第十三届数学建模竞赛

模型分析建立：
他能游回岸 的情况如下
模型求解
即： 2 (0 2 (

2
)


)
2
p( r ) 1 2 2 25% 2 4
解法2：
能回到岸的条件： 500sin 500sin 0 即：sin sin 即：sin sin - (0 ， 0 2 )
本次课题结束，谢谢
2 6
a1 a2 an n 均值不等式： a1 a2 an n
模型求解
2 2 3a 当r 2a 2r 时等号成立， r a, 此时Vmax 3 27
2 2 2
3
r 2 因为2 2 , 得a (1 ) 2 66 a 3
分析问题
v（km/h） l（m)
d（m)
车流量演示
建立模型
v 2l l d 1600 2
解得： 20 2
l , v 20 2 2 即：d 2 v l , v 20 2 1600
v 2000 3l , v 20 2 车速(米 / 小时) 1000 v 车流量：Q 1000 , v 20 2 每辆车占用隧道的长度 (米 / 辆) d l 2 v 1 l 1600
五、寻找河岸
• 一个人在雾天从岸边任选了一个方向沿直线向水里游去， 当游了500米后，他停住了并向四周张望，但都看不到陆 地。随后他随便定了一个方向沿直线往下游去。假定岸边 是呈直线型的，并且没有受到潮汐运动的影响。问这个游 泳者在再游500米之前能够到达岸边的概率。(提示：决定 游泳者最后位臵的变量为下图所示两个方位角：初始方位 角θ和再选方位 角 )
解法一：列举法（略） 解法二：逆推法。记 f(X)为 X 点到终点的最短距离，则有 f(F) = 0; f(E1) = min{9 + f(F)} = 9, f(E2) = min{8 + f(F)} = 8, f(E3) = min{7 + f(F)} =7; f(D1) = min{2 + f(E1), 4 + f(E2)} = 11, f(D2) = min{2 + f(E2), 5 + f(E3)} = 10; f(C1) = min{7 + f(D1), 8 + f(D2)} = 18, f(C2) = min{5 + f(D1), 4 + f(D2)} = 14; f(C3) = min{6 + f(D1), 5 + f(D2)} = 15; f(B1) = min{3 + f(C1), 3 + f(C2)} = 17; f(B2) = min{4 + f(C2), 6 + f(C3)} = 18; f(A) = min{4 + f(B1), 5 + f(B2)} = 21; 即从A港口装货后驶入F 港口的最短距离为2100海里. 最后再从上述计算过程中倒推出最优线路为：A- B1- C2- D2- E2-F.
二、隧道车速
• 某地的一条过江隧道经常发生交通拥挤， 交通事故隐患极高。为确保安全，当地交 通部门规定，隧道内行驶的前后两辆汽车 间的车距正比于车速的平方与车身长之积， 比例系数为1/1600，且最小车距不少于半 个车身长。假设通过隧道的汽车车身长度 一致，试问应规定车速多少，可使隧道的 车流量达到最大？
dY (t ) Y (t ) k 1 Y (t ) Ym dt Y (0) Y 0
解得：Y (t ) Ym Ym kt 1 Y 1 e 0 , t 0.
四、糖果选购
• 市场上有甲、乙两种品牌的糖果，单价分 别为4元/千克，2元/千克。某人需要购买一 批糖果，要求花在糖果上的钱不超过20元， 总的糖果量不少于5千克，而乙牌糖果至少 要和甲牌一样多但又不能多于甲牌糖果量 的三倍。试问应该如何购买最好？

2
)

2
)
2
p( r ) 1 2 2 25% 2 4
六、港口选择
• 有一艘远洋货轮计划在A港口装货后驶入F港口，中途需 要停靠港口添加燃油、淡水等补给。已知该货轮中途可停 靠港口及其距离如下图所示（单位：百海里, 1海里=1852 米），请你给出该货轮最合理的停靠方案，以使总航程最 短。
模型求解
sin sin - 即sin sin (2 - )
2 2 (0 )
2 2 2 (


2
)
模型求解
即： 2 (0 2 (
建立模型求解
• 销售速度可理解为单位时间产品的销售量 • 当单位时间很小时，即是销售量对时间导 数，所以得到一下模型
dY (t ) kY (t ) kt dt 解得：Y (t ) Y0e , t 0 Y (0) Y0
模型建立求解
• （2）因销售速度会随市场保有量的增加而 减少，故此时模型为
模型求解
v 20 2时
40000 2 Qmax Q(20 2 ) 3l
v 1 v 1 1 由： 2 1600 v 1600 v 20 1000 20000 得：Q l / 20 l 1 当且仅当： 成立 1600 即 40(km / h)
v 20 2时
1 2 2 2 V r a r 3
l (2 )a 2r
模型求解
1 2 4 2 2 V r (2a 2r ) 18
2 2 2 2 2
1 2 4 2 2 V r (a r ) 9
2
1 2 r r 2a 2r 3 4 a ( ) . 18 3 9 27
第十三届数学建模竞赛 试题讲解
一、 模具加工
• 某工厂需要加工一批圆锥形模具，原料为 半径为a的圆形铁皮，加工工艺是从原料剪 去一个角α，将它卷成一个无底圆锥，试 问α为何值时，加工出圆锥形模具体积最 大？最大值是多少？
分析问题
建立模型
1 2 V hr 3 h a r
2 2 2
2 r a 2
建立模型
• 假设购买甲牌糖果 x 千克，乙牌糖果 y 千 克，依题可建立如下数学模型
min Z 4 x 2 y 4 x 2 y 20 x y 5 y x y 3x x, y 0
模型求解
• 使用图解法： • 画出可行区
模型求解
• 由图可知，目标函数曲线Z = 4x+2y 移动到 曲线 y = 3x 与 x + y = 5 的交点处时可使总 费用最少，解得 x = 5/4, y = 15/4, 购买费 用为12.5元。
模型求解
20000 40000 2 l 3l 当规定车速为 40(km / h)，隧道车流量最大
三、产品推销
• 现代社会的一个特点是科学技术飞速发展， 新技术新产品不断涌现。某公司利用新技 术研发出了一种新产品，为了推销这种新 产品，公司先向社会免费赠送了Y0件该产 品。请根据下述已知情况分别建立产品销 售量Y(t)的数学模型并求解： • （1）该产品的销售速度与已使用该产品的 人数成正比，该产品的市场容量无限（写 出模型并求解）； • （2）该产品的市场容量为Ym，销售速度 会随市场保有量的增加而减少（写出模型 即可，不需求解）。