2020届重庆一中高三下学期期中考试数学(文)试卷参考答案
2020-2021重庆第一中学高三数学下期中模拟试题(带答案)
2020-2021重庆第一中学高三数学下期中模拟试题(带答案)一、选择题1．已知x 、y 满足约束条件50{03x y x y x -+≥+≥≤，则24z x y =+的最小值是（ ）A ．6-B ．5C ．10D ．10-2．在中，，，，则A ．B ．C ．D ．3．已知函数223log ,0(){1,0x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1-B ．[]2,4-C ．(](),20,4-∞-⋃D ．(][],20,4-∞-⋃ 4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）A ．2a b =B ．2b a =C ．2A B =D ．2B A =5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c=a ，则A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＝bD ．a 与b 的大小关系不能确定6．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S <B ．45S S =C ．65S S <D ．65S S =7．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ） A ．810B ．840C ．870D ．9008．已知数列{}n a 的通项公式为()*21log N 2n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值319．当()1,2x ∈时，不等式220x mx ++≥恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．()3,-+∞B ．()22,-+∞C ．[)3,-+∞D ．)22,⎡-+∞⎣10．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若sin 23sin 0b A a B +=，3b c =，则ca的值为（ ）A ．1 B．3CD．711．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或13- B ．-3或13C ．3或13D ．-3或13-12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若341118a a a ++=则11S =（ ） A ．9B ．22C ．36D ．66二、填空题13．已知lg lg 2x y +=，则11x y+的最小值是______.14．已知数列{}n a ，11a =，1(1)1n n na n a +=++，若对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立，则实数t 的取值范围为________ 15．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若acosB ＝5bcosA ，asinA ﹣bsinB ＝2sinC ，则边c 的值为_______．16．已知a b c R ∈、、，c 为实常数，则不等式的性质“a b a c b c >⇐+>+”可以用一个函数在R 上的单调性来解析，这个函数的解析式是()f x =_________17．若变量x ，y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x +y 的最大值是_____．18．设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a =___________．19．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 20．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知,,a b c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为________. 三、解答题21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()*2N n n S a n n =-∈.（Ⅰ）证明：{}1n a +是等比数列； （Ⅱ）求13521n a a a a -+++⋯+的值.22．已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且满足2sin 1cos A C B =-．（1）若2a =，22c =，求b； （2）若14sin 4B =，3a =，求b ． 23．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且3a =9，S 6=60． （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）若数列{b n }满足b n+1﹣b n =n a （n∈N +）且b 1=3，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n ． 24．如图，在平面四边形ABCD 中，42AB =，22BC =，4AC =.（1）求cos BAC ∠；（2）若45D ∠=︒，90BAD ∠=︒，求CD .25．已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin 3A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC=2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状. 26．在数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和，223()n n S n a n N *+=∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11n n n n a b a a ++=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明14n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】 【详解】作出不等式50{03x y x y x -+≥+≥≤所表示可行域如图所示，作直线:24l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上截距的4倍， 联立3{x x y =+=，解得3{3x y ==-，结合图象知，当直线l 经过可行域上的点()3,3A -时，直线l 在y 轴上的截距最小， 此时z 取最小值，即()min 23436z =⨯+⨯-=-，故选A. 考点：线性规划2．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理可知，再由正弦定理即可求出AB .【详解】 由内角和定理知，所以，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了正弦定理，属于中档题.3．B【解析】分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．详解：由于()223log ,01,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩，当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.4．A解析：A 【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视.5．A解析：A 【解析】 【分析】由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，进而求得a ﹣b 的表达式，根据表达式与0的大小，即可判断出a 与b 的大小关系． 【详解】解：∵∠C ＝120°，ca ，∴由余弦定理可知c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos C ，（）2＝a 2+b 2+ab ．∴a 2﹣b 2＝ab ，a ﹣b ，∵a ＞0，b ＞0， ∴a ﹣b ，∴a ＞b 故选A ． 【点睛】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法，属中档题．6．B【解析】分析：由等差数列的性质，即2852a a a +=，得5=0a ，又由545S S a =+，得54S S =. 详解：Q 数列{}n a 为等差数列， 2852a a a ∴+= 又286,6a a =-=Q ，5=0a ∴由数列前n 项和的定义545S S a =+，54S S ∴= 故选B.点睛：本题考查等差数列的性质与前n 项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.7．B解析：B 【解析】数列前30项和可看作每三项一组，共十组的和，显然这十组依次成等差数列，因此和为10(3165)8402+= ，选B. 8．A解析：A 【解析】 【分析】利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*21log N 2n n a n n +=∈+， ∴12322223log log log 3142n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++222312log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪++⎝⎭， 又因为21215log 6232232n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.9．D解析：D 【解析】由()1,2x ∈时，220x mx ++≥恒成立得2m x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对任意()1,2x ∈恒成立，即max 2,m x x ⎡⎤⎛⎫≥-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦Q当x 时，2x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最大值m -∴≥-，m 的取值范围是)⎡-+∞⎣，故选D.【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.10．D解析：D 【解析】分析：由正弦定理可将sin2sin 0b A B =化简得cosA =，由余弦定理可得222227a b c bccosA c =+-=，从而得解.详解：由正弦定理，sin2sin 0b A B +=，可得sin2sin 0sinB A B +=，即2sin sin 0sinB AcosA B = 由于：0sinBsinA ≠，所以cosA =：， 因为0＜A ＜π，所以5πA 6=．又b =，由余弦定理可得22222222337a b c bccosA c c c c =+-=++=. 即227a c =，所以c a =. 故选：D ．点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．11．C解析：C 【解析】很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：()231113S a q q =++=，①且：()21322a a a +=+，即()211122a q a a q +=+，②①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1913a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，综上可得：公比q =3或13. 本题选择C 选项.12．D解析：D 【解析】分析：由341118a a a ++=，可得156a d +=，则化简11S =()1115a d +，即可得结果. 详解：因为341118a a a ++=， 所以可得113151856a d a d +=⇒+=， 所以11S =()111511666a d +=⨯=，故选D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式， 意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.二、填空题13．【解析】由得：所以当且仅当时取等号故填解析：15【解析】由lg lg 2x y +=得：100xy =，所以1111111()1001005xy x y x y x y ⎛⎫+=+=+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当10x y ==时，取等号，故填15. 14．【解析】【分析】由题意可得运用累加法和裂项相消求和可得再由不等式恒成立问题可得恒成立转化为最值问题可得实数的取值范围【详解】解：由题意数列中即则有则有又对于任意的不等式恒成立即对于任意的恒成立恒成立 解析：(,1]-∞-【解析】 【分析】 由题意可得11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++，运用累加法和裂项相消求和可得11n an ++，再由不等式恒成立问题可得232t a ≤-⋅恒成立，转化为最值问题可得实数t 的取值范围． 【详解】解：由题意数列{}n a 中，1(1)1n n na n a +=++， 即1(1)1n n na n a +-+=则有11111(1)1n n a a n n n n n n +-==-+++ 则有11111111n n nn n n a a a a a a n n n n n n ++--⎛⎫⎛⎫⎛=-+-+- ⎪ ⎪ ++--⎝⎭⎝⎭⎝2211122n a a a a n -⎫⎛⎫+⋯+-+ ⎪⎪-⎝⎭⎭(11111111121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+⋯+ ⎪ ⎪ ⎪+---⎝⎭⎝⎭⎝⎭11)12221n -+=-<+ 又对于任意的[2,2]a ∈-，*n ∈N ，不等式1321t n a a n +<-⋅+恒成立， 即232t a ≤-⋅对于任意的[2,2]a ∈-恒成立，21t a ∴⋅≤，[2,2]a ∈-恒成立，∴2211t t ⋅≤⇒≤-， 故答案为：(,1]-∞- 【点睛】本题考查了数列递推公式，涉及数列的求和，注意运用裂项相消求和和不等式恒成立问题的解法，关键是将1(1)1n n na n a +=++变形为11111n n a a n n n n +-=-++． 15．3【解析】【分析】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得解方程得解【详解】由acosB ＝5bcosA 得由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得所以故答案：3【点睛】本题主要解析：3 【解析】 【分析】由acosB ＝5bcosA 得22223a b c -=，由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，解方程得解. 【详解】由acosB ＝5bcosA 得22222222225,223a cb bc a a b a b c ac bc +-+-⋅=⋅∴-=.由asinA ﹣bsinB ＝2sinC 得222a b c -=，所以222,33c c c =∴=. 故答案：3 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16．【解析】【分析】构造函数通过讨论其单调性即解析不等式的性质【详解】函数是定义在上的单调增函数若则即即故答案为：【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求 解析：x c -【解析】 【分析】构造函数()f x x c =-，通过讨论其单调性即解析不等式的性质． 【详解】函数()f x x c =-，是定义在R 上的单调增函数， 若a c b c +>+，则()()f a c f b c +>+，即a c c b c c +->+-， 即a b >． 故答案为：x c - 【点睛】此题考查利用函数单调性解析不等式的性质，利用常见函数的单调性结合不等式的特征即可求解．17．5【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取解析：5 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】作出变量,x y 满足22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩的可行域如图，由2z x y =+知,2y x z =-+，所以动直线2y x z =-+的纵截距z 取得最大值时， 目标函数取得最大值，由2239x y x y +=⎧⎨-=⎩得()3,1A -， 结合可行域可知当动直线经过点()3,1A -时， 目标函数取得最大值2315z =⨯-=，故答案为5. 【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.18．【解析】∵∴将以上各式相加得：故应填；【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住中系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法迭代法等； 解析：()112n n ++【解析】∵112,1n n a a a n +==++∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，⋯，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n ⎡⎤=-+-+-+++++⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n ⎡⎤--+-+⎣⎦=++=++=+故应填()112n n ++； 【考点】：此题重点考察由数列的递推公式求数列的通项公式；【突破】：重视递推公式的特征与解法的选择；抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口；此题可用累和法，迭代法等；19．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)解析：9 【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 故：111871222n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，由等差数列前n 项和公式可得：11111871218712222222502n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ，解得：9n = .即二马相逢，需9日相逢 点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．20．【解析】【分析】利用成等比数列得到再利用余弦定理可得而根据正弦定理和成等比数列有从而得到所求之值【详解】∵成等比数列∴又∵∴在中由余弦定理因∴由正弦定理得因为所以故故答案为【点睛】在解三角形中如果题【解析】 【分析】利用,,a b c 成等比数列得到222c b a bc +-=，再利用余弦定理可得60A =︒，而根据正弦定理和,,a b c 成等比数列有1sin sin c b B A=，从而得到所求之值. 【详解】∵,,a b c 成等比数列，∴2b ac =.又∵22a c ac bc -=-，∴222c b a bc +-=.在ABC ∆中，由余弦定理2221cos 22c b a A bc +-== ，因()0,A π∈，∴60A =︒. 由正弦定理得2sin sin sin sin sin sin c C Cb B B B B==， 因为2b ac =， 所以2sin sin sin B A C = ，故2sin sin 1sin sin sin sin C C B A C A ===.故答案为3. 【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.三、解答题21．（I ）见解析；（II ）()2413n n --【解析】 【分析】（I ）计算1n S -，根据,n n S a 关系，可得121n n a a -=+，然后使用配凑法，可得结果. （II ）根据（1）的结果，可得n a ，然后计算21n a -，利用等比数列的前n 和公式，可得结果. 【详解】（I ）由2n n S a n =-①当1n =时，可得111211S a a =-⇒= 当2n ≥时，则()1121n n S a n --=--② 则①-②：()12212n n n a a a n -=--≥ 则()1121121n n n n a a a a --=+⇒+=+ 又112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列（II ）由（I ）可知：1221n nn n a a +=⇒=-所以2121121412n n n a --=-=⋅-记13521n n T a a a a -=+++⋯+ 所以()2144 (42)n n T n =+++- 又()()241444144 (414)3n n n --+++==-所以()()4412411233nnnT n n --=⋅-=- 【点睛】本题考查,n n S a 的关系证明等比数列以及等比数列的前n 和公式，熟练公式，以及掌握,n n S a 之间的关系，属基础题.22．（1）22b =（2）6b =或3 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得22ac b =，根据已知可求b 的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos B ，由余弦定理可得222224ac a c ac =+-g，根据已知可求c ，进而可求b 的值． 【详解】 （1）Q222sin sin 1cos sin A C B B =-=．∴由正弦定理可得22ac b =，2a =Q ，22c =，22b ∴=.（2）14sin 4B =Q ，2cos 4B ∴=， ∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得22222ac a c ac =+-⋅，又3a =，解得6c =或62， 6b ∴=或3，经检验，6b =或3为所求． 【点睛】本题考查正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于基础题． 23．（Ⅰ）a n =2n+3；（Ⅱ）31142(1)2(2)n n --++. 【解析】试题分析：（Ⅰ）设出等差数列的首项和公差，利用通项公式、前n 项和公式列出关于首项和公差的方程组进行求解；（Ⅱ）利用迭代法取出数列{}n b 的通项公式，再利用裂项抵消法进行求和.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=9，S 6=60．∴，解得．∴a n =5+（n ﹣1）×2=2n+3． （Ⅱ）∵b n+1﹣b n =a n =2n+3，b 1=3，当n≥2时，b n =（b n ﹣b n ﹣1）+…+（b 2﹣b 1）+b 1 =[2（n ﹣1）+3]+[2（n ﹣2）+3]+…+[2×1+3]+3=．当n=1时，b 1=3适合上式，所以．∴．∴= =点睛：裂项抵消法是一种常见的求和方法，其适用题型主要有： （1）已知数列的通项公式为1(1)n a n n =+，求前n 项和：111(1)1n a n n n n ==-++；（2）已知数列的通项公式为1(21)(21)n a n n =-+，求前n 项和：1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--+-+；（3）已知数列的通项公式为1n a n n =++n 项和:.11n a n n n n ==+++24．（1）528；（2）CD ＝5 【解析】 【分析】（1）直接利用余弦定理求cos∠BAC；（2）先求出sin∠DAC＝528，再利用正弦定理求CD ． 【详解】（1）在△ABC 中，由余弦定理得：222cos 2AB AC BC BAC AB AC+-∠=⋅==．（2）因为∠DAC＝90°－∠BAC，所以sin∠DAC＝cos∠BAC＝8，所以在△ACD中由正弦定理得：sin sin45CD ACDAC=∠︒=，所以CD＝5．【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.25．（1）π3A=（2）△ABC为等边三角形【解析】分析：（1）由//m nu r r，得3sin(sin)02A A A⋅-=，利用三角恒等变换的公式，求解πsin216A⎛⎫-=⎪⎝⎭，进而求解角A的大小；（2）由余弦定理，得224b c bc=+-和三角形的面积公式，利用基本不等式求得4bc≤，即可判定当b c=时面积最大，得到三角形形状．详解：（1）因为m//n,所以()3sin sin02A A A⋅-=.所以1cos2322AA--=1cos212A A-=，即πsin216A⎛⎫-=⎪⎝⎭.因为()0,πA∈ , 所以ππ11π2666A⎛⎫-∈-⎪⎝⎭，.故ππ262A-=，π3A=.（2）由余弦定理，得224b c bc=+-又1sin2ABCS bc A∆==，而222424b c bc bc bc bc+≥⇒+≥⇒≤，（当且仅当b c=时等号成立）所以1sin42ABCS bc A∆==≤=.当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.26．（1）31nn a =-；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）首先根据已知得到()112213n n S n a ++++=，然后两式相减得到132n n a a +=+，构造{}1n a +是公比为3的等比数列，求通项公式；（2）根据（1）113111()(31)(31)23131n n n n n n b ++==-----，再利用裂项相消法求和，证明14n T <. 【详解】（1）223n n S n a +=Q ，1122(1)3n n S n a ++∴++=，两式相减得132n n a a +=+ ，113(1)n n a a ++=+∴ ，又111223,2S a a +==∴，∴数列{}1n a +是以3为首项， 3为公比的等比数列，13,31n n n n a a +==-∴∴（2）113111()(31)(31)23131n n nn n n b ++==----- 22311111111........2313131313131n n n T +⎛⎫=-+-++- ⎪------⎝⎭∴1111142314n +=-⋅<- 【点睛】本题重点考查了由递推公式求通项，以及裂项相消法求和，一般数列求和包含1.公式法，利用等差和等比数列的前n 项和公式求解；2.错位相减法求和，适用于等差数列乘以等比数列的数列求和；3.裂项相消法求和，适用于能变形为()()1n a f n f n =+-， 4.分组转化法求和，适用于n n n c a b =+；5.倒序相加法求和.。
2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学(文)试题
（）
A. 2
B. 2
C. 3
D. 5
6. 正项等差数列 an 的前 n 和为 Sn ，已知 a2 a8 a52 8 0 ，则 S9 （ ）
A. 35
B. 36
C. 45
D. 54
7. 小王到重庆游玩，计划用两天的时间打卡“朝天门”、“解放碑”、“洪崖洞”、“磁器口”、
“南山一棵树”五个网红景点.若将这五个景点随机安排在两天时间里，第一天游览两个，第二
则 3d b4 b1 6 ， d 2
bn 1 (n 1) 2 2n 1；
（2） cn
(2n
1 1) log2
22n1
1 (2n 1)(2n 1)
1 2
1 2n 1
1 2n 1
Tn
1 2
1 1
1 3
1 3
1 5
...
1 2n 1
1 2n 1
1 2
1
1 2n
1
n 2n
1
.
19.解：（1）证明：由
（1）求证： AC 平面 BCE ； （2）求三棱锥 B DCE 的体积V .
20. 设函数 f (x) ln x 1 x . 2
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）令 g(x)
f
(x)
1 2
x
1 2x2
.当 x 0 时， g(x) ax 2 ，求实数 a 的取值范围.
A. 2 i
B. 1 2i
C. 2 i
3. 非零向量 a ， b 满足 | b | 2 | a | ，且 (a b ) a ，则 a 与 b 的夹角为（
D. 2 i
）
A.
6
B.
重庆一中高2020级高三下学期3月月考数学文科试题
高2020级高三下3月月考数学（文科）试题一、选择题1．已知集合{}32,A x x n n Z ==+∈，{}24B x x =-<<，则A B =I （ ） A ．{}1,2-B ．{}2C ．{}1-D ．∅2．i 为虚数单位，复数21iz i=-在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列命题是真命题的是（ ）A ．命题:p x R ∀∈，211x -≤，则0:p x R ⌝∃∈，2011x -≥B ．命题“若,,a b c 成等比数列，则2b ac =”的逆命题为真命题C ．命题“若()110xx e -+=，则0x =”的逆否命题为：“若0x ≠，则()110xx e -+≠”D ．“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件4．若抛物线()220y px p =>的焦点是椭圆2214x y p p+=的一个焦点，则p =（ ） A ．3B ．4C ．8D ．125．已知曲线11x y a -=+（0a >且1a ≠）过定点(),k b ，若m n b +=且0m >，0n >，则41m n+的最小值为（ ） A ．92B ．9C ．5D ．526．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入,n x 的值分别为3,3.则输出v 的值为（ ）A ．15B ．16C ．47D ．487．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为（ ）ABCD．9．已知函数()()2log 2f x x =+，若在[]2,5-上随机取一个实数0x ，则()01f x ≥的概率为（ ） A ．35B ．56C ．57D ．6710．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长之比值为m ，则m 的取值范围是（ ） A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．()3,+∞D ．[)3,+∞11．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点为12,F F ，过2F 作x 轴的垂线与C 交于,A B 两点，1F A 与y轴相交于点D ，若1BD F A ⊥，则椭圆C 的离心率等于（ ）A ．13BC ．12D12．已知函数()2,0115,024x x f x a x x ⎧>⎪=⎨+-≤⎪⎩，函数()2g x x =，若函数()()y f x g x =-有4个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()5,+∞B ．155,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．195,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．195,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．曲线2ln y x x =+在点()1,1处的切线方程为______.14．已知抛物线()220y pxp =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为______.15．已知三棱锥P ABC -满足平面PAB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，1AB =，3APB π∠=，则该三棱锥的外接球的体积为______.16．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知sin :sin :sin ln 2:ln 4:ln A B C t =，且2CA CB mc ⋅=u u u r u u u r，有下列结论：①28t <<； ②229m -<>；③当8t <<时，ABC ∆为钝角三角形；④当4t =，ln 2a =时，ABC ∆的面积为228.其中正确的是______.（填写所有正确结论的编号） 三、解答题17．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且22b =，34b =，11a b =，65a b =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .18．如图，在多面体ABCDPQ 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB CD PQ P P ，AB AD ⊥，PAD ∆为正三角形，O 为AD 的中点，且2AD AB ==，1CD PQ ==. （1）求证：平面POB ⊥平面PAC ； （2）求多面体ABCDPQ 的体积.19．为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康概念，手机APP 也推出了多款健康运动软件，如“微信运动”，杨老师的微信朋友圈内有600位好友参与了“微信运动”，他随机选取了40位微信好友（女20人，男20人），统计其在某一天的走路步数，其中，女性好友的走路步数数据记录如下：男性好友走路的步数情况可分为五个类别：()02000A -步（说明“02000-”表示大于等于0，小于等于2000，下同），()20015000B -步，()50018000C -步，()800110000D -步，()10001E 步及以上，且,,B D E 三种类别人数比例为1:3:4，将统计结果绘制如图所示的条形图，若某人一天的走路步数超过8000步被系统认定为“卫健型”，否则被系统认定为“进步型”.（1）若以杨老师选取的好友当天行走步数的频率分布来估计所有微信好友每日走路步数的概率分布，请估计杨老师的微信好友圈里参与“微信运动”的600名好友中，每天走路步数在5001~10000步的人数； （2）请根据选取的样本数据完成下面的22⨯列联表并据此判断能否有95%以上的把握认定“认定类型”与“性别”有关？附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d κ-=++++，20．在平面直角坐标系中，点1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在双曲线C 上，不在x 轴上的动点P 与动点Q 关于原点O 对称，且四边形12PF QF 的周长为.（1）求动点P 的轨迹W 的方程；（2）过点()2,0M 的直线交P 的轨迹W 于,A B 两点，N 为W 上一点，且满足OA OB tON +=u u u r u u u r u u u r，其中23t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，求AB 的取值范围. 21．已知函数()()1sin ,02f x ax x a a R a =-∈≠. （1）讨论()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性； （2）当0a >时，若()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1π-，讨论：函数()f x 在()0,π内的零点个数.22．直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为23x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 3sin ρθθ=.（1）求1C 和2C 的直角坐标方程；（2）设点()0,2P ，直线1C 交曲线2C 于,M N 两点，求22PM PN +的值.23．已知函数()28f x x ax =-++，()11g x x x =++-.（1）当0a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[]1,1-，求实数a 的取值范围.。
重庆市一中2020-2020学年高二文科数学下学期期中试题(1)
重庆市一中2020-2020学年高二文科数学下学期期中试题数学试题共3页。
总分值150分。
考试时刻120分钟。
注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必需利用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必需利用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必需在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一.选择题.(本大题共10小题,每题5分,共50分)1.假设A,B 为互斥事件,且()0.3,()0.7P A P A B =+=,那么()P B =( )B.0.5 C2.样本1,2,3,2,3,0,1---的方差是( )A.0B.2C.2D.43.某单位有职工200人,其中老年人30人,中年人120人,青年人50人,要用分层抽样方式抽取一个容量为20的样本,那么应抽取老年人的人数为( )A.3B.4C.5D.124.假设6234560123456(12)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++,那么123456a a a a a a +++++等于( )A.1-B.0C.1D.25.在1, 2, 3, 4, 5这五个数字组成的没有重复的数字三位数中,列位数字之和为奇数的共有( )个.A.36B.18C.24D.66.正方体的表面积为S,那么它的体积是( )A.S SB.8SC.12S SD.636S S 7.已知正三棱锥P —ABC 中,PA=2, AB=3,那么侧棱与底面所成的角等于( )A.2πB.6πC.4πD.3π 8.从5位同窗当选4人在礼拜五,礼拜六,礼拜日参加公益活动,每人一天,假设礼拜五有2人参加,礼拜六,礼拜日各有1人参加,那么不同的选法有( )种.A.40B.60C.100D.1209.如图,长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AA 1=AB=2,AD=1,点E 、F 、G 别离是DD 1, AB, CC 1的中点,那么异面直线A 1E 与GF 所成的角为( )A.30°B.45°C.60°D.90°10.某地为“唱红歌”特组织了6支不同的队伍,其中3支青年队,2支中年队,1支老年队.现将其排成一个节目单,要求同龄的队伍不相邻,那么不同的排法有( )种.A.48B.60C.120D.320二.填空题.(本大题共5个小题,每题5分,共25分)11.二项式261()x x -的展开式的常数项为 .12.五种不同的商品在货架上排成一排,其中,a b 两种必需排在一路,而,c d 两种不能排在一路,那么不同的排法共有 种.(用数字作答)13.一次测量中,显现正误差和负误差的概率均为12,那么在5次测量中,至少3次显现正误差的概率是 . 14.球面上的两点A,B 均在北纬45°圈上,点A 位于西径40°,点B 位于东径50°,且通过A,B 两点的球面距离为3π,那么那个球的体积为 . 15.北京大学今年实施校长实名推荐制,某中学取得推荐4名学生的资格,校长要从7名优秀学生中推荐4名,7名学生中有2人有体育特长,还有2人有艺术特长,其余3人有其他特长,那么至少含有一名有体育特长和一名有艺术特长的学生的推荐方案有 种.(用数字作答)三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.(13分)6名同窗站成一排.求:(用数字作答)(1)甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法?(2)甲,乙,丙三人必需在一路有多少种不同的排法?17.(13分)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球,现从甲,乙两个盒内各任取2个球.求:(1)掏出的4个球均为黑球的概率;(2)掏出的4个球中恰有一个红球的概率.18.(13分)某电视台开办“激情大冲关”娱乐节目,设置了10项关卡,游戏规定:选手需要在这10项关卡中抽签选择其中的5项进行冲关,假设选手通过的关卡数超过3个,那么挑战成功,不然失败.由于某种缘故,选手甲在这10项关卡中有两项不能通过,其余关卡都能通过.(1)求选手甲挑战成功的概率;(2)假设选手甲持续挑战两次(假设两次挑战之间彼此没有阻碍),求该选手两次挑战中恰有一次成功的概率.19.(12分)如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,AC=BC=CC 1=2,AC ⊥BC,D 为AB 中点.(1)求证:AC 1//平面CDB 1;(2)求点B 到平面CDB 1的距离.20.(12分)如图,在底面是直角梯形的四棱锥P —ABCD 中,AD//BC, ∠ABC=90°,PA ⊥平面ABCD, PA=4, AD=2, AB=23, BC=6. (1)求证:B D ⊥平面PAC;(2)求二面角A —PC —D 的正切值.21.(12分)已知二项式*523()()n x n N y+∈. (1)假设展开式各项系数之和比各项二项式系数之和大992,求n 的值;(2)若1,3x y n ==,设523()n n a x y =+,求证:23n a ≤<. 2020年重庆一中高2020级半期考试（本部）数学试题答案(文科) 2010.5一.选择题.(本大题共10小题,每题5分,共50分)题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B C D B B D C二.填空题.(本大题共5个小题,每题5分,共25分)11. 15 12. 24 13.12 14. 43π 15. 25 三.解答题.(本大题共6小题,共75分)16.(1)1545480A A ⋅=(2)4343144A A ⋅= 答:略17.(1)22341224615C C P C C ⋅==⋅ (2)122113432422246715C C C C C P C C ⋅+⋅⋅==⋅ 答:略18.(1)54188251079C C C P C +== (2)由题意,此即两次独立重复实验恰有一次发生的概率故1227728(1)(1)2(1)9981P C P P =⋅-=⨯⨯-=答:略19.(1)连BC 1交B 1C 于E,连DE,易证DE//AC 1,又DE ⊂面B 1DC,AC 1⊄面B 1DC∴AC 1//平面B 1DC(2)设点B 到平面CDB 1的距离为h ,由11B BCD B B CD V V --=∴11BCD B CD S BB S h ∆∆⋅=⋅ 易求得1BCD S ∆= 11132B CD S CD B D ∆=⋅⋅= ∴233h = 提示:也可作BH ⊥B 1D 于H,那么BH=233即为所求. 20.(1)∵PA⊥面ABCD ∴PA⊥BD又3tan 3AD ABD AB ∠==, tan 3BC BAC AB∠== ∴∠ABD=30°, ∠BAC=60°, ∴∠AEB=90°,即BD⊥AC 又PA AC=A ∴BD⊥面PAC.(2)过E 作EF ⊥PC 于F, 连DF,∵DE ⊥面PAC ∴E F 是DF 在面PAC 上的射影,∴PC⊥DF, 那么∠EFD 为二面角A —PC —D 的平面角, 又∠DAC=30°, sin 1DE AD DAC =∠=,sin AE AB ABE =∠=AC = ∴8EC PC ==由Rt△EFC∽Rt△PAC 得PA EC EF PC ⋅==在Rt △EFD 中,tan 9DE EFD EF ∠==故二面角A —PC —D . 21.(1)由42992n n -=得(232)(231)0n n -+=, ∴232n = 故5n =.(2)1212211111(1)1...12n n n n n n n a C C C C n n n n n =+=+⋅+⋅++≥+⋅= 又1231(1)1(1)(2)1(1)32111...2!3!!n n n n n n n n n n a C n n n n n ----⨯⨯=+⋅+⋅+++⋅ 故23n a ≤<.。
重庆市高三数学(文科)下册期中考试试题(含答案)
重庆市高三数学（文科）下册期中考试试题第Ⅰ卷一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案） 1、设集合A={1，2}，则满足{2}A B =I 的集合B 可以是（ ）A ．{1,2}B ． {1,3}C ． {2,3}D ． {1,2,3}2．将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如右图所示，则该几何体的侧视图为（ ）3．已知a 是实数，iia -+1是纯虚数，则a 等于（ ）A 、1-B 、1C 、2D 、24．已知a ，b 是实数，则“23a b >>且”是“5>+b a ”的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 5．已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）A 、向右平移4π个单位长度 B 、向左平移4π个单位长度 C 、向右平移8π个单位长度D 、向左平移8π个单位长度6．函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，则8a bab+的 最小值是（ ）A 、 10B 、 9C 、 8D 、 327.在△ABC 中，BC=1，∠B=3π,△ABC 的面积S =3，则sinC=（ ） A 、1313 B 、53C 、54 D 、13392 8．过圆01022=-+x y x 内一点（5,3）,有一组弦的长度组成等差数列，最小弦长为该数列的首项1a ，最大弦长为数列的末项11a ，则108642a a a a a ++++的值是（ ） A 、10 B 、 18C 、45D 、549．重庆长寿湖是重庆著名的湿地公园，每年冬天都有数以万计的各种珍贵鸟类来此栖息、觅食，有些不法分子在某边长分别为6,8,10米的三角形沼泽地内设置机关，当鸟类进入此三角形区域且靠近任一顶点距离小于2米（不包括三角形外界区域），就会被捕获，假设鸟类在三角形区域任意地点出现的概率是等可能的，则鸟类在此三角形区域中不幸被捕获的概率为（ ）A 、6πB 、24πC 、10πD 、12π10．点P 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上的一点，其右焦点为(,0)F c ，若M 为线段FP 的中点,且M 到坐标原点的距离为8c，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ) A 、41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦B 、(]1,8C 、45(,)33D 、(]2,3第Ⅱ卷二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11、已知抛物线方程22y x =，则它的焦点坐标为_______。
重庆一中2019-2020学年高三(下)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)
2019-2020学年重庆一中高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若全集U＝{x|﹣1≤x≤4}，集合A＝{x|≤3x≤27}，则∁U A＝（）A．[﹣1，3]B．（3，4]C．[3，4]D．（3，4）2．已知i为虚数单位，则i+i2+i3+…+i2019等于（）A．i B．1C．﹣i D．﹣13．已知椭圆（a＞b＞0）分别过点A（2，0）和B（0，﹣1），则该椭圆的焦距为（）A．B．C．D．4．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，如图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列5．若，则tan2θ＝（）A．B．C．D．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a3+a6＝20，S5＝35，则S7＝（）A．57B．60C．63D．667．已知一个圆柱的轴截面是面积为36的正方形，则这个圆柱的侧面积为（）A．36πB．27πC．18πD．12π8．若变量x，y满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．﹣2D．9．在直三棱柱ABC﹣A 1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝BC＝2，，则异面直线AC1与A1B1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．已知函数f（x）＝﹣x2+4x+m（e x﹣2+e2﹣x）有唯一零点，则实数m＝（）A．﹣B．2C．D．﹣211．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，直线与抛物线C交于P，Q两点（点P在x轴上方），与准线l交于点R，若|QF|＝3，则＝（）A．B．C．D．12．设奇函数f（x）的定义域为（﹣，），且f（x）的图象是连续不间断，∀x∈（﹣，0），有f′（x）cos x+f（x）sin x＞0，若f（m）＜f（）cos（﹣m），则m的取值范围是（）A．（﹣，﹣）B．（0，）C．（﹣，）D．（，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知f（x）＝，则f（f（ln3））＝．14．西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例，勾三，股四，弦五．此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年，我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数成为勾股数．现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26），（15，20，25），（15，36，39）这几组勾股数中随机抽取1组，则被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为．15．在平面直角坐标系中，动点P在椭圆C：+＝1上运动，则点P到直线x﹣y﹣10＝0的距离的最大值为．16．已知三棱锥D﹣ABC的每个顶点都在球O的表面上，AB＝6，AC＝2，AB⊥AC，顶点D在平面ABC上的投影E为BC的中点，且DE＝5，则球O的体积为．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知等差数列{a n}的公差为d（d≠0），等差数列{b n}的公差为2d，设A n，B n 分别是数列{a n}，{b n}的前n项和，且b1＝3，A2＝3，A5＝B3．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，数列{c n}的前n项和为S n，证明：．18．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，点E是边AD上的一点，且AE＝2ED，点H是BE的中点，将△ABE沿着BE折起，使点A运动到点S处，且有SC＝SD．（1）证明：SH⊥平面BCDE；（2）求三棱锥C﹣SHE的体积．19．（12分）某大型商场的空调在1月到5月的销售量与月份相关，得到的统计数据如表：月份x12345销量y（百台）0.60.8 1.2 1.6 1.8（1）经分析发现1月到5月的销售量可用线性回归模型拟合该商场空调的月销量y（百件）与月份x之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测6月份该商场空调的销售量；（2）若该商场的营销部对空调进行新一轮促销，对7月到12月有购买空调意愿的顾客进行问卷调查．假设该地拟购买空调的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的500名顾客进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：有购买意愿对应的月份789101112频数60801201308030现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3人进行跟踪调查，求抽出的3人中恰好有2人是购买意愿的月份是12月的概率．参考公式与数据：线性回归方程，其中，．20．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线y＝x+2是它的一条切线．（1）求p的值；（2）若A（2，4），过点p（m，0）作动直线交抛物线于B，C两点，直线AB与直线AC 的斜率之和为常数，求实数m的值．21．（12分）设函数f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）恰有两个零点，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴正半轴重合，直线l 的参数方程为：，曲线C的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．（1）写出曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于P，Q两点，直线l过定点M（2，0），若，求直线l的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，函数f（x）＝|x﹣a|．（1）若a＝2，解不等式f（x）+f（x+3）≤5；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣f（x+2a），且存在x0∈R使得成立，求实数a的取值范围．2019-2020学年重庆一中高三（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【分析】可以求出集合A，然后进行补集的运算即可．【解答】解：∵U＝{x|﹣1≤x≤4}，A＝{x|﹣1≤x≤3}，∴∁U A＝（3，4]．故选：B．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，指数函数的单调性，补集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】利用等比数列前n项和化简，再由虚数单位i的性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：i+i2+i3+ (i2019)＝．故选：D．【点评】本题考查等比数列前n项和，考查虚数单位i的性质，是基础题．3．【分析】利用已知条件求出a，b，c，即可求出椭圆的焦距．【解答】解：椭圆（a＞b＞0）分别过点A（2，0）和B（0，﹣1），可得：a＝2，b＝1，所以，从而．故选：B．【点评】本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力．4．【分析】先对图表信息进行处理，再结合等差数列的概念及简单的合情推理逐一检验即可得解．【解答】解：由2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图可知：选项A，B显然正确；对于选项C，因为，即选项C正确；1.6，1.9，2.2，2.5，2.9不是等差数列，即选项D错误，故选：D．【点评】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识，属中档题．5．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式可求tanθ的值，根据二倍角的正切函数公式即可求解．【解答】解：因为，所以，解得tanθ＝7，从而．故选：C．【点评】本题考查三角恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6．【分析】设数列{a n}的公差为d，因为数列a3+a6＝20，S5＝35，所以a3+a6＝20，a3＝7，解得a3＝7，a6＝13，利用通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，因为数列a3+a6＝20，S5＝35，所以a3+a6＝20，a3＝7，解得a3＝7，a6＝13，所以a6﹣a3＝3d＝6，解得，所以a n＝2n+1，，从而S7＝63．故选：C．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．【分析】设出底面半径，求出底面半径与高，即可求解圆柱的侧面积．【解答】解：设底面圆的半径为r，则高为2r，由2r•2r＝36，得r2＝9，所以．故选：A．【点评】本题考查圆柱体的侧面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力．8．【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义求解即可．【解答】解：表示通过可行域内的点（x，y）与坐标原点的直线的斜率，画出不等式组表示的可行域，点A（﹣1，2）坐标原点（0，0）的连线斜率最小，可行域的B（﹣2，1）与原点（0，0）的连线斜率最大，最大值为：．故选：B．【点评】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力．9．【分析】由题意画出图形，连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．然后求解三角形得答案．【解答】解：连接AC1，BC1，可知∠BAC1为异面直线AC1与A1B1所成的角．∵△ABC1为直角三角形，且AB⊥BC1，AB＝2，，∴，得∠BAC 1＝60°．即异面直线AC1与A1B1所成的角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成的角的大小，考查空间想象能力和运算求解能力，是基础题．10．【分析】由已知结合f（4﹣x）＝f（x），从而可得函数的图象关于x＝2对称，交点也关于x＝2对称，结合唯一零点的条件可得f（2）＝0，从而可求．【解答】解：因为f（x）＝x（4﹣x）+m（e x﹣2+e2﹣x），所以f（4﹣x）＝（4﹣x）x+m（e x﹣2+e2﹣x）＝f（x）所以f（4﹣x）＝f（x）即函数图象关于x＝2轴对称，故函数的图象与x轴的交点也关于x＝2对称，又因为函数有唯一零点，故根据函数的对称性可知，只能交在（2，0即f（2）＝4+2m＝0，所以m＝﹣2．故选：D．【点评】本题主要考查了利用函数的对称性求解函数值，解题的关键是发现函数图象关于x＝2对称的性质．11．【分析】如图所示，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，可得p＝2．y2＝4x．由|QF|＝3＝x Q+1，解得x Q＝2．联立，化为：x2﹣（4m2+2）x+5＝0．利用根与系数的关系可得x P，利用＝＝即可得出．【解答】解：如图所示，∵抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，且F到准线l的距离为2，∴p＝2．∴y2＝4x．|QF|＝3＝x Q+1，解得x Q＝2．联立，化为：x2﹣（4m2+2）x+5＝0．∴2x P＝5，解得x P＝，则＝＝＝＝．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、斜率计算公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．【分析】依题意，令g（x）＝，x∈（﹣，），则g（x）＝为奇函数且在区间（﹣，）上单调递增，故f（m）＜f（）cos（﹣m）可等价转化为：＝＜，从而可得答案．【解答】解：令g（x）＝，x∈（﹣，），∵f（x）为奇函数，y＝cos x为偶函数，∴g（x）＝，x∈（﹣，）为奇函数．∵∀x∈（﹣，0），有f′（x）cos x+f（x）sin x＞0，∴g′（x）＝＞0，∴g（x）在区间（﹣，0）上单调递增，又g（x）为奇函数，∴g（x）在区间（﹣，）上单调递增，当x∈（﹣，），cos x＞0，∴f（m）＜f（）cos（﹣m）⇔＝＜，∴﹣＜m＜．故选：C．【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查等价转化思想与综合运算能力，考查函数的单调性与奇偶性，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（ln3）的值，进而计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）＝，则f（ln3）＝﹣e ln3＝﹣3，则f（f（ln3））＝f（﹣3）＝（﹣3）2﹣1＝8；故答案为：8．【点评】本题考查函数值的计算，涉及分段函数的解析式，属于基础题．14．【分析】基本事件总数n＝10，被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列包含的基本事件有4个，由此能求出被抽出的被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率．【解答】解：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数成为勾股数．现从（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（9，12，15），（10，24，26），（15，20，25），（15，36，39）这几组勾股数中随机抽取1组，基本事件总数n＝10，被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列包含的基本事件有：（3，4，5），（6，8，10），（9，12，15），（15，20，25），共4个，则被抽出的被抽出的这组勾股数刚好构成等差数列的概率为P＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．【分析】设与直线x﹣y﹣10＝0平行的直线与椭圆相切时，两条平行线之间的最大值为点到直线的最大距离，将所设直线与椭圆联立，由判别式等于0可得参数的值，由平行线间的距离公式可得最大值．【解答】解：设与直线x﹣y﹣10＝0平行的直线x﹣y+c＝0与椭圆相切，两条平行线的距离的最大值为点P到直线x﹣y﹣10＝0的距离的最大值，联立，整理可得25x2+32cx+16c2﹣16×9＝0，△＝322c2﹣4×25×16（c2﹣9）＝0，解得：c2＝25，c＝±5，所以平行线间的距离为：＝或，所以最大值为，故答案为：．【点评】本题考查直线与椭圆相切及椭圆的性质，属于中档题．16．【分析】由题意可知DE⊥平面ABC，球心O在DE上，由球的性质可知，代入可求R，然后结合球的体积公式即可求解．【解答】解：因为AB＝6，AC＝2，AB⊥AC，所以BC＝＝2，由题意可知△ABC外接圆半径r＝＝，因为DE⊥平面ABC，则可知球心O在DE上，由球的性质可知R2＝（5﹣R）2+15，解可得R＝4，故球的体积V＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了球体积的求解，解题的关键是球半径的求解，属于中档试题．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；（2）求得，运用数列的求和公式和裂项相消求和，计算可得所求和．【解答】解：（1）因为数列{a n}，{b n}是等差数列，且A2＝3，A5＝B3，所以2a1+d＝3，5a1+10d＝9+6d．解得a1＝d＝1，所以a n＝a1+（n﹣1）•d＝n，即a n＝n，b n＝b1+（n﹣1）•2d＝2n+1，即b n＝2n+1．综上a n＝n，b n＝2n+1．（2）证明：由（1）得，所以，即．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．【分析】（1）取CD的中点M，连接HM，SM，推导出SH⊥BE．从而CD⊥平面BCDE，进而CD⊥SH，由此能证明SH⊥平面BCDE．（2）三棱锥C﹣SHE的体积V C﹣SHE＝V C﹣SHE＝V S﹣HEC．由此能求出结果．【解答】解：（1）证明：取CD的中点M，连接HM，SM，由已知得AE＝AB＝2，∴SE＝SB＝2，又点H是BE的中点，∴SH⊥BE．∵SC＝SD，点M是线段CD的中点，从而CD⊥平面BCDE，∴CD⊥SH，又CD，BE不平行，∴SH⊥平面BCDE．（2）由（1）知，，∴三棱锥C﹣SHE的体积．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，得到线性回归方程，取x＝6求得y 值即可；（2）利用枚举法写出从6人中随机抽取3人的所有情况，再求出从这6人中随机抽取3人的所有情况，由古典概型概率计算公式求解．【解答】解：（1）∵，，∴，则，于是y关于x的回归直线方程为．当x＝6时，（百台）；（2）现采用分层抽样的方法从购买意愿的月份在7月与12月的这90名顾客中随机抽取6名，则购买意愿为7月份的抽4人记为a，b，c，d，购买意愿为12月份的抽2人记为A，B．从这6人中随机抽取3人的所有情况为（a，b，c）、（a，b，d）、（a，b，A）、（a，b，B）、（a，c，d）、（a，c，A）、（a，c，B）、（a，d，A）、（a，d，B）、（a，A，B）、（b，c，d）、（b，c，A）、（b，c，B）、（b，d，A）、（b，d，B）、（b，A，B）、（c，d，A）、（c，d，B）、（c，A，B）、（d，A，B），共20种，恰好有2人是购买意愿的月份是12月的有（a，A，B）、（b，A，B）、（c，A，B）、（d，A，B），共4种，故所求概率为．【点评】本题考查线性回归方程的求法，训练了利用枚举法求古典概型的概率，是中档题．20．【分析】（1）通过直线与抛物线方程联立，结合△＝（2p）2﹣4×4p＝0，解得p＝4．即可．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），设过点P（m，0）的动直线的方程为x＝ty+m，代入y2＝8x，得y2﹣8ty﹣8m＝0，利用韦达定理，结合直线的斜率，转化求解即可．【解答】解：（1）由y＝x+2，得x＝y﹣2，代入y2＝2px，得y2﹣2py+4p＝0，因为拋物线y2＝2px（p＞0）与直线y＝x+2相切，所以△＝（2p）2﹣4×4p＝0，解得p＝4．（2）设B（x1，y1），C（x2，y2），则．设过点P（m，0）的动直线的方程为x＝ty+m，代入y2＝8x，得y2﹣8ty﹣8m＝0，所以△＝64t2+32m＞0，y1+y2＝8t，y1y2＝﹣8m，所以．若t变化，k AB+k AC为常数，则需满足，解得m＝﹣2．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．如果是考试，请参考：评分细则：（1）第（1）问，联立方程组不管是消x还是消y，只要是列出△＝0得（3分），正确解出p的值共得（4分）；（2）第（2）问，正确列出，本步骤得（2分），联立方程组消去一个变量正确得到一个二元一次方程，再得（1分），写出了韦达定理又得（1分），求出得（2分），全部正确解完得满分；（3）若在第（2）问中设过点P（m，0）的动直线的方程为y＝k（x﹣m），只要方法正确，参照评分标准按步骤给分．21．【分析】（1）求函数的导数，讨论a求函数的单调性．（2）由（1）可知：①当a≥0时，．函数f（x）恰有两个零点转换成f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx≥ax2﹣（a﹣1）x+1．只需，分类讨论，解得a＞4+4ln2．【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx，其定义域为（0，+∞），所以．①当a≥0时，令f′（x）＜0，得；令f′（x）＞0，得，此时f（x）在上单调递减，在上单调递增．②当﹣2＜a＜0时，令f′（x）＜0，得或；令f′（x）＞0，得，此时f（x）在，上单调递减，在上单调递增．③当a＝﹣2时，f′（x）≤0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．④当a＜﹣2时，令f′（x）＜0，得或；令f′（x）＞0，得，此时f（x）在，上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）可知：①当a≥0时，．易证lnx≤x﹣1，所以f（x）＝ax2﹣（a﹣2）x﹣lnx≥ax2﹣（a﹣1）x+1．因为，，f（1）＝2＞0．所以f（x）恰有两个不同的零点，只需，解得a＞4+4ln2．②当﹣2＜a＜0时，，不符合题意．③当a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，不符合题意．④当a＜﹣2时，由于f（x）在，上单调递减，在上单调递增，且，又，由于，，所以，函数f（x）最多只有1个零点，与题意不符．综上可知，a＞4+4ln2，即a的取值范围为a∈（4+4ln2，+∞）．【点评】本题主要考查导数法研究函数的单调性，基本思路：当函数是增函数时，导数大于等于零恒成立，当函数是减函数时，导数小于等于零恒成立，然后转化为求相应函数的最值问题．考查函数的零点问题，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用求出直线的倾斜角，进一步求出直线的斜率．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为：ρ＝4sinθ．转换为直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．（2）把直线l的参数方程为：，代入圆的直角坐标方程x2+（y﹣2）2＝4，得到t2+（4cosα﹣4sinα）t+4＝0，（t1和t2为P、Q对应的参数），由于，所以，整理得，由于α∈[0，π]，所以，故直线的斜率k＝﹣1．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用分段函数表示f（x）+f（x+3）的解析式，再解不等式，把最终答案写成解集形式；（2）由题意求出g（x）的最大值g（x）max，再解关于a的不等式．【解答】解：（1）当a＝2时，，当x＜﹣1时，由1﹣2x≤5，解得﹣2≤x＜﹣1；当﹣1≤x＜2时，由3≤5，解得﹣1≤x＜2；当x≥2时，由2x﹣1≤5，解得2≤x≤3；综上可知，原不等式的解集为{x|﹣2≤x≤3}；（2）g（x）＝f（x）﹣f（x+2a）＝|x﹣a|﹣|x+a|，存在x0∈R使得成立，等价于；又因为|x﹣a|﹣|x+a|≤|x﹣a﹣x﹣a|＝2a，所以2a≥a2﹣2a，即a2﹣4a≤0，解得0≤a≤4，结合a＞0，所以实数a的取值范围为（0，4]．【点评】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，评分细则为：（1）第（1）问中，求出f（x）+f（x+3）的分段函数的形式，得（1分），每种情况正确解得各得（1分），最终的答案未写成解集形式，不扣分；（2）在第（2）问中，写出g（x）＝|x﹣a|﹣|x+a|，得（1分），不管用哪种方法，计算出g（x）max＝2a，都可得到该步骤分（2分），解得0≤a≤4而漏了a＞0，共得（9分）．。
重庆市第一中学2020届高三下学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析
数学试题一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.设集合P ＝{x |x +2≥x 2}，Q ＝{x ∈N ||x |≤3}，则P ∩Q ＝（ ） A. [﹣1，2] B. [0，2] C. {0，1，2} D. {﹣1，0，1，2} 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式x +2≥x 2求出集合P ，再求出集合Q ，再利用集合的交集运算即可算出结果.【详解】解不等式x +2≥x 2，得12x -≤≤，∴集合P ＝{x |x +2≥x 2}＝{}12x x -≤≤，又∵集合Q ＝{x ∈N ||x |≤3}＝{0，1，2，3}， ∴P ∩Q ＝{0，1，2}， 故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，是容易题.2.已知向量()1,2a =，()1,b x =-，若//a b ，则b =（ ） 5 B.525 D. 5【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算计算出x ，再由模的坐标表示求模． 【详解】∵//a b ，∴12(1)0x ⨯-⨯-=，2x =-，∴22(1)(2)5b =-+-=．故选：C ．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，考查向量模的坐标表示．属于基础题．3.复数12z i =+，若复数1z ， 2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =（ ） A. 5- B. 5 C. 34i -+ D. 34i -【答案】A【解析】 【分析】首先求出复数22z i =-+，再根据复数的代数形式的乘法运算法则计算可得；【详解】解：由题意可知22z i =-+，所以212(2i)(2i)4i 5z z =+-+=-+=-，故选：A ．【点睛】本题考查复数的几何意义的应用，以及复数代数形式的乘法运算，属于基础题. 4.一场考试之后，甲、乙、丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是（ ） A. 甲同学三个科目都达到优秀 B. 乙同学只有一个科目达到优秀 C. 丙同学只有一个科目达到优秀 D. 三位同学都达到优秀的科目是数学【答案】C 【解析】 【分析】根据题意推断出乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，甲至少有一科优秀，从而得出答案. 【详解】甲说有一个科目每个人都达到优秀，说明甲乙丙三个人每个人优秀的科目至少是一科，乙说英语没有达到优秀，说明他至多有两科达到优秀，而丙优秀的科目不如乙多，说明只能是乙有两科达到优秀，丙有一科达到优秀，故B 错误，C 正确；至于甲有几个科目优秀，以及三人都优秀的科目到底是语文还是数学，都无法确定 故选：C【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.5.2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为（ ） A. 0.7 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.3【答案】C 【解析】 分析】现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，2名护士分别记为A 、B ，3名医生分别记为a 、b、c，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可得所求事件的概率.【详解】重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，2名护士记A、B，3名医生分别记为a、b、c，所有的基本事件有：(),A B、(),A a、(),A b、(),A c、(),B a、(),B b、(),B c、(),a b、(),a c、(),b c，共10种，其中事件“恰有1名医生和1名护士被选中”所包含的基本事件有：(),A a、(),A b、(),A c、(),B a、(),B b、(),B c，共6种，因此，所求事件的概率为60.610P==.故选：C.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.一组数据的平均数为m，方差为n，将这组数据的每个数都乘以()0a a>得到一组新数据，则下列说法正确的是（）A. 这组新数据的平均数为mB. 这组新数据的平均数为a m+C. 这组新数据的方差为anD. 这组新数据的标准差为n【答案】D【解析】【分析】计算得到新数据的平均数为am，方差为2a n，标准差为n，结合选项得到答案.【详解】根据题意知：这组新数据的平均数为am，方差为2a n，标准差为n.故选：D【点睛】本题考查了数据的平均值，方差，标准差，掌握数据变化前后的关系是解题的关键.7.已知107700,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域为D，若()x y D∀∈,，2x y a+≤为真命题，则实数a的取值范围是A. [)5,+∞ B. [)2,+∞C. [)1,+∞ D. [)0,+∞【答案】A【解析】【分析】本题可先通过线性规划得出平面区域D，在解出2x y+的取值范围，最后得出a的取值范围．【详解】绘制不等式组107700,0x yx yx y-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的可行域如图所示，令2z x y=+，结合目标函数2z x y=+的几何意义可得2z x y=+在点B处取得最大值，联立直线方程可得10770x yx y-+=⎧⎨--=⎩，解得4373xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即47,33B⎛⎫⎪⎝⎭，则max472533z=⨯+=. 结合恒成立的条件可知5a≥，即实数a的取值范围是[)5,+∞，本题选择A选项．【点睛】求线性目标函数z ax by=+的最值，当b0>时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b0<时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.解本题时，由线性规划知识确定2x y+的最值，然后结合恒成立的条件确定实数a的取值范围即可．8.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为（）A. 183B. 182C. 123D. 243【答案】B【解析】【分析】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.可得πr2+πrl＝36π，2πr＝l•23π，联立解得：r，l，h22l r=-. 即可得出该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh.【详解】如图所示，设此圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l.则πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36，2πr＝l•23π，可得l＝3r.解得：r＝3，l＝9，h22l r=-=62.该圆锥的轴截面的面积S12=•2r•h＝rh2=2.故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.9.若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x）x=a的值为（）A. 4B. 12C.2eD. e【答案】C【解析】 【分析】根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出a 的值和切点坐标，问题可解. 【详解】由已知得()()2a f x g x x x''==，， 设切点横坐标为t ，∴2alnt t a t t ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得22e t e a ==，.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于中档题.10.已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P 的中点，O 是坐标原点，若1OF M △周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距），13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为（ ）A. 2y x =±B. 12y x =±C. 2y x =D.2y x = 【答案】C 【解析】 分析】从1OF M 周长为3c a +，M 是线段1F P 的中点入手，结合双曲线的定义，将已知条件转为焦点三角形中12||,||PF PF 与a 关系，求出123F PF π∠=，用余弦定理求出,a c 关系，即可求解.【详解】连接2PF ，因为M 是线段1F P 的中点， 由三角形中位线定理知21,2OM PF =2//OM PF ， 由双曲线定义知122PF PF a -=，因为1OF M 周长为111211322OF OM F M c PF PF c a ++=++=+， 所以126PF PF a +=，解得124,2PF a PF a ==，在12PF F 中， 由余弦定理得22212121212||||2cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠， 即()()()222242242cos3c a a a a π=+-⨯⨯，整理得，223c a =，所以22222b c a a =-=，所以双曲线E 的渐近线方程为2y x =. 故选:C .【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，考查三角形中位线定理、双曲线定义以及余弦定理的应用，属于中档题.11.已知函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象经过点(0,1)B -，在区间(,)183ππ上为单调函数，且()f x 的图象向左平移π个单位后与原来的图象重合，当12172,(,)123t t ππ∈--，且12t t ≠时，12()()f t f t =，则12()f t t +=（ ） A. 3 B. 1-C. 13【答案】B 【解析】分析：由题意，求得,w ϕ的值，写出函数()f x 的解析式，求函数的对称轴，得到12t t +的值，再求解()12f t t +的值即可.详解：由函数()()2sin (0,)2f x x πωϕωϕ=+><的图象过点(0,1)B -，所以2sin 1ϕ=-，解得1sin 2ϕ=-，所以6πϕ=-，即()2sin()6f x x πω=-，由()f x 的图象向左平移π个单位后得()2sin[()]2sin()66g x x wx w ππωππ=+-=+-，由两函数的图象完全重合，知2w k π=，所以2,w k k Z π=∈，又3182T w πππ-≤=，所以185w ≤，所以2w =，所以()2sin(2)6f x x π=-，则其图象的对称轴为,23k x k Z ππ=+∈，当12172,(,)123t t ππ∈--，其对称轴为73236x πππ=-⨯+=-， 所以12772()63t t ππ+=⨯-=-， 所以()1277295()2sin[2()]2sin 2sin 133666f t t f πππππ+=-=⨯--=-=-=-， 故选B.点睛：本题主要考查了三角函数的图象变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，其中解答中根据题设条件得到函数的解析式，以及根据三角函数的对称性，求得12t t +的值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 12.已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为（ ）A. 20B. 18C. 16D. 14【答案】C 【解析】 【分析】先解()0g x =，求得()f x 的值，再根据函数的解析式，利用二次函数，函数的图象的平移伸缩变换及偶函数的图像性质作图，利用数形结合方法即可得到答案. 【详解】21()8()6()10()2g x f x f x f x =-+=∴=或1()4f x = 根据函数解析式以及偶函数性质作()f x 图象， 当02x <≤时，()()21f x x =- ,是抛物线的一段， 当(]()()12,2,22,1,2,3,,22x x k k k f x f x >∈+=⋯=-时，,是由(]22,2,x k k ∈- 的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y 轴右侧的图象，再根据偶函数的图象性质得到R 上的函数()f x 的图象， 考察()y f x =的图象与直线12y =和14y =的交点个数，分别有6个和10个， ∴函数g(x)的零点个数为61016+=,故选：C【点睛】本题考查函数零点以及函数综合性质，涉及分段函数，函数的图象的平移，伸缩变换，函数的奇偶性，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题. 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1352a a +=，2454a a +=，则33S a ______.【答案】7 【解析】 【分析】结合等比数列的通项公式，由已知条件，可得到两个等式，这两个等式相除可以求出等比数列的公比，进而可以求出首项，最后根据等比数列的通项公式和前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则21152a a q +=，31154a q a q +=， 两式相除可得2312q q q +=+，解将12q =，12a =，1233331212712S a a a a a ++=++==.故答案为：7【点睛】本题考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力. 14.已知抛物线y 2＝12x 的焦点为F ，过点P （2，1）的直线l 与该抛物线交于A ，B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则|AF |+|BF |＝_____. 【答案】10 【解析】【分析】因为P （1，2）是A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）中点，则由中点坐标公式得x 1+x 2＝4，再利用抛物线焦半径公式得|AF |＝x 1+3，|BF |＝x 2+3，进而求出|AF |+|BF |. 【详解】设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， ∵P （2，1）是AB 中点， ∴122x x +=2，即x 1+x 2＝4. ∵F （3，0）是抛物线y 2＝12x 的焦点， ∴|AF |＝x 1+3，|BF |＝x 2+3， 则|AF |+|BF |＝x 1+x 2+3+3＝10， 故答案为：10.【点睛】本题考查中点坐标公式，抛物线焦半径公式|AF |＝x 2p+，及其运算能力，属于基础题.15.设S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n ＞0，a 1＝1，且2S n ＝a n （a n +t ）（t ∈R ，n ∈N *），则S 100＝_____.【答案】5050 【解析】 【分析】先由题设条件求出t ，再由2S n ＝a n （a n +1）得2S n ﹣1＝a n ﹣1（a n ﹣1+1），进而得出S n ，代入求S 100. 【详解】∵a n ＞0，a 1＝1，且2S n ＝a n （a n +t ）（t ∈R ，n ∈N *）， ∴当n ＝1，有2S 1＝a 1（a 1+t ），即2＝1+t ， 解得：t ＝1.∴2S n ＝a n （a n +1）①，又当n ≥2时，有2S n ﹣1＝a n ﹣1（a n ﹣1+1）②，∴①﹣②可得：2（S n ﹣S n ﹣1）＝a n （a n +1）﹣a n ﹣1（a n ﹣1+1）， 整理得：a n +a n ﹣1＝a n 2﹣a n ﹣12， ∵a n ＞0，∴a n ﹣a n ﹣1＝1.所以数列{a n }是以a 1＝1为首项，公差d ＝1的等差数列，∴其前n 项和S n ()12n n +=，∴S 100()10011002+==5050.故答案为：5050.【点睛】本题主要考查由数列的前n 项和与第n 项的关系式求其通项公式及等差数列前n 项和公式，属于中档题.16.在三棱锥P ABC -中，2PA PC ==，1BA BC ==，90ABC ∠=︒，若PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是______；三棱锥P -ABC 的外接球的表面积_____. 【答案】 (1). 3 (2). 5π 【解析】 【分析】首先补全三棱锥为长方体，即可求出点P 到底面ABC 的距离，同时长方体的体对角线就是三棱锥的外接球的直径，然后即可求出外接球的表面积.【详解】将三棱锥P ABC -置于长方体中，其中1PP ⊥平面ABC ， 由PA 与底面ABC 所成的角为60︒，可得13PP =， 即为点P 到底面ABC 的距离，由11P PP A P C ≌，得111P A PC ==，如图，PB 就是长方体（三条棱长分别为1，13）外接球的直径，也是三棱锥P ABC -外接球的直径，即5PB =所以球的表面积为254π5π=⎝⎭.故答案为：3；5π.【点睛】本题考查了点到面的距离和三棱锥外接球的表面积，属于一般题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，ABC ∆是等边三角形， D 是BC 边上的动点（含端点），记BAD ∠=α,ADC β∠=.（1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积. 【答案】(1)当α＝6π，即D 为BC 3233【解析】 【分析】（1）由题意可得β=α+3π，根据三角函数和差公式及辅助角公式化简即可求出其最大值． （2）根据三角函数差角公式求得sinα，再由正弦定理，求得AB 的长度；进而求得三角形面积．【详解】（1）由△ABC 是等边三角形，得β＝α＋3π， 0≤α≤3π，故2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭3sin +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，故当α＝6π，即D 为BC 3（2）由cos β＝17 ，得sin β＝437，故sin α＝sin3πβ⎛⎫-⎪⎝⎭＝sin βcos3π－cos βsin3π＝33，由正弦定理sin sinAB BDADB BAD=∠∠，故AB＝sinsinβαBD＝43733×1＝83，故S△ABD＝12AB·BD·sin B＝1832312323⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了三角函数和差公式、辅助角公式、正弦定理的综合应用，三角形面积的求法，属于中档题．18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1⊥A1C1，D是B1C1的中点，A1A＝A1B1＝2.（1）求证：AB1∥平面A1CD；（2）若异面直线AB1和BC所成角为60°，求四棱锥A1﹣CDB1B的体积.【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】【分析】（1）连AC1交A1C于点E，连DE.证明DE∥AB1，然后证明AB1∥平面A1CD；（2）∠C1DE或其补角为异面直线AB1和BC所成角，可得 A1D⊥平面CDB1B，求出四棱锥的底面积与高，即可求解体积.【详解】（1）证明：如图，连AC1交A1C于点E，连DE.因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是矩形，故点E是AC1中点，又D 是B 1C 1的中点，故DE ∥AB 1，又AB 1⊄平面A 1CD ，DE ⊂平面A 1CD ，故AB 1∥平面A 1CD.（2）由（1）知DE ∥AB 1，又C 1D ∥BC ，故∠C 1DE 或其补角为异面直线AB 1和BC 所成角. 设AC ＝2m ，则2211112C E m C D m DE =+=+=，，，故△C 1DE 为等腰三角形，故∠C 1DE ＝60°，故△C 1DE 为等边三角形，则有212m +=，得到m ＝1.故△A 1B 1C 1为等腰直角三角形，故A 1D ⊥C 1B 1， 又B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，A 1D ⊂平面A 1B 1C 1，故A 1D ⊥B 1B ， 又B 1B ∩C 1B 1＝B 1，故A 1D ⊥平面CDB 1B ， 又梯形CDB 1B 的面积()11122223222CDB B S A D =⨯+⨯==梯形，，则四棱锥A 1﹣CDB 1B 的体积1111322233CDB B V S A D =⋅=⨯⨯=梯形. 【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，逻辑推理能力，属于中档题.19.某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料类型 1个月2个月3个月4个月总计A 20 35 35 10 100 B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：6196ii y==∑ 61371i i i x y ==∑参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---=--∑∑∑∑【答案】(1) ˆ29yx =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】 【分析】(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果.【详解】（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组， 即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得1234563.56x +++++==，611191666i i y ==⨯=∑所以()1221ˆni i i n i i x y nxybx n x ==-==-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，1ˆˆ62 3.59ˆay bx =-=-⨯=， 所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29y x =+. 当11x =时，211931ˆy=⨯+=. 故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x < ∴，应该采购B 型新材料. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数ˆˆ,a b ；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，且经过点22,2P ⎫⎪⎪⎭. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆相交于A ，B 两点（异于点P ），过P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q .证明：直线PQ 与坐标轴平行.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质，求解即可；（2）因为PQ 平分APB ∠，欲证PQ 与坐标轴平行，即证明直线PQ 的方程为2x =或22y =，只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可.将直线l 的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理求解即可.【详解】（1）解：2a =，将22,2P ⎫⎪⎪⎭代入椭圆方程，得22222214b⎛⎫⎪⎝⎭+=， 解得1b =，故椭圆的方程为2214x y +=.（2）证明：∵PQ 平分APB ∠ 欲证PQ 与坐标轴平行，即证明直线PQ的方程为2x =或22y =只需证PA ，PB 斜率都存在，且满足0PA PB k k +=即可.当PA 或PB 斜率不存在时，即点A 或点B 为22,2-⎭， 经检验，此时直线l 与椭圆相切，不满足题意，故PA ，PB 斜率都存在. 设直线l ：12y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y ， 联立222214222012x y x mx m y x m ⎧+=⎪⎪⇒++-=⎨⎪=+⎪⎩， 2480m ∆=-+>，∴22m <，由韦达定理得122x x m +=-，21222x x m =-，1212222222PA PBy y k k x x --+=--((()()12211222222222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-- ((1221222222y x y x ⎛⎛-+-- ⎝⎭⎝⎭))121212212222x x y y x y x y =-++++ ()12121221211112222222x x x m x m x x m x x m ⎫⎛⎫⎛⎫=-++++++++⎪ ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭(()12122222m m x x x x=-+++(()222222220m m m m =-+-+-= 得证.【点睛】本题主要考查了求椭圆方程以及韦达定理的应用，属于中档题. 21.已知函数（R ）．（1）当14a =时，求函数()y f x =的单调区间； （2）若对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)；（Ⅱ）[1ln 2,)-+∞【解析】试题分析：（1）求函数的单调区间，实质上就是解不等式'()0f x >得增区间，解不等式'()0f x <得减区间；（2）函数的最大值一般与函数的单调性联系在一起，本题中[2(12)]'()(1)(1)x ax a f x x x --=>-+，其单调性要对a 进行分类，0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，不合题意，故有0a >，按极值点112a-与0的大小分类研究单调性有最大值． 试题解析：（1）当14a =时，21()ln(1)4f x x x x =++-，则11(1)()1(1)122(1)x x f x x x x x -=+-=>-++'， 令()0f x '>，得10x -<<或1x >；令()0f x '<，得01x <<， ∴函数()f x 的单调递增区间为(1,0)-和(1,)+∞，单调递减区间为(0,1)． （2）由题意[2(12)]()(1)(1)x ax a f x x x -->-+'=，（1）当0a ≤时，函数()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减，此时，不存在实 数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ． （2）当0a >时，令()0f x '=，有10x =，2112x a=-，①当12a =时，函数()f x 在(1,)-+∞上单调递增，显然符合题意． ②当1102a ->即102a <<时，函数()f x 在(1,0)-和1(1,)2a -+∞上单调递增， 在1(0,1)2a-上单调递减，()f x 在0x =处取得极大值，且(0)0f =， 要使对任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ， 只需(1)0f ≥，解得1ln 2a ≥-，又102a <<， 所以此时实数a 的取值范围是11ln 22a -≤<． ③当1102a -<即12a >时，函数()f x 在1(1,1)2a --和(0,)+∞上单调递增， 在1(1,0)2a-上单调递减，要存在实数(1,2)b ∈，使得当(1,]x b ∈-时， 函数()f x 的最大值为()f b ，需1(1)(1)2f f a-≤， 代入化简得1ln 2ln 2104a a ++-≥，① 令11()ln 2ln 21()42g a a a a =++->，因为11()(1)04g a a a =-'>恒成立， 故恒有11()()ln 2022g a g >=->，所以12a >时，①式恒成立，综上，实数a 的取值范围是[1ln 2,)-+∞． 考点：函数的单调性与最值．【名题点晴】本题实质考查导数的应用，主要围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，这类问题一般是设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、转化与化归思想等数学思想方法．要注意分类讨论时分类标准的确定，函数的最值与函数极值的区别与联系．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）写出1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线04πθαα⎛⎫=<<⎪⎝⎭分别交1C ，2C 于A ，B 两点（异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α.【答案】（1）4cos ρθ=（2）1tan 2α= 【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1ϕϕ+=，消去1C 的参数将1C 的参数方长化为普通方程，再根据直角坐标和极坐标转换公式，转化为极坐标方程.（2）将射线θα=分别于12,C C 的极坐标方程联立，求得,A B 两点对应的12,ρρ，由此求得AB 的表达式，求得AM 的表达式，根据||||AB AM =列方程，由此求得tan α的值. 【详解】（1）∵22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）∴曲线1C 的普通方程为22(2)4x y -+=，即2240x y x +-= ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴24cos 0ρρθ-=∴曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ= （2）依题意设()1,A ρθ，()2,B ρθ， ∴由4cos θαρθ=⎧⎨=⎩得14cos ρα=.由4sin θαρθ=⎧⎨=⎩得24sin ρα=.∵04πα<<，∴12ρρ>.∴12||||||4cos 4sin AB OA OB ρραα=-=-=-. ∵OM 是圆1C 的直径，∴2OAM π∠=.∴在直角Rt OAM ∆中，||4sin AM α= ∵在直角Rt BAM ∆中，4AMB π∠=∴||||AB AM =，即4cos 4sin 4sin ααα-=∴4cos 8sin αα=，即1tan 2α=.【点睛】本题考查曲线的普通方程、参数方程、极坐标方程等知识；考查运算求解能力；考查数形结合、函数与方程思想.[选修4-5：不等式选讲]23.已知0a >，0b >，22143a b ab +=+. （1）求证：1ab ≤；（2）若b a >，求证：3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b . 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，可得2210,344>+=≥+ab a b ab ab ，可得()2134+≥ab ab ，解不等式可得证明；（2）由0b a >>，所以110->a b ，要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ，只需证221113++≥a ab b ，利用基本不等式可得证明；【详解】证明：（1）由条件，有2210,344>+=≥+ab a b ab ab ， 所以()2134+≥ab ab ，即()24310--≤ab ab ，所以1ab ≤.（2）因为0b a >>，所以110->a b，要证3311113⎛⎫-≥- ⎪⎝⎭a b a b ， 只需证2211111113⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++≥-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a b a ab b a b （*）， 只需证221113++≥a ab b 因为01ab <≤，所以221112133++≥+=≥a ab b ab ab ab，即（*）式成立， 故原不等式成立.【点睛】本题是一道关于基本不等式应用的题目，熟练掌握基本不等式的性质进行证明是解题的关键.。
重庆一中高2020级高三下学期期中考试试题(含标准答案)
秘密★启用前 【考试时间： 】2020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷（含标准答案）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第 Ⅰ 卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 设集合{}22P x x x =+≥，{}3Q x Nx =∈≤，则P Q =I ( )A ．[1,2]-B ．[0,2]C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2. 已知向量(1,2)a =r ，(1,)b x =-r ，若a b r r∥ ，则b =r ( )A. 3B. C. 5D.3. 复数12z i =+，若复数1z 与2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则12z z =g ( ) A.B.C.D.4. 一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达到优秀的科目比我多.则可以完全确定的是( )A ．甲同学三个科目都达到优秀B ．乙同学只有一个科目达到优秀C ．丙同学只有一个科目达到优秀D ．三位同学都达到优秀的科目是数学5. 2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出3名医生，2名护士支援湖北，现从这5人中任选2人定点支援湖北某医院，则恰有1名医生和1名护士被选中的概率为( )A ．0.7B ．0.4C ．0.6D ．0.36. 已知一组数据12345,,,,x x x x x 的平均数是m ，方差是n ，将这组数据的每个数都乘以(0) a a >得到一组新数据，则下列说法正确的是( )A ．这组新数据的平均数是mB ．这组新数据的平均数是a m +C ．这组新数据的方差是an D．这组新数据的标准差是7. 已知107700,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩表示的平面区域为D ，若对(,)x y D ∀∈都有2x y a +≤，则实数a 的取值范围是( ) A ．[)5,+∞B ．[)2,+∞C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞5-534i -+34i -8. 将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥的轴截面的面积为( )A． B． C． D． 9. 若函数ln )() (f x a x a R =∈与函数()g x =a 的值为( )A ．4B ．12 C ．2eD ．e10. 已知12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线E 右支上一点，M 是线段1F P的中点，O 是坐标原点，若1OF M ∆的周长为3c a +（c 为双曲线的半焦距）且13F MO π∠=，则双曲线E 的渐近线方程为( ) A．y x = B．y = C ．12y x =±D ． 2y x =± 11. 已知函数()2sin()(0,)2x f x πωϕωϕ+><=的图象过点(0,1)A -，且在(,)183ππ上单调，同时将()f x 的图象向左平移π个单位后与原图象重合，当12172,(,)123x x ππ∈--且12x x ≠时12()()f x f x =，则12()f x x +=( )A． B ．1- C ．1 D12. 已知函数()f x 是定义在(,0)(0,)-∞+∞U 上的偶函数，当(0,)x ∈+∞时，2(1),02()1(2),22x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则函数2()8()6()1g x f x f x =-+的零点个数为( ) A. 20B. 18C. 16D. 14第Ⅰ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132455,24a a a a +=+=，则33S a =_________.14. 已知抛物线212y x =的焦点为F ，过点(2,1)P 的直线l 与该抛物线交于,A B 两点，且点P 恰好为线段AB 的中点，则AF BF +=_________.15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若0n a >，11a =，且2()n n n S a a t =+（, t R n N *∈∈），则100S = _________.16. 在三棱锥P ABC -中，2,1,90 PA PC BA BC ABC ︒====∠=，若PA 与底面ABC 所成的角 为60︒，则点P 到底面ABC 的距离是_________；三棱锥P ABC -的外接球的表面积是_________. （本小题第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生 都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.（12分）如图，ABC ∆是等边三角形，D 是BC 边上的动点（不含端点）记BAD ∠=α,ADC β∠=. （1）求2cos cos αβ-的最大值； （2）若11,cos 7BD β==，求ABD ∆的面积.18.（12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC ⊥，D 是11B C 的中点，1112A A A B ==.（1）求证：11AB A CD ∥平面；（2）若异面直线1AB 和BC 所成角为60︒，求四棱锥11A CDB B -的体积.19.（12甲公司前期的经营状况，对该公司2019月（5—10据绘制了相应的折线图，如右图所示.（1利润y （单位：百万元）与月份代码x 求y 关于x （2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型1号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计表（表1）. 若从产品使用寿命的角度考虑，甲公司的负责人选择采购哪款新型材料更好？ 参考数据：6196i i y ==∑ ；61371i i i x y ==∑.参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---⋅=--∑∑∑∑，ˆ.ˆˆay x b =- 20.（12分）已知椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，且经过点2P . （1）求椭圆C 的方程； （2）直线l 的斜率为12，且与椭圆交于,A B 两点（异于点P ），过点P 作APB ∠的角平分线交椭圆于另一点Q . 证明：直线PQ 与坐标轴平行.21.（12分）已知函数()()2ln 1,.f x x ax x a R =++-∈（1）当14a =时，求函数()y f x =的极值； （2）若对于任意实数(1,2)b ∈，当(1,]x b ∈-时，函数()f x 的最大值为()f b ，求实数a 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分. 22. [选修4—4：坐标系与参数方程] （10分） 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩ (ϕ为参数). 以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）设点M 的极坐标为(4,0)，射线(0)4πθαα=<<分别交1C 、2C 于点,A B （,A B 异于极点），当4AMB π∠=时，求tan α的值.23. [选修4—5：不等式选讲] （10分） 已知0a >，0b >，22143a b ab+=+. （1）求证：1ab ≤； （2）若b a >，求证：3311113a b a b ⎛⎫->- ⎪⎝⎭. 命题人：张 露审题人：张志华 付红12020年重庆一中高2020级高三下期期中考试数学（文科）试题卷（参考答案）二、填空题13. 7 14. 10 15. 505016. 5 π三、解答题17.解：（1）,(0,)33ππβαα=+∈Q ，∴2cos α－cos β=2cos α－cos +3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭+3πα⎛⎫ ⎪⎝⎭，又2(0,)(,)3333ππππαα∈∴+∈Q ，，故当32ππα+=·································· 6分 （2）由cos β＝17 ，得sin β＝7，故sin α＝sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin βcos 3π－cos βsin 3π＝14，在ABD ∆中，由正弦定理sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，得AB ＝sin sin βαBD ＝83， 故S △ABD ＝12AB·BD·sin B ＝18123⨯⨯=. ·····································································12分18.（1）证明：如图，连1AC 交1A C 于点E ，连DE .因为直三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AAC C 是矩形，故点E 是1AC 中点，又D 是11B C 的中点，故1DE AB ∥，又111,, AB ACD DE ACD ⊄⊂平面平面故11AB A CD ∥平面. ·····································（2）解：由（1）知1DE AB ∥，又1C D BC ∥，故1C DE ∠或其补角为异面直线1AB 和BC 所成角. 设2AC m =，则11C E C D DE ===1C DE ∆为等腰三角形，故160C DE ︒∠=，故1C DE ∆=1m =.故111A B C ∆为等腰直角三角形，故111A D C B ⊥，又11111111B B A B C A D A B C ⊥⊂平面，平面， 故11A D B B ⊥，又1111B B C B B =I ，故11A D CDB B ⊥平面，又梯形1CDB B的面积11122CDB B S A D =⨯⨯==， 则四棱锥11A CDB B -的体积1111233CDB B V S A D ==⨯=g . ·············································· 12分19. 解：（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)，计算可得1234563.56x +++++==，y =6111961666i i y ==⨯=∑， 所以616221ˆ=i ii i i x y nx ybx nx==-⋅=-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，162 3.59a y b x =-=-⨯=))).所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为29y x =+. ··················································· 6分 由题意推得2020年5月份对应的年份代码为13，故当13x =时，213935y =⨯+=)（百万元），故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元. ······················································································ 8分 （2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为12013523531042.35100x ⨯+⨯+⨯+⨯==（个月），B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为21013024032042.7100x ⨯+⨯+⨯+⨯==（个月）， 12x x <Q ，∴采购B 型新材料更好. ······················································································ 12分 注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述，也可酌情给分。
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型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为 （个月）,
, 采购 型新材料更好.12分
注：若采用其他数字特征（如中位数、众数等）进行合理表述,也可酌情给分。
20.（1）解：由条件得： .4分
（2）证明：欲证 与坐标轴平行,即证直线 的方程为 或 ,
又因为 平分 ,故只需证明 的斜率都存在时满足 即可.6分
在 中,由正弦定理 ,得AB＝ BD＝ ×1＝ ,
故S△ABD＝ AB·BD·sin B＝ .12分
18.（1）证明：如图,连 交 于点 ,连 .
因为直三棱柱 中,四边形 是矩形,故点 是 中点,
又 是 的中点,故 ,
又 故 .6分
（2）解：由（1）知 ,又 ,故 或其补角为异面直线 和 所成角.
设 ,则 ,故 为等腰三角形,故 ,故 为等边三角形,则有 ,得到 .
故（※）式成立,即原不等式成立.10分
2020届重庆一中高三下学期期中考试数学（文）试卷
由 ；由 ,
, .7分
是圆 的直径, ,又直角 中 ,故 ,
故 ,即 .10分
23. （1）证明：由 （当且仅当 ,即 时取得“＝”）.
所以 ,即 ,所以 （当且仅当 时取得“＝”） 5分
（2） （※）,
因为 ,所以 .
又 ,当且仅当 时取得“＝”,又 ,故 ,
又由（1）知 ,又 ,故 ,故 ,即 ,
（ ）当 即 时,函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减,要存在实数 ,使得当 时,函数 的最大值为 ,需 ,
代入化简得
令 ,因为 恒成立,
故恒有 ,所以 时, 恒成立,
综上,实数 的取值范围是 .12分
22.（1）曲线 的普通方程为 将 代入 的普通方程,得到 的极坐标方程为： .5分
（2）设点 的极坐标为 ,点 的极坐标为 .
当 的斜率不存在时,即点 或 的坐标为 ,而经检验此时直线 与椭圆C相切,不满足题意.故 的斜率都存在,下证 .7分
设直线 ,联立 ,
此时 ,9分
（※）,
（※）式的分子
,得证.12分
21.（1）解：（ ）当 时, ,则 ,
整理得 ,1分
令 得 , ,当 变化时, 变化如下表：
极大值
极小值
由上表知函数 的极大值为 ,极小值为 .4分
（2）由题意 ,
1°当 时,函Biblioteka 在 上单调递增,在 上单调递减,此时,不存在实数 ,使得当 时,函数 的最大值为 .6分
2°当 时,令 ,有 , ,
（ ）当 时,函数 在 上单调递增,显然符合题意.7分
（ ）当 即 时,函数 在 和 上单调递增,在 上单调递减, 在 处取得极大值且 ,只需 ,解得 ,又 ,所以此时实数 的取值范围是 .9分
2020届重庆一中高三下学期期中考试
数学（文）参考答案
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
A
C
C
D
A
B
C
B
B
C
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1） , 2cos －cos =2cos －cos ＝ sin ,
又 ,故当 时,原式取最大值 .6分
（2）由cos β＝ ,得sin β＝ ,故sin α＝sin ＝sin βcos －cos βsin ＝ ,
故 为等腰直角三角形,故 ,又 ,
故 ,又 ,故 ,
又梯形 的面积 ,
则四棱锥 的体积 .12分
19. 解：（1）由折线图可知统计数据 共有 组,即 , , , , , ,
计算可得 , ,
所以 , .
所以月度利润 与月份代码 之间的线性回归方程为 .6分
由题意推得2020年5月份对应的年份代码为13,故当 时, （百万元）,故预计甲公司2020年5月份的利润为35百万元.8分