高中数学必修三北师大版 模拟方法——概率的应用 课件(83张)
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高中数学 第三章 概率 模拟方法概率的应用课件3 北师大版必修3
＝ 区域A的面积 正方形的面积
第十页，共21页。
几何(jǐ hé)概型：
向平面上有限的区域（集合）G内随机的
投掷点M，若点M落在子区域 G1 ≠ G
的概率(gàilǜ)与G1的面积成正比，而与G的形 状，位置无关，则称这种模型为几何概型。
P（点M落在G1）
＝区域G1的面积 G的面积
第十一页，共21页。
试分析试验中芝麻落在黄色区域 A 中的个数与该区 域的面积的关系,由此可以得出什么(shén me)结论?
A
A
第七页，共21页。
由上述(shàngshù)的实 验可得：
区域A内的芝麻数 ＝ 区域A的面积 正方形内的芝麻数 正方形的面积
思考：一粒芝麻(zhī ma)落在区域A 的可能性是 多少？
第八页，共21页。
答：在口袋中装有12 个球，编号为1,2， 3…11,12,它们除了编号以外完全相同,有放回的 抽取(chōu qǔ)6次就完成一次模拟实验(6个球的 号码分别代表6个人的生日的月份),经过多次的 模拟实验就可以估计6个人中至少有两个人的生 日同一个月的概率.
第五页，共21页。
二、思考(sīkǎo)以下问题 如果在一个5万平方千米的海域里，有表面积
概率？
PP
O
a
2a
x
第二十一页，共21页。
模拟方法(fāngfǎ)——概率 的应用
第一页，共21页。
复习(fùxí)回顾 :1.频率(pínlǜ)与
概率； 2.可以通过大量(dàliàng)重复试验，用随机事 件发生的_____来估计其______.
3.而人工进行试验费时、费力，并且有时很难 实现．由此我们常用______来估计某些随机 事件发生的概率 ; 4.模拟方法.
高一数学北师大版必修三 第3章 3 模拟方法——概率的应用课件
(2)利用几何概型，可以解释“概率为零的事件不一定是不可
能事件，概率为1的事件不一定是必然事件”．
题型一
与长度有关的几何概型
【例1】 如图A，B两盏路灯之间的距离是 30米，由于光线较暗，想在其间再随意安装两盏路灯C、
D，问A与C，B与D之间的距离都不小于10米的概率是多
少？ [思路探索] 在A、B之间每一位置安装路灯C、D都是一个
件的概率，关键在于能否将问题几何化；也可根据实际问题 的具体情况，选取合适的参数，建立适当的坐标系，在此基 础上，将试验的每一结果一一对应于该坐标系中的点，使得 全体结果构成一个可度量区域．
从概率的几何定义可知，在几何概型中，“等可能”一词应理
解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅 与该区域的度量成正比，而与该区域的位置与形状无关．
求出基本事件所 求出所求事件 利用公式 [思路探索] → → 占的区域面积 的区域面积 求得概率
解
整个正方形木板的面积即基本事件所占的区域总面积
D＝16×16＝256(cm2)， 设“投中大圆内”为事件A， “投中小圆与中圆形成的圆环”为事件B， “投中大圆之外”为事件C，则 事件A所占区域面积为dA＝π×62＝36π(cm2)，
①无限性：在一次试验中，基本事件的个数必须是无数 个； ②等可能性：在每次试验中，每一个基本事件发生的可能 性是均等的．
(3)古典概型与几何概型的主要区别与联系：它们都是比
较特殊的概率模型，其共同的特点是试验中的基本事件发
2． 几何概型概率计算公式的应用 (1)对于一个具体问题能否应用几何概型的概率公式计算事
事件B所占区域面积为
dB＝π×42－π×22＝16π－4π＝12π(cm2)，
高中数学第3章概率§3模拟方法概率的应用课件北师大版必修3
所以 P(A)＝Dd ＝35.
(2)如图所示，△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝ 5，则△ABC 的周长为 3＋4＋5＝12.某时刻该蚂蚁 距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率 P＝ DBEC＋＋FCGA＋＋MABN＝3＋122＋1＝12.]
如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意 义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型.可按下列公式来 计算其概率：
TT2 的长等于 3，记等车时间不超过 3 min 为事件 A，事件 A(候车时 间不超过 3 min)发生即当点落在线段 TT2 上，记 D＝T1T2＝5，d＝TT2
＝3，所以 P(A)＝Dd ＝35.
即候车时间不超过 3 min 的概率为35.
17
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 下眼睛，
3．(1)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正
方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对
称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的
概率是( )
1
π
A.4
B.8
C.12
D.π4
(2)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与 x＋1，x≥0
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不 好哦~
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法二 容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．
记 A 为“候车时间不超过 3 min”，以 x 表示乘客来到车站的时 间，那么每一个试验结果可以表示为 x，假定乘客到车站后第一辆汽 车来到的时刻为 t，依据题意，乘客必在(t－5，t]内来到车站，故 D ＝{x|t－5＜x≤t}，欲使乘客候车时间不超过 3 min 必须满足 t－ 3≤x≤t，所以 d＝{x|t－3≤x≤t}，
(2)如图所示，△ABC 中，AB＝3，AC＝4，BC＝ 5，则△ABC 的周长为 3＋4＋5＝12.某时刻该蚂蚁 距离三角形的三个顶点的距离均超过 1 的概率 P＝ DBEC＋＋FCGA＋＋MABN＝3＋122＋1＝12.]
如果试验的全部结果所构成的区域的几何度量能转化为实际意 义上的线段长度，这种模型称为长度型的几何概型.可按下列公式来 计算其概率：
TT2 的长等于 3，记等车时间不超过 3 min 为事件 A，事件 A(候车时 间不超过 3 min)发生即当点落在线段 TT2 上，记 D＝T1T2＝5，d＝TT2
＝3，所以 P(A)＝Dd ＝35.
即候车时间不超过 3 min 的概率为35.
17
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一 下眼睛，
3．(1)如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正
方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对
称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的
概率是( )
1
π
A.4
B.8
C.12
D.π4
(2)如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1,0)，且点 C 与 x＋1，x≥0
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不 好哦~
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法二 容易判断这是一个几何概型问题，如图所示．
记 A 为“候车时间不超过 3 min”，以 x 表示乘客来到车站的时 间，那么每一个试验结果可以表示为 x，假定乘客到车站后第一辆汽 车来到的时刻为 t，依据题意，乘客必在(t－5，t]内来到车站，故 D ＝{x|t－5＜x≤t}，欲使乘客候车时间不超过 3 min 必须满足 t－ 3≤x≤t，所以 d＝{x|t－3≤x≤t}，
高中数学课件- 模拟方法--概率的应用 课件(北师大版必修三)
3m （1）试验中的基本事件是什么？ 提示：从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断 位置可以是长度为3 m的绳子上的任意一点. （2）每个基本事件的发生是等可能的吗？ 提示：是 （3）符合古典概型的特点吗？ 提示：不符合
问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物， 用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含 有这个微生物的概率.
P（获得10得50元购物券）= 2 1 , 20 10
P（获得20元购物券）= 4 1. 20 5
2.(2014·湖南高考)在区间[-2,3]上随机选取一
个数 X,则 X≤1 的概率为( B )
4
3
2
1
A. 5
B. 5
C. 5
D. 5
【解析】选 B.基本事件空间为区间[-2,3],它的度
答：AM＜AC的概率为22 .
M C′ B
结论
构成事件A的区域长度
P( A)
.
试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度
例3. 小明家的晚报在下午5：30～6：30的任何一个时 间随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00的 任何一个时间随机地开始晚餐. （1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始 之后被送到哪一种可能性更大？ （2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?
区域D的面积(长度或体积)
注:利用这个定理
D
可以求出不规则图
d
形的面积、体积.
用模拟方法估计圆周率的值
我国古代数学家祖冲之早在1500多年前就算出圆周
率π的值在3.141 592 6和3.141 592 7之间，这是
我国古代数学家的一大成就，请问你知道祖冲之是
怎样算出π的近似值的吗？
问题3: 有一杯1升的水，其中漂浮有1个微生物， 用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含 有这个微生物的概率.
P（获得10得50元购物券）= 2 1 , 20 10
P（获得20元购物券）= 4 1. 20 5
2.(2014·湖南高考)在区间[-2,3]上随机选取一
个数 X,则 X≤1 的概率为( B )
4
3
2
1
A. 5
B. 5
C. 5
D. 5
【解析】选 B.基本事件空间为区间[-2,3],它的度
答：AM＜AC的概率为22 .
M C′ B
结论
构成事件A的区域长度
P( A)
.
试验的所有可能出现的结果所构成的区域长度
例3. 小明家的晚报在下午5：30～6：30的任何一个时 间随机地被送到，小明一家人在下午6：00～7：00的 任何一个时间随机地开始晚餐. （1）你认为晚报在晚餐开始之前被送到和在晚餐开始 之后被送到哪一种可能性更大？ （2）晚报在晚餐开始之前被送到的概率是多少?
区域D的面积(长度或体积)
注:利用这个定理
D
可以求出不规则图
d
形的面积、体积.
用模拟方法估计圆周率的值
我国古代数学家祖冲之早在1500多年前就算出圆周
率π的值在3.141 592 6和3.141 592 7之间，这是
我国古代数学家的一大成就，请问你知道祖冲之是
怎样算出π的近似值的吗？
高中数学北师大版必修三3.3 教学课件 《模拟方法--概率的应用》
北京师范大学出版社 | 必修三
探索新知
基 （1）几何概率模型：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 本 长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。 概 念
（3）几何概型的特点：1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个。
2）每个基本事件出现的可能性相等。
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方法小结：
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1.几何概型是区别于古典概型的又一概率模型，使用几何概型的概率计算公式时，一定要注意其适 用条件：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例 。 2.均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随 机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量 （如概率值、常数）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量 。
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3.利用概率来估计数值的题目的两个步骤： （1）求概率:先利用频率等方法求出事件的概率。 （2）估计值:利用概率的稳定性,根据频率公式估计数值。
作业
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1.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)在区间[0,3]内任意取一个数,则此数大于 2 的概率为______。 (2)如图所示,转盘上有 8 个面积相等的扇形,转动转盘,则转盘停止转动时指 针落在阴影部分的概率为________。
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例题解析
例 1 (1)(2013·福建高考)利用计算机产生 0～1 的均匀随机数 a,则事件“3a-1>0”的概率 为________。 (2)(2013·宝鸡高二检测)已知实数 a 满足下列两个条件:
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等的.
2.“P(A)=0”与“A是不可能事件”以及“P(A)=1”与 “A是必然事件”的关系
在几何概型中，设A为随机事件.
(1)若随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长
度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它
不是不可能事件，因此由P(A)=0不能推出A是不可能事 件.
(2)若一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一 个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因
即 2 <p≤1或p≥2；又因为p∈[0，5]，
3
所以使方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的p的取值范围
2 ( 1] ∪[2，5]， 为 ， 3
2 (1 ) 5 2 2 故所求的概率： 3 . 50 3 2 答案： 3
【方法技巧】 1.与长度有关的几何概型问题的计算公式
1 域占整个圆形区域面积的 2 1 域内的概率为 . 2
，所以玻璃球落入A区
3.在5万km2的某海域里有表面积达40km2的大陆架储藏 着石油.若在这海域里随意选定一点钻探，则钻到石油
的概率是(
1 A. 1 250
)
1 B. 250 1 C. 8 1 D. 125
【解析】选A.P=
40 1 . 50 000 1250
此由P(A)=1不能推出A是必然事件.
(3)若A是不可能事件，则P(A)=0肯定成立；若A是必然 事件，则P(A)=1肯定成立.
3.古典概型与几何概型的区别与联系 (1)古典概型和几何概型都是两种重要的概率模型，用
古典概型求解的概率问题，与用几何概型求解的概率
问题的思路是相同的. (2)古典概型和几何概型都是在随机事件“等可能”的
【解析】1.选C.令x2-x-2=0，得x1=-1，x2=2，f(x)的 图像是开口向上的抛物线，与x轴的交点为(-1，0)，
(2，0)，所以当图像在x轴下方时，满足f(x0)≤0，此
3 . 时x0的取值范围为[-1，2]，所以P= 5 5 10 2 1
2.选B.如图所示，画出时一个数p，则方程 x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为________.
【解题探究】1.典例1中f(x)=x2-x-2≤0的x的取值范 围是多少？ 提示：解方程x2-x-2=0，得x1=-1，x2=2；所以满足不 等式x2-x-2≤0的解为-1≤x≤2.
2.典例2中小明在哪个时间段内到达等车时间不超过10 分钟？
提示：在7：50～8：00与8：20～8：30之间到达等车
时间不超过10分钟.
3.方程x2+2px+3p-2=0有两个负根满足什么条件？ 提示：方程x2+2px+3p-2=0有两个负根必须满足判别式
大于或等于零，两根和小于零，两根积大于零 .
S圆 S正方形
12 . 2 2 4
2.如图，在地面上放置一个塑料圆盘，某人将一粒玻 璃球丢到该圆盘中，则玻璃球落在A区域内的概率是
(
)
1 A. 2
1 B. 8
1 C. 4
D.1
【解析】选A.玻璃球丢在该圆盘内，玻璃球落在各个 区域内是随机的，也是等可能的，并且在该圆盘的任
何位置是无限多种，因此该问题是几何概型.由于A区
2.几何概型的概率计算公式
G1的面积(长度或体积) . G的面积(长度或体积) P(点M落在G1)=________________
【即时小测】 1.如图，边长为2的正方形内有一内切圆.在图形上随
机撒一粒黄豆，则黄豆落到圆内的概率是(
)
A. 4
4 B.
4 C. 4
4 D.
【解析】选A.由题意，P=
如果试验的结果构成的区域可用长度表示，则其概率
A.1 2 B. 3 3 C. 10 2 D. 5
)
2.(2016·全国卷Ⅰ)某公司的班车在7：30，8：00，8： 30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班 车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不 超过10分钟的概率是(
1 A. 3 1 B. 2 2 C. 3 3 D. 4
4.在区间[0，3]内任意取一个数，则此数大于2的概率 为________.
【解析】由于区间[0，3]的长度为3，区间(2，3]的长
1 度为1，故所求概率为P= 3 答案：1 3
.
【知识探究】 探究点 几何概型的概念公式
1.几何概型中的有限区域(集)G只限制为面积吗？
提示：不只是面积.几何概型中的有限区域(集)G还可 以是空间中或直线上的有限区域，相应的概率是体积
小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中，而当他 到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间 不超过10分钟，根据几何概型，所求概率P= 10 10 1．
40 2
3.方程x2+2px+3p-2=0有两个负根的充要条件是
2p 2 4 3p 2 0， 2p 0， 3p 2 0，
之比或长度之比.
2.几何概型的概率计算与构成事件的区域形状有关系 吗？
提示：几何概型的概率与构成事件的区域的长度(面积
或体积)有关，而与构成事件的区域形状无关.
【归纳总结】 1.几何概型的特点
(1)无限性.在一次试验中，可能出现的结果有无限个，
即无限个不同的基本事件. (2)等可能性.每个基本事件发生的可能性(概率)是均
同一前提下.
(3)此两种概型又有严格意义上的不同：古典概型中试 验的基本事件的个数是有限的，而几何概型中试验的
基本事件的个数是无限的，在具体问题的求解中要严
格区分.
类型一
与长度有关的几何概型
【典例】1.函数f(x)=x2-x-2，x∈[-5，5]，那么任取 一点x0∈[-5，5]，使f(x0)≤0的概率为(
§3
模拟方法——概率的应用
【自主预习】 1.几何概型的概念
有限区域 集合)G内随机地投掷点M，若点M 向平面上_________(
落在子区域G1
1的面积 成正比，而与G的 G的概率与G ________
形状 、_____ 位置 无关，则称这种模型为几何概型. _____
几何概型中的G也可以是空间中或直线上的有限区域， 体积 之比或_____ 长度 之比. 相应的概率是_____