11.1第一类曲线积分

i 1 n
y
L
B
M n 1
A
( i , i ) M i M2 M i 1 M1
o
x
如果当各小弧段的 长度的最大值 0时 , 这和的极限存在 , 则称此极限为函数 f ( x , y ) 在曲线弧 L 上对弧长的曲线积分或 第一类曲 线积分 , 记作 f ( x , y )ds , 即
11.1 第一类曲线积分 （对弧长的曲线积分）
教学要求： 理解第一类曲线积分的概念，了解其性质； 掌握第一类曲线积分的计算法；会用第一 类曲线积分求一些几何量和物理量。
一、问题的提出
实例:曲线形构件的质量
匀质之质量 M s . 分割 M 1 , M 2 , , M n 1 si ,
三、对弧长曲线积分的计算
定理
设 f ( x , y )在曲线弧 L 上有定义且连续 , x ( t ), L 的参数方程为 ( t )其中 y ( t ),
( t ), ( t )在[ , ]上具有一阶连续导数 , 且
L
f ( x , y ) ds
n
y
L
B
M n 1 ( i , i ) M i M2 M i 1 M1
A
o
x
取 ( i , i ) si , M i ( i , i ) si .
求和 取极限
M ( i , i ) si .
i 1
近似值
精确值
M lim ( i , i ) si .
解 由对称性, 知
x 2 ds



y 2 ds
z 2 ds .

1 故 I ( x 2 y 2 z 2 )ds 3
a 3
2
2a 3 ds 3 . ( 2a ds , 球面大圆周长 )
例5：求 I e L
x2 y2
ds ,
其中 L 由 x 2 y 2 a 2
y = x 及 x 轴所为第一象限区域的整个边界。 y y x x2 y2 x2 y2 解 I L e ds ds L e 2 1
L e
3
x2 y2
L1
L2
ds
x a cos , 0 , （3）在 L2 上： y a sin 4
0 L3 2
• 积分和中的微元素是小弧段的长度，被积 表达式中的微分是弧微分或弧元素。
4.性质
(1) [ f ( x , y ) g ( x , y )]ds
L L L

L
f ( x , y )ds

L
g ( x , y )ds .
( 2 ) kf ( x , y )ds k f ( x , y )ds
2
a
x
d s ( a sin ) 2 ( a cos ) 2 d a d

L2 e
x2 y2
ds e 0
4
a2
ad

a
4
ea
例5：求 I e L
x2 y2
ds ,
其中 L 由 x 2 y 2 a 2
y = x 及 x 轴所为第一象限区域的整个边界。 y y x x2 y2 x2 y2 解 I L e ds ds L e 2 1
被积函数
L
L f ( x , y )ds lim0 f ( i , i ) si . i 1
积分弧段
n
积分和式
曲线形构件的质量 M

L
( x , y )ds .
2.存在条件：
当 f ( x , y )在光滑曲线弧 L 上连续时 , 对弧长的曲线积分
3.推广
特别地 f ( x , y )ds
( 5 ) 1ds
L

L
g ( x , y ) ds

ds s（L 的弧长）
L
中值定理 设函数 f（ x , y）在光滑曲线 L （6）
上连续，则在 L 上必存在一点 , ，使

L
f（ x , y） f , s ds
(1) L : y ( x ) a x b.
b

L
f ( x , y )ds

a
f [ x , ( x )] 1 2 ( x )dx . ( a b )
( 2) L : x ( y )
c y d.

L
f ( x , y )ds

d
c
f [ ( y ), y ] 1 2 ( y )dy .

L
f ( x , y )ds 存在 .
函数 f ( x , y , z )在空间曲线弧 上对弧长的 曲线积分为
n


f ( x , y , z )ds lim f ( i , i , i ) si .
0
i 1
注意：
1. 若 L (或 )是分段光滑的 , ( L L1 L2 )
2 2 f ( x , y )ds = f [ ( t ), ( t )] ( t ) ( t ) dt 中 要

二、计算下列求弧长的曲线积分: 1、 e
L x2 y2
ds ,其中 L 为圆周 x 2 y 2 a 2 ,直线 y x
L e
3
x2 y2
L1
L2
ds
x2 y2
L1 e L2 e
所以
x2 y2
ds L e 3
ds e a 1
0 L3 2
2
a
x
x2 y2
ds
a
4
e
a
I 2( e 1)
a
a
4
ea
作业：习题11---1: 2, 5, 6, 8
思考题
对弧长的曲线积分的定义中 S i 的符号 可能为负吗？
(c d )
推广: : x ( t ), y ( t ), z ( t ). ( t )


f ( x , y , z )ds



f [ ( t ), ( t ), ( t )] 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt ( )
L e
3
x2 y2
L1
L2
ds
（2）在 L3 上：y 0, 0 x a ,
d s d x
0 L3 2
2
a
x
L3 e
x2 y2
ds
a x2 0 d 0 e
0 e x d x ea 1 x
a
例5：求 I e L
x2 y2
ds ,
其中 L 由 x 2 y 2 a 2
0
i 1
n
二、对弧长的曲线积分的概念
1.定义
设 L 为 xoy 面内一条光滑曲线弧 ,函数 f ( x , y ) 在 L 上有界 .用 L 上的点 M 1 , M 2 , , M n 1把 L 分成 n 个小段 .设第 i个小段的长度为 si , 又 ( i , i )为第 i个小段上任意取定的一 点 , 作乘积 f ( i , i ) si , 并作和 f ( i , i ) si ,
0
r
3


2
0
r sin td sin t 2
3
例1 求 I L yds , 其中 L : y 2 4 x , 从 (1,2 )到(1,2 )一段 .
解
y L: x , 4
2
2 y 2,
y2 4 x
2 ( y ) d y 1 ( y )2 d y ds 1 2
( 3 ) f ( x , y )ds
L
( k为常数 ).

L1
f ( x , y )ds

L2
（4 ）若在 L 上 f ( x , y ) g ( x , y )，则
f ( x , y )ds . ( L L1 L2 ).

L
f ( x , y )ds
L

L
g ( x , y )ds
2
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
补充：利用对称性和L的方程简化计算
1：利用对称性简化计算，有关结论类 似于重积分
2：由于积分变量x, y取在L上，故x, y 满足L的方程，因此需要时可将L的方 程代入被积函数，达到化简的目的。 ———这是计算曲线积分和曲面积分 特有的方法
例5 求 I
y = x 及 x 轴所为第一象限区域的整个边界。 y y x 解 L L1 L2 L3
I L e 1
3
x2 y2
ds L e 2 ds
x2 y2
L1
L2
ds
L e
x2 y2
0 L3 2
2
a
x
（1）在 L1 上： y x , 0 x
2 a, d s 2
解 ds
x 2 ( ) y 2 ( ) z 2 ( ) d
( a sin ) 2 ( a cos )2 k 2 d

I
a 2 k 2 d
a 2 cos sin k a 2 k 2 d
0
2
2
ds

ka
a k 2 0 sin 2 d 2