勾股定理思维导图 题型总结
专题20 勾股定理(解析版)
1
变式：
1）a²=c²- b²
2）b²=c²- a²
适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应
用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。
勾股定理的证明：
勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法
用拼图的方法验证勾股定理的思路是：
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变
【详解】如图，连接 AD，
4
∵AB=AC，∠BAC=120°，D 为 BC 的中点，
∴∠BAD=60°，AD⊥BC，
∴∠B=90°﹣60°=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
设 EA=x，
在 Rt△ADE 中，AD=2EA=2x，
在 Rt△ABD 中，AB=2AD=4x，
∴EB=AB﹣EA=4x﹣x=3x，
所以 BC＝ 102 -82 ＝6．
故选：C．
10
4．
（2019·湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船 A, B 同时收到某事故渔船的求救讯息，已知
此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西 30°方向上，在救助船 B 的西南方向上，
且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 海里．
1．
（2017·河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为 a 的正方体表面从点 A 爬到点 B，则它走过的路程最短
为（
）
A． 2 a
B．
（1+ 2 ）a
C．3a
D． 5 a
7
【答案】D
【解析】
详解：如图，则 AB=
AP 2 + PB2 = a 2 + 4a 2 = 5 a． 故选 D．
导图系列(3-4)：八年级数学(北师大版)各章知识点思维导图集合
第三章 图形的平移与旋转
第四章 因式分解 第五章 分式与分式方程
第六章 平行四边形
任它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。（反之，若 5 绝对值
性质 |a|=a，则 a≥0；若|a|=-a，则 a≤0。）
互为相反数的两个数的绝对值相等。
两个负数比较大小，绝对值大的反而小。
如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个的相反数，也称这两个数互
性质 负数。
一般地，形如 的代数式叫做二次根式，a 叫做被开方数。
二次根 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫最简二次根式。
11
式
·
（ ， ），
（，）
第三章 位置与坐标
序号 1
知识点 确定位置
第三章 位置与坐标
内容 在平面内，确定一个物体的位置一般需要 2 个数据。 在平面内，两条互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系。通常，两条 数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。水平 的数轴叫做 x 轴或横轴，垂直的数轴叫做 y 轴或纵轴，x 轴和 y 轴统称为坐标轴，它们的 公共原点 O 称为直角坐标系的原点。建立了平面直角坐标系，平面内的点就可以用一组有 序实数对（a，b）来表示了。 在平面直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分叫做第一 象限，其它三部分按逆时针方向依次叫做第二、三、四象限。坐标轴上的点不在任何一个 象限内。
性质 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。
算数 定义 一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a, ，那么这个正数 x 就叫做 a 的算数平方根。 9
平方根 性质 一个正数的算数平方根是正数；0 的算数平方根是 0；负数没有算数平方根。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理是指直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可以表示为a²+b²=c²。
证明勾股定理的方法有很多种，其中常见的是拼图法。
拼图法的思路是通过割补拼接图形，使得面积不变，然后根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。
常用的拼图法有4S、四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积以及梯形面积等方法。
勾股定理只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。
因此，在应用勾股定理时，必须明确所考察的对象是直角三角形。
勾股定理可以应用于求解直角三角形的任意两边长，求解另一边的长度，或者求解已知一边长，推导出另外两边之间的数量关系。
此外，勾股定理还可以用于解决一些实际问题。
勾股定理的逆定理是指如果三角形三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。
逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法。
在运用逆定理时，可以用两小边的平方和a²+b²与较长边的平方c²作比较，若它们相等，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；若a²+b²c²，则以a，b，c为三边的三角形是锐角三角形。
2.定理中的$a,b,c$及$a^2+b^2=c^2$只是一种表现形式，不可认为是唯一的。
例如，若三角形三边长$a,b,c$满足$a^2+c^2=b^2$，那么以$a,b,c$为三边的三角形是直角三角形，但$b$为斜边。
3.勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：“当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。
”6.勾股数是能够构成直角三角形的三边长的三个正整数，即$a^2+b^2=c^2$中，$a,b,c$为正整数时，称$a,b,c$为一组勾股数。
记住常见的勾股数可以提高解题速度，例如$3,4,5$；$6,8,10$；$5,12,13$；$7,24,25$等。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类一．知识归纳１．勾股定理 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 222a ，b ，斜边为c ，那么 a b c２ .勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 4 SS正方形 EFGHS 正方形 ABCD ，4 1 ab (ba) 2c 2，化简可证．2DCbaAaDHacbcbEGcFcbabcac EcBaAabBbC方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S 41ab c 2 2ab c 22大正方形面积为 S ( a b)2 a 2 2ab b 2 ，所以 a 2 b 2 c 2方法三：S 梯形1 ( a b) (a b)，S 梯形 2S ADES ABE2 1 ab 1 c 2，化简得证 22 2３ .勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形， 对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征， 因而在应用勾股定理时， 必须明了所考察的对象是直角三角形４ .勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C 90 ，则 ca 2 b 2 ， b c 2 a 2 ， ac 2 b 2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５ .勾股定理的逆定理如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a 2 b 2 c 2 ，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为 斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形 ”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和 a 2 b 2 与较长边的平方 c 2 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若a 2 b2 c2，时，以 a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若 a 2 b2 c2，时，以 a ，b ，c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中 a ， b ， c 及a2 b 2 c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 c2 b2，那么以 a ， b ， c 为三边的三角形是直角三角形，但是 b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６ .勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 a 2 b 2 c2中， a ，b ，c 为正整数时，称 a ， b ， c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：丢番图发现的：式子m 2 n 2 ,2mn, m 2 n 2 (m n 的正整数）毕达哥拉斯发现的： 2n 1,2n2 2 ,2n2 2 1（ n 1的整数）n n柏拉图发现的： 2 , 2 1,n 2 1（ n 1的整数）n n７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９ .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．题型一：直接考查勾股定理例 1.在ABC中， C 90 ．⑴已知 AC 6 ， BC 8．求 AB 的长⑵已知 AB 17， AC 15，求BC的长题型二：应用勾股定理建立方程例 2.⑴在ABC 中，ACB 90 ， AB 5 cm， BC 3 cm， CD AB 于 D ，CD＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3: 4 ，斜边长为 15 ，则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为30 cm ，斜边长为 13 cm ，则这个三角形的面积为例 3.如图ABC 中，C90，1 2，CD ， BD 2.5 ，求AC的长CD1A 2BE例 4.如图 Rt ABC ，C 90 AC 3,BC 4 ,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积CAB题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树，一棵高 8 cm ，另一棵高 2 cm ，两树相距 8 cm ，一 只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了m 。
(完整版)勾股定理思维导图+题型总结
(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证cbaHG F EDCBAa bcc baED CBA bacbac cabcab 弦股勾4：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类勾股定理作为数学中的一条基本定理，是数学中的重要知识点。
它描述了直角三角形三条边之间的关系，充分利用了勾股定理可以解决很多与直角三角形相关的问题。
下面将对勾股定理的知识点进行归纳，并对常见的勾股定理题型进行分类。
一、知识点归纳：1.勾股定理的表述：直角三角形斜边的平方等于两直角边平方和。
2.勾股定理的符号表示：对于直角三角形ABC，设斜边为c，两直角边分别为a和b，可以表示为：$a^2+b^2=c^2$。
3.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边满足$a^2+b^2=c^2$，其中a、b、c为三角形的边长，那么这个三角形一定是直角三角形。
4.勾股定理的证明方法：勾股定理有多种不同的证明方法，比如平方构造法和几何法。
5.勾股定理的推广应用：勾股定理不仅适用于直角三角形，还可以推广应用到其他类型的几何形状中。
二、题型归类：根据勾股定理的应用不同场景，常见的题型可以归类为以下几种：1.求边长问题：(1)已知两边求第三边：已知直角三角形两直角边的长度，求斜边的长度。
(2)已知一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求另一边的长度。
(3)已知斜边和一边求另一边：已知直角三角形一边和斜边的长度，求未知边的长度。
2.求角度问题：(1)已知两边求夹角：已知直角三角形两直角边的长度，求两直角边之间的夹角。
(2)已知斜边和一边求夹角：已知直角三角形一边和斜边的长度，求斜边与该边之间的夹角。
3.判断问题：(1)判断是否为直角三角形：已知三角形的三边长度，判断是否为直角三角形。
4.应用问题：(1)三角形的面积问题：已知直角三角形的两个直角边的长度，求其面积。
(2)其他几何问题：如斜边长为x的直角三角形，边的长度与斜边比为1：4，求边的长度。
以上是一些常见的勾股定理题型，通过不同的题目训练可以更好地掌握勾股定理的应用和解题思路。
在解题的过程中，需要根据问题的具体要求，合理运用勾股定理的知识，灵活运用数学方法，进行推导和计算，以得到准确的结果。
勾股定理知识点与常见题型总结-马心茹
勾股定理复习一•知识归纳1•勾股定理内容： _________________________________________________________________________________表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a , b，斜边为c ,那么 _____________________________ 2.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于_____________ ，对于__________ 和__________________ 的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形3.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中，N C =90，贝H c= _____________ ，b= ____________ ，c= ________________________②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a , b , c满足____________ ，那么______________________ ，其中______ 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a , b , c为三边的三角形是直角三角形；若a2b2::: c，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a , b , c及a2 F2二c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长 a , b , c满足a c =b，那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2= c中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，____________ ; __________ ; _________ ; ________ ; _________ 等③用含字母的代数式表示n组勾股数：n2-1,2n,n2 V （n^2, n 为正整数）；2 22n 1,2n 2n,2n 2n 1 （n 为正整数）2 2 2 2m —n ,2 mn, m n （ m n, m , n 为正整数）6.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题•在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.7.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.8.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体•通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决. 常见图形：题型一：直接考查勾股定理例1 •在ABC 中，.C =90 .⑴已知AC =6 , BC =8 .求AB的长⑵已知AB=17, AC =15，求BC的长分析：直接应用勾股定理a2b^c2题型二：应用勾股定理建立方程例2 .⑴在ABC 中，.ACB=90 , AB =5 cm , BC =3 cm , CD _ AB 于D , CD = ________________⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为____________⑶已知直角三角形的周长为30 cm，斜边长为13 cm，则这个三角形的面积为______________分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积•有时可根据勾股定理列方程求解例3 •如图ABC 中，.C =90 , .1-2 , CD =1.5, BD =2.5，求AC 的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来例4•如图Rt ABC , . C =90 AC =3,BC =4,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5•如图有两棵树，一棵高8 cm，另一棵高2 cm，两树相距8 cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了_______________ mDC题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形例6•已知三角形的三边长为a，b，c，判定ABC是否为Rt.：① a =1.5，b =2，c =2.5 ② a =-，b =1，c4 3例7•三边长为a，b，c满足a 5=10, ab =18，c=8的三角形是什么形状?题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例8•已知.\ABC 中，AB=13cm，BC=10cm，BC 边上的中线AD =12 cm，求证：AB=AC 证明：、选择题 八年级上册第一章勾股定理测试题1、 下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( ) A. 1.5, 2, 3; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15.2、 适合下列条件的厶 ABC 中，是直角三角形的个数为( ) 111 ① a ,b ,c ；② a =6, / A=450;③/ A=32°, / B=580; 3 4 5 ④ a = 7,b =24,c = 25;⑤ a=2,b=2,c = 4. A. 2 个； B. 3 个； C. 4 个； D. 5 个. 3、已知直角三角形两直角边的长为 A 和B ,则该直角三角形的斜边的长度为（ A 、 A + B B 、 、2AB D 、.. A 2 B 2直角三角形的两直角边分别为A 、 6厘米B 、8厘米 5厘米、12厘米，则斜边上的高是（ ）C 80厘米D 、60厘米 13 13 5、 若等腰三角形腰长为 10cm ，底边长为16 cm,那么它的面积为 2 2 2 2 A. 48 cm B. 36 cm C. 24 cm D.12 cm 6、 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面 5米处折断倒下，倒下部分与地面 成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ） A . 10 米 B . 15 米 C. 25 米 D . 30 米7、若一个直角三角形的一条直角边长是 7cm ，另一条直角边比斜边短 A.18 cm B.20 cm C.24 cm D.25 cm &一部电视机屏幕的长为 58厘米,宽为46厘米，则这部电视机大小规格 A.34英寸（87厘米） B. 29英寸（74厘米）C. 25英寸（64厘米） 1cm ，则斜边长为（ （实际测量误差忽略不计） 9、一块木板如图所示，已知 AB = 4, BC = 3,DC = 12, AD = 13, / B = 90 °木板的面 积为（ )A . 60 B . 30 C. 24 D . 12 D.21英寸（54厘米） 10、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多 1m ，当它把绳子 C的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 A . 8cm B. 10cm C. 12cm D . 14cm 11、已知 Rt A ABC 中，/ C = 90° ，若 a ・b=14cm , c=10cm ，贝V Rt A ABC 的面积为( ).2 A.24cm 2 B.36cm 2 C.48cm 2 D.60cm 12、 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口 A 出发向东北方向航行， 另一轮船 以 里/时的速度同时从港口 A 出发向东南方向航行， 离开港口 2小时后，则两船相距（ ） A 1 A 、25海里 B 、30海里 二、填空题 13、 在△ ABC 中，/ C = 90° 若 14、 在△ ABC 中，/ C = 90° 若 15、 如图，从电线杆离地面 3米处向地面拉一条长为部有 ____________ 米离开港口 2小时后，则两船相距（ C 、35海里 D 、40海里 a = 5, b =12,贝V c = 10, a : b = 3 : 12海东 南尸第12题图 c= _______ . 4，贝H S Rt ^ AB = ------ . 5米的拉线，这条拉线在地面的固定点距离电线杆底16、如图，沿倾斜角为 30的山坡 植树，要求相邻俩棵树的水平距离 AC 为2m ,那么相邻两棵树的斜坡距离AB 约为 ________ m 。
勾股定理知识点归纳和题型归类
勾股定理知识点归纳和题型归类
1.勾股定理是什么？
勾股定理，也称毕达哥拉斯定理，是一个数学定理，表述为：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两边平方的和。
2.勾股定理的公式是什么？
在直角三角形中，设直角边（又称斜边）为c，其余两边分别为a和b，则有：
c²=a²+b²。
3.勾股定理有哪些应用？
勾股定理在三角函数、图形的性质、向量的计算等方面有广泛应用。
4.勾股定理的常见题型有哪些？
常见的勾股定理题型主要有以下几种：
（1）已知两边求斜边长度。
（2）已知一个角及一边求其他两边长度。
（3）已知三边长度判断是否为直角三角形。
（4）已知三角形面积和直角边长度求另一条直角边长度。
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(一)勾股定理1：勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c,那么a 2+b 2＝c 2我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.要点诠释：2、勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边 （3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 3：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证 4：勾股数cba HG FEDCBAa bcc baED CBAbacbac cabcab 弦股勾①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25；8,15,17；9,40,41等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）5、注意：（1）勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
（2）勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
（3）勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
（4）推理格式： ∵ △ABC 为直角三角形 ∴ AC 2+BC 2=AB 2. （或a 2+b 2=c 2）（二）勾股定理的逆定理如果三角形的三边长分别为：a 、b 、c ，且满足a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意： （1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。
b ac CBA（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
六、随堂练习1．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 和c ⑴若2=a ，4=b ，则c = ； 斜边上的高为 . ⑵若3=b ，4=c ，则a = . 斜边上的高为 .⑶若3=b a ，且102=c ，则a = ，_______=b .斜边上的高为 .⑷若21=c b ，且33=a ，则c = ，_______=b .斜边上的高为 . 2．正方形的边长为3，则此正方形的对角线的长为 . 3．正方形的对角线的长为4，则此正方形的边长为 .4．有一个边长为50的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，求圆的直径至少多长5．一旗杆离地面m 6处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部m 8处，求旗杆折断之前有多高？ 6.如图，一个m 3长的梯子AB 斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的dmCAB DDABC距离为m 5.2，如果梯子顶端A 沿墙下滑m 5.0，那么梯子底端B 也外移m 5.0吗？ 勾股定理典型例题及专项训练 专题一：直接考查勾股定理1．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。
2、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：四边形ABCD 的面积。
3：在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为多少？4：已知如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB=34，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长。
5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，设AB=c ，AC=b ，BC=a ，CD=h 。
求证：（1）222111h b a=+ （2）h c b a +<+ （3）以h c h b a ++，，为三边的三角形是直角三角形练习6.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=45o ，AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于D 、E ，若CD=1，则BD 等于(??? )A ．1??B ．?C ．??D ．7.已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积． 8.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积 6.如图，△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长．7.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC 的度数．ABCBAD C B ECBAABC8.已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,（1）AD 平分∠BAC,交BC 于D 点。
求CD 长 （2）BE 平分∠ABC,交AC 于E ，求CE 长 专题二 勾股定理的证明如图，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，1、面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）的（Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16 （Ｄ）552、如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中四边形ABCD和EF 都是正方形. 证：△ABF ≌△DAE3、图①是一个边长为()m n +的正方形，小颖将图①中的阴影部分拼成图②的形状，由图①和图② 能验证的式子是（ ）A ．22()()4m n m n mn +--=B ．222()()2m n m n mn +-+= C ．222()2m n mn m n -+=+ D ．22()()m n m n m n +-=-专题三 网格中的勾股定理1、如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB 、CD 、EF 、GH 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）（A ）CD 、EF 、GH （B ）AB 、EF 、GH （C ）AB 、CD 、GH （D ）AB 、CD 、EF2、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3ABDEFGHabc← → → ←m n m nmn 图①图②第3题图ABC3、（2010年四川省眉山市）如图，每个小正方形的边长为1，A 、B 、C 是小正方形 的顶点，则∠ABC 的度数为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°4、如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC ，则边AC 上的高为（ ）A. 223B. 5103C. 553D. 5545、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点称为格点，请以图中的格点为顶点画一个边长为3、、的三角形．所画的三角形是直角三角形吗说明理由．6、如图，每个小正方形的边长是1，在图中画出面积为2的三个形状不同的三角形（要求顶点在交点处，其中至少有一个钝角三角形） 专题四 实际应用建模测长1、如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC.2、有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4.5米的墙上，任何东西只要移至5米以内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？3、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o 方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？ （3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 专题五 梯子问题1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ADBCE ADB CACB2、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？3、如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC=BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）A. y x =B. y x >C. y x <D. 不能确定专题六 最短路线1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．A 、6B 、5C 、4D 、32、如图，一圆柱体的底面周长为20㎝，高AB 为10㎝，BC 是上底面的直径。