广东省深圳市南山区2013届高三上学期期末数学文试题

高三期末考试
数学文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损。

之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号，在右上角的信息栏填写自己的考号，并用2B 铅笔填涂相应的信息点。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

不按要求填涂的，答案无效。

3．非选择题必须用黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。

不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁，不折叠，不破损。

考试结束后，将答题卡交回。

5．考试不可以使用计器。

第Ⅰ卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡．．．．．．．．．．．．．．．．．上．。

1. 设全集{
x N x U *
∈=＜}6，集合{}{}1,3,3,5A B ==，则()U C A B 等于
A ．{}4,1
B ．{}5,1
C ．{}4,2
D ．{}5,2
2．复数z 满足12i z i ⋅=-，则z ＝
.2.2.12.12A i
B i
C i
D i ---+-
3．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 A ．π4 B ．π2 C ．π3
D ．2
3π
4．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是 A ．2
B ．1
2
C ．3
D ．4
5．阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31
应填的数字为 A ．5 B ．4 C ．6 D ．
7
6. 如右图所示为函数()
()2sin f x x ωϕ=+
(ω﹥0,
2
π
﹤φ﹤π)的部分图像，其中,A B 两点之间的距离为5,那么()1f -= A ．2 B C ．．2-
7．直线20ax y a -+=与圆2
2
9x y += A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．不确定
8．已知O 为坐标原点，点M 坐标为(2,1)-，在平面区域020x x y y ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
上取一点N ，则使
MN 为最小值时点N 的坐标是
A ．)0,0(
B ．)1,0(
C ．)2,0(
D ．)0,2( 9．函数2
21ln )(x x x f -=的图象大致是
A ．
B ．
C ．
D ．
10. 已知函数()2
,f x x bx c =++其中04,04b c ≤≤≤≤.记函数满足()()
212
13f f ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩的事
件为A ，则事件A 的概率为 A ．
58 B ．12 C ．38 D ．1
4
第Ⅱ卷（非选择题共100分）
二、填空题：本大题共5小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按第14小题
给分，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡上．．．．．．．．．
． 11. 不等式162-+x x ﹤0的解集是 。

12．已知向量)4,(,)2,1(-==x ，若//，则⋅= 。

13．已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出
则[(1)]f g 的值为 ；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是
14
．（坐标系与参数方程选做题）若点) , 3(m
P 在以点F 为焦点的抛物线⎩
⎨⎧==t y t x 442
(t 为
参数)上，则=||PF ．
15．（几何证明选讲选做题）如右图，O 是半圆的圆心， 直径62=AB ，PB 是圆的一条切线，割线PA 与 半圆交于点C ，4=AC ，则=PB ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤。

16．（本小题满分12分） 已知函数2
()sin cos
2x f x x a =+，a 为常数，a R ∈，且2
π
=x 是方程0)(=x f 的解。

（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当],0[π∈x 时，求函数)(x f 值域。

1A
1B
1C
A
B
D
C
某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[)50,40，[)60,50，…，
[]100,90后得到如图4的频率分布直方图．
（1）求图中实数a 的值；
（2）若该校高一年级共有学生640人，
试估计该校高一年级期中考试数学 成绩不低于60分的人数；
（3）若从数学成绩在[)40,50与[]90,100两个分数段内的学生中随机选取两名学生，
求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．
18．（本小题满分14分）
如右图, 在三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，
1CC ⊥平面ABC ，4BC =，5AB =,14AA =，
点D 是AB 的中点， （1）求证：1AC BC ⊥； （2）求证：//1AC 平面1CDB ； （3）求三棱锥11C CDB -的体积。

图4
已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。

（1）求二次函数()y f x =的表达式； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）设1
3+=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *
∈都成立
的最小正整数m .
20．（本小题满分14分）
矩形ABCD 的两条对角线相交于点(20)M ，，AB 边所在直线的方程为360x y --=，
点(11)
T -，在AD 边所在直线上． （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程；
（3）若动圆P 过点(20)N -，，且与矩形ABCD 的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．
21．（本小题满分14分）
设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”．已知
432
113()1262
f x x mx x =
--． （1）求()x f '、()x f ''；
（2）若()f x 为区间(1,3)-上的“凸函数”，试确定实数m 的值；
（3）若当实数m 满足||2m ≤时，函数()f x 在(,)a b 上总为“凸函数”，求b a -的最大值．
a ．………………………………………2分解得0.03
（2）解：根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为
18．解 ：（1）直三棱柱111ABC A B C -，
底面三边长3AC =，4BC =，5AB =,
222AB AC BC ∴=+，∴ AC BC ⊥， 1,,CC ABC AC ABC ⊥⊂ 平面平面
1AC CC ∴⊥，又1,BC CC C =
1111,AC B BC BCC B ∴⊥⊂1平面BCC 平面，
1A
1B
1C
A
B
D
C
E
……………………………………………………9分
，为焦点，实轴长为12分故点P的轨迹是以M N
七彩教育网 免费提供Word 版教学资源
七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
从而解得10x -<<． ………………………………………………………………13分。