汕头市2017-2018学年度普通高中毕业班教学质量监测试题及答案解析

汕头市2017-2018学年度普通高中毕业班教学质量监测试题理科数学注意事项：1、答卷前，考生务心用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学校、座位号、考生号填写在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.4、作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答. 漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1、已知集合{}{}2|2,|12A x x x B x x =>=-<≤，则（ ） A .AB =∅ B .A B R =C .B A ⊆D .A B ⊆2、已知z 是复数z 的共轭复数，若1z i =+，则复数2z z对应的点位于（ ）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3、若两个非零向量,a b 满足22b a ==，23a b +=，则,a b 的夹角是（ ）A .6π B .3π C .2πD .π 4、记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，555215,18S a S S =-=，则343a a -的值为（ ）A .21B .24C .27D .305、执行右图的程序框图，如果输入的1,2a b ==，则输出的n =（ ）A .10B .11C .12D .136、已知命题:p 关于x 的方程210x ax ++=没有实根；命题:0,20x q x a ∀>->.若“p ⌝”和“p q ∧”都是假命题，则实数a 的取值范围是（ ）A .(,2)-∞-B .(2,1]-C .(1,2)D .(1,)+∞7、某电商设计了一种红包，打开每个红包都会获得三种福卡（“和谐”、“爱国”、“敬业”）中的一种，若集齐三种卡片可获得奖励，小明现在有4个此类红包，则他获奖的概率为（ ）A .38B .58C .49D .798、将偶函数()3)cos(2)(0)f x x x θθθπ=+++<<的图像向右平移θ个单位得到函数()g x 的图像，则()g x 在46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的最小值是（ ） A .2- B .1- C .3 D .12-9、某多面体的三视图如图所示，则该多面体的各个三角形面中，最大面积为（ ）A .85B .16C .45D .4210、已知圆锥的母线长为32，它的底面圆周和顶点都在一个表面积为π的球面上，则该圆锥的体积为（ ）A .3128π B .364π C 3332π D .332π 11、已知函数,0(),0x x xe x f x x x e⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，则不等式(2)f x e -<的解集为（ ）A .(,1)-∞B .(1,1)-C .(1,3)D .(1,)+∞ 12、已知函数ln ()xf x mx x=-有两个零点，则实数m 的取值范围是（ ） A .1(0,)2e B .1(0,)e C .1(,)2e -∞ D .1(,)e -∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、已知实数,x y 满足211y xx y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为 .14、26(1)(1)x x +-展开式中，含3x 项的系数是 .（用数字填写答案） 15、数列{}n a 中，11a =，12(,0)n n n a a n N λλ*+=∈>，其中λ满足：对于任意的k N *∈，均有21221,,k k k a a a -+成等差. 数列{}n a 的前20项和20S = .16、在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB BCD ⊥平面，且有BD CD ⊥，2AB BD ==，1CD =，点P 是AC 上的一个动点，则三角形PBD 的面积的最小值为 .三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（本小题满分12分）ABC 的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知23a b =，2A B =. （1）求cos A ；（2）若ABC 的面积为157，求b .18、（本小题满分12分）某大型企业为鼓励员工多利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐. 为了解员工手机流量使用情况，通过抽样，得到100位员工每人手机月平均使用流量L （单位：M ）的数据，其频率分布直方图如右：将频率视为概率，回答以下问题：（1）从该企业的员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过900M 的概率；（2）据了解，某网络营运商推出两款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M ）A 20 700B301000流量套餐的规则是：每月1日收取套餐费. 如果手机实际使用流量超出套餐流量，则需要购买流量叠加包，每一个叠加包（包含200M 的流量）需要10元，可以多次购买；如果当月流量有剩余，将会被清零.该企业准备为所有员工订购其中一款流量套餐，并支付所有费用. 请分别计算两种套餐所需费用的数学期望，并判断该企业订购哪一款套餐更经济？ 19、（本小题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 是菱形，其对角线的交点为O ，且1AB AC =，1AB B C ⊥. （1）求证：11AO BB C C ⊥平面；（2）设160B BC ︒∠=，若直线11A B 与平面11BB C C 所成的角为45︒，求二面角11A B C A--的大小.20、（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，短轴长为，左右顶点分别为,A B ，点M 是椭圆上异于,A B 的任意一点，记直线,MA MB 的斜率分别为,MA MB k k .（1）求椭圆C 的方程，并证明：MA MB k k 是定值；（2）设点N 是椭圆C 上另一个异于,,M A B 的点，且满足直线NB 的斜率等于2MA k ，试探究：直线MN 是否经过定点？如果是，求出该定点，如果不是，请说明理由.21、（本小题满分12分） 已知函数2()xf x eax =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x >时，2()1f x ax >+，求a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选一题作答. 作答时一定要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑（都没涂黑的视为选做第22题）.22、（本小题满分10分）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）求曲线1C 和直线l 的交点的极坐标； （2）已知P 为曲线22cos :()sin x C y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数上的一动点，设直线l 与曲线1C 的交点为,A B ，求PAB 面积的最小值.23、（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲 已知函数2()2f x x a x a=-++（1）当2a =时，解不等式()1f x ≥； （2）求函数()()()g x f x f x =+-的最小值.汕头市2017~2018学年度普通高中毕业班第一学期统一监测试题理科数学参考答案一、选择题.BBDAB CCACB CA 二、填空题. 13. 3 14. 4 15.5115216. 2516.作PQ BC ⊥于Q ，QM BD ⊥于M 易证//PQ AB ，//QM CD ，PM BD ⊥得25PQ =15QM = 因此22PQ QM +=设(01)QM x x =<<，则22PQ x =-222(22)584PM x x x x =+-=-+所以45x =时，min 25PM = min 12525()22PBD S ∆=⨯=三、解答题.17.（1）由正弦定理得2sin 3sin A B =……1分2sin 23sin B B =，4sin cos 3sin B B B = ……2分sin 0B ≠，3cos 4B ∴=……3分 2cos cos 22cos 1A B B ∴==- ……4分 2312()148=⨯-= ……5分（2）237sin 1cos A A =-=，……6分 27sin 1cos B B =-=7分 sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B ∴=+=+……8分37317574816=+=9分1sin 1572ABC S ab C ∆∴==……10分 得到96ab =……11分又23a b =，可得12,8a b ==. ……12分18. （1）依题意，(0.0080.00250.00350.0080.002)1001a +++++⨯=，……1分 得0.0022a = ……2分从该企业的员工中随机抽取3人，可近似的看为独立重复实验，每人手机月流量不超过900M 的概率为1(0.0080.002)1000.9-+⨯=，……3分至多1人可分为恰有一人和0人手机月流量不超过900M ，设事件A 为“3人中至多有1人手机月流量不超过900M ” ，……4分 则1233()0.90.10.10.028P A C =⨯⨯+=……5分 （2）若该企业选择A 套餐，设一个员工的所需费用为X ，则X 可能为20,30,40……6分X 的分布列为X 203040P 0.3 0.6 0.1……7分200.3300.6400.128EX =⨯+⨯+⨯=……8分若该企业选择B 套餐，设一个员工的所需费用为Y ，则Y 可能为30,40……9分Y 的分布列为Y 3040P 0.98 0.02……10分300.98400.0230.2EY =⨯+⨯=……11分30.228>∴订购A 套餐更经济. ……12分19.（1）四边形11BB C C 是菱形 11B C BC ∴⊥……1分1B C AB ⊥，且1BC AB B =1B C ∴⊥平面1ABC ……2分1B C AO ∴⊥……3分1AB AC =， O 是1BC 的中点，1AO BC ∴⊥……4分又11BC B C O =， AO ∴⊥平面11BB C C ……5分第19题图xzy（2）（法一）11//AB A B∴直线11A B 与平面11BB C C 的所成角等于直线AB 与平面11BB C C 的所成角AO ⊥平面11BB C C∴直线AB 与平面11BB C C 的所成角为ABO ∠，……6分即45ABO ∠=不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C中，11BO CO B O ===在直角三角形ABO中，AO BO ==7分以O为原点建立空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0,1,0),(B C A -……8分 111(3,0,3),(0,2,0),A B BC =-=- 设平面11A B C 的一个法向量为1(,,),n x y z=则111113020n A B x n B C y ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩得1(1,0,1)n =……9分而平面1AB C 的一个法向量为2(1,0,0),n =……10分1212121cos ,2||||2n n n n n n •<>===……11分∴二面角11A B C A --的大小为45. ……12分（法二）不妨设菱形11BB C C 的边长为2，则在等边三角形1BB C中，11BO CO B O ===设AO a =以O 为原点建立空间直角坐标系，则11(0,1,0),(0,1,0),(,)B C A a -……6分11(3,0,),A B a =- 平面11BB C C 的法向量为(0,0,1),n =依题意有，111111||2|cos,|sin 452||||3A B n A B n A B n •<>====，……7分得到a =8分 因此，111(3,0,3),(0,2,0),A B BC =-=-设平面11A B C 的一个法向量为1(,,),n x y z =则111113020n A B x n B C y ⎧==⎪⎨=-=⎪⎩得1(1,0,1)n =……9分而平面1AB C 的一个法向量为2(1,0,0),n =……10分1212121cos ,||||2n n n n n n •<>===11分∴二面角11AB C A --的大小为45. ……12分20. （1）依题意有2222c e ab a bc ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，……1分 解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ……2分∴椭圆C 的方程为22142x y +=，……3分(2,0),(2,0)A B -，设00(,)M x y 则20002000224MA MBy y y k k x x x ⋅=⋅=+--……4分 220121242x x -==--……5分 （2）（法一）2NB MA k k =，1NB MB k k ∴=-，……6分 即NB MB ⊥设MN 的方程为x mx t =+，11(,)M x y ，22(,)N x y22142x mx tx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(2)240m y mty t ⇒+++-=……7分 则12222mt y y m +=-+，212242t y y m -=+……8分1212(2)(2)0BN BM x x y y =--+=……9分得221212(1)(2)()(2)0m y y m t y y t ++-++-=2222242(1)(2)()(2)022t mtm m t t m m -++--+-=++……10分化简得23840t t -+=，23t =或2t =……11分 即MN 的方程为23x my =+或2x my =+， 因为2x mx =+经过右顶点，舍去；所以直线MN 经过定点2(,0)3……12分 （法二）2NB MA k k =，1NB MB k k ∴=-，……6分即NB MB⊥当MN x ⊥轴时，直线MN 方程为23x =……7分 MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y 22142y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(12)4240k x kmx m ⇒+++-=，……8分 则122412kmx x k+=-+，21222412m x x k -=+ 1212(2)(2)0BN BM x x y y =--+=……9 分得2221212(1)(2)()40k x x k x x m ++-+++=……10分222222244(1)(2)()401212m km k k m k k-++--++=++ 化简得224830k km m ++=,23m k =-或2m k =-……11分 即MN 的方程为23y kx k =-或2y kx k =-， 因为2y kx k =-经过右顶点，舍去；所以直线MN 经过定点2(,0)3……12分（法三）设MA 的方程为1(2)y k x =+122(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222111(12)8840k x k x k ⇒+++-=，……6分 212184212M k x k --=+，……7分得21214212M k x k -=-+，121412M k y k =+ 设NB 的方程为2(2)y k x =-222(2)142y k x x y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩2222222(12)8840k x k x k ⇒+-+-=， 222284212N k x k -=+，得22224212Nk x k -=+，222412N k y k -=+……8分 212k k =22212221421621218N k k x k k --∴==++，212221481218N k k y k k --==++……9分 11221122112211841812162421812N M MNN M k k y y k k k k k x x k k ---++∴==---+++121341k k =--……10分 直线MN 的方程为21112221114342()124112k k k y x k k k --=-++-+ ……11分 即111222111323(32)414141k k k y x x k k k =-+=-+---所以直线MN 经过定点2(,0)3.……12分21（1）2'()2xf x ea =- ……1分0a ≤时，'()0f x >，()f x 在R 上递增 ……2分0a >时，由'()0f x =得1ln 22ax =，……3分1(,ln )22a x ∈-∞，'()0f x <，()f x 在1(,ln )22a -∞上递减 ；1(ln ,)22ax ∈+∞，'()0f x >，()f x 在1(ln ,)22a+∞上递增 ……4分（2）22()1xf x e ax ax =->+变形为2210x e ax ax --->令22()1xg x eax ax =---, 2'()22x g x e ax a =--令'()0g x =，可得2221xe a x =+ ……5分令22()21xe h x x =+，228'()(21)x xe h x x =+ ……6分 0x >时，'()0h x >，()h x 在(0,)+∞上单调递增 ……7分()h x ∴的值域是(2,)+∞ ……8分当2a ≤时，'()0g x =没有实根，'()0g x >，……9分()g x 在(0,)+∞上单调递增, ()(0)0g x g >=，符合题意. ……10分当2a >时，'()0g x =有唯一实根0x ，0(0,)x x ∈时，'()0g x <，……11分 ()g x 在0(0,)x 上递减， ()(0)0g x g <=，不符题意. ……12分 综上，a 的取值范围是2a ≤.22（1）曲线1C 转化为直角坐标：24cos ρρθ=，2240x y x +-=，……1分 即22(2)4x y -+=直线l 转化为直角坐标：cos sin 22ρθρθ-=40x y --= ……2分 联立22(2)440x y x y ⎧-+=⎨--=⎩得到曲线1C 和直线l 的交点(4,0),，……3分(2,2)-……4分它们的极坐标为7)4π.（注：)4π-也可以）……5分（2）由（1）得||AB =……6分因此，PAB ∆的面积取得最小时也就是P 到直线l 的距离最小的时候设(2cos ,sin )P ϕϕ则P 到直线l 的距离d =7分=……8分当cos()1ϕα+=时，d =……9分因此PAB ∆的面积的最小值为142⨯=-10分23（1）当2a =时,|22||1|1x x -++≥ ……1分1x ≤-时，2211x x ---≥，得0x ≤，即有1x ≤-……2分11x -<<时，2211x x -++≥，得2x ≤，即有11x -<<……3分1x ≥时，2211x x -++≥，得23x ≥，即有1x ≥……4分 综上，不等式()1f x ≥的解集为R. ……5分（2）22()()()|2||||2|||g x f x f x x a x x a x a a=+-=-+++--+-+……6分 22|2||2|||||x a x a x x a a=-+++++- 22|(2)(2)||()()|x a x a x x a a≥--+++--……7分 4|2|||a a=+……8分 4|||42a ≥=……9分 当且仅当22(2)(2)0,()()0x a x a x x a a -+≤+-≤且4|2|||a a=时取“=”函数()g x 的最小值为……10分。