甘肃省兰州市2015届高三3月诊断考试数学(文)试题 Word版含答案

注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题纸上。

2．本试卷满分150分，考试用时120分钟。

答题全部在答题纸上完成，试卷上答题无效。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{|||1}A x x =<，{|0}B x x =>，则A B =I A ．(1,0)- B ．(1,1)- C ．)21,0(D ．(0,1) 2．复数2(1)z i =+的实部是A ．2B ．1C ．0D ．1-3．已知向量a r，b r 满足0a b ⋅=r r ，||1a =r ，||2b =r ，则||a b -=r rA ．0B ．1C ．2 D4．从数字1、2、3中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于30的概率为 A ．16B ．13 C ．12 D ．235．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin b A =B =A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是A ．2B ．92C ．32D ．37．在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC BC ===，11AA =，则点A 到平面1A BC 的距离为正视图 侧视图xA．4 B．2C．4D8．如图，程序输出的结果132S =, 则判断框中应填 A ．10?i ≥ B ．11?i ≥ C ．11?i ≤ D ．12?i ≥9．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+011y y x y x 所表示的平面区域为D ，若直线3y kx =-与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为是 A ．[3,3]-B ．11(,][,)33-∞-+∞ C ．(,3][3,)-∞-+∞D ．11[,]33-10．在直角坐标系xoy 中，设P 是曲线C ：)0(1>=x xy 上任意一点，l 是曲线C 在点P 处的切线，且l 交坐标轴于A ,B 两点，则以下结论正确的是 A ．OAB ∆的面积为定值2B ．OAB ∆的面积有最小值为3C ．OAB ∆的面积有最大值为4D ．OAB ∆的面积的取值范围是[3,4]11．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，右顶点为A，上顶点为B ，若椭圆C 的中心到直线AB 12||F F，则椭圆C 的离心率e = ABCD 12．已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，若对于任意实数x ，有()()f x f x '>，且()1y f x =-为奇函数，则不等式()xf x e <的解集为A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．4(,)e -∞D ．4(,)e +∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22～24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知(0,)2πα∈，4cos 5α=，则sin()πα-= ． 14．抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．15．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是 ． 16．若函数()2sin()(214)84f x x x ππ=+-<<的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图象交于B 、C 两点，O 为坐标原点，则()OB OC OA +⋅=u u u r u u u r u u r．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，已知142,16a a ==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式．（Ⅱ）若35,a a 分别为等差数列{}n b 的第3项和第5项，试求数列{}n b 的前n 项和n S ．18．（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是等腰梯形，2AB =, 1BC CD ==AB ∥CD ，顶点1D 在底面ABCD 内的射影恰为点C ．（Ⅰ）求证：1AD BC ⊥；（Ⅱ）在AB 上是否存在点M ，使得1C M ∥平面11ADD A ？若存在，确定ABC DA 1B 1C 1D 1点M 的位置；若不存在，请说明理由．19．（本小题满分12分）兰州市为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示． （Ⅰ）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从 第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4 组至少有一名志愿者被抽中的概率．20．（本小题满分12分）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线为y =，右焦点F 到直线2a x c=的距离为32．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与曲线C 相交于B 、D 两点，已知(1,0)A ，若1DF BF ⋅=uuu r uu u r，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．21．（本小题满分12分）已知函数ax e x f x -=)(（e R a ,∈为自然对数的底数）． （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性；（Ⅱ）若1=a ，函数x x e x f m x x g x ++--=2)()()(在),2(+∞∈x 上为增函数，求实数m的取值范围．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，如果多答按所答第一题评分。

22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知PE 切⊙O 于点E ，割线PBA 交⊙O 于A 、B 两点，APE ∠的平分线和AE 、E PC D•O年龄0．0．0．0．0．0．0．BE 分别交于点C 、D ．求证:（Ⅰ）CE DE =； （Ⅱ）CA PECE PB=．23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x ，（α为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4sin(=+πθρ．（Ⅰ） 求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ） 设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值．8．由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10,由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意11.解析：设椭圆C的的焦距为2()c c a<，由于直线AB的方程为0ax by ab+-=，所以=，因222b a c=-，所以42243720a a c c-+=，解得222a c=或223a c=（舍），所以e=二、填空题13.3514.15.1(0,)216.7215．解析：函数()()lnf x x x ax=-，则1()ln()ln21f x x ax x a x axx'=-+-=-+，令()ln21f x x ax'=-+得ln21x ax=-，因为函数()()lnf x x x ax=-有两个极值点，所以()ln21f x x ax'=-+有两个零点，等价于函数lny x=与21y ax=-的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象，过点（0，－1）作lny x=的切线，设切点为（x0，y0），则切线的斜率1xk=，切线方程为11-=xxy. 切点在切线上，则0100=-=x x y ，又切点在曲线ln y x =上，则10ln 00=⇒=x x ，即切点为（1，0）.切线方程为1y x =-. 再由直线21y ax =-与曲线ln y x =有两个交点，知直线21y ax =-位于两直线0y =和1y x =-之间，其斜率2a 满足：0＜2a ＜1，解得实数a 的取值范围是1(0,)2. 16．解析：∵214x -<<，∴()0f x =的解为6x =，即(6,0)A ，而(6,0)A 恰为函数()f x 图像的一个对称中心，∴B 、C 关于A 对称∴2()22||23672OB OC OA OA OA OA +⋅=⋅==⨯=u u u r u u u r u u r u u r u u r u u r三、解答题 17. 解：（Ⅰ）{}n a 为等比数列∴341=8;a q a =∴ 2q =∴1222n n n a -=⋅= …………6分 （Ⅱ）∵33328b a ===,555232b a ===,又因为{}n b 为等差数列 ∴53242b b d -== ∴12d =13216a a d =-=-∴2(1)16126222n n n S n n n -=-+⨯=- …………12分 18. 解：(Ⅰ)证明:连接1D C ,则1D C ⊥平面ABCD , ∴1D C ⊥BC在等腰梯形ABCD 中,连接AC ∵2AB =,1BC CD ==,AB ∥CD ∴BC AC ⊥ ∴BC ⊥平面1AD C∴1AD BC ⊥ …………6分(Ⅱ)设M 是AB 上的点∵AB ∥CD ∴AM ∥11D C因经过AM 、11D C 的平面与平面11ADD A 相交与1AD ，要是1C M ∥平面11ADD A ，则1C M ∥1AD ，即四边形11AD C M 为平行四边形 ，此时1112D C DC AM AB ===，即点M 为AB 的中点.所以在AB 上存在点M ,使得1C M ∥平面11ADD A ，此时点M 为AB 的中点.……12分 19. 解：（Ⅰ）第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10.因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为: 第3组:3060×6=3； 第4组:2060×6=2； 第5组:1060×6=1； 即应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分 （Ⅱ）记第3组的3名志愿者为1A ,2A ,3A ,第4组的2名志愿者为1B ,2B ,第5组的1名志愿者为1C .则从6名志愿者中抽取2名志愿者有: ( 1A ,2A ), (1A ,3A ),( 1A ,1B ),( 1A ,2B ),( 1A ,1C ), ( 2A ,3A ),( 2A 1B ),( 2A ,2B ), ( 2A ,1C ), ( 3A ,1B ), 3A ,2B ), (3A ,1C ),( 1B ,2B ),( 1B ,1C ),( 2B ,1C ),共有15种. 其中第4组的2名志愿者1B ,2B 至少有一名志愿者被抽中的有:( 1A ,1B ),( 1A ,2B ),( 2A 1B ),( 2A ,2B ), ( 3A ,1B ), (3A ,2B ),( 1B ,2B ), ( 1B ,1C ),( 2B ,1C ),共有9种,………10分所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93155= …………12分 20. 解：（Ⅰ）依题意有b a =，232a c c -= ∵222a b c += ∴2c a = ∴1a =，2c = ∴23b =∴曲线C 的方程为2213y x -= ……………6分 （Ⅱ）设直线l 的方程为y x m =+，则11(,)B x x m +，22(,)D x x m +，BD 的中点为M由2213y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩得 222230x mx m ---=∴12x x m +=，21232m x x +=-∵1DF BF ⋅=uuu r uu u r，即1212(2)(2)()()1x x x m x m --+++=∴0m =（舍）或2m = ∴122x x +=，1272x x =-M 点的横坐标为1212x x += ∵1212(1)(1)(2)(2)DA BA x x x x ⋅=--+++uu u r uu r1212525720x x x x =+++=-+= ∴AD AB ⊥∴过A 、B 、D 三点的圆以点M 为圆心，BD 为直径 ∵M 点的横坐标为1 ∴MA x ⊥ ∵12MA BD =∴过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切 ……………12分21. 解：（Ⅰ）函数)(x f 的定义域为R x ∈()x f x e a '=-当0≤a 时，()0f x '>，所以)(x f 在R 上为增函数； 当0>a 时，由()0f x '=得a x ln =则:当(,ln )x a ∈-∞时,()0f x '<,所以函数)(x f 在)ln ,(a -∞上为减函数， 当(ln ,)x a ∈+∞时,()0f x '>,所以函数)(x f 在(ln ,)a +∞上为增函数. ……………6分（Ⅱ）当1=a 时，x x e x e m x x g x x ++---=2))(()(， ∵)(x g 在),0(+∞∈x 上为增函数，∴()10x x g x xe me m '=-++≥在),2(+∞∈x 恒成立，即11-+≤x x e xe m 在),2(+∞∈x 恒成立，令11)(-+=x x e xe x h ，),2(+∞∈x ，222()2(2)()(1)(1)x x x x x x x e xe e e e x h x e e ----'==--， 令2)(--=x e x L x，()10x L x e '=->在),2(+∞∈x 恒成立，即2)(--=x e x L x在),2(+∞∈x 单调递增， 即04)2()(2>-=>e L x L ，∴()0h x '>即11)(-+=x x e xe x h 在),2(+∞∈x 单调递增，112)2()(22-+=>e e h x h所以11222-+≤e e m ． …………………12分22. 证明: (Ⅰ) PE 切⊙O 于点E , A BEP ∴∠=∠ ∵PC 平分APE ∠A CPA BEP DPE ∴∠+∠=∠+∠,ECD A CPA EDC BEP DPE ∠=∠+∠∠=∠+∠,,ECD EDC EC ED ∴∠=∠∴= …………5分 (Ⅱ) ,,PDB EDC EDC ECD PDB PCE ∠=∠∠=∠∠=∠,BPD EPC PBD ∴∠=∠∴∆∽PEC ∆ PE PC PB PD∴= 同理PDE ∆∽PCA ∆,PC CA PD DE ∴= PE CA PB DE ∴=,CA PE DE CE CE PB =∴= …………10分 23. 解：(Ⅰ)由曲线1C ：⎩⎨⎧==ααsin cos 3y x 得⎪⎩⎪⎨⎧==ααsin cos 3y x即：曲线1C 的普通方程为：1322=+y x 由曲线2C ：24)4sin(=+πθρ得：24)cos (sin 22=+θθρ 即：曲线2C 的直角坐标方程为:08=-+y x …………5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知椭圆1C 与直线2C 无公共点， 椭圆上的点)sin ,cos 3(ααP 到直线08=-+y x 的距离为28)3sin(228sin cos 3-+=-+=παααd 所以当1)3sin(=+πα时，d 的最小值为23 …………10分24. 解：（Ⅰ）由26x a a -+≤得26x a a -≤-，∴626a x a a -≤-≤-，即33a x -≤≤，∴32a -=-∴1a = …………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()211f x x =-+,令()()()n f n f n ϕ=+-则，()124, 211212124, 22124, n 2n n n n n n n ϕ⎧-≤-⎪⎪⎪=-+++=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩∴()n ϕ的最小值为4，故实数m 的取值范围是[)4,+∞． …………10分。