =+∈或5π2π,Z 6x k k =+∈，比如可能是π6x =，不一定是5π6x =，故“1sin 2x =”的一个充分不必要条件是“5π6x =”，B 正确；对于C, 两个非零向量a ，b ，“a b =，且a b ∥”,那么a ，b 可能是方向相反向量，故推不出a b =成立，当a b =时，一定有a b =，且a b ∥，故“a b =，且a b ∥”是“a b =”的必要不充分条件，C 错误；对于D, 随机变量()23,X N σ-，且()50.2P X ≥=,则()()510.2P X P X ≥=≤=，则()()()()15151125P X P X P X P X ≤≤=-≥-≤=-≥ 120.20.6=-⨯=，故D 正确，故选：BD10．已知函数()()sin cos f x a x x x =-∈R 关于π6x =对称，则下列结论正确的是（）A ．a =B ．()f x 在ππ-,312⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．把()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】AC【分析】根据题意，可知π6x =是对称轴，可解得a =，然后根据三角函数的性质，即可求出单调性，对称中心.【详解】因为()f x ≤,函数()()sin cos f x a x x x =-∈R 关于π6x =对称，可知2π1()31062f a a =++=，所以解得：a =，故A 对.()πcos )3f x x x x =-=+,当ππ-,312x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π5ππ0,0,3122x ⎡⎤⎡⎤+∈⊇⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故B 不对.πππ)663f x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，所以π6f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，故C 对.()f x 的图象向左平移π12个单位长度，得到πππ5π)1212312f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,当3π4x =时，3π5πsin 0412⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭，所以D 错. 故选：AC11．已知直线():100,0l ax by a b ++=>>与圆22:1C x y +=相切，则下列说法正确的是（）A ．1a b +>B ．22114a b+≥C ．2122a b +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭D ．11a b+≤【答案】ABC【分析】根据给定条件，求出a 与b 的关系式，再利用均值不等式逐项判断作答. 【详解】因为直线:10l ax by ++=与圆22:1C x y +=相切，1=，即221a b +=，0,0a b >>，对于A ，因为22222()()()10ab a b a b a b =+-+=+->，解得1a b +>，A 正确；对于B ，222222222222221111()()2224b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=，当且仅当22a b ==时取等号，B 正确；对于C ，22222()()()0222142a b a b a b a b ++--==--≤+，当且仅当22a b ==时取等号，C 正确；对于D ，因为221022a b ab +<≤=，当且仅当22a b ==时取等号，则12ab ≥，因此1111222a b a b +≥⋅=，当且仅当22a b ==时取等号，D 不正确.故选：ABC12．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为线段11D C 的中点，N 为1CC 上的点，且12CN NC =，过1A ，M ，N 的平面截该正方体的截面记为S ，则下列命题正确的有（）A ．S 为五边形B ．三棱锥1A BCD -外接球的体积为43πC ．三棱锥1A BNM -的体积为29D ．BM 与平面1A BC 2【答案】BC【分析】利用面面平行的性质判断A ；确定三棱锥外接球半径计算判断B ；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算距离及线面角判断CD 作答.【详解】对于A ，显然S 与正方形11CDD C 的交线为线段MN ，而S 与正方形11ABB A 有公共点1A ，则S 与正方形11ABB A 有交线，又面11//ABB A 面11CDD C ，因此该交线与MN 平行，交1BB 于点O ，如图，即有S 与正方形11BCC B 交线为线段ON ，与正方形1111D C B A 交线为线段1A M ，从而S 与正方体的四个面相交，即S 是四边形，A 不正确；对于B ，三棱锥1A BCD -与正方体1111ABCD A B C D -有相同的外接球，而正方体1111ABCD A B C D -的外接球直径为体对角线长123AC =3R 此球的体积3344(3)4333V R πππ===，B 正确；对于C ，以点D 为原点，射线1,,DA DC DD 分别为,,x y z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系，则14(2,0,2),(2,2,0),(0,1,2),(0,2,)3A B M N ，112(0,1,),(0,2,2),(2,1,0)3NM A B A M =-=-=-，令平面1A MN 的法向量为(,,)n x y z =，则1122020n A B y z n A M x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得(1,2,2)n =，点N 到平面1A MN 的距离2||2339||n NM d n ⋅===，而115,22,3AM A B BM ==， 1A BM △中，由余弦定理得22211111cos 210A B A M BM BA M A B A M +-∠==⋅，1sin 10BA M ∠=111111sin 22532210A BMSA B A M BA M =⋅∠=⨯=，因此三棱锥1A BNM -的体积111239A BNM A BMV Sd -=⋅=，C 正确；对于D ，由选项C 知，(0,2,0),(2,0,0),(2,1,2)C BC BM =-=--，设平面1A BC 的法向量111(,,)m x y z =，则111122020n A B y z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令11y =，得(0,1,1)m =，设BM 与平面1A BC 所成的角为θ，则||12sin |cos ,|||||32m BM m BM m BM θ⋅=〈〉===⨯，234cos 1sin θθ=-=sin 17tan cos θθθ==D 不正确. 故选：BC【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.三、填空题13．已知数列{}n a 的通项公式为210n a n =-，n S 为{}n a 前n 项和，则n S 最小值时，n =______. 【答案】4或5【分析】求出0n a ≤时n 的范围即可得答案. 【详解】令2100n a n =-≤得5n ≤，即当4n ≤时，0n a <，当5n =时，0n a = 当6n ≥时，0n a > n S ∴最小值时，n =4或5故答案为：4或5.14．若多项式()()()91021001910111x x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则3a =______【答案】120-【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】210210210(11)(11)(1)2(1)1(11)x x x x x x x +=+-++-=+-++++-，二项式10(11)x +-的通项公式为：10110(1)(1)rrr r T C x -+=⋅+⋅-，因为()()()91021001910111x x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，所以令1037r r -=⇒=，因此77310(1)120a C =⋅-=-，故答案为：120-15．已知O 为坐标原点，过抛物线()2:20C y px p =>焦点F 的直线与C 交于A ，B 两点，其中A 在第一象限，点(),0M p ，若AF AM =，则直线AB 的斜率为______.【答案】【分析】由条件可得2M FA x x x +=，然后求出点A 的坐标，然后由AB AF k k =可得答案.【详解】因为AF AM =，(),0M p ，,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，所以324M F A x x x p +==，所以22322A A y px p ==，A y p =，所以02342AB AFp k k p p -===-故答案为：四、双空题16．定义在R 上的函数()f x 满足()()()21212022f x f x f ++-=，()()11f x f x +=-+，若1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2022f =______，200112k kf k =⎛⎫-= ⎪⎝⎭∑______.【答案】 0 -100【分析】根据()()()21212022f x f x f ++-=得到()()()22022f x f x f ++=，()()()422022f x f x f +++=，从而得到()()4f x f x +=，即()f x 的一个正周期为4，故()()20222f f =，用赋值法得到()00f =，求出()()202220f f ==，再求出()f x 关于1x =对称，关于3x =对称，结合1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求出3122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，571222f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合函数的正周期，求出200112k kf k =⎛⎫- ⎪⎝⎭∑的值. 【详解】由()()()21212022f x f x f ++-=可得：()()()112022f x f x f ++-=，即()()()22022f x f x f ++=，将x 替换为2x +得：()()()422022f x f x f +++=，两式相减得：()()4f x f x +=，即()f x 的一个正周期为4，因为202245052=⨯+，所以()()20222f f =，又()()()112022f x f x f ++-=中令1x =得：()()()202022f f f +=，所以()00f =，()()110f x f x -++=中令1x =得：()()020f f +=，故()20f =，故()()202220f f ==；由()()11f x f x +=-+知：()f x 关于1x =对称，因为()f x 的最小正周期为4，所以()()51f x x f -+=-+，故()()51f f x x +=-+，即()f x 关于3x =对称，因为1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以311222f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，537222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()2=-+f x f x 知：331122222f f f ⎛⎫⎛-⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3122f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则571222f f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为4，所以200111357399234200222222k kf k f ff f f =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑()()()1123456781971981992002=+--++--+++--⎡⎤⎣⎦()()()()1144445010022=⨯-+-++-=⨯-⨯=-⎡⎤⎣⎦.故答案为：0，-100【点睛】设函数()y f x =，x ∈R ，0a >，ab ．（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（3）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ；（4）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ；（5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 的周期为a b -；（6）若函数()f x 的图象关于直线x a =与x b =对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（7）若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（8）若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4b a -；（9）若函数()f x 是偶函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a ；（10）若函数()f x 是奇函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为4a ．五、解答题17．ABC 的内角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-. (1)求A ；(2)若ABC 为锐角三角形，且3a =，求ABC 面积的取值范围. 【答案】(1)π3A =(2)⎝⎦【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理得到1cos 2A =，结合()0,πA ∈，求出π3A =；（2）由正弦定理得到,b B c C ==，表达出π26ABCSB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用ABC 为锐角三角形，求出ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，从而得到π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，ABC S∈⎝⎦. 【详解】（1）()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-变形为222sin 2sin sin sin sin sin sin B B C C A B C -+=-，由正弦定理得：222b c a bc +-=，由余弦定理得：2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为()0,πA ∈，所以π3A =；（2）由正弦定理得：3πsin sin sin sin 3b c a B C A ====故,b B c C ==，故12πsin sin sin 23ABCSbc A B C B B ⎛⎫===- ⎪⎝⎭219sin sin cos 22B B B B B B ⎫=+=⎪⎪⎝⎭9πsin 22246B B B ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2π0,32πC B ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，解得：ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，则π26ABCSB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎝⎦. 18．已知数列{}n a 的首项127a =，且满足12(31n n na a n a +=∈+N*）．(1)求证：数列13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n a 为等比数列；(2)若1231111na a a a +++⋯+＜100，求满足条件的最大正整数n ．【答案】(1)证明见解析 (2)33n =【分析】（1）由已知递推公式得1111332+⎫⎛-=-⎪ ⎝⎭n n a a ，由此可得证；（2）由（1）得1132nn a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据等比数列的求和公式可求得1231111n a a a a +++⋯+，再令1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，得函数()f x 的单调性和(33)0,(34)0f f <>可得答案.【详解】（1）解：112311,312n n n n n na a a a a a +++=∴=+， 11113111,33222n n n n a a a a ++⎛⎫∴=+∴-=- ⎪⎝⎭，又112171,3722a a =∴=-=，∴数列13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭n a 是以12为首项，12为公比的等比数列．（2）解：由（1）可知，11111113,32222n n nn n a a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-==∴=+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2123111111113132222nnn n n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++=++++=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若1231111100na a a a ++++<，则1113100,39922n nn n ⎛⎫⎛⎫-+<∴-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1()3992xf x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以()f x 在R 上单调递增，且333411(33)99990,(34)10299022f f ⎛⎫⎛⎫=--<=--> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以满足条件的最大正整数33n =．19．2022年某省社科院发布了本年度“城市居民幸福指数排行榜”，某市成为了本年度城市居民最“幸福城”，随后，某机构组织人员进行社会调查，用“10分制”随机调查“明月”社区人们的幸福指数.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福指数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）.若幸福指数不低于9.0分，则称该人的幸福度为“超级幸福”.(1)指出这组数据的众数和中位数；(2)求从这16人中随机选取3人，至少有2人是“超级幸福”的概率；(3)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选4人，记ξ表示抽到“超级幸福”的人数，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】(1)众数：8.6；中位数：8.75 . (2)19140. (3)分布列见解析；1.【分析】（1）根据茎叶图即可求得众数和中位数；（2）根据互斥事件的概率加法公式以及古典概型的概率公式，即可求得答案; （3）确定ξ的可能取值，确定幸福度为“超级幸福”的概率为P ，由题意可知1(4,)4B ξ，根据二项分布的概率计算可求得ξ的每个值对应的概率，可得分布列，继而求得二项分布的数学期望. 【详解】（1）由茎叶图可知众数：8.6；中位数：8.78.88.752+=. （2）设i A 表示所取3人中有i 个人是“超级幸福”事件，至少有2人是“超级幸福”记为事件A ，则213412423331616C C C 7619()()()C C 560140P A P A P A =+=+== . （3）由题意可知,ξ的可能取值为0,1,2,3,4, 任选一人，该人的幸福度为“超级幸福”的概率为 41164P ==，故1(4,)4B ξ，则04113443811327(0)C (),(1)C ()()42564464P P ξξ======， 22241327(2)C ()()44128P ξ=== ,3314133(3)C ()()4464P ξ===， 44411(4)C ()4256P ξ===，所以ξ的分布列为；ξ0 1 2 3 4 P812562764271283641256因为1(4,)4B ξ,所以1()414E ξ=⨯= .20．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，CE DE =，//EF DB ，2DB EF =，平面CDE ⊥平面ABCD .(1)求证：平面BCF ⊥平面ABCD ； (2)若直线BE 与平面ABCD 310C 与平面AEF 的距离. 【答案】(1)证明见解析； 415【分析】（1）分别取,CD BC 中点O ，G ，证明//FG EO ，再结合面面垂直性质、线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答.（2）求出EO 长，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求出点C 与平面AEF 的距离作答. 【详解】（1）分别取,CD BC 中点O ，G ，连接,,EO OG GF ，如图，于是得1//,2OG BD OG BD =，而//EF DB ，2DB EF =，则//,EF OG EF OG =，即四边形OGFE 为平行四边形，//FG EO ，又CE DE =，有EO CD ⊥，因为平面CDE ⊥平面ABCD ，平面CDE ⋂平面ABCD CD =，EO ⊂平面CDE ，因此EO ⊥平面ABCD ，即有FG ⊥平面ABCD ，而FG ⊂平面BCF ，所以平面BCF ⊥平面ABCD .（2）连接OB ，菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，则BCD △为正三角形，有OB CD ⊥，由（1）知EO ⊥平面ABCD ，即有EBO ∠为直线BE 与平面ABCD 所成的角，即sin 10EBO ∠=， cos tan 310EBO EBO ∠=∠=，而2BD =，则3,33OB OE == 显然,,OB OC OE 两两垂直，以点O 为原点，射线,,OB OC OE 分别为,,x y z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，则(3,2,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,0,33)A B C D E --， 131(0,1,33),(3,2,33),(,,0)222CE AE EF DB =-=-==，设平面AEF 的法向量(,,)n x y z =，则3233031022n AE x y z n EF x y ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，得(1,3,1)n =-，所以点C 与平面AEF 的距离||43415||5CE n d n ⋅===.21．已知椭圆22:14x C y +=，过点10,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭直线1l ，2l 的斜率为1k ，2k ，1l 与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，2l 与椭圆交于()33,C x y ，()44,D x y 两点，且A ，B ，C ，D 任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线12y =-交直线AC ，BD 于P ，Q .(1)求证：1122341234k x x k x xx x x x =++； (2)PM QM的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2)PM QM为定值1【分析】（1）依题意可得直线111:2l y k x =-，直线221:2l y k x =-，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，即可求出11212k x x x x +、23434k x x x x +的值，即可得证；（2）设1,2P P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2Q Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，依题意可得A 、P 、C 三点共线，则11313112Py y y x x x x +-=--，即可求出P x ，同理可得Q x ，再结合（1）的结论得到0P Q x x +=，即可得到PM QM =，从而得证. 【详解】（1）证明：依题意直线111:2l y k x =-，直线221:2l y k x =-，由1221214y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得()221114430k x k x +--=，显然0∆>，所以11221414k x x k +=+，1221314x x k -+=+，所以1111212212134314414k k x x x x k k k -⋅++==-+，由2221214y k x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 整理得()222214430k x k x +--=，显然0∆>，所以23422414k x x k +=+，3422314x x k -+=+，所以2234342222243144143k k x x x x k k k -⋅++==-+，所以1122341234k x x k x x x x x x =++. （2）解：PM QM为定值1，设1,2P P x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,2Q Q x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由已知可得13y y ≠，24y y ≠，即1224k x k x ≠，1123k x k x ≠，因为A 、P 、C 三点共线，所以11313112P y y y x x x x +-=--，即112311131********Pk x k x k x x x x x ⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--，解得()21132311P k k x x x k x k x -=-，同理可得()21242412Q k k x x x k x k x -=-，由（1）知1122341234k x x k x xx x x x =++，可得()()1123423412k x x x x k x x x x +=+，整理得()()114242322311x x k x k x x x k x k x -=-，即112421331224x x x x k x k x k x k x =--，所以()()2124211324122311P Q k k x x k k x x x x k x k x k x k x --+=+=--，所以P Q x x =，所以P Q PM x x QM ===，即1PM QM=.22．已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-. (1)用a 表示出b ，c ；(2)若()ln 0f x x -≥在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围； (3)证明：()()()*111111ln 123212n n n n +++⋅⋅⋅++>++∈+N . 【答案】(1)1,12b a c a =-=-.(2)[1,)2+∞(3)证明见解析.【分析】（1）根据导数的结合意义，列出等式，即可求解；（2）由()ln 0f x x -≥在[)1,+∞上恒成立，设函数()()ln g x f x x =-，求得其导数，分类讨论，判断函数单调性，根据不等式恒成立，求得参数范围.（3）利用（2）的结论，可得当1x >时，11()ln 2x x x ->，令1,N k x k k*+=∈ ，则可推得111ln(1)ln (),1,2,3,,21k k k n k k +-<+=+，将这n 个不等式累加,即可证明结论.【详解】（1）由()()0b f x ax c a x=++>可得()2bf x a x -'=，则()10f a b c =++=，且()11f a b '=-=，则1,12b a c a =-=-. （2）由（1）知，()()112,0a f x ax a a x-=++->，令()1()ln 12ln ,[1,)a g x f x x ax a x x x-=-=++--∈+∞，则22221(1)()11(1)(1)0,()aa x x a ax x a a g g x a x x xx -------==--='=，当102a <<时，11a a ->，若11ax a-<<，则()0g x '<，()g x 是减函数，所以()(1)0g x g <= ，这与题意不符；当12a ≥时，11aa-≤ ，若1x ≥，则()0g x '≥，仅当1x =时等号成立，()g x 是增函数，所以()()10g x g ≥=，即()ln 0f x x -≥恒成立，仅当1x =时等号成立，综上所述，所求a 的取值范围为1[,)2+∞.（3）由（2）知，当 12a ≥时，有()ln ,(1)f x x x ≥≥ ，取12a =，有11()()ln ,(1)2f x x x x x =-≥≥，且当1x >时，11()ln 2x x x ->，令1,N k x k k *+=∈，则 111111()(1)(1)2121ln k k k k k k k k ++⎡⎤<-=+--⎢⎥++⎣⎦，即111ln(1)ln (),1,2,3,,21k k k n k k +-<+=+，即11ln 2ln1(1)22-<+，111ln 3ln 2()223-<+，，111ln(1)ln ()21n n n n +-<++，将上述n 个不等式依次相加得11111ln(1)()2232(1)n n n +<++++++ ，两边加12，整理得()()()*111111ln 1,23212n n n n +++⋅⋅⋅++>++∈+N 【点睛】关键点点睛：证明不等式()()()*111111ln 123212n n n n +++⋅⋅⋅++>++∈+N 时，要利用（2）中结论，即当 12a ≥时，有()ln ,(1)f x x x ≥≥ ，取12a =，有11()()ln ,(1)2f x x x x x=-≥≥，且当1x >时，11()ln 2x x x ->，因此解答的关键点就在于要采用赋值的方法，即令1,N k x k k*+=∈，得到111ln(1)ln (),1,2,3,,21k k k n k k +-<+=+，然后采用累加的方法，即可证明.。

辽宁省营口市2022-2023学年高三上学期期末考试化学试题含答案

2022—2023学年度上学期期末教学质量监测三年级化学试卷可能用到的相对原子质量：H 1C 12N 14O 16Mg 24Cl 35.5Fe 56Ba 137第I 卷一、选择题（本题包括15小题，每小题3分，共45分，每小题只有一个选项符合题意）1．营口市何家沟滑雪场2022年度被命名为“营口科学技术普及基地”，雪上项目是滑雪场重要项目之一。

制作滑雪板各部分所对应的材料中，属于天然有机高分子的是（）A ．板面—尼龙B ．板芯—木质C ．板底—聚乙烯塑料D ．复合层—玻璃纤维2．下列符号表征或说法正确的是（）A ．23H SO 电离：2233H SO 2H SO +-+ B ．Fe 位于元素周期表d 区C ．3NO -空间结构：三角锥形D ．羟基的电子式：3．设A N 为阿伏加德罗常数的值，下列说法正确的是（）A ．质量相同的2H O 和2D O （重水）所含的原子数相同B ．26g 22C H 分子中含有的σ键数目为4AN C ．标准状况下，5.6L 4CH 中所含C －H 键的数目为AN D ．室温下，1L 0.11mol L -⋅3CH COOH 溶液中3CH COO -的数目为0.1AN 4．茯苓新酸DM 是从中药茯苓中提取的一种化学物质，具有一定生理活性，其结构简式如图。

关于该化合物，下列说法错误的是（）A ．可使酸性4KMnO 溶液褪色B ．可发生取代反应和加成反应C ．1mol DM 与足量金属钠反应放出1mol 2H D ．分子中含有3种含氧官能团5．W 、X 、Y 、Z 、R 是五种短周期主族元素，原子序数依次增大。

W 元素的一种离子与+Li 具有相同的电子层排布且半径稍大，X 原子核外L 层的电子数与Y 原子核外M 层的电子数之比为3：2，X 与Z 同主族，Z 的价层电子排布式为243s 3p 。

下列说法错误的是（）A ．简单气态氢化物的热稳定性：Z>YB ．W 与Li 的原子半径：W<LiC ．X 和Y 的第一电离能：X>YD ．X 、Z 、R 的电负性：R<Z<X6．下列实验操作能达到实验目的的是（）A ．过滤B ．通过该装置可以，收集到纯净的氯C ．混合浓硫酸和乙醇D ．溶液的转移气7．将镀层有破损的镀锌铁片放入酸化的3%NaCl 溶液中。

辽宁省大连市2024届高三上学期期末双基测试数学检测卷(有答案)

辽宁省大连市2024届高三上学期期末双基测试数学检测卷注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效2.本试卷分和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合，则（）{}*11,2,3,4,5,2x A B x ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N A B ⋂=A.B.C.D.{}5{}2,4{}3,5{}1,3,52.设复数，则（）1i4i 1i z -=++z =A.0B.1C.2D.33.在中，若，则（）ABC 1,3AD mDB CD CA CBλ==+ λ=A. B. C. D.231313-23-4.在财务审计中，我们可以用“本•福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件不是等19~可能的.具体来说，随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字，则χ.则根据本•福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字()1lg,1,2,,9k P k k k χ+=== 是8的概率之比约为（）（保留至整数，参考数据：）.lg20.301,lg30.477==A.4B.6C.7D.85.已知曲线“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分非()()22:log 2024log 20241a b C x y +=y必要条件是（）A.B.0a b <<1a b<<C. D.32a b <<1b a<<6.已知函数，若存在实数满足()()[]2log ,0,2πsin ,2,104x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎩1234,,,x x x x ，且，则的值是（）()()()()1234f x f x f x f x ===1234x x x x <<<34124x x x x +⋅A.3B.6C.8D.127.设，则（）11155,2ln sin cos ,ln48844a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭A.B.a b c <<b a c<<C. D.c b a <<a c b <<8.已知函数满足下列条件：①对任意()sin πcos π(1,1,0)f x a x b x a b ωωω=+>>>恒成立；②在区间上是单调函数；③经过点()1,4xf x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R ()f x 34,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦的任意一条直线与函数图像都有交点，则的取值范围是（）()b ()y f x =ωA.B.(]280,13,9⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦()280,13,9⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C.D.][(0,13,5⎤⋃⎦()30,1,52⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二､多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.在中，角的对边分别是，若，ABC ,,A B C ,,a b c cos sin a B b A c +=，则（）222sin a ab c ab C =+-=A. B.tan 2C =π3A =C.D.的面积为b =ABC10.如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，1111ABCD A B C D -M N P ､､1111C D C C A A ､､则（）A.平面截正方体所得截面为等腰梯形1A MN B.三棱锥的体积为1D MNB -112C.异面直线与MN 1D P D.1A D BM⊥11.已知三个盒子，其中盒子内装有2个红球，1个黄球和1个白球；盒子内装,,A B C A B 有2个红球，1个白球；盒子内装有3个红球，2个黄球.若第一次先从盒子内随机抽取C A 1个球，若取出的球是红球放入盒子中；若取出的球是黄球放入盒子中；若取出的球是A B 白球放入盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）C A.在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽到红球的概率为12B.第二次抽到红球球的概率为13C.如果第二次抽到的是红球，则它来自号盒子的概率最大B D.如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种12.已知椭圆左焦点，左顶点，经过的直线交椭圆于两点（点22:143x y E +=F C F l ,A B 在第一象限），则下列说法正确的是（）A A.若，则的斜率2AF FB=l k =B.的最小值为4AF BF +274C.以为直径的圆与圆相切AF 224x y +=D.若直线的斜率为，则,AC BC 12,k k 1294k k ⋅=-第II 卷三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其分60%位数为__________.14.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中[]0,1间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间...分为三段，并各12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦自去掉中间的区间段，记为第二次操作...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次18212024数的最大值为__________.n （参考数据：）456722220.1975,0.1317,0.0878,0.05853333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈≈≈≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭15.已知，若点是抛物线上的任意一点，点是圆上任意()3,0A P 28y x =Q 22(2)1x y -+=一点，则最小值是__________.2||PA PQ16.如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，12,O O 切点圆分别为.这两个球都与平切，切点分别为，丹德林（G.Dandelin ）12,C C α12,F F 利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个α12,F F 球也称为G.Dandelin 双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为3012,C C 2，5，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达M 2C P P 的路线长与线段的长之和的最小值是__________.M 1PF 四､解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数，其中，__________.()()sin 2cos2f x x xϕ=++π2ϕ<请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①是的一个零点；②.π12-()f x ()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求的值；ϕ（2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()y f x =y m =m 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）如图，多面体，四边形是矩形，梯形平面ABCDNM DBMN ,ABCD AD ∥,BC DN ⊥，为中点，.π,2ABCD CBD ∠=E AB 2,1AD BD DN BC ====（1）证明：平面；AN ∥MDE （2）求平面和平面所成角余弦值.MNC MNA 19.（本小题满分12分）已知数列满足.设.{}n a ()*111,1,N 2,n n n a n a a n a n +-⎧==∈⎨⎩为奇数为偶数21nn b a -=（1）证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；{}2n b -{}n b （2）求数列的前项和.{}n a 2n 20.（本小题满分12分）某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁育，今年为了估计山里成年鸡的数量，从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放养到大N 山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡，表示捕获的有标识的成年鸡的数目.X （1）若，求的数学期望；10000N =X （2）已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求的估计值（以使得最N ()20P X =大的的值作为的估计值）.N N 21.（本小题满分12分）已知抛物线经过点，经过点的直线与抛物线交两2:2(0)G x py p =>()2,1()0,2l G ,A B 点，过两点作抛物线的切线相交于点为线段（两点除外）上一动点，,A B G ,P Q AB ,A B 直线与抛物线交两点.PQ G ,C D （1）若的的面积为，求直线方程；PABl （2）求证.PCPD CQDQ=22.（本小题满分12分）已知函数（为自然对数的底数）.()ln 1x a x f x e a x +=--e （1）若，求实数的值；()0f x ≥a （2）证明：；()21sin 2ln x x xe x x->+-（3）对恒成立，求取值范围.2π,,2cos 2x x xe ax x x x ∞⎛⎫∈-+≥+- ⎪⎝⎭a 答案与评分标准数学说明：一､本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二､对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三､解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四､只给整数分数，选择题和填空题不给中间分第I 卷一､单项选择题1.C2.D3.A2.D3.A4.B5.C6.A7.B8.A.7.解：，构造函数由211111ln sin cos ln 1sin ,1ln 188444b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得，构造函数()sin ,ln 1x x x x <+<11111sin ,ln 1sin sin ,;44444a b ⎛⎫>+<<> ⎪⎝⎭()()()2211ln 1,11(1)(1)x xf x x f x x x x x =+-='-=++++在上单调递增，即，故()f x []0,1c a >c a b>>另法：1111ln ,1ln 1444x x x c ⎛⎫⎛⎫-<=++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.方法一：由函数可知函数周期是，()sin πcos π(0)f x a x b x ωωω=+>2π2πωω=因为①对任意恒成，所以函数的一条对称轴是，()1,4x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R 14x =又因为在区间是单调函数，所以，()f x 34,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦()11347114147m m ωω⎧+⨯≤⎪⎪⎨⎪++⨯≥⎪⎩所以，所以为0或1.12,m m -<≤∈Z m 当时，；当时，0m =2809ω<≤1m =285659ω≤≤由已知得，因为经过点的任意一条直线与函数图像max ()f x =()b ()y f x =，所以.b a≥因为①对任意恒成，所以.()1,4x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R 1πππcos sin 0444f a b ωωω'⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，ππtan,1tan 144a b ωω=-≤≤由或，得或，所以或2809ω<≤285659ω≤≤ππ044ω<≤3ππ7π449ω≤≤01ω<≤2839ω≤≤方法二：()()ππ,tan ,0,,2b f x x a ωϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由①可知：，即（*）1πππ42m ωϕ⨯+=+()πππ,42m m Z ωϕ=-++∈由②可知：，()34ππ,π77x ωϕωϕωϕ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦因为函数在上是单调函数，所以34,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦()34πππ,ππ,π,7722k k k Z ωϕωϕ⎡⎤⎡⎤++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦将（*）带入化简可得：3724721127k k T πωπϕππωπϕπ⎧+≥-+⎪⎪⎪+≤+⎨⎪⎪≥⎪⎩2828()5528(),()907k m k m k m Z ωωω⎧≥-+-⎪⎪⎪≤--∈⎨⎪<≤⎪⎪⎩所以，下同方法一.2828560,,959ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二､多项选择题9.AC10.ACD11.AD12.BCD10.解：对于，在正方体中，连接，因为分别为中点，所以A 11,CD AB ,M N 111,CD C C ，在正方体中，，所以，又因为MN ∥1D C 1A B ∥1D C MN ∥1A B 1MA NB ==所以平面截正方体所得截面为等腰梯形，A 正确；1A MN 对于B ，错误；1111111111,3322224D MNB B D MN D MN V V BC S B--==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 对于C ，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，MN∥1D C MN 1DP 1D C 1D P 设所成角为，则，C 正θ222222111132||cos 2D P D C CP D P D C θ⎛⎫+-+-===⋅确；对于，在正方体中易知平面平面，所以正D 1A D ⊥11,ABC D BM ⊂11ABC D 1,D A D BM ⊥确.11.解：记第一次抽到第红､黄､白球的事件分别为，则有123,,A A A ，对于，在第一次抽到黄球的条件下，则黄球放入盒()()()12311,24P A P A P A ===A B 子内，因此第二次抽到红球的概率为正确；21,A42P ==于B ，记第二次在第盒内抽到白球的事件分别为，而两两互,,A B C ()1,2,3i B i =123,,A A A 斥，和为，记第二次在第号盒内抽到红球的事件分别为，而Ω,,A B C ()1,2,3i C i =两两互斥，和为，错；记第123,,A A A Ω()()()112233111,,,222P C A P C A P C A B ===∣∣∣二次抽到红球的事件为，C ()()()33111111111()2242422i i i i i i i P C P AC P A P C A ==⎡⎤==⋅=⨯+⨯+⨯=⎣⎦∑∑∣若取出的球是红球放入盒子中；若取出的球是黄球放入盒子中；若取出的球是白球放入A B 盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，C ()()()()()()()()111222121111112242,112422P A P C A P A P C A P A C P A C P C P C ⨯⨯⋅⋅======∣∣∣∣，，()()()()333311142142P A P C A P A C P C ⨯⋅===∣∣即第二次抽到的是红球，则它来自盒子的概率最大，不正确；A C 把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，22353522C C C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，33A 由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D 正确.2233535322150C C C A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭易知：，对于，若，显然直线的斜率存在且大于0，设()()121,0,1,0F F -A 112AF F B =1l 直线，联立椭圆方程，化简整理得()()()111221(0),,,,l y k x k A x y B x y =+>()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，显然，又()22224384120k x k x k +++-=221212228412Δ0,,4343k k x x x x k k -->+==++，故，整理得，由()()1111221,,1,AF x y F B x y =---=+()12121x x --=+1223x x +=-解得，又，故错误；21221221228432341243k x x k x x k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎪+=-⎨⎪-⎪=⎪+⎩254k =0k >k A =对于，易知直线的斜率不为0，设直线，联立椭圆方B 1l()()11122:1,,,,l x my A x y B x y =-程，化简整理得，显然221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my +--=，由点在轴的上方，显然，又12122269Δ0,,3434m y y y y m m ->+==++A x 120,0y y ><，1112,AF yBF y ====()()2221121211143439134m m AF BF m m +++=====++，故()11111111114311332744554444BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎛⎫⎛⎫ +=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当，即时取等，正确；11114BF AF AF BF =112AF BF =B 对于，设的中点为，则，又C ()111,,A x y AF P 111,22x y P -⎛⎫⎪⎝⎭，由椭圆定义知：，即，22AF OP ==21222AF AF +=122AF OP =-又的圆心为，半径为2，故以为直径的圆与圆内切，224x y +=()0,0O 1AF 224x y +=正确；C 方法二：12.解：易知：，对于，若，显然直线的斜率存在且大于()()121,0,1,0F F -A 112AF F B=1l0，设直线，联立椭圆方程，化简整理得()()111221,,,,l x my A x y B x y =-221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，显然()2234690mx my +--=12122269Δ0,,,3434m y y y y m m ->+==++又，故，()()1111221,,1,AF x y F B x y =---=+122y y =-由，解得，又，故，A 错误；122122126349342m y y m y y m y y ⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩245m =0k>k =对于，由点在轴的上方，显然，又B A x 120,0y y ><，1112,AF y BF y ==()()2221121211143439134m m AF BF m m +++=====++，故()11111111114311332744554444BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎛⎫⎛⎫ +=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当，即时取等，正确；11114BF AF AF BF =112AF BF =B 对于D ，，2121212122222698124,,,34343434m m y y y y x x x x m m m m ---++==+==++++()()()212122*********934,D124822244243434AC BCy y y y m k k m x x x x x x m m -+⋅====--+-++++++⋅+++正确第II 卷三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.1414.5解：记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为，n a n 113a ∴=222,3a =第次操作，去掉的线段长度为，n 123n n na -=，则，12133212313nnn S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴==- ⎪⎝⎭-21821220310.10033202432024n n<>⎛⎫⎛⎫-⇒≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由的最大值为5.56220.1317,0.0878,33n⎛⎫⎛⎫≈≈∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.4-解：由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.28y x =()2,0F 2x =-又点是抛物线上一点，点是圆上任意一点，P Q 22(2)1x y -+=max ||1,PQ PF ∴=+∴.令，点的坐标为，则，22||||1PA PA PQ PF ≥+1t PF =+P (),P P x y ()233P X PF t t =-=-≥，()()()222222||338(33)83412P P P P PA x y x x t t t t ∴=-+=-+=--+-=-+，当且仅当，即22||412124441PA t t t PF t t -+∴==+-≥-=+12t t =时t =等号成立.的最小值为.2||PA PQ∴4-16.6解：在椭圆上任取一点，连接交球于点，交球于点，P VP 1O Q 2O R连接，在与中有：111112,,,,O Q O F PO PF O R 11ΔO PF 1ΔO PQ ，（为圆的半径，为圆的半径，），111O Q O F =1r 1C 2r 2C ，11190O QP O F P ∠∠== 为公共边，所以，所以，1O P 111ΔΔO PF O PQ ≅1PF PQ =设点沿圆锥表面到达的路线长为，P M PM d 则，1PM PM PF d PQ d PQ PR QR+=+≥+=当且仅当为直线与椭圆交点时取等号，P VM ，所以最小值为6，125261sin302r r QR --===四､解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）解：选条件①（1）由题设.πππsin cos 01266f ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.πsin 6ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为，所以.ππ22ϕ-<<2πππ363ϕ-<-<所以.ππ63ϕ-=-所以.π6ϕ=-（2）由（1）()π1sin 2cos2cos262f x x x x x⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.πsin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令ππ5π2t 666t x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭……所以在单调递增，在单调递减，y sint =ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦于是，当且仅当，即时，取得最大值1；ππ262x +=π6x =()f x 当且仅当，即时，取得最小值.ππ266x +=-π6x =-()f x 12-又，即时，.π5π266x +=π3x =π5π1sin 362f ⎛⎫==⎪⎝⎭所以的取值范围是.m {}11,122⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭选条件②.（1）由题设.2π2πsin cos0sin cos33ϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭整理得.πsin 6ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭以下同选条件（1）.18.（本小题满分12分）证明：（1）连接线段交与于点，连接，BN DM O OE 四边形是矩形，点是线段中点， DBMN ∴O BN 点是中点，， E AB OE ∴∥AN 平面平面，OE ⊂ ,MDE AN ⊄MDE平面.AN ∴∥MDE （2），AD ∥π,,2BC CBD DA DB ∠=∴⊥平面平面，DN ⊥ ,,ABCD DA DB ⊂,,ABCD DN DA DN DB ∴⊥⊥三条直线两两互相垂直，,,DN DA DB ∴以为原点，以为轴正方向建立空间直角坐标系，D ,,DA DB DN,,x y z ()()()()0,2,2,0,0,2,2,0,0,1,2,0M N A C -设平面的法向量为，MNA ()()(),,z ,0,2,0,2,0,2m x y NM NA ===-，令，则0220,200m NA x z y m NM ⎧⋅=-=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ 1x =()1,0,1m = 设平面的法向量为，MNC ()()(),,,0,2,0,1,0,2n a b c NM MC ===--，令，则，020,200n MC a c b n NM ⎧⋅=--=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ 2a =()2,0,1n =- 设平面与平面所成角为，则MNC MNA θ||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>===平面与平面.∴MNC MNA 19.（本小题满分12分）解：（1）由题意可知：，111b a ==，()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===-=-=-故，()11222,210,20n n n b b b b +-=--=-≠∴-≠ 得，1222n n b b +-=-故是以为首项，以为公比的等比数列，{}2n b -121b -=-2q =且，故1*22,n n b n --=-∈N 1*22,N n nb n -=-+∈（2）由（1）知，，即，1*22,N n n b n -=-+∈1*2122,N n n a n --=-+∈由题意知：，故，()*11,212,2n n n a n k a k N a n k +-=-⎧=∈⎨=⎩*2211,n n a a n N -=-∈故数列的前项和{}n a 2n ()()2135212462n n n S a a a a a a a a -=+++++++++ ()135212n a a a a n-=++++- ()0121222222n n n-⎡⎤=-+++++-⎣⎦ 1122322312n n n n+-=-⨯+=-++-20.（本小题满分12分）解：（1）以服从超几何分布，且，X 10000,400N M ==故.()40010004010000E X =⨯=（2）当时，；1380N <()200P X ==当时，1380N ≥()20980400400100020N NC C P X C -⋅==令，则()2010004004001000N N C C f N C -⋅=()()()()()()20980400140010001209804004001000111000140011400980N N N NC C f N N N C C C f N N N C +-+-⋅++-+-==⋅++--22139899939913781379N N N N -+⨯=--，22139899939913781379,19999N N N N N -+⨯≥--∴≤当时，；当时，138019999N ≤≤()()1f N f N ≤+20000N ≥，()()1f N f N >+所以当或20000时，最大，所以的值为19999或20000.19999N =()f N N 21.（本小题满分12分）解：（1）已知抛物线经过点，所以抛物线2:2(0)G x py p =>()2,12:4G x y =设，由题意可知直线斜率存在，设直线方程为，()()1122,,,A x y B x y AB AB 2y kx =+联立方程组，可得，242x y y kx ⎧=⎨=+⎩2480x kx --=所以，21212Δ16320,4,8k x x k x x =+>+==-所以弦长2AB x =-=，所以切线方程：，即①12y x '=AP ()11112y y x x x -=-2111124y x x x =-同理可得切线方程：②BP 2221124y x x x =-联立①和②方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：，所以，122,22x x x k y +===-()2,2P k -又因为点到直线距离P AB d 所以，()3221422ABPS AB d k =⨯=+=ò可得，即，所以直线方程为21k =1k =±AB 2y x =±+（2）方法一：设，设，()()()003344,,,,,Q x y C x y D x y (),,1,1PC CQ PD DQ λμλμ==≠-≠-所以，所以，()()3303032,2,x k y x x y y λ-+=--03032121k x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩代入抛物线方程得：，()()()2002412k x y λλλ+=+-+化简得()()22200004448480,xy kx y k λλ-+-+++=同理，()()22200004448480x y kx y k μμ-+-+++=即是方程的两根，,λμ()()22200004448480xy x kx y x k -+-+++=因为点在直线上，即，()00,Q x y AB 004480kx y -+=所以方程化为，可得，()222004480xy x k -++=0λμ+=即成立.PCPD CQDQ=方法二：设，()()()3344,,,,,Q Q Q x y C x y D x y 由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，PQ PQ ()()22,y m x k m k +=-≠联立方程组，可得，()2422,x y y m x k ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩24880x mx km -++=，()23434Δ164880,4,88m km x x m x x km =-+>+==+因为，3,QPC x DQ x =-=-4,,Q PD x CQ x =-=-因为所以()()()()344320,20Q Q k x x x k x xx -->-->||||||||QPC DQ PD CQ x -=----()()()23434341422Q m k x x x k x x x x ⎡⎤=+---++⎣⎦③()()()()221448164124Q Q m k m x km m k m x km ⎡⎤⎡⎤=+-++=+-++⎣⎦⎣⎦由两条直线联立：，可得，()222y m x k y kx ⎧+=-⎨=+⎩24Q km x k m +=-+代入③可知()()22441240km PC DQ PD CQ m k m km k m +⎡⎤-=+-++=⎢⎥-+⎣⎦即成立.PCPD CQDQ=22.（本小题满分12分）解（1）方法一：，()()()ln 0,ln 10,ln 10x x x f x xe a x x e a x x +≥∴-+-≥∴-+-≥ 令，对任意恒成立，令，ln ,.10tt x x t R e at =+∈∴--…t ∈R ()1t h t e at =--当时，，与恒成立矛盾，不合题意；0a <101220a h e e a ⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭()0h t …当时，，与恒成立矛盾，不合题意；0a =()()111,1110t h t e h e e -=--=-=-<()0h t …当时，在上递减，在上递增，0a >()(),t h t e a h t =-'(),ln a ∞-()ln ,a ∞+的最小值为.()h t ∴()ln ln 1h a a a a =--令，则，知在上递增，在上递减，()ln 1a a a a ϕ=--()ln a a ϕ'=-()a ϕ()0,1()1,∞+，要使，当且仅当.()max ()10a ϕϕ∴==()ln 10a a a a ϕ=--…1a =综上，实数的值为1.a 方法二：，()()()ln 0,ln 10,ln 10x x x f x xe a x x e a x x +≥∴-+-≥∴-+-≥ 令，对任意恒成立，ln ,.10tt x x t e at =+∈∴--R …t ∈R 当时，，因为，所以；0t >1t e a t -≤1111t e t t t -+->=1a ≤当时，，因为，所以；0t <1t e a t -≥1111t e t t t -+-<=1a ≥当时，不等式恒成立；0t =综上，实数的值为1.a 方法三：将等价为，当时，()0f x ≥()ln 10x g x xe ax a x =---≥0a <，与恒成立矛盾，不合题意，当时，也不合题意101220a h e e a ⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭()0h t …0a =当时0a >，()()()()()()1111x xxx xe a x x e a x a g x x e a x x x '+-+-+=+--==令，所以在单调递增，()()(),10x x h x xe a h x x e ==+'->()h x ()0,∞+因为，()()()00,10a a h a h a ae a a e =-<=-=->所以，使得，即，即，()00,x ∞∃∈+()00h x =00x X e a =00ln ln x x a +=当，即，所以单调递减；()()000,,0x x h x '∈<()0g x '<()g x 当，即，所以单调递增，()()00,,0x x h x ∞'∈+>()0g x '>()g x 所以()()0min 000000()ln 1ln 1ln 1x g x g x x e ax a x a a x x a a a ==---=-+-=--令，()()ln 1,ln a a a a aϕϕ'=--=-当单调递增；当单调递减，()()()0,1,0,a a a ϕϕ>'∈()()()1,,0,a a a ∞ϕϕ∈+<'可知.()()10a ϕϕ≤=所以当且仅当时成立.1a =()ln 10x g x xe ax a x =---≥即时，.()0f x ≥1a =（2）方法一：证明：由（1）知，当时，，即，1a =ln 10x xe x x ---…ln 1xxe x x ++…，22ln x x e x x x x ∴++…证明：等价于证明下面证明()21sin 2ln xx xe x x->+-，()()2ln 2ln 21sin x x x x x x x ++>+--即证.222sin 0x x x -+->令.()()222sin ,212cos g x x x x g x x x-+=-'=--当时，显然单调递增，，01x <…()g x '()()π112cos112cos03g x g '=-'<-=…在上单调递减，，()g x ∴(]0,1()()122sin10g x g =->…当时，显然，即.1x >222sin 0x x x -+-…()0g x >故对一切，都有，即.()0,x ∞∈+()0g x >()()2ln 2ln 21sin x x x x x x x ++>+--故原不等式成立.()()22ln 21sin x x e x x x >+--方法二：证明：由（1）知，当时，，即，1a =ln 10x xe x x ---…ln 1xxe x x ++…22ln x x e x x x x∴++…证明：等价于证明下面证明()21sin 2ln xx xe x x->+-，()()2ln 2ln 21sin x x x x x x x ++>+--即证.222sin 0x x x -+->因为，所以.2221(1)0x x x x -+--=-≥221x x x -+≥+因为，显然.sin ,1sin x x x >≥222sin 0x x x -+-…故原不等式成立.()()22ln 21sin x x e x x x >+--（3）方法一：令，()()2cos ,sin x x g x e ax x g x e a x=--+=--'①若，当时，，1a >0x ≥()cos x g x e x =-''在单调递增，()()0,g x g x >'∴'' [)0,∞+，()()()100,1sin 1110a g g a e a a a a +=+=--+>+-'-'= 故存在唯一，使得，则当为减函数，()00,x ∞∈+()00g x '=()()00,,x x g x ∈，此时，与题意不符（舍）.()()()00,00g g x g =∴<'= ()0xg x ∴<②若1a ≤（i ）当，则由①可知，在单调递增，0x ≥()()cos 0,x g x e x g x =-≥'''[)0,∞+在单调递增，所以()()()010,g x g a g x ∴-≥'>'>[)0,∞+()()00g x g ≥=所以成立.22cos x xe ax x x x ≥+-（ii ）当在单调递增，()()()π,0,cos ,sin ,2x x x g x e x g x e x g x ⎛⎫∈-=-=+ '⎪⎝⎭'''''''π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故存在唯一，使得，()π2π01,102g g e -⎭''''⎛⎫=-=-< '⎪'⎝ 0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00g x '''=当时，在上单调递减，0π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()0,g x g x <'''''0π,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，在上单调递增，()0,0x x ∈()()"'0,g x g x >''()0,0x ，故存在唯一，使得，()π2π00,02g g e -⎛'⎫=-='''> ⎪⎝⎭10π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10g x ''=当时，在上单调递增，1π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()0,g x g x >'''1π,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，在上单调递减，()1,0x x ∈()()0,g x g x <'''()1,0x 在恒成立，()()π2π010,10,02g a g e a g x -⎛⎫=->-=-+>∴> ⎪⎝⎭''' π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭在单调递增恒成立，()g x ∴π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()00,0g x g xg x ∴<=∴>时，恒成立，1a ∴≤()0xg x >综上所述，1a ≤方法二：因为，所以.22cos xxe ax x x x ≥+-()2cos 0x x e ax x --+≥当时，恒成立，所以恒成立，0x ≥2cos 0x e ax x --+≥2cos xe x ax -+≥令在上()()()2cos ,sin 11sin 10,x x x e x x x e x x x x ϕϕϕ=-+-=--≥+--≥'[)0,x ∞∈+单调递增，，所以，所以.()()00x ϕϕ≥=2cos xe x x ax -+≥≥1a ≤当时，恒成立，所以恒成立，π02x -<≤2cos 0x e ax x --+≤2cos x e x ax -+≤令，()()2cos ,sin 1x x x e x x x e x ϕϕ=-+-'-=-当时，，令，使得，0x <()cos xx e x ϕ=-''0πcos 0,,02x e x x ⎛⎤-=∃∈- ⎥⎝⎦00cos x e x =当时，在上单调递增，0π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()0,x x ϕϕ>'∴''π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，在上单调递减，()0,0x x ∈()()0,x x ϕϕ<'∴''()0,0x ，()ππ22ππ00,sin 1022e e ϕϕ--⎛⎫⎛⎫=-=---=> ⎪ ⎪⎝'⎝⎭'⎭ 恒成立，()π,0,02x x ϕ⎛⎤∴ ''∀∈->⎥⎝⎦在上单调递增减，在上单调递增，()x ϕ'π,02x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦()()()00,x x ϕϕϕ'≥='π,02x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦所以，所以，所以.综上所述.()()00x ϕϕ≤=2cos xe x x ax -+≤≤1a ≤1a ≤方法三：()2cos 0x x e ax x --+≥①当时，恒成立，即在恒成立，令0x >2cos 0x e ax x --+≥2cos x e xa x -+≤()0,∞+，()()()21sin 2cos 2cos (0),x x x e x x x e xh x x h x x x --+--+=='>令在上单调()()()()()1sin 2cos ,cos 0,x x g x x e x x x g x x e x g x =--+>'-=-∴()0,∞+递增，在上单调递增，()()()()00,0,g x g h x h x ∴>'>=∴∴()0,∞+，由洛必达法则()()0h x h ∴>()01,1h a =∴≤②当时，恒成立，即在恒成立，π02x -<<2cos 0xe ax x --+≤2cos x e x a x -+≤π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭同方法一①，，()()cos 0,cos x x g x x e x e x=-=∴='存在唯一，使得，0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00g x '=当时，在上单调递减，0π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()cos 0,x g x x e x g x =-<'0π,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，在上单调递增，()0,0x x ∈()()()cos 0,x g x x e x g x =->'()0,0x ，()π2πππ00,10222g g e -⎛⎫⎛⎫=-=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 在恒成立，在单调递减，()0g x ∴<π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()()0,h x h x <∴'∴π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()0h x h ∴>用洛必达法则.()01,1h a =∴≤③当时，恒成立，0x =()2cos 0x x e ax x --+≥综上所述，1a ≤（用洛必达法则扣1分）。

苏教版小学三年级数学上册期末考试试题总复习共10套

苏教版三年级上学期数学期末试卷1一、填空。

1．三位数乘一位数，积肯能是（）位数，也可能是（）位数。

2．要使□5÷7的商是两位数，□里最小填（）；要使8□÷4有余数，□里最大填（）。

（□里填一位数）3．在○里填上“＞”“＜”或“＝”。

3800克○38千克 64＋36○36＋64 5460○5530150×3×0○3×1 40÷2○80÷4 42×2○84÷26 7○4714○1566○14．在括号里填上适当的质量单位。

一个梨约重130（）；一个足球约重400（）；一辆大卡车能载货物4000（）；1个鸭蛋约重90（）。

5．一个三位数除以一位数，商最大是（）位数，最小是（）位数。

6．一个正方形的边长是5厘米，它的周长是（）厘米。

7．用分数表示下面每个图中的涂色部分。

8．（）除以6，商是14，余数是5。

9．风车的运动是（）现象，打开车窗是（）现象。

二、判断。

1．一位数乘整十数或整百数，乘数的末尾有几个0，积的末尾就有几个0。

（）2．把两个边长是5厘米的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是30厘米。

（）3．两个周长相等的长方形，它们的形状一定完全相同。

（）4．两杯同样多的水，小华喝掉了它的13，小美喝掉了它的14，小美杯里的水剩的多。

（）5．把一个西瓜分成8份，吃了3份，还剩58。

（）6．5千克的海绵比5000克的石头轻得多。

（）7．被除数中间有0，商的中间一定也有0。

（）三、选择。

1．下列除法算式中，计算正确的是（）。

A．75÷4＝19 (1)B．69÷5＝14 (9)C．86÷3＝28 (2)2．下列图案中，（）是通过平移得到的。

3．用一张彩纸的35剪窗花，剩下的折纸飞机。

下图中（）的阴影部分表示折纸飞机的彩纸。

四、计算。

1．口算。

400×2＝ 84÷4＝ 240÷6＝5×80＝13＋23＝89－19＝2．用竖式计算，带★的要验算。

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辽宁省2020年三年级上学期数学期末考试试卷（I）卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的！
一、我是数学小法官。

（共10分） (共5题；共10分)
1. （2分） 476-（176+67）=476-176+67=367。

（）
2. （2分）判断对错
24÷(6+2)
=24÷6+2
3. （2分） (2019三下·桂阳期中) 从99里面连续减去10个9，正好减完. （）
4. （2分）判断对错
围成一个图形的所有的边叫做这个图形的周长．
5. （2分） (2019三上·灵宝期中) 新华书店8：00营业，张明早上7：35到书店买书，他还要等15分钟。

（）
二、认真思考我会填。

（共21分） (共11题；共21分)
6. （2分） (2019三上·潍坊期中) 要使2□×4的积是三位数，□里最小可以填________；要使3□×3的积是两位数，□里最大可以填________。

7. （3分）算一算．
34÷2=________45÷9=________
11×6=________25÷5=________
63÷9=________15×4=________
8. （1分） 30是________个十，3个十乘4得________个十，就是________。

9. （2分） (2018三下·云南期末) 3月份有________天，和它天数相同的月份还有________。

10. （3分） (2019三下·东台期末) 如图表示该路段从上午________到晚上________禁止机动车通行．
11. （4分） (2019五上·兴化期中) 在括号里填上合适的小数。

8厘米=________米5角6分=________元
25平方分米=________平方米70千克=________吨
12. （1分）用两个长12cm，宽6cm的长方形，拼成一个正方形，拼成的正方形边长是________，周长是________．
13. （1分）求下面长方形的周长．________
14. （1分） (2020三上·汉中期末) 一块长方形草地，长15米，宽8米，它的周长是________米。

15. （1分） (2019一下·盐城期末) 算式25-7=□，被减数是________，差是________。

16. （2分） (2019三上·京山期中) 小华每天放学的时间是4：50，在路上用了15分，他回到家的时间是________。

三、连一连，画一画。

（共16分） (共2题；共16分)
17. （8分）谁看到的？请用线练一练。

18. （8分）一根铁丝正好围成一个长45厘米，宽15厘米的长方形，如果围成一个正方形，边长是多少厘米？
四、我是计算小能手。

（共26分） (共3题；共26分)
19. （8分） 482＋7=________ 489－7=________
20. （9分）一支牙膏 2元2角，一把牙刷1元，买一把牙刷和一支牙膏需要多少钱？
21. （9分） (2019三上·惠州期中) 脱式计算。

（1）（98-21）÷7
（2） 72-15×3
（3） 126-69÷3
五、看图列式计算.（共6分） (共2题；共6分)
22. （3分）看图列式计算
________×________+________=________
或________×________－________=________
23. （3分）分香蕉。

六、解决问题。

（共21分） (共4题；共21分)
24. （4分）吸烟严重危害人们的健康。

目前，中国有3亿多吸烟者，每半年约有60万人死于因吸烟引起的相关疾病。

照这样计算，2年约有多少万人死于因吸烟引起的相关疾病?
25. （4分） (2019三上·潍坊期中) 三年级有男生65名，女生23名，如果男生和女生混合分成8组进行比赛，平均每组有多少名？
26. （5分）小明和小丽比赛骑自行车，小明小时骑了9千米，小丽小时骑了8千米，谁骑得快一些？
27. （8分） 4位老师带50名同学去动物园，怎样买票合算?
票价
成人10元/人
学生5元/人
团队（20人以上）6元/人
参考答案一、我是数学小法官。

（共10分） (共5题；共10分) 1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
二、认真思考我会填。

（共21分） (共11题；共21分) 6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、连一连，画一画。

（共16分） (共2题；共16分)
17-1、
18-1、
四、我是计算小能手。

（共26分） (共3题；共26分) 19-1、
20-1、
21-1、
21-2、
21-3、
五、看图列式计算.（共6分） (共2题；共6分)
22-1、
23-1、
六、解决问题。

（共21分） (共4题；共21分) 24-1、
25-1、
26-1、
27-1、。