(东南大学高数课件)§1.5.4间断点及其分类

x∈[ a,b]
y
M µ
y= f (x)
使得 f (c) = µ 。 Nhomakorabeam
o
a
c
b
x
定理 7 的几何意义是：连续曲线弧 y = f (x ) 与直线 y = µ 至少有一个交点。
证明： 证明：若 m = M ，则 f (x ) 在 [a, b] 上为常数，结论成立。
设 m< M ，由定理 5，存在 x′, x′′∈[a, b] ，使得 定理
1 k 使得 f (c) = ∑ f ( xi ) 。 k i=1
作
业
P34） 习 题 八 （P34）
1(2)(3)(5) ； 2(1)(2) ； 3(1)(3)(5) ； 4(1)(2)(4) 。
P35） 总 习 题 （P35）
2 ；3 ；4(2)(4)(5) ； 6 ；7.
1.5.4 1.5.4 间断点及其分类
1.间断点的定义
定义 3 若函数 f ( x )在 N ( x , δ) 有定义，且 f ( x )在点 x
不连续，则称点 x 为f (x ) 的不连续点 不连续点（或间断点 。 间断点） 不连续点 间断点
如果函数 f (x) 有下列三种情况之一： （1）在 x = x 没有定义； （2）虽在 x = x 有定义，但 lim f ( x) 不存在；
类间断点。
①若 f ( x − 0) ≠ f ( x + 0) ，则称 x 是 f ( x) 的 跳跃间断点； 跳跃间断点
②若 f ( x − 0) = f ( x + 0) ，则称 x 是 f ( x) 的 可去间断点 可去间断点。
（2） ）第二类 间断点
若 f ( x − 0) 和 f ( x + 0) 中至少有一个不存在，则 称 x 是
+
1
x x→1 1− e 1− x
+
=1 ，
∴ x =1 为第一类间断点 第一类间断点，且是跳跃间断点 跳跃间断点。 第一类间断点 跳跃间断点
1 , x ≠1 ( x − 1) arctan 2 （2） f ( x) = . x −1 x , x =1
解： f (x ) 是分段函数， x = ±1 是“分界点” 。
当 x ≠ ±1 时， 根据初等函数在其定义区间上是连续 的结论，知 f (x) 在 ( −∞, −1), ( −1, 1), (1, + ∞ ) 内连续。 1 ∵ lim f ( x) = lim ( x − 1) arctan 2 = 0 ， f (1) = 1 ， x→1 x→1 x −1
∴ lim f ( x) ≠ f (1) ，
且 F ( x′) = f ( x′) − µ < 0 ， F ( x′′) = f ( x′′) − µ > 0 ，
由定理 6 ，存在 c ∈ ( x ′, x ′′) ⊂ [ a , b ] ， 使得 F (c ) = 0 ， 定理
即 f (c) = µ 。
例 6．证明方程 x ⋅ 2 x − 1 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个实数根。
f ( x′) = m, f ( x′′) = M 。不妨设 x′ < x′′ 。
若 µ = f ( x′) 或 µ = f ( x′′) ，则 取 c = x′ 或 c = x′′ 即可。
若 f ( x ′) < µ < f ( x ′′) ， F ( x) = f ( x) − µ ， 令
则 F ∈ C[ x′, x′′ ] ，
证明：令 f ( x ) = x ⋅ 2 −1 ，则 f ∈ C [ 0 , 1] ， 证明
∵ f (0) = −1< 0 ， f (1) =1> 0 ，
x
∴ 存在 c∈(0, 1) ，使 f (c) = c ⋅ 2c −1= 0 ，
即方程 x ⋅ 2 x −1 = 0 在 ( 0, 1) 内至少有一个实数根。
且是无穷间断点 无穷间断点。 无穷间断点
1 例 2．∵ y = sin 在 x = 0 处无定义， x
1 ∴ x = 0 是 y = sin 的一个间断点。 x
1 ∵ lim sin 不存在， x x→0
1 ∴ x = 0 是 y = sin 的第二类间断点 第二类间断点。 第二类间断点 x
x −1 例 3．∵ f ( x) = 在点 x =1 处无定义， x −1
x +1, −1≤ x < 0, 例如： f ( x) = 0, x = 0 x −1, 0 < x ≤1,
y
1
-1
o
-1
1
在 [−1, 1] 上无最大值和最小值。
x
定理 6（零点定理） 设 f ∈C[a, b] ，且 f (a)⋅ f (b) < 0 ， 零点定理） 则至少存在一点 c∈(a, b) ，使得 f (c) = 0 。
x→x x→x
（3）虽在 x = x 有定义，且 lim f ( x) 存在，但 lim f ( x) ≠ f ( x ) ，
x→x
则 f ( x)在点 x 不连续。
（设 x 是 f ( x ) 的 间断点。 ）
） （1）第一类间断点
若 f ( x − 0) 和 f ( x + 0) 都存在，则称 x 是 f ( x) 的 第一
若改变定义： f (0) = 1 ，则 f (x) 在点 x = 0 处连续。
例 5．讨论下列函数的连续性，并指出间断点的类型。
（1） f ( x) = 1
x 1− e 1− x
解：间断点为 x = 0 ， x = 1 ，
f ( x) 在 (−∞, 0), (0, 1), (1, + ∞) 内连续。
3
∴必存在 x1 , x2 ( x1 < x2 ) ，使得 f ( x1 ) < 0, f ( x2 ) > 0 ，
而 f ( x) 在 [ x1 , x 2 ] 上连续，
故由零点定理知，必存在 c ∈( x1 , x2 ) ，使得 f (c ) = 0 ，
即方程 x + ax + bx + c = 0 必有实根。
注：如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论 不一定成立。
1 例如： f ( x) = ∈C (0, 1) ，但 f (x) 在 (0, 1) 内无界。 x
最大—最小值定理） 定理 5（最大—最小值定理）设 f ∈ C[a, b] ，则存在
x ′, x ′′ ∈ [a, b] ， ∀x ∈ [a, b] ，有 f ( x′) ≤ f ( x) ≤ f ( x′′) 。
∵ lim f ( x) = lim
x→0
1
x x→0 1− e 1− x
=∞ ，
∴ x = 0 为第二类间断点 第二类间断点，且是无穷间断点 无穷间断点。 第二类间断点 无穷间断点
∵ lim f ( x) = lim
x→1
−
1
x x→1 1− e 1− x
−
=0 ，
x→1
lim f ( x) = lim
x →1
故 x = 1 为第一类间断点 第一类间断点，且是可去间断点 可去间断点。 第一类间断点 可去间断点
∵ lim f ( x) = lim ( x − 1) arctan
x→ −1− x→ −1−
1 x −1
2
= −π ，
x→ −1+
x → −1
lim f ( x) = lim ( x − 1) arctan
无穷间断点。 f (x) 的 第二类间断点。其中极限为 ∞ 者称为无穷间断点 无穷间断点
π 例 1．∵ y = tan x 在 x = 处无定义， 2 π ∴ x = 是 y = tan x 的一个间断点。 2
∵ lim tan x = ∞ ，
x→ π 2
π ∴ x = 是 y = tan x 的第二类间断点 第二类间断点， 第二类间断点 2
1 sin x ∵ f (0 − 0) = lim =1 ， f (0 + 0) = lim ( x sin +1) =1 ， x x→0 + x→0 − x
∴ lim f ( x) = 1 ， 但 lim f ( x ) =1 ≠ f (0) = 0 ，
x →0
x→0
第一类间断点，且是可去间断点 可去间断点。 ∴点 x = 0 是 f (x) 的第一类间断点 第一类间断点 可去间断点
y
y= f (x)
f (x′)
f (x′′)
o
a x′
x′′ b
x
（1）如果不是闭区间而是开区间，那么定理的结论不 注： 一定成立。例如： f ( x) = x 在 (−1, 1) 内连续，但
f ( x) = x 在 (−1, 1) 内无最大值也无最小值。
（2）如果 f (x) 在闭区间上有间断点，那么定理的结论 不一定成立。
x −1 ∴ x =1 是 f ( x ) = 的一个间断点。 x −1 2 x −1 ∵ lim f ( x) = lim = lim ( x +1) = 2 ， x→1 x→1 x −1 x→1
2
2
x 2 −1 ∴ x =1 是 f ( x ) = 第一类间断点，且是可去间断点 可去间断点。 的第一类间断点 第一类间断点 可去间断点 x −1
3
2
例 8．设 f ∈C[ a, b] ，证明：若 a < x1 < x2 <⋯< xk < b
1 k （ k 为某一正整数） ，则存在 c∈[a, b] ，使 f (c) = ∑ f ( xi ) 。 k i=1
证明：∵ f ∈C[a, b] ， [ x1, xk ] ⊂ [ a, b] ，∴ f (x) ∈C [ x1 , x k ] ， 证明