2014届高考数学一轮复习 第67讲《互斥事件、独立事件与条件概率》热点针对训练 理
《互斥事件和独立事件》 讲义
《互斥事件和独立事件》讲义在概率统计的领域中，互斥事件和独立事件是两个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种概率问题以及深入理解随机现象的本质具有关键意义。
一、互斥事件互斥事件，又称为互不相容事件，指的是两个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，“出现点数为1”和“出现点数为2”就是互斥事件，因为骰子不可能在一次投掷中既出现 1 点又出现 2 点。
用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即A ∩ B ＝∅。
互斥事件的概率计算相对较为简单。
如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 或事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。
举个例子，一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机取出一个球，“取出红球”和“取出蓝球”就是互斥事件。
如果我们想知道取出红球或者蓝球的概率，那就是 5 ／ 8 ＋ 3 ／ 8 ＝ 1 。
需要注意的是，多个事件之间也可能存在互斥关系。
例如，掷一枚骰子，“出现点数为1”“出现点数为2”“出现点数为3”这三个事件就是两两互斥的。
二、独立事件独立事件则是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
比如说，今天下雨和明天是否下雪，通常可以认为是两个独立事件，今天下雨与否不会影响明天下雪的概率。
用数学语言来表达，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件A 和事件 B 同时发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 发生的概率，即P(A ∩ B) ＝ P(A) × P(B) 。
例如，抛一枚均匀的硬币两次，第一次抛硬币出现正面和第二次抛硬币出现正面就是两个独立事件。
第一次抛硬币出现正面的概率是 1 ／ 2 ，第二次抛硬币出现正面的概率也是 1 ／ 2 ，那么两次都出现正面的概率就是 1 ／ 2 × 1 ／ 2 ＝ 1 ／ 4 。
高考考案数学理科第一轮复习课件10.4互斥事件、独立事件与条件概率
若 n 次重复试验， 每次试验结果的概率都不依赖于其他 各次的试验结果，则称这 n 次试验是独立的．难点就是要能 清晰准确地判断出事件是不是独立的，求概率的公式较多， 要理解意思了以后再理解概率公式． 三、条件概率 1．条件概率的定义 P（AB） 设 A， B 为两个事件， 且 P(A)>0， 则称 P(B|A)＝ P（A） 为在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率． 2．条件概率的性质 ①0≤P(B|A)≤1；
A．0.9 B．0.92 C．0.96 D．0.98 目标被射中的概率为 1－ (1 － 0.9)× (1 － 0.8)＝ 1 －0.02＝0.98. D 4 3．某一批花生种子，如果每 1 粒发芽的概率为 ，那么 5 播下 3 粒种子恰有 2 粒发芽的概率是( )． 12 16 48 96 A. B. C. D. 125 125 125 125 由 n 次独立重复试验恰有 k 次发生的概率公式得： 4 48 2 4 2 P3(k＝2)＝C3( ) ×(1－ )＝ . 5 5 125
§10.4 互斥事件、独立事件与条件概率
1．互斥事件 了解互斥事件的概念及两个互斥事件的概率加法公式． 2．独立事件 了解两个事件相互独立的概念， 理解 n 次独立重复试验 的模型． 3．了解条件概率的概念．
一、互斥事件 对于事件 A 和事件 B：若 A∩B 为不可能事件，则称 A、 B 为互斥事件；若 A、B 为互斥事件且 A∪B 为必然事件，则 称 A、B 为对立事件，通常 A 的对立事件记作－ A. 互斥事件有一个发生的概率： 若事件 A 与 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 推广情况： 若事件 A1，A2，…，An 彼此互斥，则 P(A1∪A2∪…∪An) ＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 两个概率的计算公式：如果事件 A 与 B 互斥，则 P(A∪ B)＝P(A)＋P(B)；
随机事件的独立性与互斥性知识点
随机事件的独立性与互斥性知识点随机事件是指在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件。
在概率论中，研究随机事件之间的关系非常重要，其中独立性与互斥性是两个基本概念。
本文将介绍随机事件的独立性与互斥性的定义、性质以及在实际问题中的应用。
一、独立事件的定义与性质独立事件是指两个或多个事件发生的结果不会相互影响的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 的发生与否不会对事件 B 的发生产生影响，反之亦然。
独立事件的性质如下：1. 乘法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们同时发生的概率等于它们分别发生的概率之积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
2. 加法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
独立事件的性质保证了事件之间的独立性，使得我们可以通过简单的计算得到复杂事件的概率。
二、互斥事件的定义与性质互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。
具体来说，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 的发生就排除了事件 B 的发生，反之亦然。
互斥事件的性质如下：1. 加法公式：对于两个互斥事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和，即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
互斥事件的性质使得我们可以通过计算事件的发生概率，确定事件之间的关系，从而进行合理的判断和决策。
三、独立事件与互斥事件的区别与联系独立事件和互斥事件都是描述随机事件之间关系的概念，但它们的定义和性质有所不同。
1. 独立事件是指两个或多个事件的发生结果不会相互影响，而互斥事件是指两个事件不可能同时发生。
2. 独立事件的加法公式和乘法公式可以用于计算独立事件的概率，而互斥事件只需要使用加法公式就可以计算。
独立事件和互斥事件在实际问题中有着广泛的应用。
根据高中数学概率论定理总结：事件的互斥与独立性
根据高中数学概率论定理总结：事件的互斥与独立性高中数学概率论涉及到事件的互斥与独立性，这两个概念在概率计算中非常重要。
本文将总结和解释这些概念的相关理论。
1. 事件的互斥性互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生的情况。
在数学中，两个事件A和B互斥意味着它们没有公共的结果。
假设事件A是投掷一个骰子得到结果为1，事件B是投掷一个骰子得到结果为6。
由于骰子的结果只能是一个数字，事件A和事件B是互斥的，因为它们不能同时发生。
事件的互斥性可以用以下公式表示：P(A ∩ B) = 02. 事件的独立性独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响。
在数学中，两个事件A和B独立意味着事件A的发生不会对事件B的发生产生影响，反之亦然。
假设事件A是抽取一张红色扑克牌，事件B是抽取一张黑色扑克牌。
如果每次抽牌后都将抽出的牌放回牌组中，那么事件A和事件B是独立的，因为每次抽牌的结果都不会对下次抽牌的结果产生影响。
事件的独立性可以用以下公式表示：P(A ∩ B) = P(A) * P(B)3. 性质- 互斥事件一定是不独立的，因为它们的发生是互相排斥的。
- 独立事件不一定是互斥的，因为它们的发生可以同时存在。
4. 应用互斥性和独立性概念在实际生活中有广泛的应用。
例如，在进行赌博游戏时，不同的赌注之间往往是互斥的，因为只能选择其中一项进行下注。
另一个应用是在进行统计和概率计算时，需要判断事件之间的互斥性和独立性。
这有助于准确预测事件的发生概率和计算复杂事件的联合概率。
总结根据高中数学概率论定理，我们可以了解事件的互斥与独立性的概念。
互斥事件是指两个或多个事件不能同时发生，而独立事件是指一个事件的发生不受其他事件的影响。
这些概念在概率计算和实际生活中都有重要的应用。
高考数学一轮总复习 第67讲 互斥事件、独立事件与条件概率课件 理 新人教A版
(1)有放回地在第三个盒子中连续取球 4 次，求这 4 次中 有 2 次取到红球的概率；
(2)先在第一个盒子中任取一球，若取到标有字母 A 的球， 则在第二个盒子中任取一球，若取到标有字母 B 的球，则在 第三个盒子中任取一球，求第二次取出的是红球的概率．
故所求事件的概率 P＝P(A1＋A2＋A3) ＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝CC31330＋CC23C31017＋CC13C31027＝1274.
第二十五页，共50页。
【点评】分析求解有关复杂事件的概率的常用途径是： ①依据某标准将复杂事件分拆为彼此互斥的若干个简单事 件；②依据“正难则反”的思想，将问题转化为其对立事件 的概率．
第十六页，共50页。
4.(2011·湖南卷)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆内
接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件
“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形
OHE(阴影部分)内”，则：
(1)P(A)＝
2 π
；
(2)P(B|A)＝
1 4
.
第十七页，共50页。
【解析】(1)S 圆＝π，S 正方形＝( 2)2＝2， 根据几何概型的求法有：P(A)＝SS正圆方形＝π2； (2)由∠EOH＝90°，S△EOH＝41S 正方形＝21，
第三十六页，共50页。
(2)3 人中有 2 人被选中的概率 P2＝P(AB C ＋A B C＋ A BC) ＝52×34×(1－31)＋25×(1－34)×31＋(1－52)×34×31 ＝2630， 3 人中只有 1 人被选中的概率
概率论中的事件独立与互斥
概率论中的事件独立与互斥在概率论这一充满神秘与逻辑的领域中，事件的独立与互斥是两个极为重要的概念。
理解它们，不仅有助于我们更深入地探索概率世界的奥秘，还能在实际生活中的诸多情境中，帮助我们做出更准确的判断和决策。
首先，让我们来谈谈事件的互斥。
互斥事件，简单来说，就是指两个事件不能同时发生。
比如说，掷一枚骰子，“出现点数为1”和“出现点数为2”这两个事件就是互斥的，因为骰子在一次投掷中不可能既出现 1 点又出现 2 点。
再比如，从一副扑克牌中抽一张牌，“抽到红桃”和“抽到黑桃”也是互斥事件。
互斥事件有一个非常重要的特点，那就是如果事件 A 和事件 B 互斥，那么它们的概率之和等于它们的并集的概率。
用数学公式来表示就是：P(A 或 B) ＝ P(A) ＋ P(B)。
例如，掷骰子出现奇数点（1、3、5）的概率是 1/2，出现偶数点（2、4、6）的概率也是 1/2，因为这两个事件互斥，所以出现奇数点或者偶数点的概率就是 1/2 ＋ 1/2 ＝ 1，这是完全符合我们的常识的。
接下来，我们再看事件的独立。
独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。
比如，今天下雨和明天是否考试，这两件事通常就是相互独立的。
再比如，你第一次抛硬币得到正面，这并不影响你第二次抛硬币得到正面的概率，所以这两次抛硬币就是独立事件。
对于独立事件，它们同时发生的概率等于各自发生概率的乘积。
用公式表示就是：P(A 且 B) ＝ P(A) × P(B)。
例如，抛一枚均匀的硬币，第一次抛得到正面的概率是 1/2，第二次抛得到正面的概率也是 1/2，那么连续两次抛硬币都得到正面的概率就是 1/2 × 1/2 ＝ 1/4。
那么，互斥事件和独立事件之间有什么关系呢？实际上，互斥事件和独立事件是两个不同的概念，它们之间没有必然的联系。
有些时候，互斥事件不是独立事件。
比如，在一个袋子里有 3 个红球和 3 个蓝球，不放回地抽取两次，第一次抽到红球和第二次抽到红球这两个事件是互斥的，因为第一次抽到红球后，袋子里红球的数量减少了，第二次抽到红球的概率就发生了变化，所以它们不是独立事件。
互斥事件与相互独立事件(高三复习)
3)根据对立事件的意义，A＋A 是一个 必然事件，它的概率等于1。
又由于A与 A 互斥，我们得到 P(A+A)＝P(A)＋P(A )＝1
对立事件的概率的和等于1
P（ A ）＝1－P（A）
Ⅰ.相互独立事件：
一个事件的发生与否对另一事件发生的概率 没有影响的两个事件叫相互独立事件.
Ⅱ.互 斥 事 件 ： 指同一次试验中的两个事件不可能同时发生 相互独立事件指： 在不同试验下的两个事件互不影响.
互斥事件有一个发生的概率
事件A与 B 不可能同时发生．这种 不可能同时发生的两个事件叫做互 斥事件．
一般地，如果事件
中的任
何两个都是互斥的，那么就说事件
彼此 ．
对立事件
其中必有一个发生的互斥事件叫做 对立事件。事件A的对立事件通常 记作 。
A
设 、 是两个互斥事件，那么 表 示这样一个事件：在同一试验中，其中有一 个发生就表示它发生．那么事件 的概率 是多少？
要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发
生的概率都是一样的；
(3)此公式仅用于独立重复试验．
天遍地飞出数不清的钻石，顷刻间绚丽多姿的钻石就同时绽放，整个大地和天空立刻变成了怪异的海洋……空气中瞬间绕动出神奇的鬼光之香……飞进主楼巍巍的紫红色 棱柱形前门，无比空阔豪华的大厅让人眼前一亮，扑面而来的空气能发出一种极稀有的悦耳风声并荡漾着阵阵绵香，这让人感觉有些迷茫怪异……大厅前方三尊超大的湖 青色翡翠坐姿神像神态诡秘地笑着，好像想出了一个得意的妙计。大厅两侧摆放着珍贵的文物奇石，在变幻幽淡的灯光下转动生辉……墙上超大的壁画凝重神秘……铺着 地毯的通道两旁，四十多米高的，活像一列威武齐整，玉树临风的仪仗队的美玉雕像威猛剽悍，神态冷漠。雕像之间八十多米高的，巨盆的鹅黄色的十球水滴形的亮光奇 花，肃穆而淡雅……抬头看去，大厅顶部上亿颗焰火雾淞般的梦幻吊灯，把大厅装点得分外辉煌。大厅正面中央的宝座上仍然坐着主ｌ官女总管瑶雯娃姑婆两旁还是坐着 那些副ｌ官和监ｌ官！一阵的钟声响过，主ｌ官女总管瑶雯娃姑婆站起身来，然后 看着蘑菇王子和知 知爵士问道：“你们两个准备好没有？”蘑菇王子答道：“我们准备好 了！”主ｌ官女总管瑶雯娃姑 分子泵 复合分子泵 高真空分子泵 / 磁悬浮分子泵 分子泵机组 分子泵系统 婆大声道：“那就开始吧！”女总管 瑶雯娃姑婆刚刚说完，就见深红色个穿着深红色琥滢琥滢衣的司仪官同时用手朝空中一指，随着五道闪光，整个大厅像菊花一样展开怒放，然后纷纷向远方退去，逐渐消 失在地平线之下……接着只见一座几乎无底透明、正在凌空漫游的巨大蛙掌形运动场，加速地在蘑菇王子和知知爵士的脚下展现出来，而悬空漫游的巨大运动场下面竟然 是一片虚幻俊傲、闷热中有些奇寒的灰蓝色水晶宫！悬浮在半空的ｌ场宏大巍峨、气势非凡，整个ｌ场由八座蛋形的天蓝色大型看台和一个东西长九公里，南北长九公里的 乳白色的比赛场地构成。一缕阳光透过云层照在雄浑的ｌ场上，让洒满金辉的ｌ场在天蓝色的天空和金橙色的云朵映衬下越发怪异夺目……ｌ场四周悬浮着十几处色彩造型 各不相同的看台，看台上坐满了将近五十亿前来观看的师生，他门都穿着节日的盛装，远远看去就像一片片不断变幻色彩的云海……所有前来观看的师生都带着一只备有 压缩彩屏的三维，虽然只有拇指大小，但彩屏展开后最大面积却可达到只十英寸，使用时只要把插到座席前的折叠桌上，就可以从各种角度和距离观看现场所有的超清晰 立体景像。这毕竟是几十年都难得一见的盛大表演！虽然宇宙之大无奇不有，但敢拿万倍学资玩跳级的学生并不多见！所以整个ｌ场的气氛显得十分热烈高涨……在场地 中央悬浮着一片几乎透明的巨大玉米形草坪，草坪上盛长着厚羊绒般柔软而富有弹力
高三数学第一轮复习讲义
高三数学第一轮复习讲义高三数学第一轮复习讲义相互独立事件的概率一．复习目标：1．了解相互独立事件的意义，会求相互独立事件同时发生的概率； 2．会计算事件在次独立重复试验中恰好发生次的概率．二．知识要点：1．相互独立事件的概念：．2．是相互独立事件，则次试验中某事件发生的概率是，则次独立重复试验中恰好发生次的概率是．三．课前预习：1．下列各对事件（1）运动员甲射击一次，“射中环”与“射中环”，（2）甲、乙二运动员各射击一次，“甲射中环”与“乙射中环”，（3）甲、乙二运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与，“甲、乙都没有射中目标”，（4）甲、乙二运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与，“甲射中目标但乙没有射中目标”，是互斥事件的有（1），（3）．相互独立事件的有（2）．2．某射手射击一次，击中目标的概率是，他连续射击次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第次击中目标的概率是；②他恰好击中目标次的概率是；③他至少击中目标次的概率是，其中正确结论的序号①③ ． 3．件产品中有件次品，从中连续取两次，（1）取后不放回，（2）取后放回，则两次都取合格品的概率分别是．4．三个互相认识的人乘同一列火车，火车有节车厢，则至少两人上了同一车厢的概率是（）5．口袋里装有大小相同的黑、白两色的手套，黑色手套只，白色手套只，现从中随机地取出两只手套，如果两只是同色手套则甲获胜，两只手套颜色不同则乙获胜，则甲、乙获胜的机会是（）甲多乙多一样多不确定四．例题分析：例1．某地区有个工厂，由于电力紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响．（1）求个工厂均选择星期日停电的概率；（2）求至少有两个工厂选择同一天停电的概率．解：设个工厂均选择星期日停电的事件为．则．（2）设个工厂选择停电的时间各不相同的事件为．则，至少有两个工厂选择同一天停电的事件为．小结：个工厂均选择星期日停电可看作个相互独立事件．例2．某厂生产的产品按每盒件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂．质检办法规定：从每盒件产品中任抽件进行检验，若次品数不超过件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格．已知某盒产品中有件次品．（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果不一致的概率．解: (1)从该盒件产品中任抽件，有等可能的结果数为种，其中次品数不超过件有种，被检验认为是合格的概率为．(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为．答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为．例3．假定在张票中有张奖票（个人依次从中各抽一张，且后抽人不知道先抽人抽出的结果，（1）分别求第一，第二个抽票者抽到奖票的概率，（2）求第一，第二个抽票者都抽到奖票的概率．解：记事件：第一个抽票者抽到奖票，记事件：第一个抽票者抽到奖票，则（1）小结：因为，故A与B是不独立的．例4．将一枚骰子任意的抛掷次，问点出现（即点的面向上）多少次的概率最大？解：设为次抛掷中点出现次的概率，则，∵由，得，即当时，单调递增，当时，单调递减，从而最大．五．课后作业：班级学号姓名1．将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数的正方体玩具）先后抛掷次，至少出现一次点向上的概率是 ( )2．已知盒中装有只螺口与只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第次才取得卡口灯炮的概率为：（）3．一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是，这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是；4．甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92.求该题被乙独立解出的概率。
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第67讲 互斥事件、独立事件与条件概率
1.(2012·广东省执信中学上期期末)某商场在春节举行抽奖促销活动，规则是：从装有编为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率是( B )
A.13
B.23
C.14
D.34
解析：中一等奖的概率是1C 24＝16，中二等奖的概率是1C 24＝16，中三等奖的概率是2C 24＝1
3
，所
以中奖的概率为16＋16＋13＝2
3
，故选B.
2.(2013·太原市第一次模拟)甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是23和3
4，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( D )
A.12
B.14
C.16
D.512
解析：设甲加工为一等品，乙加工为非一等品的事件为A ，乙加工为一等品，甲加工为
非一等品的事件为B ，则两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A )＋P (B )＝23×14＋13×3
4
＝
5
12
，故选D. 3.(2012·安徽省“江南十校”3月联考)现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( B )
A.16
B.56
C.1027
D.1727
解析：甲、乙两人被分到同一社区的概率为A 3
3C 24A 33＝1
6
，则甲、乙两人被分到不同社区的概
率为1－16＝5
6
，故选B.
4.(2012·浙江省重点中学协作体4月联考)在三次独立重复试验中，事件A 在每次试
验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为63
64
，则事件A 恰好发生一次的概率为
( C )
A.14
B.34
C.964
D.2764
解析：设事件A 发生的概率为P ，事件A 不发生的概率为P ′，则有：1－(P ′)3
＝6364
⇒
P ′＝14，故P ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×(14)2＝
964
，故选C. 5.在一段时间内，甲去某地的概率为14，乙去此地的概率为1
5
，假定两人的行动相互没
有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是 2
5
.
解析：至少有1人去此地包含有3个互斥事件，(1)甲去乙未去，(2)甲未去乙去，(3)甲、乙都去．
所以至少有1人去此地的概率为14×(1－15)＋15×(1－14)＋14×15＝2
5
.
6.(2012·安徽省马鞍山市4月第二次质量检测)甲乙两人向目标各射击一次(甲、乙
相互没有影响)．甲的命中率为12，乙的命中率为7
10
.已知目标被击中，则目标被甲击中的概
率为 1017 .
解析：设“甲命中”为事件A ，“乙命中”为事件B ，“目标被击中”为事件C ，则P (A )＝12，P (C )＝1－P (A －)P (B －)＝1－(1－12)(1－710)＝1720，则P (A |C )＝P A ∩C P C ＝P A P C ＝1017
.
7.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则：
(1)P (A )＝ 2
π ；
(2)P (B |A )＝ 1
4 .
解析：(1)S 圆＝π，S 正方形＝(2)2
＝2，
根据几何概型的求法有：P (A )＝S 正方形S 圆＝2
π；
(2)由∠EOH ＝90°，S △EOH ＝14S 正方形＝1
2
，
故P (B |A )＝S △EOH S 正方形＝122＝1
4
.
8.一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求：
(1)第1次抽到红球的概率；
(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；
(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率； (4)抽到颜色相同的球的概率．
解析：设A ＝{第1次抽到红球}，B ＝{第2次抽到红球}， 则第1次和第2次都抽到红球为事件AB .
从第5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n (Ω)＝A 2
5＝20，
(1)由分步计数原理，n (A )＝A 13·A 1
4＝12，
于是P (A )＝n A n Ω＝1220＝3
5.
(2)P (AB )＝n AB n Ω＝620＝3
10
.
(3)(方法一)在第1次抽到红球的条件下，当第2次抽到红球的概率为
P (B |A )＝P AB P A ＝31035＝12
，
(方法二)P (B |A )＝n AB n A ＝612＝1
2
.
(4)抽到颜色相同球的概率为
P ＝P (两次均为红球)＋P (两次均为白球) ＝3×220＋2×120＝25
. 9.(2012·北京市西城区一模改编)乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．
(1)求甲以4比1获胜的概率；
(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率．
解析：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是1
2
，记“甲以4比
1获胜”为事件A ，
则P (A )＝C 34(12)3(12)4－31
2＝18
.
(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ， 因为，乙以4比2获胜的概率为
P 1＝C 35(12)3(12)
5－312＝5
32
， 乙以4比3获胜的概率为
P 2＝C 36(12)3(12)
6－312＝5
32
， 所以P (B )＝P 1＋P 2＝5
16
.。