专题01 任意角的概念与弧度制-高人一筹之高一数学特色专题训练(必修四)【解析版】

专题一任意角的概念与弧度制一、选择题
1．将化为弧度为（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，故选.
2．与终边相同的角为（）．
A． B． C． D．
【答案】A
3．与（）终边相同的角是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
因为 ,所以选B.
4．若角，，则角的终边落在（）
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】A
【解析】
,
当时，，此时为第一象限角，排除；当时，，此时是第三象限角，排除；
角的终边落在第一或第三象限角，故选A.
5．半径为,中心角为的弧长为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
圆弧所对的中心角为，即为弧度，半径为，弧长为，故选D.
6．将分针拨快20分钟，则分针转过的弧度数为( )
A．
2π
3
- B．
2
3
π
C．
π
3
- D．
π
3
【答案】A
【解析】将分针拨快20分钟，则分针顺时针转过0
120，
所以将分针拨快20分钟，则分针顺时针转过
2
3
π
-，故选A.
7．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( )
A． 5 B． 2 C． 3 D． 4
【答案】B
【解析】
因为扇形的周长与面积的数值相等，所以设扇形所在圆的半径为R，扇形弧长为l，则lR=2R+l，所以即是lR=4R+2l，
∴l=
∵l＞0，∴R＞2
故选：B．
8．下列命题正确的是
A．小于的角一定是锐角
B．终边相同的角一定相等
C．终边落在直线上的角可以表示为，D．若,则角的正切值等于角的正切值
【答案】D
9．若一扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为（）．A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
扇形的圆心角为，
∵半径等于，∴扇形的面积为，
故选．
10．半径为cm
π的圆中，60o圆心角所对的弧长为（）
A．
3cm
π
B．
2
3
cm
π
C．
2
3
cm
π
D．
2
2
3
cm
π
【答案】B
【解析】由题意得，根据扇形的弧长公式，可知弧长为
2
33
l R cm
ππ
απ
==⨯=，故选B.
11．已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
,选C.学+科网
12．《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”
等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是
A．平方米 B．平方米
C．平方米 D．平方米
【答案】B
【解析】
如图，由题意可得：∠AOB=，OA=4，
在Rt△AOD中，可得：∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=，
可得：矢=4﹣2=2，
由AD=AO•sin=4×=2，
可得：弦=2AD=2×2=4，
所以：弧田面积=（弦×矢+矢2）=（4×2+22）=4≈9平方米．
故答案为：B．
二、填空题
13．终边在坐标轴上的角的集合为__________．
【答案】
【解析】
终边在轴上的角的集合为，终边在轴上的角的集合为，故合在一起即为，
故答案为：．
14．若的圆心角所对的弧长为，则扇形半径长为_________．
【答案】
【解析】
∵，
∴
故答案为4．
15．若圆的一条弧长等于这个圆的内接正三角形边的一半，则这条弧所对的圆心角的弧度数为__________．【答案】
16．如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB=，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D．若CD的长为，则与弦AB所围成的弓形ACB的面积为______________.
【答案】
【解析】
设扇形的半径为，则在△OAD中，，
∴，即，
解得．
∴扇形面积为，
又，
∴．
三、解答题
17．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
【答案】(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
【解析】
先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
18．已知一个扇形的周长为8
9
π
＋4，圆心角为80°，求这个扇形的面积.
【答案】8 9π
【解析】
设扇形的半径为r ，面积为S ，由已知，扇形的圆心角为80°×180π
︒
＝
49
π， ∴扇形的弧长为
49πr ，由已知得， 49πr ＋2r ＝89
π＋4，∴r ＝2， ∴S ＝12·49πr 2＝89π.故扇形的面积是89
π.
19．若角是第二象限角，试确定
，
的终边所在位置．
【答案】角的终边在第三象限或第四象限或轴的非正半轴上,
的终边在第一象限或第三象限.
【解析】 ∵角是第二象限角，∴
，
（1），
∴ 角
的终边在第三象限或第四象限或轴的非正半轴上．
（2），当时，
∴ ，
∴的终边在第一象限．学科网
当时，
∴，
∴
的终边在第三象限．
综上所述，的终边在第一象限或第三象限．
20．已知角α＝45°，
(1)在－720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β； (2)设集合
，判断两集合的关系．
【答案】（1）β＝－675°或β＝－315°.(2).
【解析】
(1)所有与角α有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k ×360°(k ∈Z)，
则令－720°≤45°＋k ×360°<0°， 得－765°≤k ×360°<－45°，解得－
≤k <－
，
从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.
(2)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；
而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而. 21．如图所示，动点P，Q从点A(4，0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求点P，点Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P，Q点各自走过的弧长.
【答案】见解析.
【解析】
设P，Q第一次相遇时所用的时间是t，则t·＋t·＝2π.所以t＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒.
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点和Q点已运动到终边在·4＝的位置，则x C＝－cos·4＝－2，y C＝－sin·4＝－2.
所以C点的坐标为(－2，－2).
P点走过的弧长为π·4＝π.
Q点走过的弧长为π·4＝π.
22．已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【答案】（1）；（2）；（3）
(3)由已知得，l＋2R＝20.
所以S＝lR＝ (20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10，α＝2.。