2020年北京届高三最新模拟试题分类汇编专题：统计(2页)
2020北京新高考数学高三二模汇编 05数列
从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
图①图②图③
答案
解：（Ⅰ）由 ，得 ，即 ，
因为 ，
所以 ， .
所以 .………………………………6分
（Ⅱ）由图①知： ， ，可判断 ，数列 是递减数列；而 递增，由于 ，
选择条件②，存在正整数 ,使得 .
理由如下：
在等差数列 中，
又 ， .
所以由 得
所以 .
令 ，即 .
整理得 .解得 或 .
因为 ，所以 .
所以当 时， .
7.（数列，其前 项和为 ，如图____， 的图象经过 , 两个点．
（Ⅰ）求 ；
第二种情况：
如果选择条件③即 ， ，可得： ， .
当 时， 不成立，
当 时， 成立，
所以 使得 成立的 的最小值为5. ………………………………14分
8.（丰台17）已知等差数列 的前 项和为 ， ， .
（Ⅰ）求数列 的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列 满足 ，且公比为 ，从 ； ； 这三个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列 的前 项和 .
（A）
（B）
（C）
（D）
答案A
12.（顺义12）设 是等差数列，且 ， ，则 的通项公式为__________.
答案
13.（顺义21）（本小题14分）
给定数列 .对 ，该数列前 项 的最小值记为 ，后 项 的最大值记为 ，令 .
（ ）设数列 为 写出 的值；
（ ）设 是等比数列，公比 ，且 ，证明： 是等比数列；
（Ⅱ）求 的最小值．
2020北京高三一模数学试题分类汇编之概率统计
18.某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[0.486,0.536)，[0.536,0.586)，…，[0.836,0.886)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率； （Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）． 18．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”， ……………… 1分 由图表，得(0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.4)0.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =. ……………… 2分 由图表，知“C 级”种子的频率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=， ………… 3分故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2. 因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8P M =-=. ……………… 5分（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为(4.4 1.20.4)0.050.3++⨯=， 恰好是“B 级”康乃馨的概率为(4.0 6.0)0.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为(0.4 1.2 2.4)0.050.2++⨯=. ……………… 7分 随机变量X 的可能取值有20，25，30，35，40，且(20)0.20.20.04P X ==⨯=， (25)0.20.50.50.20.2P X ==⨯+⨯=，(30)0.50.50.30.20.20.30.37P X ==⨯+⨯+⨯=， (35)0.30.50.50.30.3P X ==⨯+⨯=，(40)0.30.30.09P X ==⨯=. ……………… 9分 所以X 的分布列为：……………… 10分 故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………… 11分 （Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分 17． （本小题14分）2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如下：（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X 为选出的中年员工的人数，求X 的分布列和数学期望.17. （本小题14分） 解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80=400人， 抽取的老年员工201407400⨯=人， 中年员工201809400⨯=人， 青年员工20804400⨯=人 ……………… 4分 （Ⅱ）X 的可取值为0,1,2 ……………… 5分23283(X=0)28C P C ==，11352815(X=1)28C C P C ==g ，252810(X=0)28C P C == ……………… 11分所以的分布列为5(X)4E =. ……………… 14分(18)（本小题14分）中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，预计2020年北斗全球系统建设将全面完成.下图是在室外开放的环境下，北斗二代和北斗三代定位模块，分别定位的50个点位的横、纵坐标误差的值，其中“g ” 表示北斗二代定位模块的误差的值， “+”表示北斗三代定位模块的误差的值.（单位:米）（Ⅰ）从北斗二代定位的50求此点横坐标误差的值大于10（Ⅱ）从图中A,B,C,D 记X 为其中纵坐标误差的值小于-求X 的分布列和数学期望；差的方差的大小.(18)（本小题14分）解（Ⅰ）由图知，在北斗二代定位的50个点中，横坐标误差的绝对值大于10米有3个点，所以 从中随机选出一点，此点横坐标误差的绝对值大于10米的概率为30.0650=. …………4分 （Ⅱ）由图知, A B C D ，，，四个点位中纵坐标误差值小于4-的有两个点: C D ，. 所以 X 所有可能取值为0,1,2.2241(0)6===C P X C ,1122242(1)3C C P X C ===,22241(2)6C P X C ===.所以 X 的期望1210121636EX =⨯+⨯+⨯=. …………12分 （Ⅲ）北斗二代定位模块纵坐标误差的方差大于北斗三代.…………14分（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（18）（本小题14分）某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了80位患者和100位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；（Ⅱ）从该地区患者中随机选取3人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以X 表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）假设该地区有10万人，患病率为0.01.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过0.5？并说明理由.（18）（本小题共14分）科技创新能力是决定综合国力和国际竞争力的关键因素，也是推动经济实现高质量发展的重要支撑，而研发投入是科技创新的基本保障．下图是某公司从2010年到2019年这10年研发投入的数据分布图：其中折线图是该公司研发投入占当年总营收的百分比，条形图是当年研发投入的数值（单位：十亿元）．（I）从2010年至2019年中随机选取一年，求该年研发投入占当年总营收的百分比超过10%的概率；（II）从2010年至2019年中随机选取两个年份，设X表示其中研发投入超过500亿元的年份的个数，求X的分布列和数学期望；（III）根据图中的信息，结合统计学知识，判断该公司在发展的过程中是否比较重视研发，并说明理由．（18）解：（Ⅰ）设事件A为“从2010年至2019年中随机选取一年，研发投入占当年总营收的百分比超过10%”，从2010年至2019年一共10年，其中研发投入占当年总营收的百分比超过10%有9年，所以9()10P A=.（Ⅱ）由图表信息，从2010年至2019年10年中有5年研发投入超过500亿元，所以X的所有可能取值为0,1,2.且25210C2(0)=C9P X==；1155210C C5(1)=C9P X==；25210C2(2)=C9P X==.所以X的分布列为：故X的期望252()0121999E X=⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一. 要求用数据说话，数据可以支持自己的结论即可，阅卷时按照上述标准酌情给分.10. 党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少，下面的统计图反映了2012-2019年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率=贫困人数（人）÷统计人数（人）×100%）根据统计图提供的信息，下了推断不正确的是A. 2012-2019年，全国农村贫困人口逐年递减B. 2013-2019年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是2013年C. 2012-2019年，全国贫困人口数累计减少9348万D. 2019年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过0.6%17.（本小题14分）随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app）获取新闻资讯，为了解用户对某款新闻类app的满意度，随机调查了300名用户，调研结果如下表：（单位：人）（I）从所有参与调研的人中随机选取1人，估计此人“不满意”的概率；（II）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取1人，估计恰有1人“满意”的概率；（III）现需从参与调研的老年人中选择6人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取2人，这种抽样是否合理？说明理由18.（本小题共14分）在抗击新冠肺炎疫情期间，很多人积极参与了疫情防控的志愿者活动.各社区志愿者服务类型有：现场值班值守，社区消毒，远程教育宣传，心理咨询（每个志愿者仅参与一类服务）.参与A ，B ，C 三个社区的志愿者服务情况如下表：（Ⅰ）从上表三个社区的志愿者中任取1人，求此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率；（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人调查情况，以X 表示负责现场值班值守的人数，求X 的分布列；（Ⅲ）已知A 社区心理咨询满意率为0.85，B 社区心理咨询满意率为0.95，C 社区心理咨询满意率为0.9，“1A ξ=,1B ξ=,1C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询满意，“0A ξ=,0B ξ=,0C ξ=”分别表示A ，B ，C 社区的人们对心理咨询不满意，写出方差()A D ξ，()B D ξ，()C D ξ的大小关系.（只需写出结论）18．（本小题共14分）解：（Ⅰ）记“从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作”为事件D ，303()10012015037P D ==++. 所以从上表三个社区的志愿者中任取1人，此人来自于A 社区，并且参与社区消毒工作的概率为337. …………4分（Ⅱ）从上表三个社区的志愿者中各任取1人，由表可知：A ，B ，C 三个社区负责现场值班值守的概率分别为3111033，，.X 的所有可能取值为0，1，2，3.7222814(0)10339045P X ==⨯⨯==,322712721404(1)103310331033909P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯==,31232171119(2)10331033103390P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=, 31131(3)10339030P X ==⨯⨯==. X 的分布列为：…………11分（Ⅲ）()()()A C B D D D ξξξ>> …………14分 18.（本小题满分14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数； （Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.（结论不要求证明）17.（本小题14分）2020年，北京将实行新的高考方案.新方案规定：语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．若一个学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定．例如，学生甲选择“物理、化学和生物”三个选考科目，则学生甲的选考方案确定，“物理、化学和生物”为其选考方案． 某校为了解高一年级840名学生选考科目的意向，随机选取60名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表：(Ⅰ)估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？(Ⅱ)从选考方案确定的16名男生中随机选出2名，求恰好有一人选“物理、化学、生物” 的概率；（Ⅲ）从选考方案确定的16名男生中随机选出2名， 设随机变量⎩⎨⎧=两名男生选考方案相同两名男生选考方案不同10ξ，求ξ的分布列和期望.17.（本小题14分）解：(Ⅰ)由数据知，60人中选考方案确定的学生中选考生物的学生有8+20=28人 …1分所以该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有 3926028840=⨯人………4分 (Ⅱ)选考方案确定且为“物理，化学，生物”的男生共有8人。
2020年北京各区高三一模数学分类---解析几何
【答案】①②
【分析】将 代入 也成立得①正确；利用不等式可得 ，故②正确；联立 得四个交点，满足条件的最小正方形是以 为中点，边长为2的正方形，故③不正确.
【详解】对于①，将 代入 得 成立，故曲线 关于直线 对称，故①正确；
对于②，因为 ，所以 ，所以 ，
所以曲线 上任意一点到原点的距离都不超过 ，故②正确；
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】设双曲线的实半轴长，半焦距分别为 ，根据双曲线的定义可得 ，根据余弦定理可得 ，再根据离心率公式即可求得结果.
【详解】设双曲线 实半轴长，半焦距分别为 ，因为 ，所以 ，
因为以 ， 为焦点的双曲线经过点 ，所以 ， ，
在三角形 中由余弦定理得 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ， ，则
因为 ，所以椭圆 的半焦距
设椭圆 的左焦点为 ，则 ，连接 ，由椭圆的定义可得
即 ，解得 ，故答案为：
【点睛】本题主要考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求 是解题的关键，属于中档题.
9.（2020朝阳一模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，点 是抛物线 上一点， 于 .若 ， ，则抛物线 的方程为（）
A. B. C. D.【答源自】B【分析】根据抛物线的定义求得 ，然后在直角三角形中利用 可求得 ，从而可得答案.
【详解】根据抛物线的定义可得 ，又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 .故选：B
【点睛】本题考查了抛物线的定义，利用定义得 是解题关键，属于基础题.
10.（2020朝阳一模）在 中， ， .若以 ， 为焦点的双曲线经过点 ，则该双曲线的离心率为（）
2020北京高三一模数学解答题百题汇编
学校:
班级:
姓名:
学号:
1. 如图，在四棱锥
中，
面
，底面
为平行四边形，
，
，
．
（ 1 ） 求证： （ 2 ） 求二面角
平面
． 的余弦值的大小．
2. 已知函数
，且满足
．
（ ）求函数 的解析式及最小正周期．
（ ）若关于 的方程
在区间
上有两个不同解，求实数 的取值范围．
10
36. 已知数列 是由正整数组成的无穷数列．若存在常数
，使得
，对任意
的
成立，则称数列 具有性质 ．
（ 1 ） 分别判断下列数列 是否具有性质 ．（直接写出结论）
1
．
2
．
（ 2 ） 若数列 满足
，求证：“数列 具有性质 ”是“数列
为常数列”的充分必要条件．
（ 3 ） 已知数列 中
，且
．若数列 具有性质 ，求数列
1
（ 1 ） 从北斗二代定位的 个点位中随机抽取一个，求此点横坐标误差的值大于 米的概率． （ 2 ） 从图中 ， ， ， 四个点位中随机选出两个，记 为其中纵坐标误差的值小于 的点位的 个数，求 的分布列和数学期望． （ 3 ） 试比较北斗二代和北斗三代定位模块纵坐标误差的方差的大小．（结论不要求证明）
在数列 中，
，
，其中
．
（ 1 ） 求 的通项公式．
（ 2 ） 若 ， ， 成等比数列，其中 ，
，且
且
，
，求 的最小值．
21. 某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境
下的发芽率，并按发芽率分为 组：
2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编---数学建模
2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编----数学建模1．（2020西城一模）.在一次体育水平测试中，甲、乙两校均有100名学生参加，其中:甲校男生成绩的优秀率为70%，女生成绩的优秀率为50%;乙校男生成绩的优秀率为60%，女生成绩的优秀率为40%.对于此次测试，给出下列三个结论:①甲校学生成绩的优秀率大于乙校学生成绩的优秀率;②甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率;③甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系不确定.其中，所有正确结论的序号是____________.【答案】②③【解析】【分析】根据局部频率和整体频率的关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】不能确定甲乙两校的男女比例，故①不正确；因为甲乙两校的男生的优秀率均大于女生成绩的优秀率，故甲、乙两校所有男生成绩的优秀率大于甲、乙两校所有女生成绩的优秀率，故②正确；因为不能确定甲乙两校的男女比例，故不能确定甲校学生成绩的优秀率与甲、乙两校所有学生成绩的优秀率的大小关系，故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查局部频率和整体频率的关系，意在考查学生的理解能力和应用能力.2.（2020朝阳一模）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为0.19；（ⅱ）当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05.为了使中签率超过0.9，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.【答案】15【分析】先求出需要增加中签率为0.71，再用0.71除以0.05得14.2，取15即可得到答案.【详解】因为摇号的初始中签率为0.19，所以要使中签率超过0.9，需要增加中签率0.90.190.71-=，因为每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.05，所以至少需要邀请0.714.20.05=，所以至少需要邀请15位好友参与到“好友助力”活动故答案为：153.（2020北京市模拟）已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁 【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑601545-=（分）；跳高60464+=（分）；掷实心球601575+=（分）；则总分为456475184++=（分）；乙各项得分为：100米跑602080+=（分）；跳高601070+=（分）；掷实心球60555-=（分），则总分为807055205++=（分）；丙各项得分为：100米跑60565+=（分）；跳高60666+=（分）；掷实心球601070+=（分），则总分为656670201++=（分）；丁各项得分为：100米跑60555-=（分）；跳高60262+=（分）；掷实心球60565+=（分），则总分为556265182++=（分）． 综上，乙得分最多，故选B ．4.（2020北京市模拟）某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+，0,0k b ><，即k 为票价，当0k =时，y b =，则b -为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则b -变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，k 变大，即提高票价，b 不变，则b -不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③．5（2020石景山一模）.长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____．【答案】小学中级【分析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a b c d ,,,，根据条件列不等式组，推出a b c d ,,,取法，根据取法推测队长的学段及职称.【详解】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a b c d ,,,， 则13,1,,,a b c d d c d a b b c a b +++=≥+≤+<<所以13(),7,6a b a b a b c d -+≤+∴+≥+≤，若7,a b +=则6,3,4,5,1c d a b a b c d Q +=<∴====，若8,a b +≥则5,14,3,5c d d c b c b a b +≤≥∴≤∴≤≥Q Q 矛盾队长为小学中级时，去掉队长则2,4,5,1a b c d ====，满足11,64,45,24d c d a b b c a b =≥+=≤+==<==<=；队长为小学高级时，去掉队长则3,3,5,1a b c d ====，不满足a b <；队长为中学中级时，去掉队长则3,4,4,1a b c d ====，不满足b c <；队长为中学高级时，去掉队长则3,3,5,0a b c d ====，不满足1d ≥；综上可得队长为小学中级.【点睛】本题考查不等式性质，考查论证推理能力，属难题.6.（2020延庆一模）某企业生产,A B 两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的,A B 两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A 产品的年产量会超过B 产品的年产量（取20.3010lg =）( )A. 6年B. 7年C. 8年D. 9年 【答案】B【分析】依题求出经过x 年后，A 产品和B 产品的年产量分别为310()2x ，640()5x ，根据题意列出不等式，求出x 的范围即可得到答案.【详解】依题经过x 年后，A 产品的年产量为1310(110()22x x+=） B 产品的年产量为1640(140()55x x +=），依题意若A 产品的年产量会超过B 产品的年产量， 则3610()40()25x x >化简得154x x +>，即lg5(1)lg 4x x >+， 所以2lg 213lg 2x >-，又20.3010lg =，则2lg 2 6.206213lg 2≈- 所以至少经过7年A 产品的年产量会超过B 产品的年产量.故选：B【点睛】本题主要考查指数函数模型，解指数型不等式，属于基础题.7.（2020密云一模）在疫情防控过程中，某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下，第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，那么第19天治愈出院患者的人数为_______________，第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.【答案】 (1). 16 (2). 21【分析】由题意可知出院人数构成一个首项为1，公比为2的等比数列，由此可求结果．【详解】某医院一次性收治患者127人．第15天开始有患者治愈出院，并且恰有其中的1名患者治愈出院． 且从第16天开始，每天出院的人数是前一天出院人数的2倍，∴从第15天开始，每天出院人数构成以1为首项，2为公比的等比数列，则第19天治愈出院患者的人数为451216a =⨯=，1(12)12712n n S ⨯-==-，解得7n =， ∴第715121+-=天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院．故答案为：16，21．【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用，考查等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．8.（2020怀柔一模）某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．【答案】1120【分析】明确折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，结合y ＝30＞25，代入可得某人在此商场购物总金额, 减去折扣可得答案．【详解】由题可知：折扣金额y 元与购物总金额x 元之间的解析式，y ()()006000.0560060011000.11100251100x x x x x ⎧≤⎪=-≤⎨⎪-+⎩，＜，＜，＞ ∵y ＝30＞25∴x ＞1100，∴0.1（x ﹣1100）+25＝30，解得，x ＝1150，1150﹣30＝1120，故此人购物实际所付金额为1120元．【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．9.（2020东城一模）春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了（ ）A. 10天B. 15天C. 19天D. 2天 【答案】C【分析】由题意设荷叶覆盖水面的初始面积，再列出解析式，并注明x 的范围，列出方程求解即可.【详解】设荷叶覆盖水面的初始面积为a ，则x 天后荷叶覆盖水面的面积()2x y a x *=⋅∈N ， 根据题意，令()20222x a a ⋅=⋅，解得19x =，故选：C.【点睛】本题考查指数函数模型的应用，考查学生建模能力、数学运算能力，是一道容易题.10.（2020北京市模拟）学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为A,B,C,D,E 五个等级.某班共有36名学生且全部选考物理、化学两科,这两科的学业水平测试成绩如图所示.该班学生中，这两科等级均为A 的学生有5人，这两科中仅有一科等级为A 的学生，其另外一科等级为B.则该班 D（A ）物理化学等级都是B 的学生至多有12人（B ）物理化学等级都是B 的学生至少有5人（C ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至多有18人（D ）这两科只有一科等级为B 且最高等级为B 的学生至少有1人。
2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编---排列组合二项式定理
2020年北京各区高三一模考试数学分类汇编----排列组合二项式定理1.（2020海淀一模）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（ ）C A. 120-B. 120C. 160-D. 160【答案】C【分析】写出二项式展开式的通项公式求出常数项. 【详解】61(2)x x-展开式的通项2616(1)2k k k k k T C x -+=- ，令260,3k k -== 常数项333316(1)2=160T C +=--，故选：C ．【点睛】本题考查二项定理. 二项展开式问题的常见类型及解法:(1)求展开式中的特定项或其系数．可依据条件写出第1k +项，再由特定项的特点求出k 值即可．(2)已知展开式的某项或其系数求参数．可由某项得出参数项，再由通项公式写出第1k +项，由特定项得出k 值，最后求出其参数．2.（2020西城一模）在61()x x +的展开式中，常数项为________.(用数字作答)【答案】20 【详解】61()x x +的展开式的通项为：6621661r r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，取3r =得到常数项3620C =. 故答案为：20.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.3.（2020北京市模拟）在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．5-B ．5C ．10-D ．10 【答案】A 【解析】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk k k k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =． 因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-，故选A ． 4.（2020石景山一模）将4位志愿者分配到进博会的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配方案有（ ）种．A. 72B. 36C. 64D. 81【答案】B【分析】先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，根据分步乘法原理得到结果.【详解】解：Q 将4位志愿者分配到3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，∴先从4个人中选出2个作为一个元素看成整体，再把它同另外两个元素在三个位置全排列，共有234336C A =．【点睛】本题考查排列组合及简单的计数问题，是一个基础题，本题又是一个易错题，排列容易重复，注意做到不重不漏．5（2020延庆一模）.5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是( ) A. 160B. 80C. 50D. 10【答案】B【分析】由二项式定理公式1C r n r r r n T a b -+=即可得到结果. 【详解】依题5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为:2551031551(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==， 当1034r -=时，2r =，此时523552280r r C C -==，所以5212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数是80. 故选：B【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.6.（2020密云一模）52()x x -的展开式中含3x 的系数为__________．（用数字填写答案）【答案】10【解析】 由题意得，二项式展开式的通项为5521552()(2)r r r r r r r T C x C x x--+=-=-， 令1r =，则113325(2)10T C x x =-=-，所以3x 得系数为10-．7.7(1)x +的展开式中3x 的系数是___________.【答案】35；【分析】根据二项式定理的通项公式1C r n r r r n T a b -+=，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：7(1)x +的通项公式为717r r r T C x -+=，令734-=⇒=r r ，所以3x 的系数是4735C =，故答案为：35【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.7.（2020东城一模）一排6个座位坐了2个三口之家.若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ）A. 12B. 36C. 72D. 720【答案】C【分析】根据题意，用捆绑法分析：先将2个三口之家的成员进行全排列，再对2个三口之家整体进行全排列，由分步计数乘法原理计算可得答案.【详解】根据题意，先将2个三口之家的成员进行全排列，有333336A A =种情况，再对2个三口之家整体进行全排列，有222A =种情况，则有36272⨯=种不同的坐法. 故选：C.【点睛】本题考查排列的简单应用，考查学生逻辑推理能力、数学运算能力，是一道容易题.8.（2020房山一模）．在二项式（1﹣2x ）5的展开式中，x 3的系数为（ ）A ．40B ．﹣40C ．80D ．﹣80解：在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得展开式中的x 3系数．（1﹣2x ）5展开式的通项公式为 C 5r •（﹣2x ）r ，故令r ＝3， 可得其中的x 3系数为C 53•（﹣2）3＝﹣80， 故选：D ．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．9.（2020通州一模）在6(2)1x x-的展开式中，常数项是 A A. -160 B . -20 C . 20 D . 16010.（2020门头沟一模）在二项式26(2)x +的展开式中，8x 的系数为 。
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编(一)
2020年北京各区高三一模数学试题分类汇编（一）复数（2020海淀一模）（1）在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城一模）2.若复数z =(3−i)(1+i),则|z|= (A)2√2(B)2√5(C)√10(D)20（2020东城一模）(3) 已知21i ()1ia +a =-∈R ，则a =(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D)2-（2020朝阳一模）（11）若复数21iz =+，则||z =________． （2020石景山一模） 2. 在复平面内，复数5+6i , 3-2i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C对应的复数是 A. 8+4iB. 2+8iC. 4+2iD. 1+4i（2020丰台一模）3． 若复数z 满足i 1iz=+，则z 对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2020西城5月诊断）02．若复数z 满足i 1i z ⋅=-+，则在复平面内z 对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限集合（2020海淀一模）（2）已知集合{ |0 3 }A x x =<<，A B ={ 1 }，则集合B 可以是（2020西城一模）1.设集合A ={x|x <3},B ={x|x <0,或x >2},则A ∩B = (A)(−∞,0)(B)(2,3) (C)(−∞,0)∪(2,3)(D)(−∞,3)（2020东城一模）(1) 已知集合{}1>0A x x =-，{}1012B =-，，，，那么A B =(A){}10-， (B) {}01， (C) {}1012-，，， (D) {}2（2020朝阳一模）（1）已知集合{}1,3,5A =，{}|(1)(4)0B x x x =∈--<Z ，则AB =（A ）{ 1 2 }， （B ）{ 1 3 }， （C ）{ 0 1 2 }，， （D ）{ 1 2 3 }，，（A ）{}3（B ）{}1,3 （C ）{}1,2,3,5 （D ）{}1,2,3,4,5（2020石景山一模）1. 设集合}4321{，，，=P ，},3|||{R x x x Q ∈≤=，则Q P ⋂等于 A. {}1 B. {}1,23，C. {}34，D. {}3,2,1,0,1,2,3---（2020西城5月诊断）01．设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}2,2-（C ）{}2,0,2-（D ）{}2,1,0,1,2--（2020丰台一模）1．若集合{|12}A x x =∈-<<Z ，2{20}B x x x =-=，则AB =（A ）{0} （B ）{01}，（C ）{012}，，（D ）{1012}-，，，（2020石景山一模）15. 石景山区为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名一线中小学教师组成的支教团队，记者采访其中某队员时询问这个团队的人员构成情况，此队员回答：①有中学高级教师；②中学教师不多于小学教师；③小学高级教师少于中学中级教师；④小学中级教师少于小学高级教师；⑤支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；⑥无论是否把我计算在内，以上条件都成立.由此队员的叙述可以推测出他的学段及职称分别是_______、_______．计数原理（2020朝阳一模）（6）现有甲、乙、丙、丁、戊5种在线教学软件，若某学校要从中随机选取3种作为教师“停课不停学”的教学工具，则其中甲、乙、丙至多有2种被选取的概率为 （A ）23 （B ） 25 （C ） 35 （D ） 910（2020石景山一模）5. 将4位志愿者分配到博物馆的3个不同场馆服务，每个场馆至少1人，不同的分配 方案有（ ）种 A. 36B. 64C. 72D. 81二项式定理（2020海淀一模）（5）在61(2)x x-的展开式中，常数项为（A ）120- （B ）120（C ）160- （D ）160（2020西城一模）11.在(x +1x )6的展开式中,常数项为.(用数字作答)（2020东城一模）(12) 在62()x x+的展开式中常数项为 . (用数字作答)三角函数与解三角形（2020海淀一模）（6）如图，半径为1的圆M 与直线l 相切于点A ，圆M 沿着直线l 滚动.当圆M 滚动到圆M '时，圆M '与直线l 相切于点B ，点A 运动到点A '，线段AB 的长度为3π2，则点M '到直线BA '的距离为 （A ）1 （B ）32 （C ）22（D ）12（2020西城一模）9.已知函数f(x)=sinx1+2sinx 的部分图象如图所示,将此图象分别作以下变换,那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有 ①绕着x 轴上一点旋转180°; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. (A)①③(B)③④(C)②③(D)②④（2020东城一模）(7)在平面直角坐标系中，动点M 在单位圆上按逆时针方向作匀速圆周运动，每12分钟转动一周.若点M 的初始位置坐标为(,)1322，则运动到3分钟时，动点M 所处位置的坐标是 (A)(,)3122 (B) (,)-1322(C) (,)-3122(D) (,)--3122（2020朝阳一模）（8）已知函数()=3sin()(>0)f x ωxφω的图象上相邻两个最高点的距离为π，则“6ϕπ=”是“()f x 的图象关于直线3x π=对称”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2020石景山一模）（2020丰台一模）9. 将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向左平移π2个单位长度后得到函数()g x 的图象，且(0)1g =，下列说法错误．．的是 （A ）()g x 为偶函数（B ）π()02g -=（C ）当5ω=时，()g x 在π[0]2,上有3个零点（D ）若()g x 在π[]50,上单调递减，则ω的最大值为9（2020西城5月诊断）05．在ABC ∆中，若::4:5:6a b c =，则其最大内角的余弦值为（A ）18（B ）14（C ）310 （D ）35（2020西城5月诊断）13．设函数2()sin 22cos f x x x =+，则函数()f x 的最小正周期为____；若对于任意x ∈R ，都有()f x m ≤成立，则实数m 的最小值为____．（2020西城一模）14.函数f(x)=sin(2x +π4)的最小正周期为 ;若函数f(x)在区间(0,α)上单调递增,则α的最大值为.（2020海淀一模）（14）在△ABC中，AB =4B π∠=，点D 在边BC 上，23ADC π∠=，2CD =，则AD = ；△ACD 的面积为 . （2020东城一模）(14)ABC 是等边三角形，点D 在边AC 的延长线上，且3AD CD =，BD =则CD = ，sin ABD ∠= .（2020海淀一模）（17）（本小题共14分）已知函数212()2cos sin f x x x ωω=+． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，22ω=； ②11ω=，21ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[2π-,7.函数()cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的最小正周期为π，则()f x 满足A. 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B. 图象关于直线6x π=对称C. 32f π⎛⎫= ⎪⎝⎭D. 当512x π=时有最小值1-]6π上的最小值，并直接写出函数()f x 的一个周期. 注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。
北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练：统计与概率
北京市2020届高三数学文一轮复习典型题专项训练统计与概率一、选择、填空题 1、（昌平区2019届高三上学期期末）为调查某校学生每天用于课外阅读的时间，现从该校3000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查，所得数据均在区间[50,100]上，其频率分布直方图如图所示，则估计该校学生中每天用于阅读的时间在[70,80)(单位：分钟)内的学生人数为 ．频率组距时间(单位:分钟)Oa 0.0350.0200.0100.00510090807060502、（房山区2019届高三上学期期末）改革开放四十年以来，北京市居民生活发生了翻天覆地的变化.随着经济快速增长、居民收入稳步提升，消费结构逐步优化升级，生活品质显著增强，美好生活蓝图正在快 速构建.北京市城镇居民人均消费支出从1998年的7 500元增长到2017年的40 000 元.1998年与2017年北京市城镇居民消费结构对比如下图所示：食品20%衣着6%居住33%生活用品及服务6%交通和通信13%教育文化娱乐11%医疗保健8%其他用品及服务3%食品41%衣着10%居住8%生活用品及服务11%交通和通信5%教育文化娱乐14%医疗保健5%其他用品及服务6%1998年北京市城镇居民消费结构 2017年北京市城镇居民消费结构则下列叙述中不正确．．．的是 （A ）2017年北京市城镇居民食品支出占比．．同1998年相比大幅度降低 （B ）2017年北京市城镇居民人均教育文化娱乐类支出同1998年相比有所减少 （C ）2017年北京市城镇居民医疗保健支出占比．．同1998年相比提高约60% （D ）2017年北京市城镇居民人均交通和通信类支出突破5 000元，大约是1998年的14倍3、（丰台区2019届高三5月综合练习（二模））若在区间[1,4] 上随机选取一个数x ，则事件1x ≥发生的概率为____．4、（昌平区2019届高三5月综合练习（二模））为了落实“回天计划”，政府准备在回龙观、天通苑地区各建一所体育文化公园. 针对公园中的体育设施需求，某社区采用分层抽样的方法对于21岁至65岁的居民进行了调查. 已知该社区21岁至35岁的居民有840人，36岁至50岁的居民有700人，51岁至65岁的居民有560人．若从36岁至50岁的居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是 ．5、（东城区2018届高三5月综合练习（二模））某校高一年级有400名学生，高二年级有360名学生，现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本．已知在高一年级中抽取了60名学生，则在高二年级中应抽取的学生人数为（A ）66 （B ）54 （C ）40 （D ）366、（海淀区2018届高三上学期期末考试）下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5个同学在一次数学测试中的选择题的成绩(单位:分，每道题5分，共8道题) :甲班 乙班5 2x 5 3 0 y 0 50 0 4已知两组数据的平均数相等，则,x y 的值分别为（A ）0，0 （B ） 0，5 （C ） 5，0 （D ）5，57、（北京五中2019届高三10月月考）对某校400名学生的体重（单位：kg ）进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则学生体重在60kg 以上的人数为（ ） A 、200 B 、100 C 、40 D 、208、（北京三十五中2019届高三上学期期中考试）如图，茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩。
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高中数学组——郭子敬整理
电话北京213届高三最新模拟试题分类汇编专题统计
一、填空题
AUTONUM \* Arabic ．（213届北京丰台区一模理科）某校从高一年级学生中随机抽取1名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段[4,5)，[5,6)，…，[9,1]后得到频率分布直方图（如图所示）．则分数在[7,8)内的人数是________。
4 5 6 7 8 9 分数(分) EQ \F(频率,组距) .5.1.2.3 a AUTONUM \* Arabic ．（213届东城区一模理科）如图是甲、乙两名同学进入高中以来次体育测试成绩的茎叶图，则甲次测试成绩的平均数是，乙次测试成绩的平均数与中位数之差是．
4 5 6 7 8 9 分数(分)
EQ \F(频率,组距)
.5
.1
.2
.3
a
AUTONUM \* Arabic ．（北京市东城区普通校213届高三3月联考数学（理）试题）从某校高三学生中随机抽取1名同学，将他们的考试成绩（单位分）绘制成频率分布直方图（如图）．则图中a=，由图中数据可知此次成绩平均分为.
AUTONUM \* Arabic ．（北京市海淀区北师特学校213届高三第四次月考理科数学）如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为，则的大小关系是_____________(填，，)
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AUTONUM \* Arabic ．（北京市顺义区213届高三第一次统练数学理科试卷（解析））下图是根据5个城市某年6月份的平均气温(单位:℃)数据得到的样本频率分布直方图,其中平均气温的范围是,样本数据的分组为, ,,,,.由图中数据可知_______;样本中平均气温不低于25℃的城市个数为________.
AUTONUM \* Arabic ．（北京市丰台区213届高三上学期期末考试数学理试题）某高中共有学生9人，其中高一年级24人，高二年级26人，为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为45的样本，则在高三年级抽取的人数是 ______．。