2007-08学年概率A卷

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数学08级本科概率统计试卷(A)

2010—2011学年第二学期期末考试08级数学系本科《概率统计》试卷（A ）（本试卷满分100分，考试时间110分钟）特殊说明：答案直接写在试卷上2.236=，(2.33)0.99,(1.645)0.95,Φ=Φ= (1.285)0.90Φ=.一、单选题（每小题2分，共20分.每小题的4个选项中只有一个是正确的）1．设事件A 、B 相互独立，且)()(B P A P ≠0，则下式中不成立．．．的是（） A ． )()()(B P A P AB P =； B ． )()(B A P A P =；C ． )()(A B P B P =；D ．)()()(B P A P B A P += ．2．对（）随机变量，一定有(<<)()P a X b P a X b =≤≤成立.A. 任意；B. 连续型；C.离散型； D ．个别离散型. 3．设n X X X ,......,21是来自总体2(,)N μσ的样本，2,σμ未知，则2σ的无偏估计是（）。

A ． 21)(11X X n n i i --∑= B ． 21)(1X X n n i i -∑= 业：___________________ 班级：_____________________ 学号：_______________________ 姓名：_____________________————————————密——————————————封————————————————线———————————C ． 21)(11μ--∑=n i i X n D ． 21)(11μ-∑+=ini X n 4．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(0<<1)p p ，则此人第４次射击时恰好第２次命中目标的概率为（）Ａ．23(1)p p -；Ｂ．26(1)p p -；Ｃ．223(1)p p -Ｄ．226(1)p p -． 5．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，随着σ的增大，概率μ-X P (＜σ)＝（）。

2007-08概率统计A卷试题及答案

2007 – 2008学年第一学期《概率论与数理统计A 》试卷答案一、填空题（每小题3分，满分21分，把答案填在题中横线上）1．设()()P A P B p ==，且,A B 至少有一个发生的概率为0.2，,A B 至少有一个不发生的概率为0.6，则p = 0.3 ．解已知()0.2,()0.6P A B P A B == ，0.2()()()()2()P A B P A P B P AB p P AB ==+-=- ，0.6()1()1()P A B P A B P AB ==-=- ，()0.4P AB =， 0.3p =2．11个人随机地围一圆桌而坐，则甲乙两人相邻而坐的概率为 0.2 ．解设A 表示事件“甲乙相邻而坐”。

样本空间所包含的基本事件数为11！，事件A 包含的基本事件数为1129!⨯⨯11292()0.21110P A ⨯⨯===！！ 3．设随机变量~(,)X B n p ，则对任意实数x ，有limn x P →∞⎫≤=⎬⎭()x Φ或22t xdt -⎰． 4．设随机变量X Y 与的方差和相关系数分别为XY ()3,()4,0D X D Y ρ===，则(21)D X Y -+= 16 ．解 (21)(2)D X Y D X Y -+=-(2)()2cov(2,)D X D Y X Y =+- 4()()4cov(,)D X D Y X Y =+-4()()4XY D X D Y ρ=+-=165．设~(0,1)X N ，1.96是标准正态分布的上0.025分位点，则{}1.96P X =≤ 0．975 ．解 1.96是标准正态分布的上0.025分位点，即{}0.0251.96P X =≥{}1.96P X =≤{}110.0250.9751.96P X -=-=>6．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，则当常数k =11n -时， 221()ni i k X X σ==-∑ 是参数2σ的无偏估计量．7．设总体2~(,)X N μσ，12(,,,)n X X X 是来自总体X 的样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，2σ未知，若检验假设0010:,:H H μμμμ=≠~ t (n-1).二、选择题（每小题3分，满分18分）X Y 与满足条件()()()D X Y D X D Y +=+，则下面结论不成立的是（ C ）（A ）X Y 与不相关．（B ）()()()E XY E X E Y =．（C ）X Y 与相互独立．（D ）cov(,)0X Y =．2．设随机变量X 的概率密度为cos ,||,2()0,||.2k x x f x x ππ⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ 则k 等于（ B ）（A ）14．（B ）12．（C ）0．（D ）1．3．某班12名战士各有一支归自己使用的枪，枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了一支枪，则拿到是自己枪的人数的数学期望是（ D ）（A ）112．（B ）0．（C ）12．（D ）1．解设1,i 0,i i X ⎧=⎨⎩第个战士拿到自己的枪，第个战士没拿到自己的枪，1,2,,12i = ，则1(),12i E X = 设X 表示拿到自己枪的人数.则121i i X X ==∑1212111()()12112i i i i E X E X E X ==⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭∑∑4．设X Y 与为相互独立的随机变量，其分布函数分别为()X F x 和()Y F y ，则随机变量max(,)Z X Y =的分布函数为（ A ）（A ）()()()Z X Y F z F z F z =．（B ）[][]()1()1()Z X Y F z F z F z =--．（C ）()1()()Z X Y F z F z F z =-．（D ）()()()Z X Y F z F z F z =+．5．设1210(,,,)X X X 是来自总体2(0,)N σ的样本，则下面结论正确的是（ C ）（A ）1022211~(9)kk Xχσ=∑．（B ）1021~(9)k k X t =∑．（C ）1022211~(10)k k X χσ=∑．（D ）1021~(10)k k X t =∑．6．设总体2~(,)X N μσ，μ为未知参数，样本12,,,n X X X 的方差为2S ，对给定的显著水平α，检验假设2201:2,:2H H σσ=<的拒绝域是（ B ）（A ）221/2(1)a n χχ-≤-．（B ）221(1)a n χχ-≤-．（C ）221/2()a n χχ-≤．（D ）221()a n χχ-≤．三、计算题（每小题10分，满分50分）1．一个系统中有三个相互独立的元件，元件损坏的概率都是0.2．当一个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.25; 当两个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.6; 当三个元件损坏时，系统发生故障的概率为0.95; 当三个元件都不损坏时，系统不发生故障. 求系统发生故障的概率．解设A 表示“系统发生故障”的事件，i B 表示“有i 个元件发生故障”的事件，1,2,3i =；由全概率公式 112233()()()()()()()P A P B P A B P B P A B P B P A B =++ 由已知，1()0.25P A B =，2()0.6P A B =，3()0.95P A B =1213()0.20.80.384P B C =⨯⨯= ，2223()0.20.80.096P B C =⨯⨯= ，3333()0.20.008P B C ==所以1612.095.0008.06.0096.025.0384.0)(=⨯+⨯+⨯=A P 2．设随机变量X 的分布律为X -1 0 1 2P 0.1 2.0 a b若()1E X =，(1)求常数a , b ; (2)求Y=X 2 的分布律.解 (1)由 0.10.21a b +++=,()E X =10.100.212a b -⨯+⨯+⨯+⨯=1,解得a =0.3, b =0.4. (2) Y=X 2的可取值为0,1,4.{}0P Y =={}0P X ==0.2,{}1P Y =={}1P X =-+{}1P X ==0.1+0.3=0.4, {}4P Y =={}==2X P 0.4, 因此Y=X 2 的分布律为Y 0 1 4 P 2.0 0.4 0.43．设二维随机变量(,)X Y 的联合概率密度函数为,0<1,(,)0,Ax x y f x y <<⎧=⎨⎩其他.（1）求常数A ；（2）求关于,X Y 的边缘概率密度函数；（3）判断X Y 与是否相互独立；（4）求{1}P X Y +≤．解（1）由(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，有 1001d d 6yAy Ax x ==⎰⎰，得6A =；（2）()X f x =(,)d f x y y +∞-∞⎰, 当0x ≤或1x ≥时，()X f x =0,当01x <<时，1()6d 6(1)X x f x x y x x ==-⎰，所以6(1),01;()0.X x x x f x -<<⎧=⎨⎩其它同理 23,01;()0.Y y y f y ⎧<<=⎨⎩其它（3）由(,)()()X Y f x y f x f y ≠，所以X Y 与不相互独立（4）11201(1)6d d 4xx P X Y x x y -+≤==⎰⎰.4．设随机变量X Y 与相互独立，其概率密度分别为0;e ,()0,0.xX x f x x ->⎧=⎨≤⎩ 20;1e ,()20,0.yY y f y y ->⎧⎪=⎨⎪≤⎩求Z X Y =+的概率密度．解法1 由卷积公式 ()()()d Z X Y f z f x f z x x +∞-∞=-⎰因为e >0;()00.xX x f x x -⎧=⎨≤⎩ 21e>0;()200.yY y f y y -⎧⎪=⎨⎪≤⎩所以 0()()()d e ()d xZ X Y Y f z f x f z x x f z x x -+∞+∞-∞=-=-⎰⎰e ()d t zY z t z x f t t --∞=--⎰令e()d t zzY f t t --∞=⎰当0z ≤时 ()e ()d 0t zzZ Y f z f t t --∞==⎰ 当0z >时 201()e ()d ee d 2tt zt zzzZ Y f z f t t t ----∞==⎰⎰2e (e 1),z z -=- ()()()d Z X Yf z f x f z x x +∞-∞=-⎰2e (e 1),0,0,0.zz z z -⎧⎪->=⎨⎪≤⎩解法2 先求Z 的分布函数()Z F z . 联合密度函数为21,0,0,(,)()()20,,y x X Y e e x y f x y f x f y --⎧>>⎪==⎨⎪⎩其它(){}{}(,)Z x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰当0z ≤时, ()(,)0,Z x y zF z f x y dxdy +≤==⎰⎰当0z >时, 21()(,)2yx Z x y zDF z f x y dxdy e e dxdy --+≤==⎰⎰⎰⎰20012yzz x x e dx e dy ---=⎰⎰221z ze e --=-+分布函数为 221,0()0,0z z Z e e z F z z --⎧⎪-+>=⎨⎪≤⎩再求导,得概率密度 2e (e 1),0,()()0,0.zz Z Z z f z F z z -⎧⎪->'==⎨⎪≤⎩5．设12(,,,)n X X X 是来自总体2(,)N μσ的样本，求μ和2σ的最大似然估计量．解设12,,,n x x x ，相应的样本观测值，则似然函数为2()22122221L(,)11exp ()22i x ni nni i x μσμσμπσσ--===⎛⎫⎧⎫=--⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭∑取对数，得222211ln L(,)(ln 2ln )()22n i i n x μσπσμσ==-+--∑将2ln L(,)μσ分别对μ与2σ求偏导数，并令其等于零，得方程组2122241ln 1()0ln 1()022ni i ni i L x L n x μμσμσσσ==∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+-=⎪∂⎩∑∑ 解此方程组，得到参数μ和2σ的最大似然估计值是12211ˆ;1().n i i ni i x x n x x n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑ 因此,μ和2σ的最大似然估计量是12211ˆ;1().n i i ni i X X n X X n μσ==⎧==⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∑∑四、证明题（共2道小题，满分11分）1．（6分）若(|)(|)P A B P A B >，试证(|)(|)P B A P B A >．证明因为()(|)()()()()()(|)()1()1()P AB P A B P B P AB P A AB P A P AB P A B P B P B P B =--===--由 (|)(|)P A B P A B >，所以得()()()()1()P AB P A P AB P B P B ->- ()()()()()()()P AB P B P AB P A P B P B P AB ->- ()()()P AB P A P B ∴>从而 ()()()()()()()P AB P A P AB P A P B P A P AB ->-即()()()()P AB P A P A P BA > ()()()()P AB P BA P A P A > 所以(|)(|)P B A P B A >．2．（5分）设12(,,,)n X X X 是来自总体(0,1)N 的样本，证明{}21202ni i n P X n n=-<<≥∑．证明根据2221~()ni X n χχ=∑，且22(),()2E n D n χχ==，由切比雪夫不等式，有{}{}2221|()|02ni P P E nX n χχ=-<<<∑22()21D n n nχ-≥-=．。

2007-2008(1)期末考试试卷(B)(概率统计)

考试课程：班级：姓名：学号：------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 2 页)1）求b a ,应满足的条件；2）若X 与Y 相互独立，求b a ,的值。

7已知连续型随机变量),(Y X 的概率密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其它情况00,404),(x y x Axyy x f ，求：1）常数A ；2）边缘概率密度)(y f Y 。

8 设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是来自总体X 的样本，总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧<<+=其它情况010)1(),(x x x f βββ，其中β未知，且1->β。

求1）β的矩估计量；2）β的极大似然估计量。

三应用题（每小题8分，共16分）1 已知某种材料的抗压强度),(~2σμN X ，现随机地抽取9个试件进行抗压试验（单位Pa 510），测得样本均值50.457=x ，样本方差2222.35=s 。

已知2230=σ，求总体均值μ的95％的置信区间。

（注：8331.1)9(,2622.2)9(,645.1,96.105.0025.005.0025.0====t t z z ）2某中电子元件要求其寿命不得低于10小时，今在生产的一批元件中随机抽取25件，测得其寿命的平均值为10.2小时，样本标准差为0.5小时，设元件寿命总体服从正态分布，问在显著水平05.0=α下这批元件是否合格？（注：0639.2)24(,7081.1)25(,7109.1)24(025.005.005.0===t t t ，0595.2)25(025.0=t ）四证明题（共6分）设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是来自总体X 的一个样本，设μ=EX ，2σ=DX ，其中∑==n i i X n X 11，212)(11∑=--=n i iX X n S ，证明：22)(σ=S E 。

试卷07-08(数学概率)(A卷)

X a S1 n 1 X a S3 n 1
）
X a S2 n 1
上
下
D =
3X1
2 2 2 2
（B） T
5. 设 X1，X2，X3，X4 是来自正态分布 N (0, 2 ) 母体的样本，则 f 从
系名:
X2 X3 X4
服
（C） T
（D） T
X a S4 n 1
订
订
3 .一个随机变量的数学期望和方差相等，则该随机变量不可能服从（（A）二项分布（C）指数分布（B）泊松分布（D）正态分布
（B|A1） =0.2， P B|A2）（ =0.5， B|A3） P （ =0.2， B|A4） P （ =0.1,则 P B）（ = P（A1|B）= 2．设随机变量具有密度函数 f ( x )
4. （本题 12 分）已知 X 1 , X 2 , X n 是来自正态总体 N ( a , 2 ) 的样本，求：
（1）样本（ X 1 , X 2 , X n ）的联合分布密度函数；（2）求样本均值 X 的分布；（3）求参数 a , 的极大似然估计
2
6. （本题 10 分）总体 X N ( a , 2 ), 参数 a ， 2 未知，从总体 X 中抽取容量为 9 的样本，测得样本均值为 5.91，样本方差为 0.81，给定显著性水平 0 .0 5 ，
分布. 和
6.假设检验的两类错误是
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得分
阅卷人
三.解答题（50 分，需写出详细的推导计算过程，5，6 题各选作 1 题）
1.（本题 8 分）50 件产品中有 2 件次品，现从中任意抽取 3 件，求：（1）恰有 1 件次品的概率; (2)至少一件是次品的概率。 3．（本题 12 分）设二维随机向量（，）的联合概率密度为：

08级本科《概率论与数理统计》A卷答案(教考分离)

上海立信会计学院2009～2010学年第二学期2008级本科《概率论与数理统计》期终考试试卷（A ）（本场考试属闭卷考试，考试时间120分钟，可使用计算器）共8页学院班级学号姓名一、单项选择题（每题2分，共10分）在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1．对于事件设B A ,，下列命题正确的是（） A .若B A ,互不相容，则A 与B 也互不相容 B .若B A ,相容，则A 与B 也相容C .若B A ,互不相容，且概率都大于零，则A 与B 也相互独立D .若B A ,相互独立，则A 与B 也相互独立2．将一枚骰子掷两次，记21X X 、分别第一、第二掷出的点数。

记：}10{21=+=X X A ,}{21X X B <=。

则=)|(A B P （）A .31 B .41 C .52 D .65 3．设随机变量X 与Y 均服从正态分布，)2,(~2μN X ，)5,(~2μN Y ，记}2{1-≤=μX P p ，}5{2+≥=μY P p ，则（）A .对任何实数μ，都有21p p =B .对任何实数μ，都有21p p <C .只对μ的个别值才有21p p =D .对任何实数μ，都有21p p > 4．设随机变量21,X X 独立，且21}1{}0{====i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是（）A .21X X =B .1}{21==X X PC .21}{21==X X P D .以上都不正确 5．设21,X X 取自正态总体)2,(μN 的容量为2的样本，下列四个无偏估计中较优的是（）A .2114341ˆX X +=μB .2122121ˆX X +=μC .21332ˆX X +=μD .2147374ˆX X +=μ 二、填空题（每题2分，共10分）1．设B A ,为随机事件，5.0)(=A P ，6.0)(=B P ，8.0)|(=A B P ，则=)(B A P2．设离散型随机变量X 的分布列为kA k X P )2/1(}{==（ ,2,1=k ），则常数=A3．设X 的概率密度为21)(x ex f -=π，则=)(X D4．已知随机变量X 的密度为⎩⎨⎧<<=其它010)(x x a x f ，则=a5．设随机变量X 和Y 相互独立且都服从正态分布)3,0(2N ，而91,,X X 和91,,Y Y 分别是来自总体X 和Y 简单随机样本，则统计量292191YY X X U ++++=服从分布。

2007～2008学年度第一学期期中试卷八年级数学(A)

2007～2008学年度第一学期期中试卷八年级数学（A ）一、精心选一选（共40分）.1、下列各组图形，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是A B C D2、和数轴上的点成一一对应关系的数是A.自然数B.有理数C.无理数D. 实数3、下列说法不正确的A 、251的平方根是±51； B 、-9是81的一个平方根；C 、16的算术平方根是4 ；D 、3273-=-4、已知,三角形的三边长为6,8,10,则这个三角形最长边上的高是A 、10B 、8C 、2.4D 、4.85、2)33(-的值为A.33-B.33-C. 33-或33-D.以上答案都不对 6、如图ABCD 中，EF ∥BC , GH ∥AB ,GH 与EF 线交于点O ，图中共有平行四边形的个数 A 、6 B 、7 C 、8 D 、9学校______________ 班别____________ 姓名________________ 座号_________…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………○…………… 密 ………… 封 ………… 线 ………… 内 ………… 不 ………… 准 ………… 答 ………… 题 ………………………………○7、如图，延长正方形ABCD 的一边BC 至E ，使CE ＝AC ，连结AE 交CD 于F ，则∠AFC 的度数是A 、112.5°B 、120°C 、122.5°D 、135°8、有四组线段中不能组成直角三角形的是：A 、3,2,1B 、7,24,25C 、32,42,52D 、9,40.,41 9、剪掉多边形的一个角，则所成的新多边形的内角和A. 减少180°B. 增加180°C. 减少所剪掉的角的度数D. 增加180°或减少180°或不变10、甲、乙、丙、丁四位同学到木工厂参观时,一木工师傅要他们拿尺子帮助检测一个窗框是否是矩形,他们各自做了如下检测：检测后,他们都说窗框是矩形,你认为最有说服力的是A 、甲量得窗框两组对边分别相等B 、乙量得窗框的对角线相等C 、丙量得窗框的一组邻边相等D 、丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等第二卷二、耐心填一填（4×5=20分）．11、实数4-，0，722，3125-，0.1010010001……（两个1之间依次多一个0），3.0，2π中，无理数有：； 12、如图，有一圆柱，其高为12cm ，它的底面半径为3cm ，在圆柱下底面A 处有一只蚂蚁，它想得到上面B 处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为______cm 。

07级A卷参考答案

离散数学2007级A卷试题参考答案一、填空题（每小题2分，共20分）1．┐p∧q 2．┐∃x(F(x)∧G(x))3．(F(a)∨F(b)∨F(c))→(G(a)∧G(b)∧G(c)) 4．f是双射的5．2 6．<a3>=<e, a3, a6, a9>7．(a∧b)∨c≥c 8．79．2 10．n-1二、判断题（每小题2分，共20分，正确的划√，错误的划×）1．×2．√3．√4．√5．×6．×7．×8．×9．×10．√三、计算题（每小题5分，共15分）1．M2∧M4∧M5∧M62． I={<<2,2>,<2,2>>, <<2,4>,<2,4>>, <<4,2>,<4,2>>, <<4,4>,<4,4>> } R⊆I3． 2m=2n-2=2*2+2*3+1*4+(n-5)*1=9+n解出n=11，m=10，t=11-5=6。

四、证明题（共45分）1．(8分)设集合D,E,F∈P(B) (1分)(1) 证明对称差运算具有可结合性(4分)(D⊕E)⊕F＝((D⊕E)∩～F)∪(～(D⊕E)∩F)＝[((D∩～E)∪(～D∩E))∩～F]∪[～((D∩～E)∪(～D∩E))∩F]＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪[～(D∩～E)∩～(～D∩E)∩F]＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪[(～D∪E)∩(D∪～E)∩F] 但：[(～D∪E)∩(D∪～E)∩F]＝[(～D∩D)∪(E∩D)∪(～D∩～E)∪(E∩～E)]∩F＝[φ∪(D∩E)∪(～D∩～E)∪φ]∩F＝(D∩E∩F)∪(～D∩～E∩F) 故：(D⊕E)⊕F ＝((D⊕E)∩～F)∪(～(D⊕E)∩F)＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪(D∩E∩F)∪(～D∩～E∩F) 同理：D⊕(E⊕F)＝((D⊕E)∩～F)∪(～(D⊕E)∩F)＝(D∩～E∩～F)∪(～D∩E∩～F)∪(D∩E∩F)∪(～D∩～E∩F) 因此，(D⊕E)⊕F＝D⊕(E⊕F)所以对称差运算具有结合性。

2007-2008a(参考答案)

华东政法大学2007-2008学年第一学期期末考试商学院07级各专业《高等数学》A 卷参考答案一、填空题（每题2分，共20分）(1) e(2) 0(3) -2(4) 0(5) 3(6) C x F +-)(c o s(7) xdy x dx yxy y ln 1+- (8) ⎰⎰ee y dx y xf dy ),(10(9 ) 1/2 (10) 222-。

二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，每小题2分，共20分）(1) C (2) B (3) D (4) A (5) A (6) B (7) C （8）A （9）C （10）A三、计算题（每小题6分，共30分）1、解：x x xf x x dt t tf x x x x F 2)(0)(00lim lim )(lim 20→→→=⎰= （3分）2/)(lim 0x f x →= 02/)0(==f （5分）所以当0=x 时，F （x ）在x=0处连续。

（6分）2、解：)111111(1lim )21111(lim 1nn n n n n n n n +++++=++++∞→∞→ n n i n i n 111lim 1∑=∞→+= （2分） ⎰+=1011dx x （4分）2ln |)1ln(10=+=x （6分）3、解：323552x x y -= 0)'52(332351310'＝令x x x x y -=-=，所以x=1是函数的稳定点。

X=0是函数的不可导的点，这两点是可能的极值点。

在0)('),0,(>-∞x f ,0)('),1,0(<x f ,0)('),,1(>∞x f所以函数的单调区间增区间为)0,(-∞),1(∞，单调递减区间为)1,0(在点x=0处，函数取得极大值0；在点x=1处，函数取得极小值－3。

（3分）)12()'(''3239101310+==--x x y x x 令,0''=y 则x=-1/2，则在0)(''),,(21<--∞x y ，0)(''),,(21>+∞-x y ，因此，函数在区间),(21--∞内凸，在),(21+∞-内凹。

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信息技术科学学院本科生2007——2008学年第一学期
《概率论与数理统计》课程期末考试试卷（A 卷）
专业：年级：学号：姓名：成绩：
、一、填空题（本题共32分，每小题4分,共8题）
1．假如每个人血清中含有肝炎病毒的概率为p ，混合n 个人的血清（设每个人的血清中是否含有肝炎病毒是相互独立的），则此血清中含有肝炎病毒的概率为
2．设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为
221
(,)0
cx y x y f x y ⎧≤≤=⎨
⎩其它则常数c =
3．设0)()(≠=Y D X D ，记Y X U -=，Y X V +=，则U 与V 必然（）。

A. 不独立
B. 独立
C. 相关
D. 不相关
4．设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=其他,0,
20,2)(x x
x f ，则X 的上α
分位点(α＝1/2)，为
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5．设(n X X X ,...,,21)是来自正态总体N(0,1)的样本，那么统计量
Y ＝21
12
)(1)(1∑∑+==-+n
m i i m i i X m n X m 服从的分布是____
6．设某种药品中有效成分的含量服从正态总体),(2σμN ，原工艺生产的产品中有效成分的平均含量为a ,现在用新工艺试制了一批产品，测其有效成份的含量，以检验新工艺是否真的提高了有效成份的含量，要求当新工艺没有提高有效成分含量时，误认为新工艺提高了有效成分的含量的概率不超过0.05，那么在假设检验中，应取原假设0H 和显著性水平α分别为
7．某种零件尺寸偏差X 服从正态分布22(,),,N μσμσ未知，今随机抽取n 个零件，测得样本均值为X ，样本方差为2S ，则总体数学期望μ的置信度为1α-的双侧置信区间为 8．设随机过程(),0At X t e t -=>，其中A 是在(0,)a 上服从均匀分布的随机变量，则()X t 的自相关函数为
、二、甲、乙两人同时向同一飞行目标射击，击中的概率分别为0.4, 0.5，如果只有一个人击中，则目标被击落的概率为0.2；如果有两个人击中，则目标被击落的概率为0.6。

求目标被击落的概率。

（注：每人只射击一次）（本题10分）
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、三、设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数
22,0,0
(,)0,x y e x y f x y --⎧>>=⎨
⎩其他, 求 (1)X,Y 的边缘概率密度函数。

(2)X,Y 是否相互独立 (3)max{,}Z X Y =的分布函数.
(4) max{,}Z X Y =的概率密度函数.（本题20分）
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、四、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从
指数分布，概率密度为： /510()5
x e x f x x -⎧>⎪=⎨⎪≤⎩
工厂规定，出售的设备若在一年内损坏可予以调换。

若工厂售出
一台设备可赢利150元，调换一台设备厂方需花费260元。

试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。

（本题13分）
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、五、某人作独立重复射击，每次击中目标的概率均为p ，它在第X 次射击时，首次击中目标，
（1）试写出X 的分布律
（2）以此X 为总体，从中抽取简单随机样本，得到样本观察值12(,,)n x x x ，试求未知参数p 的最大似然估计量（本题15分）
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、六、某彩电公司每月生产20万台背投彩电，次
品率为0.0005. 检验时每台次品未被查出的概率为0.01.
试用中心极限定理求每月检验后出厂的彩电中次品数超过3台的概率.（本题10分）
附表：标准正态分布数值表 2χ分布数值表 t 分布数值表
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