【好题】高三数学上期中试题(带答案)(2)
山东省泰安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题(含答案解析)
山东省泰安市2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．C ．．．有四个关于三角函数的命题：x ∈R,2sin 2x +2cos 2x =122p :∃x 、y ∈sin(x-y)=sinx-siny x ∈[]0,π,1cos 22x -=sinx 4p :sinx=cosy ⇒x+y=2π其中假命题的是1p ，4p B ．2p ，4p 1p ，3p ．已知21a =-，2e 2b =，1ln55c =，则（）a b c<<B ．c b a<<c a b<<二、多选题A ．()πsin 2cos 23A x x ωϕ⎛+=+ ⎝B ．函数()f x 的一个对称中心为三、填空题参考答案：【详解】试题分析：由指数函数的性质可知，当必有，所以的充分条件，而当时，可得，此时不一定有，所以的不必要条件，综上所述，的充分而不必要条件，所以正确选项为即()()2f x f x +-=-①，因为()1f x +为偶函数，所以()()()()112f x f x f x f x +=-+⇒=-，则()()2f x f x -=+②，由①②得()()22f x f x ++=-，()()242f x f x +++=-，所以()()4f x f x =+，,4为()f x 周期，对于C ，令()()()411g x f x f x =++=+，则()()()()11(12)g x f x f x f x g x +=+-=--=-=--，则()g x 为奇函数，C 正确；对于A ，令()()1h x f x =-，则()()()134()()()4h x f x f x h x h x h x -=--=--=--⇒-+=-，所以()()1h x f x =-不为奇函数，A 错误；对于B ，令()()21m x f x =+-，则()()()()2132324()m x f x f x f x m x -=-+-=---=--+=--，即()()4m x m x +-=-，所以()()21m x f x =+-不为奇函数，B 错误；对于D ，令()()31x f x ϕ=++，则()()()()311131()x f x f x f x x ϕϕ-=-++=--+=++=所以()()31x f x ϕ=++不为奇函数，D 错误；故选C.8．D【分析】函数()y f x =的图象关于x 轴对称的函数为()y f x =-，则函数()f x 与()g x 的图象上存在关于x 轴对称，即函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，分别作出函数()y f x =-与()y g x =的图象，由图即可得解.【详解】对于A ，函数()2f x x =+的图象关于x 轴对称的函数为()2y f x x =-=--，如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以A 选项不符题意；对于B ，函数()113x f x +⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以B 选项不符题意；对于C ，函数()2f x x =-的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象没有交点，所以C 选项不符题意；对于D ，函数()2x f x =的图象关于x 轴对称的函数为如图作出函数()y f x =-与()y g x =，由图可知函数()y f x =-与()y g x =的图象有交点，所以D 选项符合题意.故选：D.9．AC方程0()f x m -='有两个不同实根，即直线因此22e 2m --<<，B 正确；对于C ，由选项B 知，()0f x '>于是e x ∀≥，不等式((()f ax f x ≤则有e x ∀≥，(2)ln a x x ≤+，由选项因此()(e)2e g x g ≥=+，即2a ≤“过某点”时，此点不一定为切点，需要重新假设切点进行切线的计算.。
2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题(含解析)
2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,52. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 13. 已知．若，则（ ）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b=A.B.D. 4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C .充要条件D. 既不充分也不必要条件5.此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C.D.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A. B. C. 1D. 11e+e 1-e二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C 17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE V AE BD CD 4BD=（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈2024-2025学年山东省青岛市高三上学期期中数学质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（ ）6,1P x y y x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭N N {}15Q x x =-≤<P Q = A.B.C.D.{}1,2,3{}0,1,2{}1,2,5{}0,1,2,5【正确答案】B【分析】首先把集合用列举法表示出来，再运用交集的运算进行求解即可.P 【详解】若，，则是的正因数，而的正因数有，，，，61y x =+y ∈N 1x +661236所以，{}6,0,1,2,51P x y y x ⎧⎫=∈=∈=⎨⎬+⎩⎭N N 因为，{}15Q x x =-≤<所以，{}0,1,2P Q ⋂=故选：B.2. 已知，则＝（ ）i22i z =-z A. 2 B. 1【正确答案】C【分析】根据复数的运算法则计算出复数，再计算复数的模.z 【详解】由题意知，()()()i 22i i 22i 22i 22i z +==--+2i 28-=11i 44=-+所以，z ==故选：C.3. 已知．若，则（）a = ()2a b a+⊥ cos ,a b =A.B.D. 【正确答案】B【分析】根据向量垂直可得，代入向量夹角公式即可得结果.32a b ⋅=-【详解】因为，且，()2a b a+⊥1a = 则，可得，()2220a a a ab b +⋅=+⋅= 21322a b a⋅=-=-rr r 所以.cos ,a b a b a b⋅===⋅r r r r r r 故选：B.4. 已知等比数列的前n 项和为，且，则“”是“的公比为2”的（{}n a n S 31S ma =7m ={}n a ）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】利用等比数列的性质，分别判断充分性与必要性即可.【详解】设等比数列的公比为，{}n a q 由，得，()223123111111S a a a a a q a q a q q ma =++=++=++=21q q m ++=当时，，解得或，充分性不成立；7m =217q q ++=2q =3q =-当时，，必要性成立.2q =217q q m ++==所以“”是“的公比为2” 的必要不充分条件.7m ={}n a 故选：A5. 此正四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【正确答案】B【分析】根据正四棱柱及正四棱锥的体积公式可得正四棱锥的高与斜高的关系式，进而可得解.【详解】如图所示，正四棱柱为，正四棱锥，1111ABCD A B C D -1O ABCD -设底边边长，高AB a =1OO =则，1O E ==又正四棱柱的侧面积，114S AB OO =⋅=正四棱锥的侧面积，21142S AB O E a=⋅⋅=则，解得，a=a =所以正四棱锥体积，2113ABCD V S OO =⋅==故选：B.6. 已知函数则图象上关于原点对称的点有（ ）()21,0,22,0,xx f x x x x ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪-+<⎩()f x A. 1对 B. 2对C. 3对D. 4对【正确答案】C【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭合判断即可.【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示.()f x 1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点，故1,0,2xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭22,0,y x x x =-+<图象上关于原点对称的点有3对.()fx故选：C7. 已知函数，函数的图象各点的横坐标缩()2211cos sin cos 222222x x x xf x =-f (x )小为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象.若方程12π12y =g (x )在上有两个不同的解，，则的值为（ ）()21g x m -=7π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1x 2x 12x x +A. B. C. D. π6π3π2π【正确答案】A【分析】先化简，根据图象变换求出，将方程转化为()f x ()g x ()21g x m -=，由函数图象的对称性求出答案.()12m g x +=()g x 【详解】根据题意可得，()1πcos sin 26f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以，()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，，7π012x ≤≤ππ3π2332x ∴≤+≤所以在上单调递增，在上单调递减，关于对称，()g x π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x π12x =且，，()π06g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭7π112g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭方程等价于有两个不同的解，()21g x m -=()12m g x +=12,x x .12ππ2126x x ∴+=⨯=故选：A.8. 若关于不等式恒成立，则当时，的最小值为（ ）x ()ln ax x b ≤+1e e a ≤≤1e ln b a +-A.B. C. 1D. 11e +e 1-e【正确答案】C【分析】构建，分析可知的定义域为，且在()()ln f x ax x b=--()f x (0,+∞)()0f x ≤内恒成立，利用导数可得，整理可得，构建(0,+∞)ln 1a b ≤+1e ln ln b a a a +-≥-，利用导数求其最值即可.()1ln ,ee g a a a a =-≤≤【详解】设，()()ln f x ax x b=--因为，可知的定义域为，所以在内恒成立，1e e a ≤≤()f x (0,+∞)()0f x ≤(0,+∞)又因为，()111xf x x x -=-='令，解得；令，解得；f ′(x )>001x <<f ′(x )<01x >可知在内单调递增，在内单调递减，()f x (0,1)(1,+∞)则，可得，则，()()1ln 10f x f a b ≤=--≤ln 1a b ≤+1ln e e b aa +≥=可得，当且仅当时，等号成立，1e ln ln b a a a +-≥-ln 1a b =+令，则，()1ln ,e e g a a a a =-≤≤()111a g a a a '-=-=令，解得；令，解得；()0g a '>1e a <≤()0g a '<11e a <≤可知在内单调递增，在内单调递减，则，()g a (]1,e 1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭()()11g a g ≥=即，当且仅当时，等号成立，1eln ln 1b a a a +-≥-≥1,1a b ==-所以的最小值为1.1eln b a +-故选：C.方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．二.多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9. 已知，则下列结论正确的是（）3515ab==A. B. C. D.lg lg a b>a b ab+=1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭49a b +>【正确答案】ABD【分析】根据指对互化与运算以及指数函数、对数函数单调性即可判断ABC ，利用基本不等式即可判断D.【详解】由题可得，，33log 15log 310a =>=>55log 15log 510b =>=>，即，所以，1515110log 3log 5a b ∴<=<=110a b <<0a b >>对于A ，因为，所以，故A 正确；0a b >>lg lg a b >对于B ，，，故B 正确；15151511log 3log 5log 151a b +=+== a b ab ∴+=对于C ，因为，所以，故C 错误；0a b >>1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对于D ，因为，，0a b >>111a b +=所以，()11444559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立，这与已知矛盾，所以，故D 正4b aa b =2a b =35a b =49a b +>确.故选：ABD.10. 若数列满足，，，则称数列为斐波那{a n }11a =21a =12n n n a a a --=+3n ≥n +∈N {a n }契数列，又称黄金分割数列，则下列结论成立的是（ ）A. B. 713a =222n n n a a a -+=+3n ≥n +∈N C.D.135********a a a a a ++++= 24620242025a a a a a ++++= 【正确答案】AC【分析】利用斐波那契数列的定义结合递推关系一一判定选项即可.【详解】对于A ，由题可得，，，，，故A 正确；32a =43a =55a =68a =713a =对于B ，因为，又，21112n n n n n n n n a a a a a a a a ++--=+=++=+12n n n a a a --=+所以，即，故B 错误；21213n n n n n a a a a a +---++=+223n n n a a a +-=+对于C ，2024202320222023202120202023202132a a a a a a a a a a =+=++==++++ ，故C 正确；2023202131a a a a =++++ 对于D ，2025202420232024202220212024202243a a a a a a a a a a =+=++=++++ ，故D 错误.20242022421a a a a a =+++++ 故选：AC.11. 如图，在边长为4的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点，1111ABCD A B C D -11B C 11C D P 是正方形内的动点，则下列结论正确的是（）1111D C B AA. 若平面，则点P 的轨迹长度为//DP CEFB. 若P 的轨迹长度为AP =2πC. 若P 是正方形的中心，Q 在线段EF 上，则的最小值为1111D C B A PQ CQ +D. 若P 是棱的中点，则三棱锥的外接球的表面积是11A B P CEF -41π【正确答案】ACD【分析】作出相应图形，先证明平面平面，再结合给定条件确定动点轨迹，//BDNM CEF 求出长度即可判断；建立空间直角坐标系，根据题意确定动点轨迹，求解长度即可判断，A B 将平面翻折到与平面共面，连接，与交于点，此时取到CEF 1111D C B A PC EF Q PQ CQ +最小值，利用勾股定理求出即可判断，先找到球心，利用勾股定理得出半径，求,PQ CQ C 出外接球的表面积即可判断.D 【详解】如图，取，的中点为，连接，，11A D 11A B ,N M ,,,,MN DN BD BM NE 11B D所以，又E ，F 分别是棱，的中点，11//MN B D 11B C 11C D 所以，所以，11//EF B D //MN EF 平面，平面，MN ⊄CEF EF ⊂CEF 平面，//MN ∴CEF 因为分别是棱，的中点，所以，且，,N E 11A D 11B C //NE CD NE CD =所以四边形为平行四边形，CDNE 所以，又平面，平面，//ND CE ND ⊄CEF CE ⊂CEF 平面，//ND ∴CEF 又，平面，MN ND N = ,MN ND ⊂BDNM 所以平面平面，//BDNM CEF点P 是正方形内的动点，且平面，1111D C B A //DP CEF 所以点P 的轨迹为线段，由勾股定理得，故正确；MN MN ==A 如图，以为原点，以所在直线为轴，轴，轴，A 1,,AB AD AA x y z 由题意得，设，(0,0,0)A (,,4)P x y，AP ==所以，所以点的轨迹为为圆心，半径为1的个圆，221x y +=P 1A 14所以点P 的轨迹长度为.故错误；1π2π42⋅=B 如图，将平面翻折到与平面共面，CEF 1111DC B A 连接，与交于点，此时取到最小值，PC EF Q PQ CQ+，且，CE CF === 2PE PF ==所以点为的中点，所以Q EFPQ EQ ===所以，CQ ===即的最小值为，故正确；PQ CQ +C如图，连接，交于点，连接，PF 11B D 1O PE 若P 是棱的中点，则，11A B 90FEP ∠= 所以是外接圆的一条直径，所以是外接圆的圆心，FP PEF !1O PEF !过点作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在该垂线上，1O ABCD P CEF -O 连接，设，则，OP 1OO t =2222t R +=连接，，所以，OC 12AC ==()(2224t R -+=所以，解得，()(222224t t +=-+52=t 所以，222541244R =+=所以三棱锥的外接球的表面积为，故正确.P CEF -24π41πS R ==D 故选.ACD方法点睛：三棱锥外接球的半径的求法：（1）先找两个面的外心；（2）过外心作所在平面的垂线，两垂线的交点即为球心；（3）构造直角三角形，利用勾股定理求出半径.有时无须确定球心的具体位置，即只用找一个面的外心，则球心一定在过该外心与所在平面的垂线上.第Ⅱ卷三.填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 曲线的所有切线中，斜率最小的切线的方程是_______.32374y x x x =+++【正确答案】.430x y -+=【分析】首先求函数的导数，再根据二次函数求最小值，即可求切线的斜率，以及代入切线方程，即可求解.【详解】由题意，223673(1)4y x x x '=++=++所以时，，又时，，1x =-min4y '=1x =-1y =-所以所求切线的方程为，即．14(1)y x +=+430x y -+=故．430x y -+=13. 为测量某塔的高度，在塔旁的水平地面上共线的三点A ，B ，C 处测得其顶点P 的仰角分别为30°，60°，45°，且米，则塔的高度________米.50AB BC ==OP =【正确答案】【分析】设，在，，分别根据锐角三角函数定义求PO h =Rt POA △Rt POB △Rt POC △出，最后利用余弦定理进行求解即可.,,OA OB OC 【详解】设塔的高，PO h =在中，，同理可得，，Rt POA △otan 30OP OA ==OB =OC h =在中，，则，OAC πOBA OBC ∠+∠=cos cos OBA OBC ∠=-∠，22222222OB AB OA OB BC OC OB AB OB BC +-+-∴=-⋅⋅.=h =所以塔的高度为米.故答案为.14. 已知，当，时，是线段的中点，点在所有的线段121A A =2n ≥*N n ∈1n A +1n n A A -P 上，若，则的最小值是________．1n n A A +1A P λ≤λ【正确答案】23【分析】根据中点坐标公式可得，进而可得为等比数列，()*122n n n a a a n +++=∈N {}1n n a a +-即可利用累加法求解,由极限即可求解.121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【详解】不妨设点、，设点，()10,0A ()21,0A ()(),0n n A a n *∈N 则数列满足，，，{a n }10a =21a =()*122n n n a a a n +++=∈N 所以，，1212n nn n a a a a +++--=-所以，数列是首项为，公比为的等比数列，{}1n n a a +-211a a -=12-所以，，11111122n n n n a a --+⎛⎫⎛⎫-=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭当时，2n ≥()()()2121321110122n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=+-+-++-=++-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，1111212113212n n --⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+也满足，故对任意的，.10a =121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n *∈N 121132n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以，，故11212lim 1323n n A P ∞-→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫=--=⎢⎥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭23λ≥故答案为.23四.解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知数列的前项和为，且.{}n a n n S 22n n S a +=（1）求及数列的通项公式；2a {}n a （2）在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，求n a 1n a +n ()2+n n d 数列的前项和.1n d⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【正确答案】（1），，24a =2n n a =*N n ∈（2）332n nn T +=-【分析】（1）先将代入题干表达式计算出，再将代入题干表达式即可计算1n =12a =2n =出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可2a 2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=发现数列是以为首项，为公比的等比数列，从而计算出数列的通项公式；{}n a 22{}n a （2）先根据第题的结果写出与的表达式，再根据题意可得，()1n a 1n a +()11n n n a a n d +-=+通过计算出的表达式即可计算出数列的通项公式，最后运用错位相减法即可计算出n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前项和．n n T 【小问1详解】由题意，当时，，解得，1n =111222S a a +=+=12a =当时，，即，解得，2n =2222S a +=12222a a a ++=24a =当时，由，可得，两式相减，可得，2n ≥22n n S a +=1122n n S a --+=122n n n a a a -=-整理，得，∴数列是以2为首项，2为公比的等比数列，12n n a a -={}n a ∴，.1222n n n a -=⋅=*N n ∈【小问2详解】由（1）可得，，，2nn a =112n n a ++=在与之间插入个数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，n a 1n a +n ()2+n n d 则有，()11n n na a n d +-=+∴，∴，1211nn n n a a d n n +-==++112n n n d +=∴，1231211123412222n n n n T d d d +=++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，()2311111123122222nn n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减得，2112311111121111133221122222222212n n n n n n n n n T ++++-+++=+++⋅⋅⋅+-=+-=--∴.332n n n T +=-16. 设的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且有，ABC V π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭（1）求角B ：（2）若AC 边上的高，求.h =cos cos A C【正确答案】（1）π3B =（2）18-【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式可得角的大小;B （2）由等面积法可得，再由正弦定理可得的值，再由22b ac =sin sin A C ，可得的值.cos cos()B A C =-+cos cos A C 【小问1详解】因为，π2cos 3b A a c⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭由正弦定理可得，12sin cos sin sin 2B A A A C ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭即sin cos sin sin sin()B A A B A A B +=++即，sin cos sin sin sin cos cos sin B A A B A A B A B +=++，sin sin sin cos B A A A B =+在三角形中，，sin 0A >，cos 1B B -=即，因为，则π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(0,)B π∈ππ5π,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭可得，则.ππ66B -=π3B =【小问2详解】因为边上的高，AC h =所以①21122ABC S b h b =⋅==又②11sin 22ABC S ac B ac === 由①②可得，22b ac =由正弦定理可得，2sin 2sin sin B A C =结合（1）中可得，π3B =3sin sin 8A C =因为，()1cos cos cos cos sin sin 2B A C A C A C =-+=-+=所以.1311cos cos sin sin 2828A C A C =-=-=-17. 如图1，在平行四边形中，，，E 为的中点，ABCD 24AB BC ==60ABC ∠=︒CD 将沿折起，连结，，且，如图2．ADE VAE BD CD 4BD =（1）求证：图2中的平面平面；ADE ⊥ABCE （2）在图2中，若点在棱上，直线与平面F BD AF ABCE 点到平面的距离．F DEC 【正确答案】（1）证明见解析（2【分析】（1）连接，利用勾股定理证明，再根据线面垂直的判定定BE ,BE DE BE AE ⊥⊥理证得平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证；BE ⊥ADE （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.E【小问1详解】连接，BE 由题意，2,60,120AD DE ADE BCE ==∠=︒∠=︒则为等边三角形，ADE V 由余弦定理得，所以2144222122BE ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭BE =则，222222,DE BE BD AE BE BD +=+=所以，,BE DE BE AE ⊥⊥又平面，,,AE DE E AE DE ⋂=⊂ADE 所以平面，BE ⊥ADE 又平面，所以平面平面；BE ⊂ABCE ADE ⊥ABCE 【小问2详解】如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，E 则，()()()(()2,0,0,0,,,,0,0,0A B CD E -设，()01DF DB λλ=≤≤故，()((,,1,EC ED DB=-==-，((()1,1,AD AD DF λλ=+=-+-=--因为轴垂直平面，故可取平面的一条法向量为，z ABCE ABCE ()0,0,1m =所以，cos ,m AF m AF m AF⋅===化简得，解得或（舍去），23830λλ+-=13λ=3λ=-所以，1133DF DB ⎛==- ⎝ 设平面的法向量为，DEC (),,n x y z =则有，可取，00n EC x n ED x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩)1n =- 所以点到平面FDEC18. 已知函数，且与轴相切于坐标原点．()sin ln(1)f x x x ax =++-()y f x =x （1）求实数的值及的最大值；a ()f x （2）证明：当时，；π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>（3）判断关于的方程实数根的个数，并证明．x ()0f x x +=【正确答案】（1），最大值为0 2a =（2）证明见解析（3）2个，证明见解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用导数求出函数的单调(0)0f '=a ()f x 区间，从而求出函数的最大值；（2）依题意即证当时，记，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin ln(1)2x x ++>1()sin ln(1)2m x x x =++-，当时直接说明即可，当，利用导数说明函数的单调π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦性，即可得证；（3）设，，当时，由（1）知，()()h x f x x =+()1,x ∞∈-+(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=则，当时，利用导数说明函数的单调性，结合零点存在性定理判断函()0f x x +<π()0,x ∈数的零点，当时，，令，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥利用导数说明在区间上单调递减，即可得到，从而说明函数在()l x [π,)+∞()0l x <无零点，即可得解.[π,)+∞【小问1详解】由题意知，且，(0)0f =(0)0f '=，1()cos 1f x x a x '=+-+ ，解得，(0)20f a '∴=-=2a =，，()sin ln(1)2f x x x x ∴=++-()1,x ∞∈-+则，1()cos 21f x x x '=+-+当时，，．故，0x ≥cos 1≤x 111x ≤+()0f x '≤所以在区间上单调递减，所以．()f x [0,)+∞()(0)0f x f £=当时，令，10x -<<1()cos 21g x x x =+-+则，21()sin (1)g x x x '=--+，，，sin (0,1)x -∈ 211(1)x >+()0g x '∴<在区间上单调递减，则，()f x '∴(1,0)-()(0)0f x f ''>=在区间上单调递增，则，则．()f x ∴(1,0)-()(0)0f x f <=()()max 00f x f ==综上所述，，的最大值为．2a =()f x 0【小问2详解】因为，()sin ln(1)2f x x x x =++-要证当时，即证，π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>1sin ln(1)2x x ++>记，，1()sin ln(1)2m x x x =++-π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当时，，，π5π,66x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1sin 12x ≤≤ln(1)0x +>；1()sin ln(1)02m x x x ∴=++->当时，，5π,π6x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦1()cos 1m x x x '=++记，则，1()()cos 1n x m x x x '==++21()sin 0(1)n x x x '=--<+在区间上单调递减，则，()m x '∴5π,π6⎛⎤ ⎥⎝⎦5π6()065π6m x m ⎛⎫<=+< '+⎝'⎪⎭则在区间上单调递减，()m x 5π,π6⎛⎤⎥⎝⎦，()11()(π)sin πln(π1)ln π1022m x m ∴≥=++-=+->综上所述，当时，．π,π6x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1()22f x x +>【小问3详解】设，，()()sin ln(1)h x f x x x x x =+=++-()1,x ∞∈-+，1()cos 11h x x x '∴=+-+当时，由（1）知，(1,0)x ∈-()(0)0f x f <=故，()()0f x x f x +<<故在区间上无实数根．()0f x x +=(1,0)-当时，，因此为的一个实数根．0x =(0)0h =0()0f x x +=当时，单调递减，π()0,x ∈1()cos 11h x x x '=+-+又，，(0)10h '=>1(π)20π1h '=-<+存在，使得，∴0(0,π)x ∈()00h x '=所以当时，当时，00x x <<ℎ′(x )>00πx x <<ℎ′(x )<0在区间上单调递增，在区间上单调递减，()h x ∴()00,x ()0,πx ，又，()0(0)0h x h ∴>=(π)ln(π1)π2π0h =+-<-<在区间上有且只有一个实数根，在区间上无实数根．()0f x x ∴+=()0,πx (]00,x 当时，，[π,)x ∈+∞()1ln(1)h x x x ≤++-令，()1ln(1)(π)l x x x x =++-≥，1()1011x l x x x -'∴=-=<++故在区间上单调递减，，()l x [π,)+∞()(π)ln(1π)π13π0l x l ≤=+-+<-<于是恒成立．故在区间上无实数根，()0f x x +<()0f x x +=[π,)+∞综上所述，有2个不相等的实数根．()0f x x +=方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19. 对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为；若n 为奇数，则对不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个n a 31n +奇数为.若，则称正整数n 为“理想数”.n a 1n a =（1）求20以内的质数“理想数”；（2）已知.求m 的值；9m a m =-（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列，记的前n 项和{}n b {}n b 为，证明.n S ()*7N 3n S n <∈【正确答案】（1）2和5为两个质数“理想数” （2）的值为12或18m（3）证明见解析【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；（2）分析题意知道必为奇数，则必为偶数，结合整除知识得解；9m a m =-m （3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.【小问1详解】以内的质数为，202,3,5,7,11,13,17,19，故，所以为“理想数”；212=21a =2，而，故不是“理想数”；33110⨯+=1052=3，而，故是“理想数”；35116⨯+=41612=5，而，故不是“理想数”；37122⨯+=22112=7，而，故不是“理想数”；311134⨯+=34172=11，而，故不是“理想数”；313140⨯+=4058=13，而，故不是“理想数”；317152⨯+=52134=17，而，故不是“理想数”；319158⨯+=58292=19和5为两个质数“理想数”；2∴【小问2详解】由题设可知必为奇数，必为偶数，9m a m =-m ∴存在正整数，使得，即：∴p 92p m m =-9921p m =+-，且，921p ∈-Z211p-≥，或，或，解得，或，211p ∴-=213p -=219p-=1p =2p =，或，即的值为12或18．1991821m ∴=+=-2991221m =+=-m 【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如的整数，()*2k k ∈N 下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：，((((0224462222,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦若奇数，不妨设，1m >(2222,2k k m -⎤∈⎦若为"理想数"，则，且，即，且，m (*3112s m s +=∈N )2s >(*213s m s -=∈N )2s >①当，且时，；(*2s t t =∈N )1t >41(31)133t t m -+-==∈Z ②当时，；()*21s t t =+∈N 2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==∉Z ，且，(*413t m t -∴=∈N )1t >又，即，22241223t k k--<<1344134k t k-⨯<-≤⨯易知为上述不等式的唯一整数解，t k =区间]存在唯一的奇数"理想数"，且，(2222,2k k -(*413k m k -=∈N )1k >显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为，()*413k m k -=∈N 所有的奇数"理想数"的倒数为，∴()*341kk ∈-N 1133134144441k k k ++<=⨯---1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即．21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯=⎪⎝⎭-- ()*73n S n <∈N 知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。
福建省三明第一中学2024-2025学年高三上学期11月期中考试数学试题(解析)
三明一中2024-2025学年上学期半期考高三数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数3i 1i z =++在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】【分析】根据复数的运算法则化简z ，再写出其对应的点即得.【详解】3i 1iz =++()()()()31i 331i i 1i i 1i 1i 222-=+=+-=-+-，故其在复平面对应的点为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，在第四象限.故选：D.2. 设,a b 均为单位向量，则“a b a b -=+ ”是“a b ⊥”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量的运算法则和公式22a a = 进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由a b a b -=+ ，则22a b a b -=+ ，即222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅，可得0a b ⋅= ，所以a b ⊥，即充分性成立；反之：由a b ⊥ ，则0a b ⋅=，可得2222()a b a b a b -=-=+ 且2222()a b a b a b +=+=+ ，所以a b a b -=+，即必要性成立，综上可得，a b a b -=+ 是a b ⊥的充分必要条件.故选：C.3. 已知数列{}n a 满足()111n n a a +-=，若11a =-，则10a =（ ）A. 2 B. ―2C. 1- D.12【答案】C 【解析】【分析】根据递推式求出2a ,3a ,4a 的值,可以发现数列为周期数列,从而推出10a 的值.【详解】因为111n n a a +=-,11a =-,所以212a =,32a =,41a =-,所以数列{}n a 的周期为3,所以101a =-．故选:C ．4. 已知实数1a >，0b >，满足3a b +=，则211a b+-的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【详解】实数1a >，0b >，由3a b +=，得(1)2a b -+=，因此211211211[(1)]()(3)(3121212b a a b a b a b a b -+=-++=++≥+---，当且仅当211-=-b a a b，即14a -==-所以211a b +-.故选：B5. 中国古建筑的屋檐下常系挂风铃，风吹铃动，悦耳清脆，亦称惊鸟铃．若一个惊鸟铃由铜铸造而成，且可近似看作由一个较大的圆锥挖去一个较小的圆锥，两圆锥的轴在同一条直线上，截面图如下，其中1320cm O O =，122cm O O =，16cm AB =，若不考虑铃舌，则下列数据比较接近该惊鸟铃质量的是（参考数据：π3≈，铜的密度为8.963g /cm ）（ ）A. 1kgB. 2kgC. 3kgD. 0.5kg【答案】A 【解析】【分析】根据圆锥的体积公式，结合质量公式求解即可.【详解】由题意可得惊鸟铃的体积约为长()22311π820π818128cm 33⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，所以该惊鸟铃的质量约为()1288.961146.88g 1⨯=≈（kg ）．故选：A ．6. 已知函数()()sin 10f x x ωω=+>在区间()0,π上有且仅有2个零点，则ω的取值范围是（ ）A. 711,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 711,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C. [)3,5D. (]3,5【答案】B 【解析】【分析】利用三角函数的性质结合整体思想计算即可.【详解】因为0πx <<，所以0πx <ω<ω，令()sin 10f x x ω=+=，则方程sin 1x ω=-有2个根，所以711πππ22ω<≤，解得71122ω<≤，则ω的取值范围是711,22⎛⎤ ⎥⎝⎦．故选：B7. 在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a c b +-==sin 21cos 2CC+，则角A 的大小为（ ）A.π12B.5π12C.7π12D.3π4【答案】B 【解析】【分析】借助余弦定理计算可得π6B =，4BC π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入计算即可得角A 的大小.【详解】因为222a c b +-=，由余弦定理得2cos ac B =，所以cos B =(0,π)B ∈，所以π6B =，2sin 22sin cos sin 1cos 22cos cos C C C CCC C ===+，所以cos cos sin sin C A C C A C +=-，)sin cos A C C C +=-，又πA C B +=-4B C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π4B C =-或π4B C π+-=（舍），所以56412C πππ=+=，所以5561212A B C πππ=π--=π--=.故选：B.8. 已知函数()()()e ln 0xf x a ax a a a =--+>，若存在x 使得关于x 的不等式()0f x <成立，则实数a 的取值范围（ ）A. ()20,eB.()e0,e C.()2e ,+∞ D.()ee ,+∞【答案】C 【解析】【分析】将不等式变形为()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，构造函数()ln g x x x =+，分析可知该函数为增函数，可得出()ln ln 1a x x >--，求出函数()()ln 1h x x x =--的最小值，可得出关于实数a 的不等式，即可得出实数a 的取值范围.【详解】因为0a >，由0ax a ->可得1x >，即函数()f x 的定义域为()1,+∞，()()e ln ln 10xf x a a a x a =---+<可得()e ln ln 11x a x a-<--，即()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，构造函数()ln g x x x =+，其中0x >，则()110g x x'=+>，故函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以，()()ln e 1x agg x -<-，可得ln e1x ax -<-，则()ln ln 1x a x -<-，即()ln ln 1a x x >--，其中1x >，令()()ln 1h x x x =--，其中1x >，则()12111x h x x x -'=-=--，当12x <<时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，当2x >时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，所以，()()min ln 22a h x h >==，解得2e a >.故选：C.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为()ln eln 1ln 1x ax a x x -+-<-+-，结合不等式的结果构造函数()ln g x x x =+，转化为函数()g x 的单调性以及参变量分离法求解.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法中正确的是（ ）A. 若//a b ，//b c，则//a cB. 若ABC V 是锐角三角形，则sin cos A B>C. 若点G 为ABC V 的重心，则0GA GB GC ++=D. 命题：x ∀∈R ，21x >-的否定是：x ∃∈R ，21x ≤-．【答案】BCD 【解析】【分析】若0b =可判断A ；根据正弦函数单调性和诱导公式可判断B ；由重心的向量表示可判断C ；由全称命题的否定可判断D.【详解】对于A ，若0b = ，则,a c不一定平行，故A 不正确；对于B ，若ABC V 是锐角三角形，则可得π2A B +>且π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2A B π>-，且0,22B ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，根据正弦函数的单调性，可得πsin sin 2A B ⎛⎫>-⎪⎝⎭，所以sin cos A B >，所以B 正确；对于C ，分别取BC ，AC ，AB 中点D ，,E F ，则2GB GC GD +=，G 为ABC V 的重心，2GD AG ∴=，20GA GB GC GA GD ∴++=+=，故C 正确；对于D ，根据全称命题的否定可得：x ∀∈R ，21x >-的否定是：x ∃∈R ，21x ≤-，故D 正确.故选：BCD.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为2113622n S n n =-+，则下列说法正确的是（ ）A. 7n a n =- B.23344556111145a a a a a a a a +++=C. 使0n S >的最小正整数n 为13 D.nS n的最小值为3-【答案】BCD 【解析】【分析】对A ，根据n S 与n a 关系，求出通项n a 判断；对B ，利用裂项求和得解可判断；对C ，令0n S >求得答案；对D ，求出nS n，利用对勾函数单调性求最值.【详解】对于A ，由2113622n S n n =-+，当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，()()221113113611672222n n n a S S n n n n n -⎛⎫=-=-+----+=- ⎪⎝⎭，0,17,2n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩，故A 错误；对于B ，因为()()111118787n na a n n n n -==-----，2n ≥，所以23344556111111111111411453423255a a a a a a a a +++=-+-+-+-=-=，故B 正确；对于C ，由0n S >，即21136022n n -+>，解得12n >，故C 正确；对于D ，101S =，2n ≥时，1613112132222n S n n n n n ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，因为函数12y x x =+在(0,上单调递减，在()∞+上单调递增，∴当3n =或4时，n Sn取得最小值为3-，故D 正确．故选：BCD.11. 已知函数()ln 1x xf x x -=+，则下列结论中正确的是（ ）A. 函数()f x 有两个零点B. ()13f x <恒成立C. 若方程()2k f x x x =+有两个不等实根，则k 的范围是10,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 直线14y x =-与函数()f x 图象有两个交点【答案】BCD 【解析】【分析】分01x <<和1x >两种情况探讨()f x 的符号，判断A 的真假；转化为研究函数()11ln 33g x x x x =++的最小值问题，判断B 的真假；把方程()2k f x x x=+有两个不等实根，为2ln k x x =-有两个根的问题，构造函数()2ln m x x x =-，分析函数()m x 的图象和性质，可得k 的取值范围，判断C 的真假；直线14y x =-与函数()f x 图象有两个交点转化为11ln 044x x --=有两解，分析函数()11ln 44n x x x =--的零点个数，可判断D 的真假.【详解】对A ：当01x <<时，()0f x >；当1x >时，()0f x <；1x =时，()0f x =，所以函数()f x 只有1个零点.A 错误；对B ：欲证()13f x <，须证ln 113x x x -<+⇔11ln 033x x x ++>在()0,∞+上恒成立.设()11ln 33h x x x x =++，则()4ln 3h x x '=+，由()0h x '>⇒43e x ->；由()0h x '<⇒430e x -<<.所以()h x 在430,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在43e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()h x 的最小值为443343111e e 33e h --⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为433e <，所以43e 0h -⎛⎫> ⎪⎝⎭.故B 正确；对C ：()2k f x x x=+⇒()1ln 1x x k x x x =++-⇒2ln k x x =-.设()2ln m x x x =-，0x >则()()2ln 2ln 1m x x x x x x '=--=-+，0x >.由()0m x '>⇒120e x -<<；由()0m x '<⇒12e x ->.所以()m x 120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减.所以()m x 的最大值为：121e 2em -⎛⎫= ⎪⎝⎭，又当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x >.如图所示：所以2ln k x x =-有两个解时，10,2e k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故C 正确；对D ：问题转化为方程：ln 114x x x x -=-+有两解，即11ln 044x x --=有两解.设()11ln 44n x x x =--，0x >，所以()11444xn x x x-'=-=.由()0n x '>⇒04x <<；由()0n x '<⇒4x >.所以()n x 在()0,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减.所以()n x 的最大值为()54ln 44n =-.因为82256=，53243=，所以85523e >>⇒454e >⇒544e >⇒5ln 44>在所以()54ln404n =->.且当0x >且0x →时，()0n x <；x →+∞时，()0n x <.所以函数()11ln 44n x x x =--的图象如下：所以11ln 044x x --=有两解成立，所以D 正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：导数问题中，求参数的取值范围问题，通常有如下方法：（1）分离参数，转化为不含参数的函数的值域问题求解.（2）转化为含参数的函数的极值问题求解.第二部分（非选择题共92分）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. =______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用二倍角公式结合诱导公式化简，即可求得答案.sin50sin 40cos40sin 40cos10cos10===sin 80cos1012cos102cos102=== .故答案为：1213. 已知集合2{|290}A x x x a =-+-=，2{|4100}B x ax x a =-+=≠，，若集合A ，B 中至少有一个非空集合，实数a 的取值范围_______.【答案】{8a a ≥或4a ≤且}0a ≠【解析】【分析】先考虑A ，B 为空集得出a 的范围，再利用补集思想求得结果.【详解】对于集合A ，由()Δ4490a =--<，解得8a <;对于集合B ，由1640a ∆=-<，解得4a >.因为A,B 两个集合中至少有一个集合不为空集,所以a 的取值范围是{8a a ≥或4a ≤，且}0a ≠故答案为：{8a a ≥或4a ≤且}0a ≠14. 在四面体V ABC -中，VA VB ==3VC =，4CA CB ==，VC 的中点为P ，AB 的中点为Q ，则PQ 的取值范围为______.【答案】43⎛ ⎝【解析】【分析】设出线段AB 的长度，然后利用勾股定理表示出QV 和QC ，进而利用2221)4||QP QP QV QC ==(+ 表示出线段PQ 的长度，然后转化为函数求最值即可，但是要注意确定解析式中自变量的取值范围.【详解】如图所示，连接VQ 和CQ，根据VA VB ==4CA CB ==可知，VQ AB ⊥和CQ AB ⊥.不妨设2AB x =，则根据勾股定理可知VQ =，CQ =，其中根据三角形中三边的长度关系可知，0280233x x <<⎧⎪<<⎪>-<，解得2287036x <<.因为12QP QV QC =(+) ，所以22222222113123944442||||||||||||||||||QV QC QP QV QC QV QC QV QC x QV QC +-=(+)=(++⋅⋅)=(-)⋅.因2287036x <<，所以2163994||QP <<，即43QP <<.为。
2025届成都市高三数学上学期期中测试卷及答案解析
树德中学高2022级高三上学期11月半期测试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 已知集合{}{}21,2,,1,3A a B a =+=，若对,x A "Î都有x B Î，则a 为（ ）A. 1B. 1- C. 2D. 1或2【答案】C 【解析】【分析】得到A B Í，分22a a +=和23a +=两种情况，求出a ，舍去不合要求的解，得到答案.【详解】由题意得A B Í，当22a a +=时，解得2a =或1-，当2a =时，{}4,1,3B =满足要求，当1a =-时，21a +=，21a =，A ，B 中元素均与互异性矛盾，舍去，当23a +=时，1a =，此时21a =，B 中元素与互异性矛盾，舍去，综上，2a =.故选：C2. 直线220x y -+=被圆()()22124x y -+-=截得的弦长为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】求出圆心和半径，得到圆心()1,2到220x y -+=的距离，利用垂径定理求出弦长.【详解】()()22124x y -+-=的圆心为()1,2，半径为2，圆心()1,2到220x y -+=的距离d ，故直线220x y -+=)()22124y -+-=截得的弦长为==.故选：D3. 下图为2024年中国大学生使用APP 偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP 的结论正确的是（ ）A. 超过13的大学生更爱使用购物类APP B. 超过半数的大学生使用APP 是为了学习与生活需要C. 使用APP 偏好情况中7个占比数字的极差是23%D. APP 使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%【答案】C 【解析】【分析】A 选项，25.71%3<，A 错误；B 选项，%344.%14%8.33%50+=<，B 错误；C 选项，利用极差定义得到C 正确；D 选项，由百分位数的定义进行判断.【详解】A 选项，更爱使用购物类APP 的大学生比例为25.71%3<，A 错误；B 选项，为了学习与生活需要使用APP 的大学生比例为%344.%14%8.33%50+=<，B 错误；C 选项，使用APP 偏好情况中7个占比中，数字极差25.7% 2.7%23%-=，C 正确；D 选项，640% 2.4´=，故从小到大，选取第3个作为40%分位数，即16.3%，D 错误.故选：C4. 数列{}n a 为等比数列，若154215,6a a a a -=-=，则3a 为（ ）A. 4 B. -4C. 4± D. 不确定【答案】C 【解析】【分析】由等比数列的性质计算即可；【详解】由题意可得()()4211115,16a q a q q -=-=，为两式相除可得2152q q +=，即22520q q -+=，解得12q =或2，当12q =时，由()2111111161624a q q a a æöç÷-=´´-=Þ=-ç÷èø，所以34a =-；当2q =时，由()()2111124161a q q a a -=´´-=Þ=，所以34a =；综上，3a 为4±，故选：C.5. 已知实数,x y 满足0x y >>，则下列不等式恒成立的是（ ）A.222xy xy+> B.2x yy +>>C.4x y y x+³ D.2³+xyx y【答案】B 【解析】【分析】A 选项，举出反例；B 选项，由基本不等式得到2x y+>，由0x y >>y >=，B 正确；C 选项，由基本不等式得到2x yy x+>；D 选项，由基本不等式得到2x x y y <=+.【详解】A 选项，取2,1x y ==得21122xy xy+=+=，A 错误；B 选项，0,0x y >>，由基本不等式得2x y+³，当且仅当x y =时，等号成立，但0x y >>，故等号取不到，所以2x y+>，0x y >>y >=，综上，2x yy +>>，B 正确；C 选项，0,0x y >>，由基本不等式得2x y y x +³=，当且仅当x y =时，等号成立，但0x y >>，故等号取不到，所以2x yy x+>，C 错误；D选项，由B选项知，x y+>1x y<+所以2xxyy<=+，D错误.故选：B6. 已知四面体A BCD-外接球半径为2，若π3BC BDC=Ð=，则四面体A BCD-的体积最大值为（）A.94B.92C.D.【答案】D【解析】【分析】根据球的性质先确定球心到底面BCD的距离，结合棱锥的体积公式计算即可.【详解】如图所示，设四面体A BCD-的外接球球心为O，底面BCD△的外接圆圆心为E，则OE^底面BCD，,,A O E共线且A在OE上方时四面体的高h最大，最大值为2h EA OE==+，取，由BC BF OF=Þ===所以EF==，底面BCD△中，显然当,,D E F共线时，D到BC距离最大，所以()()max11122BCDS BC EF DEö=×+=+=÷øV则四面体A BCD-的体积最大值(123BCDV S h=×=+=V故选：D的7. 设F 为抛物线2:4y x G =的焦点，过F 且倾斜角为60°的直线交曲线G 于,A B 两点（B 在第一象限，A 在第四象限），O 为坐标原点，过A 作G 的准线的垂线，垂足为M ，则||||OB OM 的值为（ ）A.13B.12C. 2D. 3【答案】D 【解析】【分析】过F 且倾斜角为60°的直线方程为y =2:4y x G =，设()()1122,,,A x y B x y ，21x x >，则121,33x x ==，进而得到(1,,3,3A B æççè，求出1,M æ-ççè，OB =，OM =，得到答案.【详解】由题意得()10F ,，2:4y x G =的准线方程为1x =-，过F 且倾斜角为60°的直线方程为y =y =-与2:4y x G =联立得231030x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，21x x >，则121,33x x ==，故12y y ==，故(1,,3,3A B æççè，故OB ==，1,M æ-ççè，OM ==3=.故选：D8. 已知函数1()93xf x =-的图象关于点P 对称，则点P 的坐标是（ ）A. 12,18æöç÷èøB. 12,9æöç÷èøC. 12,3æöç÷èøD. ()0,0【答案】A 【解析】分析】计算出()1()49f x f x +-=，()()0f x f x +-¹，故A 正确，BCD 错误.【详解】ABC 选项，()()4991113()43939393xx x x x f x f x -+-=+=+----()9319939x x +--==，故函数1()93x f x =-的图象关于12,18æöç÷èø中心对称，A 正确，BC 错误；D 选项，()11()09393x xf x f x -+-=+¹--，故不关于()0,0中心对称，D 错误.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球．1A 表示事件“从甲罐取出的球是红球”，2A 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B 表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）【A. 1A 、2A 为对立事件B. ()1411P B A =C. ()310P B =D. ()()121P B A P B A +=【答案】AB 【解析】【分析】只需注意到事件B 是在事件1A 或2A 发生之后可解.【详解】因为甲罐中只有红球和白球，所以A 正确；当1A 发生时，乙罐中有4个红球，7个白球，此时B发生的概率为411，故B 正确；当2A 发生时，乙罐中有3个红球，8个白球，此时B 发生的概率为311，故D 不正确；14137()21121122P B =´+´=，故 C 不正确.故选：AB10. 对于函数()sin f x x =与()πsin 36g x x æö=-ç÷èø，下列说法正确的是（ ）A. ()f x 与()g x 有相同零点B. 当[0,2π]x Î时，()f x 与()g x 的交点个数为6C. 将()f x 的图像向右平移π6个单位，并把横坐标变为原来的13可以得到()g x 的图像D. 将()f x 的图像横坐标变为原来的13，并向右平移π6个单位可以得到()g x 的图像【答案】BC 【解析】【分析】计算两个函数的零点，即可求解A ，根据πsin sin 36x x æö=-ç÷èø，求解π32π6x x k =-+或π3π2π,Z 6x x k k +-=+Î，即可判断B ，根据函数图象的变换即可求解CD.【详解】对于A ，()sin f x x =的零点为π,Z x k k =Î,()πsin 36g x x æö=-ç÷èø的零点满足π3π,Z 6x k k -=Î,故π1π,Z 183x k k =+Î，两个函数的零点不相同，故A 错误，对于B, 令πsin sin 36x x æö=-ç÷èø，则π32π6x x k =-+或π3π2π,Z 6x x k k +-=+Î，解得ππ12x k =-或7π1π,Z 242x k k =+Î，故[0,2π]x Î时，零点有π7π19π13π31π43π,,,,,122424122424，共有6个，故B 正确，对于C ，将()f x 的图像向右平移π6个单位，得到πsin 6y x æö=-ç÷èø，再把πsin 6y x æö=-ç÷èø的横坐标变为原来的13可以得到()πsin 36g x x æö=-ç÷èø，C 正确，对于D ，将()f x 的图像横坐标变为原来的13，得到sin 3y x =，再将sin 3y x =向右平移π6个单位可以得到ππsin 3sin 362y x x æöæö=-=-ç÷ç÷èøèø的图象，故D 错误，故选：BC11. 已知函数()1ln f x x a x x=--，下列说法正确的是（ ）A. 若1,a =则曲线()f x 在()1,0的切线方程为10x y --=B. 若()0f x <当且仅当()0,1x Î，则a 的取值范围(),2-¥C. ()1f f x x æö=-ç÷èøD. 若函数()1ln f x x a x x=--有三个零点为123,,x x x ，则123ax x x 的取值范围()2,+¥【答案】ACD 【解析】【分析】利用导数的几何意义可判定A ，含参讨论函数的单调性结合特例可判定B ，利用解析式直接计算可判定C ，根据B 结合含参讨论函数的单调性得出函数大致图象，结合C ，得出零点间关系计算即可.【详解】对于A ，易知1a =时，()()2111ln ,1f x x x f x x x x¢=--=+-，所以()11f ¢=，即曲线()f x 在(1,0)的切线方程为10x y --=，故A 正确；对于B ，()()2210x ax f x x x-+=>¢，24a D =-，易知2a £时，则f ′(x )≥0，此时()f x 定义域上单调递增，而f (1)=0，即()0f x <当且仅当x ∈(0,1)，2a £，故B 错误；对于C ，易知()11ln f x a x f x x xæö=-+=-ç÷èø显然成立，故C 正确；对于D ，由B 项知，当2a >时，令()2210x ax f x x x -+==Þ=¢，由2a >1<<，则()f x 在æçç和¥ö+÷÷ø上单调递增，在上单调递减，因为f (1)=0，且0x →时，()f x ¥→-，x →+¥时，()f x ¥→+，可大致作出函数图象，不妨设123x x x <<，可知1231x x x <<=<<，因为()()130f x f x ==，由C 知()1110f x f x æö=-=ç÷èø，即()3110f f x x æö==ç÷èø，因为111011x x <<Þ>，根据函数单调性知311x x =，即123a ax x x =，故D 正确.故选：ACD【点睛】思路点睛：对于B 项，含参讨论导函数零点个数判定函数的单调性即可；对于D 项，利用C 项的结论将多元变量转化是解决本题关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知1sin()2a b +=，tan 5tan ab=，则sin()a b -=______．【答案】13【解析】【分析】由已知条件展开可求得sin cos a b，cos sin a b ,代入即可.【详解】由1sin()2a b +=得：1sin cos cos sin 2a b a b +=,由tan 5tan ab=得：sin cos 5cos sin a b a b =,所以5sin cos 12a b =，1cos sin 12a b =,所以511sin cos cos sin 12123sin()a b a b a b -=-=-=.故答案为：1313. 已知数列{}n a 满足：11,2,N7,231,21,N n n n nn a a k k a a a a k k *+*ì=Îï==íï+=+Îî，则4a 为______.【答案】34【解析】【分析】由17a =求出222a =，由222a =求出311a =，进而求出434a =【详解】17a =为奇数，故213122a a =+=，222a =为偶数，故23112a a ==，311a =为奇数，故433134a a =+=.故答案为：3414. 设1234,,,a a a a 是数字1,2,3,4的排列，若存在14i j k £<<£成立i j k a a a <<，则称这样的排列为“树德好排列”，则从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率是______.【答案】512【解析】【分析】先得到1,2,3,4进行排列，共有44A 24=种情况，再列举出满足要求的情况，求出概率.【详解】1,2,3,4进行排列，共有44A 24=种情况，其中满足存在14i j k £<<£成立i j k a a a <<的情况有()()()()4,1,2,3,1,4,2,3,1,2,4,3,1,2,3,4，()()()()()()3,1,2,4,1,3,2,4,2,1,3,4,1,3,4,2,2,3,1,4,2,3,4,1，共10种情况，故从所有的排列中任取一个，则它是“树德好排列”的概率为1052412=.故答案为：512四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知在ABC V 中，221cos 2ac B bc a b -=-，（1）求A ；（2）若2a =，则三角形ABC,.b c 【答案】（1）π3A = （2）2b c ==【解析】【分析】（1）根据余弦定理边角互化，即可求解，（2）根据三角形面积公式可得4bc =，进而根据余弦定理即可求解.【小问1详解】根据221cos 2ac B bc a b -=-可得22222122a c b ac bc a b ac +--=-，即222c b a bc +-=，故2221cos 22c b a A bc +-==,由于()0,πA Î，故π3A =小问2详解】由π3A =得1sin 42S bc A bc ==\=，又因为2,a =由余弦定理知()2222222cos ,43a b c bc A b c bc b c bc =+-\=+-=+-，故4b c +=，结合4bc =解得2b c ==16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ^，AB AD ^，PA PD =，2AB =，8AD =，5AC CD ==.（1）求证：平面PCD ⊥平面PAB ；（2）求点B 到平面PCD 的距离.【答案】（1）证明见解析【（2【解析】【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，得到AB ⊥PD ，结合PA PD ^得到PD ⊥平面PAB ，因为PD Ì平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAB ；（2）作出辅助线，得到CO AD ^，3CO =，建立空间直角坐标系，求出平面PCD 的一个法向量为()4,3,3n =-r，利用点到平面的距离公式求出答案.【小问1详解】平面PAD ⊥平面ABCD ，交线为,AD AB AD ^，AB Ì平面ABCD ，所以AB ⊥平面PAD ，因为PD Ì平面PAD ，所以AB ⊥PD ，因为PA PD ^，AB PA A =I ，,AB PA Ì平面PAB ，所以PD ⊥平面PAB ，因为PD Ì平面PCD ，所以平面PCD ⊥平面PAB ；【小问2详解】取AD 中点为O ，连接CO ，PO ，又因为PA PD =，所以PO AD ^，则4AO PO ==，因为5AC CD ==，所以CO AD ^，则3CO ==，以O 为坐标原点，分别以OC uuu r ，OA uuu r ，OP uuu r所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,4,0A ，()2,4,0B ，()3,0,0C ，()0,4,0D -，()0,0,4P ，()3,0,4PC =-uuu r ，()0,4,4PD =--uuu r ，()2,4,4PB =-uuu r，设n =(x,y,z )是平面PCD 的一个法向量，则0n PC n PD ì×=ïí×=ïîuuu r r uuu rr ，得340440x z y z -=ìí--=î，令3z =，则4x =，3=-y ，所以()4,3,3n =-r，设点B 到平面PCD 的距离为h .则所以点B 到平面PCD 的距离为h .17. 已知函数()()e 1xf x a x=-+（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()()e 1xf x a x b =-+³对于R x Î恒成立，求b a -的最大值.【答案】（1）答案见解析 （2）11e+【解析】【分析】（1）求导，分1a £-和1>-a 两种情况，得到函数单调性；（2）在（1）基础上，分1a <-，1a =-，1>-a 三种情况，1a <-时，不合要求；当1a =-，0,b b a £-的最大值为1；当1>-a 时，()f x 在()ln 1x a =+处取得极小值，也是最小值，()()()11ln 10a a a b +-++-³，故()()11ln 1b a a a -£-++，令()()1ln 0F x x x x =->，求导，得到函数单调性，得到()max 111e eF x F æö==+ç÷èø，从而求出b a -的最大值为11e +.【小问1详解】()()e 1x f x a ¢=-+，当1a £-，()f x 在R 上单调递增，当1>-a ，令()0f x ¢>得()ln 1x a >+，令()0f x ¢<得()ln 1x a <+，故()f x 在()(),ln 1a -¥+单调递减，()()ln 1,a ++¥单调递增，综上，当1a £-时，()f x 在R 上为单增递增；当1>-a 时，()f x 在()(),ln 1a -¥+单调递减，()()ln 1,a ++¥单调递增；【小问2详解】由（1）知，当1a <-，()f x 在R 上为单调递增，(),x f x →-¥→-¥，不合题意当1a =-，()f x 在R 上单调递增，(),0x f x →-¥→，故0,b b a £-的最大值为1，当1>-a ，()f x 在()(),ln 1a -¥+单调递减，()()ln 1,a ++¥单调递增，所以()f x 在()ln 1x a =+处取得极小值，也是最小值，()()()()()()()()ln 1ln 1e 1ln 111ln 1a f a a a b a a a b ++=-++-=+-++-，由不等式()e 1xa xb -+³，可得()()()11ln 10a a a b +-++-³，所以()()11ln 1b a a a -£-++，令()()1ln 0F x x x x =->，则()ln 1F x x ¢=--，当10ex <<时，()0F x ¢>；当1e x >时，()0F x ¢<，所以()F x 在10,e æöç÷èø上单调递增，在1,eæö+¥ç÷èø上单调递减，即()max 111e e F x F æö==+ç÷èø，即11eb a -£+，综上，b a -的最大值为11e+.【点睛】对于求不等式成立时参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.18. 已知椭圆C ：22221x y a b+=过3(1,)2A ，3317(1,(,)2510B E ---，(2,0)F -中的三点.（1）求椭圆方程及其离心率；（2）过(4,0)P 作直线QR 交C 于,Q R 两点（Q R ¹），连接,BP BR ，过Q 作x 轴垂线分别交,BP BR 于,M N .求证:M 为QN 中点.的【答案】（1）22143x y +=，离心率12e =；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由对称性知,A B 同时在椭圆，假设,,A B E 在22221x y a b+=上，求出22134a b ==，此时方程为圆，不合要求，当,,A B F 在22221x y a b+=上时，求出224,3a b ==，得到椭圆方程，求出离心率；（2）求出1:22BP y x =-，设1122:4,(,),(,)QR x ky Q x y R x y =+，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，得到121223y y ky y +=-，表达出M ，N 的坐标，要证M 为QN 中点，即证211123()(3)3232y ky y ky ky ++-+=+，即证()()2121232302k k y y k y y æö-+-+=ç÷èø，将121223y y ky y +=-代入上式恒成立，故M 为QN 中点.【小问1详解】由于,A B 关于x 轴对称， 故,A B 同时在椭圆C ：22221x ya b+=上，若,,A B E 在22221x y a b +=上，则222219149289125100a b a bì+=ïïíï+=ïî，解得22134a b ==，此时为以原点O为圆心，=OA 为半径的圆，不合题意；若,,A B F 在22221x ya b +=上，则222191441a b a ì+=ïïíï=ïî，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=，1c ==，离心率为12c e a ==；【小问2详解】1:22BP y x =-，设1122:4,(,),(,)QR x ky Q x y R x y =+，联立224143x ky x y =+ìïí+=ïî，得有22(34)24360k y ky +++=，22(24)4(34)360k k D =-+×>，解得2k >或2k <-，由韦达定理得12212224343634k y y k y y k -ì+=ïï+íï=ï+î，故121223y y ky y +=-，在1:22BP y x =-中令114x x ky ==+得，()11114222y ky ky =+-=，故111(4,)2M ky ky +，直线22332:(1)412y BR y x ky +=--+-，令14x ky =+，得22112233()(3)3322(41)41232y y ky y ky ky ky +++=+--=-+-+，故21123()(3)32(4,32y ky N ky ky +++-+，要证M 为QN 中点，即证211123()(3)3232y ky y ky ky ++-+=+，即证()()()2112233(3)13322y ky k y ky ky ++=-+++，即证()()2121232302k k y y k y y æö-+-+=ç÷èø，将121223y y ky y +=-代入上式得，()()222121212232322032k k y y k k y y k k k k y y æö---=--+=ç÷èø，故M 为QN 中点.【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.19. 若数列{}()**1,,Nn a n k n k ££ÎÎN 满足{}0,1na Î，则称数列{}na 为k 项01-数列，由所有k 项01-数列组成集合k M .（1）若{}n a 是12项01-数列，当且仅当()*3,4n p p p =ΣN 时，0n a =，求数列{}(1)nn a -的所有项的和；（2）从集合k M 中任意取出两个不同数列{}{},n n a b ，记1ki ii X a b==-å.①若3k =，求随机变量X 的分布列与数学期望；②证明：()2kE X >.【答案】（1）0 （2）①分布列见解析，()127E X =；②证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意得到()*3,4n p p p =ΣN 时，0n a =，当32n p =-和()*31,4n p p p =-ΣN 时，1n a =从而得到{}(1)n n a -的所有项的和；（2）①3M 中的数列有0,0,0；1,0,0；0,1,0；0,0,1；1,1,0；1,0,1；0,1,1；1,1,1；X 的取值有1，2，3，从8个数列中任选2个，共有28C 28=种情况，列举出1X =和3X =的情况数，得到()()1,3P X P X ==，进而求出()2P X =，得到分布列和数学期望；②X 的可能取值为：1,2,3,,k L ，根据数列中0的个数可得，集合k M 中元素的个数共有012C C C C 2k kk k k k ++++=L ，且()()2222C 2C A 1,2,,C 21k m kk m k k P X m m k ×====-L ，从而得到分布列，结合()1*1C C,1m m k k m k m m k --=Σ£N 求和，得到()11222122k k k k k k kE X --××=>=-.【小问1详解】因为{}n a 是12项01-数列，当且仅当()*3,4n p p p =ΣN 时，0n a =，所以当32n p =-和()*31,4n p p p =-ΣN 时，1n a =.设数列{}(1)nn a -的所有项的和为S ，则()24578101112457810111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)S a a a a a a a a =-+-+-+-+-+-+-+-()2457810111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)=-+-+-+-+-+-+-+-()()()()11111111=-+++-+-+++-0=所以数列{}(1)nn a -的所有项的和为0.【小问2详解】①若3k =，则3M 中的数列有0,0,0；1,0,0；0,1,0；0,0,1；1,1,0；1,0,1；0,1,1；1,1,1；1ki i i X a b ==-å，故X 的取值有1，2，3，从8个数列中任选2个，共有28C 28=种情况，其中当1X =时，若选择0,0,0，可从1,0,0；0,1,0；0,0,1任选1个，共有3种情况，若选择1,1,1，可以从1,1,0；1,0,1；0,1,1任选1个，共有3种情况，另外1,0,0和1,0,1，1,1,0两者之一满足要求，0,1,0和1,1,0，0,1,1两者之一满足要求，0,0,1和1,0,1，0,1,1两者之一满足要求，共有3322212++++=种情况，故()1231287P X ===，当3X =时，0,0,0和1,1,1满足要求，1,0,0和0,1,1满足要求，0,1,0和1,0,1满足要求，0,0,1和1,1,0满足要求，共有4种情况，故()413287P X ===，所以()31321777P X ==--=，其分布列为X123P373717则()331121237777E X =´+´+´=；②证明：因为数列{}{},n n a b 是从集合k M 中任意取出的两个数列，所以数列{}{},n n a b 为k 项01-数列，所以X 的可能取值为：1,2,3,,k L .根据数列中0的个数可得，集合k M 中元素的个数共有012C C C C 2k kk k k k ++++=L 个，当()1,2,,X m m k ==L 时，则数列{}{},n n a b 中有m 项取值不同，有k m -项取值相同，从k 项中选择m 项，{}n a 和{}n b 在m 项的某一项数字相同，其余k m -项，两者均在同一位置数字相反，由于1ki i i X a b ==-å，此问题为组合问题，故所有的情况会重复1次，故共有22C 2A m kk ×种情况，所以()()2222C 2C A 1,2,,C 21km kk m k k P X m m k ×====-L ，所以随机变量X 的分布列为：X123LL k P1C 21k k-2C 21k k-3C 21k k-LLC 21kk k-因为()()()()()()1*11!!C C ,1!!1!11!mm k k k m k m k k m m k m k m m k m ---×==×=Σ£-éù----ëûN ，所以()()12123C C C 1121C 2C 3C C 21212121kk kk k k k k kk k k k E X k k =´+´++´=++++----L L ()110121111122C C C C 212122k k k k k k k k k k k k k k -------××=++++=>=--L ，即()2kE X >.【点睛】关键点点睛：第三问，求出()()2222C 2C A 1,2,,C 21km kk m k k P X m m k ×====-L 为关键，其后求期望值时，需用到()1*1C C ,1m m k k m k m m k --=Σ£N ，是解题的另一个关键点.。
2020-2021高三数学上期中试卷附答案(2)
2020-2021高三数学上期中试卷附答案(2)一、选择题1．已知首项为正数的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1008a 和1009a 是方程2201720180x x --=的两根，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ）A ．1008B ．1009C ．2016D ．20172．设ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，则这个三角形的形状是 （ ） A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形3．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ）A ．4y x x=+B．2y =C ．4x x y e e -=+D ．4sin (0)sin y x x xπ=+<< 4．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．若正数,x y 满足20x y xy +-=，则32x y+的最大值为（ ） A ．13B ．38C ．37D ．16．已知0,0x y >>，且91x y +=，则11x y+的最小值是 A ．10B ．12?C ．14D ．167．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ， 2cos 22A b c c+=，则ABC ∆的形状为 A ．直角三角形 B ．等腰三角形或直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．正三角形8．等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，则使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是（ ） A ．2018B ．2019C ．4036D ．40379．已知数列{an}的通项公式为an ＝2()3nn 则数列{an}中的最大项为( ) A ．89B ．23C ．6481D ．12524310．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A += ()2223S b a c =+-，则B ∠=A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒11．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（ ） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．若01a <<，1b c >>，则( ) A ．()1abc<B ．c a cb a b->- C ．11a a c b --< D ．log log c b a a <二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，22a =，且对于任意1n >，*n N ∈，满足11n n S S +-+=2(1)n S +，则10S 的值为__________14．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n S n n n N *=++∈，,求n a =.__________．15．在平面内，已知直线12l l P ，点A 是12,l l 之间的定点，点A 到12,l l 的距离分别为和，点是2l 上的一个动点，若AC AB ⊥，且AC 与1l 交于点C ，则ABC ∆面积的最小值为____． 16．设是定义在上恒不为零的函数，对任意，都有，若，，，则数列的前项和的取值范围是__________．17．在△ABC 中，2BC =，7AC =3B π=，则AB =______；△ABC 的面积是______．18．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122a a a a e +=，则1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．19．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______. 20．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足12231()()()2(1)n n a a a a a a n n +++++++=+L （*n N ∈）. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S . 22．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =，ABC ∆的面积为32，求+a b 的值； 23．设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.24．设a ，b ，c 均为正数，且a+b+c=1，证明： （Ⅰ）ab+bc+ac ≤13； （Ⅱ）2221a b c b c a++≥.25．已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是公比大于零的等比数列，且112a b ==,338a b ==.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; （2）记n n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n S .26．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1250,15a a S +==，数列{}n b 满足：12b a =，且131(2).n n n n n nb a b a b ++++=（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若211(5)log n n n c a b +=+⋅，求数列{}n c 的 前n 项和.n T【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】依题意知100810091008100920170,20180a a a a +=>=-<，Q 数列的首项为正数，()()1201610081009100810092016201620160,0,022a a a a a a S +⨯+⨯∴>∴==，()12017201710092017201702a a S a+⨯==⨯<，∴使0n S >成立的正整数n 的最大值是2016，故选C.2．B解析：B 【解析】 【分析】先由ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，得出2,33B AC ππ=+=,又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列，所以23sin sin sin 4B AC =⋅=，整理计算即可得出答案.【详解】因为ABC ∆的三个内角, , A B C 成等差数列，所以2,33B AC ππ=+=, 又因为sin A 、sin B 、sin C 成等比数列， 所以23sin sin sin 4B AC =⋅=所以222sin sin sin sin cos sin cos 333A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21111132sin 2cos 2sin 22442344A A A A A π⎛⎫=+=-+=-+= ⎪⎝⎭ 即sin 213A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为203A π<< 所以3A π=故选B【点睛】本题考查数列与三角函数的综合，关键在于求得2,33B AC ππ=+=，再利用三角公式转化，属于中档题.3．C解析：C 【解析】 【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可. 【详解】选项A 错误，x Q 可能为负数，没有最小值；选项B错误，化简可得2y ⎫=，=，即21x =-，显然没有实数满足21x =-；选项D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin 2x =， 但由三角函数的值域可知sin 1x ≤； 选项C 正确，由基本不等式可得当2x e =， 即ln 2x =时，4xxy e e -=+取最小值4，故选C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.4．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．5．A解析：A 【解析】 【分析】根据条件可得出2x >，212y x =+-，从而33222(2)52x y x x =+-++-，再根据基本不等式可得出3123x y ≤+，则32x y +的最大值为13.【详解】0x Q >，0y >，20x y xy +-=，2122x y x x ∴==+--，0x >， 333222212(2)522x y x x x x ∴==+++-++--，212(2)5(2)5922x x x x -++≥-⋅=--Q ， 当且仅当122x x -=-，即3x =时取等号， 31232(2)52x x ∴≤-++-，即3123x y ≤+，32x y ∴+的最大值为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用基本不等式求最值的方法，注意说明等号成立的条件，考查了计算和推理能力，属于中档题.6．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.7．A解析：A 【解析】 【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择. 【详解】 因为2cos22A b c c+=，所以1cosA 22b cc ++=,()ccosA b,sinCcosA sinB sin A C ,sinAcosC 0===+=,因此cosC 0C 2π==，,选A.【点睛】本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.8．C解析：C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式，结合已知条件列不等式组，进而求得使前n 项和0n S >成立的最大正整数n . 【详解】由于等差数列{}n a 满足120182019201820190,0,0a a a a a >+>⋅<，所以0d <，且2018201900a a >⎧⎨<⎩，所以()1403640362018201914037201940374036201802240374037022a a S a a a a a S +⎧=⨯=+⨯>⎪⎪⎨+⎪=⨯=⨯<⎪⎩，所以使前n 项和0n S >成立的最大正整数n 是4036.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.9．A解析：A 【解析】解法一 a n ＋1－a n ＝(n ＋1)n ＋1－nn＝·n，当n <2时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝2时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >2时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n . 所以a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.解法二 ＝＝，令>1，解得n <2；令＝1，解得n ＝2；令<1，解得n >2.又a n >0，故a 1<a 2＝a 3，a 3>a 4>a 5>…>a n ，所以数列{a n }中的最大项为a 2或a 3，且a 2＝a 3＝2×2＝.故选A.10．D解析：D 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B C A +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)22234S b a c =+-，得13sin 2cos 24ab C ab C =, 整理得tan 3C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =.故选D 【点睛】本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．11．D解析：D 【解析】 【分析】 先求出31()2n n a -=，再求出2511()2n n n a a -+=，即得解.【详解】 由题得35211,82a q q a ==∴=. 所以2232112()()22n n n n a a q---==⨯=，所以32251111()()()222n n n n n a a ---+=⋅=. 所以1114n n n n a a a a +-=，所以数列1{}n n a a +是一个等比数列. 所以12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=18[1()]4114n --=()32143n --. 故选：D 【点睛】本题主要考查等比数列通项的求法和前n 项和的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.12．D解析：D 【解析】 【分析】运用不等式对四个选项逐一分析 【详解】对于A ，1b c >>Q ，1b c ∴>，01a <<Q ，则1ab c ⎛⎫> ⎪⎝⎭，故错误 对于B ，若c a cb a b->-，则bc ab cb ca ->-，即()0a c b ->，这与1b c >>矛盾，故错误对于C ，01a <<Q ，10a ∴-<，1b c >>Q ，则11a a c b -->，故错误对于D ，1b c >>Q ，c b log a log a ∴<，故正确 故选D 【点睛】本题考查了不等式的性质，由未知数的范围确定结果，属于基础题．二、填空题13．91【解析】【分析】由Sn+1+Sn ﹣1＝2（Sn+1）可得Sn+1﹣Sn ＝Sn ﹣Sn ﹣1+2可得an+1﹣an ＝2利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】∵对于任意n ＞1n∈N*满足Sn+解析：91 【解析】 【分析】由S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1），可得S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2，可得a n+1﹣a n ＝2．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【详解】∵对于任意n ＞1，n∈N *，满足S n+1+S n ﹣1＝2（S n +1）， ∴n≥2时，S n+1﹣S n ＝S n ﹣S n ﹣1+2， ∴a n+1﹣a n ＝2．∴数列{a n }在n≥2时是等差数列，公差为2． 则10S ＝1+9×29822⨯+⨯=91． 故答案为91 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．【解析】分析：根据可以求出通项公式；判断与是否相等从而确定的表达式详解：根据递推公式可得由通项公式与求和公式的关系可得代入化简得经检验当时所以所以点睛：本题考查了利用递推公式求通项公式的方法关键是最解析：4,141,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.【解析】分析：根据1n n n a S S -=-可以求出通项公式n a ；判断1S 与1a 是否相等，从而确定n a 的表达式。
江苏省徐州市2024-2025学年高三上学期11月期中抽测数学试题(含解析)
2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将各答案写在答题卡上写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D.2.复数的虚部为（ ）A.1B.C.D.3.若向量，则向量在向量上的投影向量为（ ）A. B. C. D.4.已知圆锥的母线长为13，侧面积为，则该圆锥的内切球的表面积为（ ）A.B. C. D.5.等比数列的各项均为正数，若，则（ ）A.588B.448C.896D.5486.在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（ ）A.1C.27.已知，则（ ）A.B. C. D.{}{}230,3,1,0,1,2,3A xx x B =-≤=--∣A B ⋂={}1,2,3{}0,1,2,3{}3,1--{}3i 11i-+1-i i-()()2,1,3,4a b == ab 68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭65π100π94000π81400π91000π81{}n a 1234327,2a a a a a a ++==+789a a a ++=xOy 1y kx =+224x y +=,A B AOB ()()11sin ,sin 23αβαβ+=-=22cos cos αβ-=136136-1616-8.已知定义在上的函数满足，且，则（ ）A.B.C.是增函数D.是减函数二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则（ ）A.的图象关于点对称B.的图象可由的图象向左平移个单位长度得到C.在区间单调递减D.当时，的值域为10.已知正方体的棱长为2，点分别是棱的中点，则（ ）A.直线与直线的夹角为B.直线与平面C.点到平面D.三棱锥11.如图，由函数与的部分图象可得一条封闭曲线，则（）()0,∞+()f x ()()()f xy xf y yf x =+()e e f =()22e 1ef =()1010e 10e f =()f x ()f x x()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x ()2sin2g x x =π3()f x ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x 2⎤⎦1111ABCD A B C D -,M N 111,CC C D MN 1AD 60MN 11AB D A 1B MN 11C B MN -e e 1x y =-+()ln e 1y x =+-ΓA.有对称轴B.的弦长的最大值为C.直线被D.的面积大于三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量服从二项分布，若，则__________.13.在四面体中，是正三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，点在棱上，使得四面体与四面体的体积之比为，则二面角的余弦值为__________.14.已知双曲线上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产能（单位：）与相应的生产能耗（单位：标准煤）的几组对应数据：3456标准煤3.5455.5（1）求关于的经验回归方程；（2）已知该厂技术改造前产品的生产能耗为标准煤，试根据（1）中求出的经验回经验回归方程，预测该厂技术改造后产品的生产能耗比技术改造前降低了多少标准煤.参考公式：ΓΓx y t +=Γ)e 2-Γ2e 4-ξ()10,B p ()3111E ξ+=p =ABCD ABC ACD DA DC =ACD ⊥ABC E BD ACDE ABCD 1:2D AC E--()2222:10,0x y C a b a b-=>>C θ2268x y xy ++=C x t y t /tx /t y y x ˆˆˆy bx a =+100t 90t 100t t 1221ˆ()ˆˆ.ni i i ni i x y nxy b x n x ay bx ==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑16.（15分）已知椭圆，短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为4.（1）求的方程；（2）设直线与交于两点，点，求.17.（15分）已知数列满足为常数.（1）若，求；（2）若的各项均为正数，证明：.18.（17分）在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）点分别在边上，且平分平分，.①求证：；②求.19.（17分）设定义在上的函数的导函数为.如果存在实数和函数，使得，其中对任意实数恒成立，则称函数具有性质.（1）求证：函数具有性质；（2）已知函数具有性质，给定实数，，其中.证明：；（3）对于函数和点，令，若点满足在处取得最小值，则称是的“点”.已知函数具有性质，点()2222:10x y C a b a b +=>>C 22y x =+C ,A B 11,04M ⎛⎫- ⎪⎝⎭MA MB ⋅ {}n a (*111,n nd n d a a +-=∈N )1211,3a a ==11nk k k a a +=∑{}n a 212n n n a a a +++≤ABC ,,A B C ,,a b c ()1cos sin b C B +=C ,P Q ,AC AB BP ,ABC CQ ∠ACB ∠BC BQ PB PC +=+AB APBC PC=ABC ∠R ()f x ()f x 'k ()x ϕ()()()244f x x kx x k ϕ=-+'()0x ϕ>x ()f x ()W k ()3212413f x x x x =-++()1W ()g x ()2W ()22121212,,sincos x x x x x x αθθ<=+2212cos sin x x βθθ=+θ∈R ()()()()12g g g x g x αβ-≤-()h x (),P a b ()()22()()L x x a h x b =-+-()()00,Q x h x ()L x 0x x =Q P h ()h x ()W k.若对任意的，都存在曲线上的一点，使得既是的“点”，又是的“点”，求的取值范围.()()()()()()121,,1,P t h t t P t h t t ϕϕ-++-t ∈R ()y h x =Q Q 1P h 2P h k2024—2025学年度第一学期高三年级期中抽测数学试题参考答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B【解析】，，选B.2.【答案】A 【解析】，虚部为1，选A.3.【答案】A【解析】在上的投影向量，选A.4.【答案】C【解析】，内切球半径，选C.5.【答案】B【解析】，则舍或2，选B.6.【答案】D 【解析】D.7.【答案】D【解析】，选D.8.【答案】B【解析】，则，则{}03A xx =≤≤∣{}0,1,2,3A B ⋂=()()1i 1i 1i 1i i 1i 1i 22-+--+-+++===+a b()210683,4,2555||a b b b ⋅⎛⎫== ⎪⎝⎭π13π65π,5,12rl r r h ==∴==1121021021313103R ⨯⨯⨯==++2100400π4π4π99S R ==⋅=4322a a a =+222,20,1q q q q q =+--==-()6789123764448a a a a a a q ++=++=⨯=111,22AOB d AB S AB d =≤==⋅=⋅ =≤()()()()2211111sin ,sin ,cos cos sin sin 23236αβαβαβαβαβ+=-=-=-+-=-⨯=-()()()f xy xf y yf x =+()()()(),ln f xy f y f x f x x xyyx x=+=，即对.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】关于对称，A 对.向左平移个单位变为错.，则的一个单调减区间而在单调递减，C 对.，则.D 错.选AC.10.【答案】ABD【解析】与的夹角为与的夹角即为正三角形，，A 对.面与平面，B 对.设平面的法向量()()1010ln ,ee10f x x x f ==⋅()1010e 10,B ef =()π0,3f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭π,03⎛⎫⎪⎝⎭()g x π3()π2π2sin 2,B 33g x x f x ⎛⎫⎛⎫+=+≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ3π2232x <+<()π7π,1212x f x <<∴π7π,1212⎛⎫⎪⎝⎭()πππ7π,,,1221212f x ⎛⎫⎛⎫⊂∴⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ,122⎛⎫⎪⎝⎭π02x <<ππ4ππ02π,2,2sin 223333x x x ⎛⎫<<<+<<+≤ ⎪⎝⎭MN ∥1,CD MN 1AD 1CD 1AD 11,AD C AD C ∠ 160AD C ∠∴= 1CA ⊥()()111111,2,2,2,0,2,2,cos ,AB D CA D C CA D C =-=-==MN ∴11AB D 1B MN ()100,,,,200n MN y z n x y z x z n B M ⎧⋅=-+=⎧⎪=∴⎨⎨--=⋅=⎩⎪⎩不放设，则错.对于D ，的外接圆是以为直径的圆上，设圆心为D 对.11.【答案】ACD【解析】由的反函数为，两者关于对称，A 正确.对于B ，，令在上单调递减；上单调递增，注意掉在和有一个零点，另一个零点为，B 错.对于与曲线对称轴垂直，如图，只需考察曲线上到距离大最大值即可，找出过与曲线相切且与平行的点即可，令，令，此时到的距离直线被正确.1x =()182,2,1,2,2,,C 3AB n z y n d n ⋅=-=-=--==1C MN MN ,P MN =22222132,,12(2)2OP R R R OP R ⎧+=⎪⎪∴==⎨⎪-+>⎪⎩()e e 1e e 1,ln e 1,e e 1xxxy y x y y =-+⇒=+-∴=+-∴=-+()ln e 1y x =+-y x =e e 1e e 1x x y x y x⎧=-+⇒-=-⎨=⎩()()e e 1,e 1x x h x x h x =+'--=-()h x (),0∞-()0,∞+()()()()120,12e 010,e h h h h x ->-=+-<=∴()2,1--0x ()()001,1,1,,A B x y ∴)01AB x ∴=->∴C,x y t +=ΓAB e e 1x y =-+P y x =P AB P ()e e 1xf x =-+()e 10x f x x ==⇒='()000,2e ,P P -y x =d =∴x y t +=Γ)e 2,C -对于D ，ВD 正确，选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】【解析】13.【答案】【解析】设，则，取中点为中点平面平面二面角为.14.【答案】4【解析】设在曲线上，也在曲线上且也在曲线上，曲线的两条对称轴分别为()()()()0Γ0122e 2e 212e 22P AB A B S S x x x ∴>=⋅-⋅-=-->- ( )021,x -<<-∴13()()110,,10,313130111,3B p E p E E p p ξξξξ~=+=+=+=∴=122DA DC ==AC =AC 1,2B ACD E ACD V BF DF BD E V --====∴BD ACD ⊥,ABC BD DE EF ∴===D AC E --1,cos 2DFE DFE ∠∠∴=(),P x y 2268x y xy ++=(),P y x ∴'2268x y xy ++=(),P y x ''--∴2268x y xy ++=y x=±而与曲线没有交点，为曲线实轴所在的直线联立实轴端点为，的虚轴长为4.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（1）（2），即改造后预测生产能耗为.预测该厂改造后100t产品的生产能耗比技术改造前降低了标准煤.16.【解析】（1）由题意，椭圆：.（2），解得或.17.【解析】（1）.∴y x=-y x∴=221,68y xxx y xy=⎧⇒=±∴⎨++=⎩()()1,1,1,1--a∴=2c b⇒==C∴44114.5, 4.5,84.5,4 3.5i i i ii ix y x y x y xy=====-=∑∑4213.5ˆˆ45,0.7, 4.50.7 4.5 1.355iix x b a=-=∴===-⨯=∑0.7 1.5ˆ3.y x∴=+100,71.35x y==71.35t9071.3518.65-=∴18.65t222124,222ca ab c bca b c⎧=⎪⎧⎪=⎪⎪⋅=∴=⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎪⎩22184x y+=2222184y xx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩2xy=⎧⎨=⎩()1616149,0,2,,14999xA By⎧=-⎪⎪⎛⎫--⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩113514113514637,2,24369436914416MA MB⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯-⨯=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()12111111,,2,121213n n na a n na a a+==∴-=∴=+-=-1111111,21(21)(21)22121n nnk kan k k k k==⎛⎫∴=∴=-⎪--+-+⎝⎭∑∑11111111112335212122121nn n n n⎛⎫⎛⎫=⋅-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭（2）整理得显然成立，.18.【解析】（1）.（2）①证明：在和中分别使用正弦定理（2）同理()()1111111,0,0,11n n n d a d a a a n d a =+->≥∴=+-()()21111211111211n n n a a a nd n d n d a a a +++≤⇔≤+++-++2221111nd nd d a a ⎛⎫⎛⎫+≥+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212n n n a a a +++∴≤()sin 1cos sin ,sin 0B C C B B +=> ππcos 12sin 1,63C C C C ⎛⎫-=⇒-== ⎪⎝⎭ABP BCP sin 4sin ,sin 3sin ABAP AB AP BC PC BC PC ∠θ∠θ⎧=⎪⎪⇒⇒=⎨⎪=⎪⎩①①②②()sin60sin sin60sin sin 60PB PC BC PB PCθθθ+===++ ()()1sin30sin 230sin 2302BC BQ BC BQθθ+==+++ ()()1sin 2302sin 230BC BQ PB PC θθ+++=+⇒=+19.【解析】（1）取，则具有性质.（2）具有性质函数使得时对恒成立在上单调递增，当且且另一方面，同理（3）设，，()1260sin 302θθ⇒+=<<+()12cos 602θ∴+==- ()()()22cos 3011cos 602cos 602θθθ-∴+=⇒--=()()()2cos 30sin 602602θθθ∴-+-=- ()()2cos 302cos 902θθ⇒-=- 30290,40,80ABC θθθ∠-=-∴==()()2244144f x x x x x '=-+=⋅-+()1x ϕ=()()()()244,f x x x x f x ϕ=⋅-+∴'()1W ()g x ()2,W ∴∃()x ϕ()()()2248g x x x x ϕ=-+'()()22240x x x ϕ=⋅-+>x ∀∈R ()g x ∴R ()()1212,x x g x g x <∴< 2222222111sin cos ,cos sin x x x x x x αθθβθθ≤+=≥+=()()()()()()()()2121,,g g x g g x g g g x g x αβαβ∴≤≥∴-≤-22111sin cos x x x αθθ≥+=2x β≤()()()()()()()()1212,,g g x g g x g g g x g x αβαβ∴≥≤∴-≥-()()()()()()2112g g g x g x g x g x αβ∴-≤-=-()()()()221(1)[]L x x t h x h t t ϕ=-++--()()()()222(1)[]L x x t h x h t t ϕ=--+-+()()()()()()1212L x x t h x h t t h x ϕ⎡⎤=-++--⎦'⎣'对，都存在曲线上的一点，使得既是的点又是的点设既是，也是的最小值点，两函数定义域为也为两函数极小值点，①，②，①-②具有性质恒成立故恒成立综上：的取值范围为.()()()()()()2212L x x t h x h t t h x ϕ⎡⎤=--+-+⋅⎦'⎣' t ∀∈R ()y h x =Q Q 1P h 2P h ()000,,P x y x ∴()1L x ()2L x 0,x ∴R ()()10200L x L x ∴==''()()()()()0002120x t h x h x h t t ϕ⎡⎤⇒-++--=⎣⎦'()()()()()0002120x t h x h x h t t ϕ⎡⎤---+⎣'+=⎦()()()()()00044010h x t h x t h x ϕϕ⇒-⋅='⇒'⋅'⇒=>()h x ()()()0,00W k t h x ϕ∴>⇒>'2440kx x k -+>2116160k k k >⎧⇒⇒>⎨-<⎩k ()1,∞+。
新高考高三上学期期中考试数学试题(附参考答案及评分标准)
*
，
是和
的等
a
nN
b
n
a
a
n1
n
n
比中项.
_________________.
四、解答题：本大题共6小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（）设
，求证：
1
，
c是等差数列；
cb
n
2
n1
b
2
nN
*
n
n
18.(本小题满分
分
12)
1
1
（）若,1
2
d
答案A
B
A
A
A
D
C
B
B
ABCACDABC
23x5x
2
二、填空题
A
分
·············································14
3
3
3
2sinCsinBsinAcosB
513
8
2
6
1；
解：（）由正弦定理得：
20.
1
14.
15.
16.
17.
13
sin
BA
sincos
B
化简得：2sinCcosAsinBcosAsinAcosB
，则ab
bc的值可能为
12.
13.
A．2
B．33
．
．2
D
C0
《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，
分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷
山东高三高中数学期中考试带答案解析
山东高三高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知集合或，集合，则（）A．B．C．D．2.已知复数为虚数单位，则（）A．B．C．D．3.已知都是第一象限角，那么是的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )A．B．C．D．5.已知，则（）A．B．C．D．6.函数的图像大致是（）A．B．C．D．7.在中，若，则（）A．B．C．D．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截去一半，永远都截不完.现将该木棍依次规则截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．①②③B．①②③C．①②③D．①②③9.已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．10.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．11.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（）A．B．C．D．12.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．二、填空题1.已知单位向量满足，则与的夹角是__________．2.已知，，则__________．3.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为__________．4.已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．三、解答题1.的内角所对的边分别为，向量.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.2.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数.3.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.4.已知函数.（1）求函数的最值及对称轴方程；（2）若，求函数的取值范围.5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数.6.已知函数.（1）令函数.若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，且，证明：.山东高三高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.已知集合或，集合，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为集合或，集合，所以，或，所以可得，，故选D.2.已知复数为虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】复数，，故选B.3.已知都是第一象限角，那么是的 ( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当,,所以不是的充分条件,同理,当时,所以不是的必要条件,即是的既不充分又不必要条件,选D.4.下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】是奇函数又在定义域上单调递增;在定义域上单调递增但是非奇非偶函数;是奇函数但在和上单调递增, 在定义域上不具单调性;是奇函数又在定义域上有增有减,所以选A.5.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，幂函数在上递增，指数函数在上递增递减，，，即，故选C.6.函数的图像大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数是非奇非偶的，故可排除选项，对于选项当趋向于时，趋向于，故可排除选项，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7.在中，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由得，，所以,故选Ｃ．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截去一半，永远都截不完.现将该木棍依次规则截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A．①②③B．①②③C．①②③D．①②③【答案】B【解析】程序运行过程中，各变量值如图所示，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，依次类推，第七次循环：，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：？执行框②应填入，③应填入：，故选B.9.已知二次函数的图像如图所示，则它与轴所围成封闭图形的面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，又点在函数的图象上，则，由定积分几何意义，围成图形的面积为，故选B.10.函数在上单调递减，且为奇函数.若，则满足的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数为奇函数，若，则，又函数在单调递减，，，解得满足的的取值范围是，故选C.11.已知函数为的零点，为图像的对称轴，且在上单调，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】为的零点，为图象的对称轴，即，即为正奇数，在，则，即，解得，当时，，，此时在不单调，不满足题意，当时，，，此时在单调，满足题意，故的最大值为，故选D.12.已知定义在上的函数满足，且，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，且，，又，当时，上述两个函数都是关于对称，画出两函数图象，如图，由图象可得两函数图象在区间上有三个交点，所以方程在区间上的实根有个，满足满足，方程在区间上的所有实根之和为，故选C.【方法点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及函数与方程思想，属于难题. 函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题1.已知单位向量满足，则与的夹角是__________．【答案】【解析】非零单位向量满足，则，，设与的夹角是的夹角是，，故答案为.【方法点睛】本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题. 平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.2.已知，，则__________．【答案】【解析】，解得故答案为：3.将函数的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为__________．【答案】【解析】由于函数的周期为，故个周期即，故把函数的图象向右平移个周期，故把函数的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数的解析式为，故答案为.4.已知且，函数存在最小值，则的取值范围为__________．【答案】【解析】当时，，当且仅当时，取得最小值；当时，若，则，显然不满足题意，若，要使存在最小值，必有，解得，即，，由，可得，可得，故答案为.三、解答题1.的内角所对的边分别为，向量.（1）若，求角的大小；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，可得，从而可得结果；（2）由为，可得，所以，再由正弦定理可得结果.试题解析：（1）由已知，所以，，所以，解得，又因为，所以.（2）因为，所以，则，所以，因为，则，解得.【方法点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.2.某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.（1）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式.（2）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：日需求量频数假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据卖出一枝可得利润元,卖不出一枝可得赔本元，以花店一天购进枝玫瑰花为分点即可建立分段函数；（2）根据表格中的数据，讨论需求量得到这天的日利润的平均数，利用天的销售量除以即可得到结论.试题解析：（1）当日需求量时，利润，当日需求量时，利润，所以.（2）当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；当时，利润；所以日利润的平均数（元）.3.已知的内角的对边分别为，且.（1）求角的值；（2）若的面积为，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知可得，结合范围，解得，可得的值；（2）由三角形的面积公式可求，利用余弦定理解得的值，即可得解的周长.试题解析：（1）由已知，化简得，因为，解得，因为，所以.（2）由已知，所以，又因为，解得，所以，解得，所以的周长为.4.已知函数.（1）求函数的最值及对称轴方程；（2）若，求函数的取值范围.【答案】（1）最大值为，最小值为，；（2）.【解析】（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角差的正弦公式可将函数解析式化为，利用三角函数的有界性求解函数的最值，令，可得对称轴方程；（2）由，得,所以，则.试题解析：（1）由已知，，因为，所以，则的最大值为，最小值为.令，解得，，（2）因为，所以所以，则.5.已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）当时，讨论函数的定义域内的零点个数.【答案】（1）极大值是；（2）无零点.【解析】（1）求出，求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间,根据单调性可得函数的极值；（2）利用导数研究函数的单调性，可证明函数恒成立，即证明在定义域内无零点.试题解析：（1）当时，，当时，，所以，则单调增，当时，，所以，则单调减，所以是的极大值点，极大值是.（2）由已知，当时，，所以，令，令，在上递减，又，在上有唯一的零点，，当时，则，所以在内单调递增；当时，则，所以在内单调递减则.故当时，，故，所以当时，在定义域内无零点.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、函数的极值以及函数零点问题，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.6.已知函数.（1）令函数.若函数在上单调递增，求的取值范围；（2）若函数存在两个极值点，且，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）函数在上单调递增，等价于恒成立，得，则；（2）函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，可求得，结合韦达定理可得，利用导数研究函数的单调性，证明函数的最小值大于零即可.试题解析：（1）由已知，所以所以当时，恒成立，即…（*）因为，则由（*）得，则.（2）由已知因为函数有两个极值点，所以在上有两个不等的实根，即在上有两个不等的实根，令，对称轴为则，解得且则，同理可得.令则因为，所以，又有，所以，则在上单调递增，所以，即，所以.。
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【好题】高三数学上期中试题(带答案)(2)一、选择题1．朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中制成了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍．设第三个音的频率为1f ，第七个音的频率为2f ，则21f f ＝ A．BCD2．数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++,()()1N*nn n b a n =-∈,则数列{}n b 的前50项和为（ ） A ．49B ．50C ．99D ．1003．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +=+，则10a =（ ）A ．1024B ．2048C ．1023D ．20474．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．5．已知数列{a n } 满足a 1=1，且111()(233n n n a a n -=+≥，且n ∈N*），则数列{a n }的通项公式为（ ）A ．32nn a n =+B ．23n n n a +=C ．a n =n+2D ．a n =（ n+2）·3n6．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为( ) A ．2 BCD ．47．若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则 A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<D ．b a c <<8．已知ABC ∆的三边长是三个连续的自然数，且最大的内角是最小内角的2倍，则最小角的余弦值为（ ） A ．34B ．56C ．78D ．239．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ）A．2B．92C．143D．510．已知等比数列{}n a的前n项和为n S，11a=，且满足21,,n n nS S S++成等差数列，则3a 等于( )A．12B．12-C．14D．14-11．在等比数列{}n a中，21a a2-=，且22a为13a和3a的等差中项，则4a为() A．9B．27C．54D．8112．已知0,0x y>>，且91x y+=，则11x y+的最小值是A．10B．12?C．14D．16二、填空题13．在ABCV中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan tan2tanb B b Ac B+=-，且8a=，73b c+=，则ABCV的面积为______．14．已知等差数列{}n a的公差为2，前n项和为n S，且1S，2S，4S成等比数列.令114(1)nnn nnba a-+=-，则数列{}nb的前100的项和为______．15．如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.16．在平面内，已知直线12l l P，点A是12,l l之间的定点，点A到12,l l的距离分别为和，点是2l上的一个动点，若AC AB⊥，且AC与1l交于点C，则ABC∆面积的最小值为____．17．某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案为：第K棵树种植在点(),k k kP x y处，其中11x=，11y=，当2K≥时，111215551255k kk kk kx x T Tk ky y T T--⎧⎡⎤--⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎨--⎛⎫⎛⎫⎪=+-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩()T a表示非负实数a的整数部分，例如()2.62T=，()0.20T=．按此方案第2016棵树种植点的坐标应为_____________．18．已知等比数列{}n a的首项为1a，前n项和为n S，若数列{}12nS a-为等比数列，则32a a =____. 19．若原点和点(1,2019)-在直线0x y a -+=的同侧，则a 的取值范围是________（用集合表示）.20．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿三、解答题21．在ABC V 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,已知()sin sin sin B C m A m +=∈R ,且240a bc -=．(1)当52,4a m ==时,求,b c 的值; (2)若角为锐角,求m 的取值范围．22．已知等比数列{}n a 的公比1q >，且满足：23428a a a ++=，且32a +是24,a a 的等差中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若1122log ,n n n n n b a a S b b b ==+++L ，求使1·262n nS n ++>成立的正整数n 的最小值．23．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距()533+海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？24．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ． 25．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S . 26．设函数2()1f x mx mx =--．(1)若对于一切实数x ，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于[1,3]x ∈，()0f x <恒成立，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】：先设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，得出通项公式， 根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，得出公比，最后计算第三个音的频率与第七个音的频率的比值。
【详解】：设第一个音的频率为a ，设相邻两个音之间的频率之比为q ，那么1q n n a a -=，根据最后一个音是最初那个音的频率的2倍，11212132q q 2a a a ==⇒=，所以47213q a f f a ===D 【点睛】：本题考查了等比数列的基本应用，从题目中后一项与前一项之比为一个常数，抽象出等比数列。
2．A解析：A 【解析】试题分析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，()()()22111112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=++--+-+=⎣⎦,把1n =代入上式可得123a =≠.综上可得3,1{2,2n n a n n ==≥.所以3,1{2,12,n n b n n n n n -==-≠为奇数且为偶数.数列{}n b 的前50项和为()()503235749224650S =--+++++++++L L ()()24349252503224922++=--⋅+⋅=.故A 正确.考点：1求数列的通项公式;2数列求和问题.3．C解析：C【解析】 【分析】 根据叠加法求结果. 【详解】因为12n n n a a +=+，所以12nn n a a +-=，因此10981010921198122221102312a a a a a a a a -=-+-++-+=++++==-L L ，选C.【点睛】本题考查叠加法求通项以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属基础题.4．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得42c =． 由余弦定理可得：()222222142214252b ac accosB =+-=+-⨯⨯⨯=． 5．B解析：B 【解析】试题分析：由题可知，将111()(233n n n a a n -=+≥，两边同时除以，得出，运用累加法，解得，整理得23n nn a +=； 考点：累加法求数列通项公式6．A解析：A 【解析】 【分析】由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3B π=，再由余弦定理，求得()224b a c =+，即可求解，得到答案．【详解】在ABC ∆中，因为sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.7．B解析：B 【解析】 试题分析：因为ln 2ln 3ln8ln 9ln 2ln 30,23623--=<<，ln 2ln 5ln 32ln 25ln 2ln 50,251025--=>>，故选B. 考点：比较大小.8．A解析：A 【解析】 【分析】设三角形的三边分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，根据余弦定理求出最小角的余弦值，然后再由正弦定理求得最小角的余弦值，进而得到n 的值，于是可得最小角的余弦值． 【详解】由题意，设ABC ∆的三边长分别为,1,2(*)n n n n N ++∈，对应的三角分别为,,A B C ， 由正弦定理得222sin sin sin 22sin cos n n n n A C A A A+++===， 所以2cos 2n A n+=． 又根据余弦定理的推论得222(2)(1)5cos 2(2)(1)2(2)n n n n A n n n +++-+==+++．所以2522(2)n n n n ++=+，解得4n =， 所以453cos 2(42)4A +==+，即最小角的余弦值为34．故选A ． 【点睛】解答本题的关键是求出三角形的三边，其中运用“算两次”的方法得到关于边长的方程，使得问题得以求解，考查正余弦定理的应用及变形、计算能力，属于基础题．9．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y ++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．10．C解析：C 【解析】试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比12q =-，从而2231111()24a a q ==⨯-=，故选C.考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.11．B解析：B 【解析】 【分析】根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，由22a 为13a 和3a 的等差中项，可得21322a 3a a ⨯=+，利用等比数列的通项公式代入化简为2q 4q 30-+=，解得q ，又21a a 2-=，即()1a q 12-=，q 1≠，分析可得1a 、q 的值，可得数列{}n a 的通项公式，将n 4=代入计算可得答案． 【详解】解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ，若22a 为13a 和3a 的等差中项，则有21322a 3a a ⨯=+，变形可得21114a q 3a a q =+，即2q 4q 30-+=，解得q 1=或3；又21a a 2-=，即()1a q 12-=，则q 3=，1a 1=，则n 1n a 3-=，则有34a 327==；故选：B ． 【点睛】本题考查等比数列的性质以及通项公式，关键是掌握等比数列通项公式的形式，属于基础题．12．D解析：D 【解析】 【分析】通过常数代换后，应用基本不等式求最值. 【详解】∵x ＞0，y ＞0，且9x+y=1，∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立，即11,124x y ==时取等号. 故选D. 【点睛】本题考查了应用基本不等式求最值；关键是注意“1”的整体代换和几个“=”必须保证同时成立.二、填空题13．【解析】【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值由余弦定理可求64=（b+c ）2﹣bc 求bc 即可得三角形的面积【详解】∵在△ABC 中btanB+btanA=﹣2ctanB ∴由正弦【解析】 【分析】由正弦定理和三角函数公式化简已知式子可得cosA 的值，由余弦定理可求64=（b +c ）2﹣bc ，求bc ，即可得三角形的面积． 【详解】∵在△ABC 中btanB +btanA=﹣2ctanB ，∴由正弦定理可得sinB （tanA +tanB ）=﹣2sinCtanB ，∴sinB （tanA+tanB ）=﹣2sinC•sinBcosB， ∴cosB （tanA+tanB ）=﹣2sinC ，∴cosB （sinA cosA +sinBcosB）=﹣2sinC ， ∴cosB•sinAcosB cosAsinBcosAcosB+=﹣2sinC ，∴cosB•()sin A B cosAcosB+=sinCcosA=﹣2sinC ， 解得cosA=﹣12，A=23π；∵a=8，b c +=64=b 2+c 2+bc=（b+c ）2﹣bc ， ∴bc=9∴△ABC 的面积为S =12bcsinA=192⨯，故答案为4． 【点睛】本题考查正、余弦定理解三角形，涉及同角三角函数基本关系和三角形的面积公式，属于中档题．14．【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式进一步利用裂项相消法求出数列的和【详解】解：设等差数列的首项为公差为2前n 项和为且成等比数列则：解得：所以：所以：所以：故答案为：【点睛】本题考查的 解析：200201【解析】【分析】首项利用已知条件求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．则：()2111(22)412a a a +=+，解得：11a =，所以：()12121n a n n =+-=-，所以：111411(1)(1)2121n n n n n n b a a n n --+⎛⎫=-=-⋅+ ⎪-+⎝⎭， 所以：100111111335199201S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⋯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12001201201=-=， 故答案为：200201【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．300【解析】试题分析：由条件所以所以这样在中在中解得中故填：300考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题属于基础题型首先要弄清楚两个概念仰角和俯角都指视线与水平线的夹角将问题所涉及的解析：300 【解析】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.考点：解斜三角形【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.16．6【解析】【分析】【详解】如图所示设由题意知与相似所以所以所以当且仅当即时等号成立所以面积的最小值为6解析：6 【解析】 【分析】 【详解】如图所示，设BF x =，由题意知3,2AE AF ==ABF ∆与CAE ∆相似，所以AB BF CA AE =,所以3AC AB x=,所以211322ABC S AB AC AB x∆==⨯ 21363(4)622x x x x =⨯⨯+=+≥，当且仅当632xx =，即2x =时，等号成立，所以CAE ∆面积的最小值为6.17．【解析】【分析】根据题意结合累加法求得与再代值计算即可【详解】由题意知故可得解得当时；当时故第棵树种植点的坐标应为故答案为：【点睛】本题考查数列新定义问题涉及累加法求通项公式属中档题解析：()4031,404. 【解析】 【分析】根据题意，结合累加法，求得k x 与k y ，再代值计算即可. 【详解】由题意知11x =，11y =211015555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，211055y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322115555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，322155y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭433215555x x T T ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，433255y y T T ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L11215555k k k k x x T T ---⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11255k k k k y y T T ---⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故可得12121105555k k k x x x x x x k T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L 12121?10155k k k y y y y y y T T --⎛⎫⎛⎫+++=+++++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L解得155k k x k T -⎛⎫=+⎪⎝⎭，当2016k =时，2016201654034031x =+⨯=； 115k k y T -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当2016k =时，20161403404y =+=. 故第2016棵树种植点的坐标应为()4031,404. 故答案为：()4031,404. 【点睛】本题考查数列新定义问题，涉及累加法求通项公式，属中档题.18．【解析】【分析】设等比数列的公比为由数列为等比数列得出求出的值即可得出的值【详解】设等比数列的公比为由于数列为等比数列整理得即化简得解得因此故答案为：【点睛】本题考查等比数列基本量的计算同时也考查了 解析：12【解析】 【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，由数列{}12n S a -为等比数列，得出()()()2211131222S a S a S a -=--，求出q 的值，即可得出32a a 的值. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由于数列{}12n S a -为等比数列，()()()2211131222S a S a S a ∴-=--，整理得()()2211321a a a a a a -=-⋅+-，即()()2211q q q -=-+-，化简得220q q -=， 0q ≠Q ，解得12q =，因此，3212a q a ==. 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，同时也考查了等比中项的应用，考查运算求解能力，属于中等题.19．或【解析】【分析】根据同侧同号列不等式解得结果【详解】因为原点和点在直线的同侧所以或即的取值范围是或【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题考查基本应用求解能力属基本题解析：{|2020a a >或0}a < 【解析】 【分析】根据同侧同号列不等式，解得结果. 【详解】因为原点和点()1,2019-在直线0x y a -+=的同侧，所以(00)(12019)02020a a a -+--+>∴>或0a <，即a 的取值范围是{2020a a 或0}.a <【点睛】本题考查二元一次不等式区域问题，考查基本应用求解能力.属基本题.20．10【解析】【分析】【详解】故则故n=10解析：10 【解析】 【分析】 【详解】1351,14,a a a =+=故126d 14,2a d +=∴=，则()1n 21002n n n S -=+⨯=故n=10三、解答题21．(1)2 12b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩; (2) 2m <<． 【解析】试题分析: 本题考查正弦定理和余弦定理;(1)先利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,再通过解方程组求解;(2)利用余弦定理进行求解. 试题解析：由题意得2,40b c ma a bc +=-=． (1)当52,4a m ==时,5,12b c bc +==, 解得212b c =⎧⎪⎨=⎪⎩或122b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩;(2)()222222cos 22b c bc a b c a A bc bc+--+-===()222222232a ma a m a --=-, ∵为锐角,∴()2cos 230,1A m =-∈,∴2322m <<,又由b c ma +=可得0m >,62m << 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向. 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化. 第三步：求结果.22．（1）2nn a =；（2）6．【解析】试题分析：（1）求等比数列的通项公式，关键是求出首项和公比，这可直接用首项1a 和公比q 表示出已知并解出即可（可先把已知化简后再代入）；（2）求出n b 的表达式后，要求其前n 项和，需用错位相减法．然后求解不等式可得最小值． 试题解析：（1）∵32a +是24,a a 的等差中项，∴()32422a a a +=+， 代入23428a a a ++=，可得38a =，∴2420a a +=，∴212118{20a q a q a q =+=，解之得122a q =⎧⎨=⎩或132{12a q ==， ∵1q >，∴122a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为2nn a =（2）∵1122log 2log 2?2n n nn n n b a a n ===-， ∴()21222?2n n S n =-⨯+⨯++L ，．．．．．．．．．．．．．．．①()23121222?2?2nn S n n +=-⨯+⨯+++L ，．．．．．．．．．．．．．②②—①得()2311112122222?2?222?212nn n n n n nS n n n ++++-=+++-=-=---L∵1·262n n S n ++>，∴12262n +->，∴16,5n n +>>， ∴使1·262n n S n ++>成立的正整数n 的最小值为6 考点：等比数列的通项公式，错位相减法． 23．救援船到达D 点需要1小时．【解析】 【分析】 【详解】5(33)906030,45,105sin sin •sin 5(33)?sin 455(33)?sin 45sin sin105sin 45?cos 60sin 60?cos 45AB DBA DAB ADB DB ABDAB DAB ADB AB DAB DB ADB =+∠=︒-︒=︒∠=︒∴∠=︒∆=∠∠∠+︒+︒∴===∠︒︒︒+︒︒解：由题意知海里，在中，由正弦定理得海里又海里中，由余弦定理得,海里，则需要的时间答：救援船到达D 点需要1小时 24．（1）6=BC 231015-【解析】 【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得6AE AC BE BC ==．可求6BE AE =，2615AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =， 所以6m =6BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以AE AC BE BC ==所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin BAC ∠=，所以11211225ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=V （）． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 25．⑴见证明；⑵()11222n n n ++-+【解析】 【分析】（1）由递推公式计算可得12n nb b +=，且1112b a =-=，据此可得数列{}n b 是等比数列. （2）由（1）可得2n n b =，则2nn a n =+，分组求和可得()11222n n n n S ++=-+.【详解】 （1）()()()11121122n n n n n n n n a n a n n a n b b a n a n a n++-+-+-+-====---， 又111312b a =-=-={}n b ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）得2n n b =，2nn a n ∴=+，()()()()()12122122...222...2123...n n n S n n ∴=++++++=++++++++()()()121211221222nn n n n n +-++=+=-+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 26．(1) 40m -<≤．(2) 16m < 【解析】 【分析】(1)利用判别式可求实数m 的取值范围，注意二次项系数的讨论.(2)就0,0,0m m m <=>三种情况讨论函数的最值后可得实数m 的取值范围. 【详解】解：(1)要使210mx mx --<恒成立， 若0m =，显然10-<；若0m ≠，则有2040m m m <⎧⎨∆=+<⎩，40m ∴-<<， ∴40m -<≤．(2)当0m =时，()10f x =-<显然恒成立；当0m ≠时，该函数的对称轴是12x =，2()1f x mx mx =--在[1,3]x ∈上是单调函数． 当0m >时，由于(1)10f =-<，要使()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(3)0f <即可,即9310m m --<得16m <，即106m <<； 当0m <时，由于函数()0f x <在[1,3]x ∈上恒成立，只要(1)0f <即可，此时(1)10f =-<显然成立. 综上可知16m <． 【点睛】一元二次不等式的恒成立问题，可以转化为函数的最值进行讨论，必要时需要考虑对称轴的不同位置.。